Aproximações de π -Approximations of π

Parte de uma série de artigos sobre o
constante matemática π
3,14159 26535 89793 23846 26433 ...
Usos
Área de um círculo Circunferência Use em outras fórmulas
Propriedades
Irracionalidade Transcendência
Valor
Menos de 22/7 Aproximações Memorização
Pessoas
Arquimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Ludolph van Ceulen Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Irmãos Chudnovsky Yasumasa Kanada
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v t e

Aproximações para a constante matemática pi ( π ) na história da matemática alcançaram uma precisão de 0,04% do valor verdadeiro antes do início da Era Comum . Na matemática chinesa , isso foi aprimorado para aproximações corretas ao que corresponde a cerca de sete dígitos decimais no século V.

Progresso adicional não foi feito até o século 15 (por meio dos esforços de Jamshīd al-Kāshī ). Os primeiros matemáticos modernos alcançaram uma precisão de 35 dígitos no início do século 17 ( Ludolph van Ceulen ) e 126 dígitos no século 19 ( Jurij Vega ), ultrapassando a precisão necessária para qualquer aplicação concebível fora da matemática pura.

O registro da aproximação manual de π é mantido por William Shanks , que calculou 527 dígitos corretamente nos anos anteriores a 1873. Desde meados do século 20, a aproximação de π tem sido a tarefa dos computadores digitais eletrônicos (para um relato abrangente, veja Cronologia de cálculo de π ). Em março de 2019, Emma Haruka Iwao , uma funcionária do Google do Japão , calculou um novo recorde mundial de 31  trilhões de dígitos com a ajuda do serviço de computação em nuvem da empresa . O recorde foi superado em 29 de janeiro de 2020 por Timothy Mullican, que calculou para 50 trilhões de dígitos usando equipamento de servidor corporativo aposentado e o software y-cruncher. Em 16 de agosto de 2021, um novo recorde foi estabelecido por Thomas Keller et Heiko Rölke da Fachhochschule Graubünden com 62,8 trilhões de dígitos.

História antiga

As aproximações mais conhecidas de π datando de antes da Era Comum eram precisas em duas casas decimais; isso foi aprimorado na matemática chinesa, em particular em meados do primeiro milênio, com uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, nenhum progresso foi feito até o final do período medieval.

Alguns egiptólogos afirmam que os antigos egípcios usavam uma aproximação de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (cerca de 0,04% alto demais) já no Império Antigo . Essa afirmação foi recebida com ceticismo.

A matemática babilônica geralmente aproximava π de 3, suficiente para os projetos arquitetônicos da época (notavelmente também refletido na descrição do Templo de Salomão na Bíblia Hebraica ). Os babilônios estavam cientes de que isso era uma aproximação, e uma tabuinha matemática da Antiga Babilônia escavada perto de Susa em 1936 (datada entre os séculos 19 e 17 aC) dá uma melhor aproximação de π como 25 ⁄ 8 = 3,125, cerca de 0,528 por cento abaixo do valor exato.

Mais ou menos na mesma época, o papiro matemático egípcio Rhind (datado do Segundo Período Intermediário , c. 1600 AEC, embora declarado ser uma cópia de um texto mais antigo do Império Médio ) implica uma aproximação de π como 256 ⁄ 81 ≈ 3,16 ( com precisão de 0,6 por cento) calculando a área de um círculo por aproximação com o octógono .

Cálculos astronômicos no Shatapatha Brahmana (c. Século 6 aC) usam uma aproximação fracionária de 339 ⁄ 108 ≈ 3.139 .

No século III AEC, Arquimedes provou as desigualdades nítidas 223 ⁄ 71  <  π  <  22 ⁄ 7 , por meio de 96-gons regulares (precisões de 2 · 10 ⁻⁴ e 4 · 10 ⁻⁴ , respectivamente).

No 2º século dC, Ptolomeu utilizado o valor 377 / 120 , a aproximação de primeira conhecido precisas para três casas decimais (precisão 2 · 10 ^-5 ). É igual ao qual tem precisão de dois dígitos sexagesimais . ${\ displaystyle 3 + 8/60 + 30/60 ^ {2},}$

O matemático chinês Liu Hui em 263 dC calculou π entre3.141 024 e3.142 708 inscrevendo um 96-gon e 192-gon; a média desses dois valores é3,141 866 (precisão 9 · 10 ⁻⁵ ). Ele também sugeriu que 3,14 era uma aproximação boa o suficiente para fins práticos. Ele também foi frequentemente creditado com um resultado posterior e mais preciso, π ≈ 3927 ⁄ 1250 = 3,1416 (precisão 2 · 10 ⁻⁶ ), embora alguns estudiosos em vez disso acreditem que isso se deve ao matemático chinês Zu posterior (século V) Chongzhi . Sabe-se que Zu Chongzhi calculou π como estando entre 3,1415926 e 3,1415927, o que estava correto com sete casas decimais. Ele também deu duas outras aproximações de π : π ≈ 22 ⁄ 7 e π ≈ 355 ⁄ 113 , que não são tão precisas quanto seu resultado decimal. A última fração é a melhor aproximação racional possível de π usando menos de cinco dígitos decimais no numerador e denominador. Os resultados de Zu Chongzhi superam a precisão alcançada na matemática helenística e permaneceriam sem melhorias por quase um milênio.

Na Índia da era Gupta (século 6), o matemático Aryabhata em seu tratado astronômico Āryabhaṭīya calculou o valor de π para cinco algarismos significativos π ≈ 62832 ⁄ 20000 = 3,1416, usando-o para calcular uma aproximação da circunferência da Terra . Aryabhata afirmou que seu resultado "aproximadamente" ( āsanna "se aproximando") deu a circunferência de um círculo. Seu comentarista do século 15, Nilakantha Somayaji ( escola Kerala de astronomia e matemática ), argumentou que a palavra significa não apenas que se trata de uma aproximação, mas que o valor é incomensurável (irracional) .

Meia idade

Por volta do século 5 dC, π era conhecido por cerca de sete dígitos na matemática chinesa e por cerca de cinco dígitos na matemática indiana. O progresso posterior não foi feito por quase um milênio, até o século 14, quando o matemático e astrônomo indiano Madhava de Sangamagrama , fundador da escola de astronomia e matemática de Kerala , encontrou a série Maclaurin para arco tangente e, em seguida, duas séries infinitas para π . Um deles é agora conhecido como a série Madhava – Leibniz , baseada em${\ displaystyle \ pi = 4 \ arctan (1):}$

${\ displaystyle \ pi = 4 (1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} ...)}$

O outro foi baseado em ${\ displaystyle \ pi = 6 \ arctan (1 / {\ sqrt {3}}):}$

${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-3) ^ {- k}} {2k + 1}} = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- {\ frac {1} {3}}) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ sqrt { 12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right )}$

Ele usou os primeiros 21 termos para calcular uma aproximação de π correto para 11 casas decimais como3.141 592 653 59 .

Ele também melhorou a fórmula baseada em arctan (1), incluindo uma correção:

${\ displaystyle \ pi / 4 \ approx 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} ...- {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n-1}} \ pm {\ frac {n ^ {2} +1} {4n ^ {3} + 5n}}}$

Não se sabe como ele veio com essa correção. Usando isso, ele encontrou uma aproximação de π para 13 casas decimais de precisão quando  n  = 75.

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), um astrônomo e matemático persa , calculou corretamente a parte fracionária de 2 π a 9 dígitos sexagesimais em 1424 e traduziu isso em 16 dígitos decimais após o ponto decimal:

${\ displaystyle 2 \ pi \ approx 6.2831853071795864,}$

o que dá 16 dígitos corretos para π após a vírgula decimal:

${\ displaystyle \ pi \ approx 3.1415926535897932}$

Ele alcançou esse nível de precisão calculando o perímetro de um polígono regular com 3 × 2 ²⁸ lados.

Séculos 16 a 19

Na segunda metade do século 16, o matemático francês François Viète descobriu um produto infinito que convergiu em π conhecido como fórmula de Viète .

O matemático alemão-holandês Ludolph van Ceulen (por volta de 1600) calculou as primeiras 35 casas decimais de π com 2 ⁶² -gon. Ele estava tão orgulhoso dessa conquista que os inscreveu em sua lápide .

Em Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demonstrou que o perímetro do polígono inscrito converge para a circunferência duas vezes mais rápido do que o perímetro do polígono circunscrito correspondente. Isso foi provado por Christiaan Huygens em 1654. Snellius foi capaz de obter sete dígitos de π de um polígono de 96 lados .

Em 1789, o matemático esloveno Jurij Vega calculou as primeiras 140 casas decimais para π , das quais as primeiras 126 estavam corretas e deteve o recorde mundial por 52 anos até 1841, quando William Rutherford calculou 208 casas decimais, das quais as primeiras 152 estavam corretas . Vega melhorou a fórmula de John Machin de 1706 e seu método ainda é mencionado hoje.

A magnitude de tal precisão (152 casas decimais) pode ser contextualizada pelo fato de que a circunferência do maior objeto conhecido, o universo observável, pode ser calculada a partir de seu diâmetro (93  bilhões de anos-luz ) para uma precisão inferior a um comprimento de Planck (em1,6162 × 10 ⁻³⁵  metros , a menor unidade de comprimento que tem significado real) usando π expresso com apenas 62 casas decimais.

O matemático amador inglês William Shanks , um homem de recursos independentes, passou mais de 15 anos calculando π com 607 casas decimais. Isso foi realizado em 1873, com os primeiros 527 lugares corretos. Ele calculava novos dígitos durante toda a manhã e então passava a tarde verificando o trabalho da manhã. Essa foi a expansão mais longa do π até o advento do computador digital eletrônico, três quartos de século depois.

Séculos 20 e 21

Em 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan encontrou várias séries infinitas de π convergindo rapidamente , incluindo

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}$

que calcula mais oito casas decimais de π com cada termo da série. Suas séries são agora a base para os algoritmos mais rápidos usados ​​atualmente para calcular π . Mesmo usando apenas o primeiro termo dá

${\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {9801} {2206 {\ sqrt {2}}}} \ approx 3,14159273}$

Veja a série Ramanujan – Sato .

A partir de meados do século 20, todos os cálculos de π foram feitos com a ajuda de calculadoras ou computadores .

Em 1944, DF Ferguson, com o auxílio de uma calculadora mecânica de mesa , descobriu que William Shanks havia cometido um erro na 528ª casa decimal e que todos os dígitos seguintes estavam incorretos.

Nos primeiros anos do computador, uma expansão de π para100 000 casas decimais foi calculado pela Maryland matemático Daniel Shanks (nenhuma relação com o já mencionado William Shanks) e sua equipe do Laboratório de Pesquisa Naval dos Estados Unidos em Washington, DC Em 1961, Shanks e sua equipe usaram duas séries de potência diferentes para calcular os dígitos de π . Para um, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente alto, e para o outro, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente baixo. E, portanto, desde que as duas séries produzissem os mesmos dígitos, havia uma confiança muito alta de que eles estavam corretos. Os primeiros 100.265 dígitos de π foram publicados em 1962. Os autores delinearam o que seria necessário para calcular π para 1 milhão de casas decimais e concluíram que a tarefa estava além da tecnologia daquele dia, mas seria possível em cinco a sete anos.

Em 1989, os irmãos Chudnovsky computaram π para mais de 1 bilhão de casas decimais no supercomputador IBM 3090 usando a seguinte variação da série infinita de π de Ramanujan :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k) } {(3k)! (K!) ^ {3} 640320 ^ {3k + 3/2}}}.}$

Desde então, todos os registros foram realizados usando o algoritmo de Chudnovsky . Em 1999, Yasumasa Kanada e sua equipe na Universidade de Tóquio calcularam π em mais de 200 bilhões de casas decimais no supercomputador HITACHI SR8000 / MPP (128 nós) usando outra variação da série infinita de π de Ramanujan . Em novembro de 2002, Yasumasa Kanada e uma equipe de 9 outras pessoas usaram o Hitachi SR8000 , um supercomputador de 64 nós com 1 terabyte de memória principal, para calcular π para aproximadamente 1,24 trilhão de dígitos em cerca de 600 horas (25  dias).

Registros Recentes

1. Em agosto de 2009, um supercomputador japonês chamado T2K Open Supercomputer mais que dobrou o recorde anterior, calculando π para aproximadamente 2,6 trilhões de dígitos em aproximadamente 73 horas e 36 minutos.
2. Em dezembro de 2009, Fabrice Bellard usou um computador doméstico para calcular 2,7 trilhões de dígitos decimais de π . Os cálculos foram realizados na base 2 (binária), depois o resultado foi convertido para a base 10 (decimal). As etapas de cálculo, conversão e verificação levaram um total de 131 dias.
3. Em agosto de 2010, Shigeru Kondo usou o y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 trilhões de dígitos de π . Este foi o recorde mundial para qualquer tipo de cálculo, mas significativamente foi realizado em um computador doméstico construído por Kondo. O cálculo foi feito entre 4 de maio e 3 de agosto, com as verificações primária e secundária levando 64 e 66 horas, respectivamente.
4. Em outubro de 2011, Shigeru Kondo quebrou seu próprio recorde ao computar dez trilhões (10 ¹³ ) e cinquenta dígitos usando o mesmo método, mas com hardware melhor.
5. Em dezembro de 2013, Kondo quebrou seu próprio recorde pela segunda vez quando calculou 12,1 trilhões de dígitos de π .
6. Em outubro de 2014, Sandon Van Ness, usando o pseudônimo de "houkouonchi", usou o y-cruncher para calcular 13,3 trilhões de dígitos de π .
7. Em novembro de 2016, Peter Trueb e seus patrocinadores computaram no y-cruncher e verificaram totalmente 22,4 trilhões de dígitos de π (22.459.157.718.361 ( π ^e  × 10 ¹² )). O cálculo levou (com três interrupções) 105 dias para ser concluído, sendo a limitação da expansão posterior principalmente o espaço de armazenamento.
8. Em março de 2019, Emma Haruka Iwao, funcionária do Google , calculou 31,4 trilhões de dígitos de pi usando y-cruncher e máquinas do Google Cloud . Isso levou 121 dias para ser concluído.
9. Em janeiro de 2020, Timothy Mullican anunciou o cálculo de 50 trilhões de dígitos em 303 dias.
10. Em 14 de agosto de 2021, uma equipe (DAViS) da Universidade de Ciências Aplicadas dos Grisões anunciou a conclusão do cálculo de π para 62,8 trilhões de dígitos.

Aproximações práticas

Dependendo da finalidade do cálculo, π pode ser aproximado usando frações para facilitar o cálculo. As mais notáveis ​​dessas aproximações são 22 ⁄ 7 ( erro relativo de cerca de 4 · 10 ⁻⁴ ) e 355 ⁄ 113 (erro relativo de cerca de 8 · 10 ⁻⁸ ).

"Definições" não matemáticas de π

De alguma notabilidade são textos legais ou históricos que supostamente "definem π " para ter algum valor racional, como o " Indiana Pi Bill " de 1897, que afirmava que "a proporção do diâmetro e da circunferência é de cinco quartos para quatro" (que implicaria " π = 3,2 ") e uma passagem na Bíblia Hebraica que implica que π = 3 .

Lei de Indiana

A chamada " Lei do Pi de Indiana " de 1897 foi frequentemente caracterizada como uma tentativa de "legislar o valor do Pi". Em vez disso, o projeto tratava de uma solução proposta para o problema de " quadratura do círculo " geometricamente .

O projeto foi quase aprovado pela Assembleia Geral de Indiana nos Estados Unidos, e alegou-se que implica uma série de valores diferentes para π , embora o mais próximo que chegue de afirmar explicitamente um seja a expressão "a proporção do diâmetro e da circunferência é igual cinco quartos para quatro ", o que faria π = 16 ⁄ 5 = 3,2 , uma discrepância de quase 2 por cento. Um professor de matemática que por acaso estava presente no dia em que o projeto foi levado à consideração do Senado, depois de ter sido aprovado na Câmara, ajudou a impedir a aprovação do projeto em sua segunda leitura, após o que a assembleia o ridicularizou completamente antes apresentando-o indefinidamente.

Valor bíblico imputado

Às vezes, é afirmado que a Bíblia Hebraica implica que " π é igual a três", com base em uma passagem em 1 Reis 7:23 e 2 Crônicas 4: 2 que fornece medidas para a bacia redonda localizada em frente ao Templo em Jerusalém como tendo um diâmetro de 10 côvados e uma circunferência de 30 côvados.

O assunto é discutido no Talmud e na literatura rabínica . Entre as muitas explicações e comentários estão estes:

• Rabino Neemias explicou isso em seu Mishnat ha-Middot (o mais antigo texto hebraico conhecido sobre geometria , cerca de 150 EC) dizendo que o diâmetro era medido a partir da borda externa , enquanto a circunferência era medida ao longo da borda interna . Esta interpretação implica uma borda de cerca de 0,225 côvado (ou, assumindo um "côvado" de 18 polegadas, cerca de 4 polegadas), ou uma e uma terceira " largura de mão " de espessura (cf. NKJV e NKJV ).
• Maimônides afirma (ca. 1168 EC) que π só pode ser conhecido aproximadamente, então o valor 3 foi dado como preciso o suficiente para fins religiosos. Isso é considerado por alguns como a primeira afirmação de que π é irracional.

Ainda há algum debate sobre essa passagem nos estudos bíblicos. Muitas reconstruções da bacia mostram uma borda mais larga (ou borda alargada) estendendo-se para fora da própria tigela por vários centímetros para corresponder à descrição dada na NKJV. Nos versos seguintes, a borda é descrita como "de um palmo de espessura; e a borda era trabalhada como a borda de uma xícara, como a flor de um lírio: recebia e mantinha três mil banhos " NKJV , o que sugere uma forma que pode ser envolvida por um cordão mais curto que o comprimento total da aba, por exemplo, uma flor Lilium ou uma xícara de chá .

Desenvolvimento de fórmulas eficientes

Aproximação de polígono a um círculo

Arquimedes, em sua Measurement of a Circle , criou o primeiro algoritmo para o cálculo de π baseado na ideia de que o perímetro de qualquer polígono (convexo) inscrito em um círculo é menor que a circunferência do círculo, que, por sua vez, é menos do que o perímetro de qualquer polígono circunscrito. Ele começou com hexágonos regulares inscritos e circunscritos, cujos perímetros são facilmente determinados. Ele então mostra como calcular os perímetros de polígonos regulares de duas vezes mais lados que estão inscritos e circunscritos em torno do mesmo círculo. Este é um procedimento recursivo que seria descrito hoje da seguinte maneira: Sejam p _k e P _k denotando os perímetros de polígonos regulares de k lados que estão inscritos e circunscritos em torno do mesmo círculo, respectivamente. Então,

${\ displaystyle P_ {2n} = {\ frac {2p_ {n} P_ {n}} {p_ {n} + P_ {n}}}, \ quad \ quad p_ {2n} = {\ sqrt {p_ {n } P_ {2n}}}.}$

Arquimedes usa isso para calcular sucessivamente P ₁₂ , p ₁₂ , P ₂₄ , p ₂₄ , P ₄₈ , p ₄₈ , P ₉₆ e p ₉₆ . Usando esses últimos valores, ele obtém

${\ displaystyle 3 {\ frac {10} {71}} <\ pi <3 {\ frac {1} {7}}.}$

Não se sabe por que Arquimedes parou em um polígono de 96 lados; basta ter paciência para estender os cálculos. Heron relata em seu Metrica (cerca de 60 EC) que Arquimedes continuou o cálculo em um livro agora perdido, mas então atribuiu um valor incorreto a ele.

Arquimedes não usa trigonometria neste cálculo e a dificuldade em aplicar o método reside na obtenção de boas aproximações para as raízes quadradas que estão envolvidas. A trigonometria, na forma de uma tabela de comprimentos de corda em um círculo, foi provavelmente usada por Cláudio Ptolomeu de Alexandria para obter o valor de π dado no Almagesto (cerca de 150 EC).

Avanços na aproximação de π (quando os métodos são conhecidos) foram feitos aumentando o número de lados dos polígonos usados ​​no cálculo. Um aprimoramento trigonométrico de Willebrord Snell (1621) obtém melhores limites a partir de um par de limites obtido a partir do método do polígono. Assim, resultados mais precisos foram obtidos de polígonos com menos lados. A fórmula de Viète , publicada por François Viète em 1593, foi derivada por Viète usando um método poligonal intimamente relacionado, mas com áreas em vez de perímetros de polígonos cujos números de lados são potências de dois.

A última grande tentativa de calcular π por este método foi realizada por Grienberger em 1630, que calculou 39 casas decimais de π usando o refinamento de Snell.

Fórmula semelhante a uma máquina

Para cálculos rápidos, pode-se usar fórmulas como a de Machin :

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}$

junto com a expansão da série de Taylor da função arctan ( x ). Esta fórmula é verificada mais facilmente usando coordenadas polares de números complexos , produzindo:

${\ displaystyle (5 + i) ^ {4} \ cdot (239-i) = 2 ^ {2} \ cdot 13 ^ {4} (1 + i).}$

({ x , y } = {239, 13 ² } é uma solução para a equação de Pell x ² −2 y ² = −1.)

As fórmulas desse tipo são conhecidas como fórmulas do tipo Machin . A fórmula particular de Machin foi usada bem na era do computador para calcular números recordes de dígitos de π , mas, mais recentemente, outras fórmulas semelhantes também foram usadas.

Por exemplo, Shanks e sua equipe usaram a seguinte fórmula semelhante a de Machin em 1961 para calcular os primeiros 100.000 dígitos de π :

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 6 \ arctan {\ frac {1} {8}} + 2 \ arctan {\ frac {1} {57}} + \ arctan {\ frac {1 } {239}}}$

e eles usaram outra fórmula semelhante a Machin,

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {18}} + 8 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}}}$

como um cheque.

O recorde em dezembro de 2002 por Yasumasa Kanada, da Universidade de Tóquio, era de 1.241.100.000.000 de dígitos. As seguintes fórmulas semelhantes a Machin foram usadas para isso:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}}$

K. Takano (1982).

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}}$

FCM Størmer (1896).

Outras fórmulas clássicas

Outras fórmulas que foram usadas para calcular estimativas de π incluem:

Liu Hui (ver também a fórmula de Viète ):

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & \ approx 768 {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + 1}}}}}}}}}}}}}}}}} \\ & \ approx 3.141590463236763. \ end {alinhados} }}$

Madhava :

${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-3) ^ {- k}} {2k + 1}} = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- {\ frac {1} {3}}) ^ {k}} {2k + 1}} = {\ sqrt { 12}} \ left ({1 \ over 1 \ cdot 3 ^ {0}} - {1 \ over 3 \ cdot 3 ^ {1}} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right)}$

Euler :

${\ displaystyle {\ pi} = 20 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 8 \ arctan {\ frac {3} {79}}}$

Transformação de convergência de Newton / Euler:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} \ left ( 1 + {\ frac {2} {5}} \ left (1 + {\ frac {3} {7}} \ left (1+ \ cdots \ right) \ right) \ right)}$

onde (2 k  + 1) !! denota o produto dos números inteiros ímpares até 2 k  + 1.

Ramanujan :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}$

David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky :

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = 12 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (6k)! (13591409 + 545140134k) } {(3k)! (K!) ^ {3} 640320 ^ {3k + 3/2}}}}$

O trabalho de Ramanujan é a base do algoritmo de Chudnovsky , o algoritmo mais rápido usado, a partir da virada do milênio, para calcular π .

Algoritmos modernos

Expansões decimais extremamente longas de π são normalmente calculadas com fórmulas iterativas como o algoritmo de Gauss-Legendre e o algoritmo de Borwein . Este último, encontrado em 1985 por Jonathan e Peter Borwein , converge com extrema rapidez:

Para e ${\ displaystyle y_ {0} = {\ sqrt {2}} - 1, \ a_ {0} = 6-4 {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle y_ {k + 1} = (1-f (y_ {k})) / (1 + f (y_ {k})) ~, ~ a_ {k + 1} = a_ {k} (1+ y_ {k + 1}) ^ {4} -2 ^ {2k + 3} y_ {k + 1} (1 + y_ {k + 1} + y_ {k + 1} ^ {2})}$

onde , a sequência converge quarticamente para π , dando cerca de 100 dígitos em três etapas e mais de um trilhão de dígitos após 20 etapas. O algoritmo de Gauss-Legendre (com complexidade de tempo , usando o algoritmo de multiplicação de Harvey-Hoeven ) é assintoticamente mais rápido do que o algoritmo de Chudnovsky (com complexidade de tempo ) - mas qual desses algoritmos é mais rápido na prática para "pequeno o suficiente" depende de fatores tecnológicos como tamanhos de memória e tempos de acesso . Para quebrar recordes mundiais, os algoritmos iterativos são usados ​​com menos frequência do que o algoritmo de Chudnovsky, uma vez que consomem muita memória. ${\ displaystyle f (y) = (1-y ^ {4}) ^ {1/4}}$${\ displaystyle 1 / a_ {k}}$ ${\ displaystyle O (n \ log ^ {2} n)}$${\ displaystyle O (n \ log ^ {3} n)}$${\ displaystyle n}$

Os primeiros um milhão de dígitos de π e 1 ⁄ π estão disponíveis no Project Gutenberg (consulte os links externos abaixo). Um registro de cálculo anterior (dezembro de 2002) por Yasumasa Kanada da Universidade de Tóquio era de 1,24 trilhão de dígitos, que foram computados em setembro de 2002 em um supercomputador Hitachi de 64 nós com 1 terabyte de memória principal, que realiza 2 trilhões de operações por segundo, quase o dobro do computador usado para o registro anterior (206 bilhões de dígitos). As seguintes fórmulas semelhantes a Machin foram usadas para isso:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}}$  ( Kikuo Takano  (1982))

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}}$  ( F. C. M. Størmer  (1896)).

Essas aproximações têm tantos dígitos que não têm mais uso prático, exceto para testar novos supercomputadores. Propriedades como a normalidade potencial de π sempre dependerão da seqüência infinita de dígitos no final, não de qualquer cálculo finito.

Aproximações diversas

Historicamente, a base 60 era usada para cálculos. Nesta base, π pode ser aproximado de oito (decimais) algarismos significativos com o número 3; 8,29,44 ₆₀ , que é

${\ displaystyle 3 + {\ frac {8} {60}} + {\ frac {29} {60 ^ {2}}} + {\ frac {44} {60 ^ {3}}} = 3,14159 \ 259 ^ {+}}$

(O próximo dígito sexagesimal é 0, fazendo com que o truncamento aqui produza uma aproximação relativamente boa.)

Além disso, as seguintes expressões podem ser usadas para estimar π :

• com precisão de três dígitos:

${\ displaystyle {\ frac {22} {7}} = 3,143 ^ {+}}$

• com precisão de três dígitos:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} = 3,146 ^ {+}}$

Karl Popper conjecturou que Platão conhecia esta expressão, que ele acreditava ser exatamente π , e que isso é responsável por parte da confiança de Platão na onicompetência da geometria matemática - e a discussão repetida de Platão de triângulos retângulos especiais que são isósceles ou metades de triângulos equiláteros .

Szyszkowicz: ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} + {\ frac {{\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}} {68}} = 3,141590 ^ {+}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {15}} - {\ sqrt {3}} + 1 = 3,140 ^ {+}}$

• com precisão de quatro dígitos:

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {31}} = 3,1413 ^ {+}}$

• com precisão de quatro dígitos (ou cinco algarismos significativos):

${\ displaystyle {\ sqrt {7 + {\ sqrt {6 + {\ sqrt {5}}}}}} = 3,1416 ^ {+}}$

• uma aproximação de Ramanujan , com precisão de 4 dígitos (ou cinco algarismos significativos):

${\ displaystyle {\ frac {9} {5}} + {\ sqrt {\ frac {9} {5}}} = 3,1416 ^ {+}}$

• com precisão de cinco dígitos:

${\ displaystyle {\ frac {7 ^ {7}} {4 ^ {9}}} = 3,14156 ^ {+}}$

• com precisão de seis dígitos [1] :

${\ displaystyle \ left (2 - {\ frac {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} - 2}} {2 ^ {2}}} \ right) ^ {2} = 3,14159 ^ {+}}$

• com precisão de sete dígitos:

${\ displaystyle {\ frac {355} {113}} = 3,14159 \ 29 ^ {+}}$

• com precisão de nove dígitos:

${\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {3 ^ {4} + 2 ^ {4} + {\ frac {1} {2 + ({\ frac {2} {3}}) ^ {2}} }}} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {2143} {22}}} = 3,14159 \ 2652 ^ {+}}$

Isto é de Ramanujan , que afirmou que a Deusa de Namagiri apareceu para ele em um sonho e disse a ele o verdadeiro valor de π .

• com precisão de dez dígitos:

${\ displaystyle {\ frac {63} {25}} \ times {\ frac {17 + 15 {\ sqrt {5}}} {7 + 15 {\ sqrt {5}}}} = 3,14159 \ 26538 ^ {+ }}$

• com precisão de dez dígitos (ou onze algarismos significativos):

${\ displaystyle {\ sqrt [{193}] {\ frac {10 ^ {100}} {11222.11122}}} = 3,14159 \ 26536 ^ {+}}$

Esta aproximação curiosa segue a observação de que a 193ª potência de 1 / π produz a sequência 1122211125 ... Substituir 5 por 2 completa a simetria sem reduzir os dígitos corretos de π , enquanto a inserção de um ponto decimal central fixa notavelmente a magnitude acompanhante em 10 ¹⁰⁰ .

• com precisão de 18 dígitos:

${\ displaystyle {\ frac {80 {\ sqrt {15}} (5 ^ {4} +53 {\ sqrt {89}}) ^ {\ frac {3} {2}}} {3308 (5 ^ {4 } +53 {\ sqrt {89}}) - 3 {\ sqrt {89}}}}}$

Isso é baseado no discriminante fundamental d = 3 (89) = 267 que tem número de classe h (- d ) = 2 explicando os números algébricos de grau 2. O radical do núcleo é 5 ^{3 a} mais do que a unidade fundamental que dá a menor solução {  x , y } = {500, 53} para a equação de Pell x ²  - 89 y ²  = −1.${\ displaystyle \ scriptstyle 5 ^ {4} +53 {\ sqrt {89}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle U_ {89} = 500 + 53 {\ sqrt {89}}}$

• com precisão de 30 casas decimais:

${\ displaystyle {\ frac {\ ln (640320 ^ {3} +744)} {\ sqrt {163}}} = 3,14159 \ 26535 \ 89793 \ 23846 \ 26433 \ 83279 ^ {+}}$

Derivado da proximidade da constante de Ramanujan com o número inteiro 640320³ + 744. Isso não admite generalizações óbvias nos inteiros, porque existem apenas números de Heegner finitos e discriminantes negativos d com número de classe h (- d ) = 1 ed = 163 é o maior em valor absoluto .

• com precisão de 52 casas decimais:

${\ displaystyle {\ frac {\ ln (5280 ^ {3} (236674 + 30303 {\ sqrt {61}}) ^ {3} +744)} {\ sqrt {427}}}}$

Como o anterior, uma consequência do invariante j . Entre os discriminantes negativos com classe número 2, este d é o maior em valor absoluto.

• com precisão de 161 casas decimais:

${\ displaystyle {\ frac {\ ln {\ big (} (2u) ^ {6} +24 {\ big)}} {\ sqrt {3502}}}}$

onde u é um produto de quatro unidades quárticas simples,

${\ displaystyle u = (a + {\ sqrt {a ^ {2} -1}}) ^ {2} (b + {\ sqrt {b ^ {2} -1}}) ^ {2} (c + {\ sqrt {c ^ {2} -1}}) (d + {\ sqrt {d ^ {2} -1}})}$

e,

${\ displaystyle {\ begin {align} a & = {\ tfrac {1} {2}} (23 + 4 {\ sqrt {34}}) \\ b & = {\ tfrac {1} {2}} (19 { \ sqrt {2}} + 7 {\ sqrt {17}}) \\ c & = (429 + 304 {\ sqrt {2}}) \\ d & = {\ tfrac {1} {2}} (627 + 442 {\ sqrt {2}}) \ end {alinhado}}}$

Baseado em um encontrado por Daniel Shanks . Semelhante aos dois anteriores, mas desta vez é um quociente de uma forma modular , ou seja, a função eta de Dedekind , e onde o argumento envolve . O discriminante d = 3502 tem h (- d ) = 16.${\ displaystyle \ tau = {\ sqrt {-3502}}}$

• A representação contínua da fração de π pode ser usada para gerar melhores aproximações racionais sucessivas . Essas aproximações são as melhores aproximações racionais possíveis de π em relação ao tamanho de seus denominadores. Aqui está uma lista dos primeiros treze deles:

${\ displaystyle {\ frac {3} {1}}, {\ frac {22} {7}}, {\ frac {333} {106}}, {\ frac {355} {113}}, {\ frac {103993} {33102}}, {\ frac {104348} {33215}}, {\ frac {208341} {66317}}, {\ frac {312689} {99532}}, {\ frac {833719} {265381} }, {\ frac {1146408} {364913}}, {\ frac {4272943} {1360120}}, {\ frac {5419351} {1725033}}}$

De todos esses, é a única fração nesta sequência que dá dígitos mais exatos de π (ou seja, 7) do que o número de dígitos necessários para aproximar (ou seja, 6). A precisão pode ser melhorada usando outras frações com numeradores e denominadores maiores, mas, para a maioria dessas frações, mais dígitos são necessários na aproximação do que algarismos significativos corretos obtidos no resultado.${\ displaystyle {\ frac {355} {113}}}$

Somando a área de um círculo

Pi pode ser obtido de um círculo se seu raio e área forem conhecidos usando a relação:

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2}.}$

Se um círculo com raio r for desenhado com seu centro no ponto (0, 0), qualquer ponto cuja distância da origem seja menor que r cairá dentro do círculo. O teorema de Pitágoras fornece a distância de qualquer ponto ( x ,  y ) ao centro:

${\ displaystyle d = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

O "papel gráfico" matemático é formado imaginando um quadrado 1 × 1 centrado em torno de cada célula ( x ,  y ), onde x e y são números inteiros entre - r e r . Quadrados cujo centro reside dentro ou exatamente na borda do círculo podem ser contados testando se, para cada célula ( x ,  y ),

${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq r.}$

O número total de células que satisfazem essa condição, portanto, se aproxima da área do círculo, que então pode ser usado para calcular uma aproximação de π . Aproximações mais próximas podem ser produzidas usando valores maiores de r .

Matematicamente, esta fórmula pode ser escrita:

${\ displaystyle \ pi = \ lim _ {r \ to \ infty} {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ sum _ {x = -r} ^ {r} \; \ sum _ {y = -r} ^ {r} {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq r \\ 0 & {\ text {if }} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}> r. \ end {casos}}}$

Em outras palavras, comece escolhendo um valor para r . Considere todas as células ( x ,  y ) nas quais x e y são inteiros entre - r e r . Começando em 0, adicione 1 para cada célula cuja distância até a origem (0,0) seja menor ou igual a r . Quando terminar, divida a soma, representando a área de um círculo de raio r , por r ² para encontrar a aproximação de π . Por exemplo, se r for 5, as células consideradas são:

(−5,5)	(−4,5)	(-3,5)	(-2,5)	(-1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(-3,4)	(-2,4)	(-1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(-3,3)	(-2,3)	(-1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(-3,2)	(-2,2)	(-1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(-4,1)	(-3,1)	(-2,1)	(-1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(-4,0)	(-3,0)	(-2,0)	(-1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5, −1)	(−4, −1)	(−3, −1)	(-2, -1)	(-1, -1)	(0, -1)	(1, -1)	(2, -1)	(3, -1)	(4, -1)	(5, -1)
(−5, −2)	(−4, −2)	(−3, −2)	(-2, -2)	(-1, -2)	(0, -2)	(1, -2)	(2, -2)	(3, -2)	(4, -2)	(5, -2)
(−5, −3)	(−4, −3)	(−3, −3)	(-2, -3)	(-1, -3)	(0, -3)	(1, -3)	(2, -3)	(3, -3)	(4, -3)	(5, -3)
(−5, −4)	(−4, −4)	(−3, −4)	(-2, -4)	(-1, -4)	(0, -4)	(1, −4)	(2, −4)	(3, −4)	(4, −4)	(5, -4)
(−5, −5)	(−4, −5)	(−3, −5)	(−2, −5)	(−1, −5)	(0, −5)	(1, −5)	(2, −5)	(3, −5)	(4, −5)	(5, −5)

As 12 células (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) estão exatamente no círculo e 69 células estão completamente dentro , então a área aproximada é 81, e π é calculado como aproximadamente 3,24 porque 81 ⁄ 5 ² = 3,24. Os resultados para alguns valores de r são mostrados na tabela abaixo:

r	área	aproximação de π
2	13	3,25
3	29	3,22222
4	49	3.0625
5	81	3,24
10	317	3,17
20	1257	3,1425
100	31417	3,1417
1000	3141549	3,141549

Para resultados relacionados, consulte O problema do círculo: número de pontos (x, y) na rede quadrada com x ^ 2 + y ^ 2 <= n .

Da mesma forma, as aproximações mais complexas de π dadas abaixo envolvem cálculos repetidos de algum tipo, produzindo aproximações cada vez mais próximas com o aumento do número de cálculos.

Frações contínuas

Além de sua representação de fração contínua simples [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1,  ...], que não exibe nenhum padrão discernível, π tem muitas representações de fração contínuas generalizadas geradas por uma regra simples, incluindo essas duas.

${\ displaystyle \ pi = {3 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {6+ \ ddots \,}}}}}}}}$

${\ displaystyle \ pi = {\ cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {3 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {5 + {\ cfrac {3 ^ {2} } {7 + \ ddots}}}}}}}}}$

(Outras representações estão disponíveis em The Wolfram Functions Site .)

Trigonometria

Série Gregory – Leibniz

A série Gregory – Leibniz

${\ displaystyle \ pi = 4 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 4 \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + - \ cdots \ right) \! = {\ Cfrac {4} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ ddots}}} }}}}}}$

é a série de potências para arctan (x) especializada ax  = 1. Converge muito lentamente para ter interesse prático. Porém, a série de potências converge muito mais rápido para valores menores de , o que leva a fórmulas onde surge como a soma de pequenos ângulos com tangentes racionais, conhecidas como fórmulas tipo Machin . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ pi}$

Arctangent

Sabendo que 4 arctan 1 = π , a fórmula pode ser simplificada para obter:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = 2 \ left (1 + {\ cfrac {1} {3}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4} {3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + { \ cfrac {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5} {3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9 \ cdot 11}} + \ cdots \ right) \\ & = 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {n!} {(2n + 1) !!}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {n + 1} n ! ^ {2}} {(2n + 1)!}} = \ Sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ cfrac {2 ^ {n + 1}} {{\ binom {2n} {n }} (2n + 1)}} \\ & = 2 + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {4} {15}} + {\ frac {4} {35}} + {\ frac {16} {315}} + {\ frac {16} {693}} + {\ frac {32} {3003}} + {\ frac {32} {6435}} + {\ frac {256} {109395 }} + {\ frac {256} {230945}} + \ cdots \ end {alinhado}}}$

com uma convergência tal que cada 10 termos adicionais produzam pelo menos mais três dígitos.

Outra fórmula para envolver a função arco tangente é dada por ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2 ^ {k + 1}}} = \ arctan {\ frac {\ sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}}, \ qquad \ qquad k \ geq 2,}$

onde tal isso . As aproximações podem ser feitas usando, por exemplo, a fórmula de Euler de convergência rápida${\ displaystyle a_ {k} = {\ sqrt {2 + a_ {k-1}}}}$${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle \ arctan (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}} \ ; {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(1 + x ^ {2}) ^ {n + 1}}}.}$

Alternativamente, a seguinte série de expansão simples da função arco tangente pode ser usada

${\ displaystyle \ arctan (x) = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {{\ frac {1} {2n-1}} {\ frac {{{a} _ {n}} \ esquerda (x \ direita)} {a_ {n} ^ {2} \ esquerda (x \ direita) + b_ {n} ^ {2} \ esquerda (x \ direita)}}},}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & a_ {1} (x) = 2 / x, \\ & b_ {1} (x) = 1, \\ & a_ {n} (x) = a_ {n-1} ( x) \, \ left (1-4 / x ^ {2} \ right) + 4b_ {n-1} (x) / x, \\ & b_ {n} (x) = b_ {n-1} (x ) \, \ left (1-4 / x ^ {2} \ right) -4a_ {n-1} (x) / x, \ end {alinhado}}}$

para aproximar com uma convergência ainda mais rápida. A convergência nesta fórmula de arco tangente melhora à medida que o número inteiro aumenta. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle k}$

A constante também pode ser expressa pela soma infinita de funções arco-tangentes como ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ arctan {\ frac {1} {F_ {2n + 1}}} = \ arctan {\ frac {1} {1}} + \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {5}} + \ arctan {\ frac {1} {13}} + \ cdots }$

e

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {k \ geq 2} \ arctan {\ frac {\ sqrt {2-a_ {k-1}}} {a_ {k}}} ,}$

onde é o n -ésimo número de Fibonacci . No entanto, essas duas fórmulas para são muito mais lentas na convergência por causa do conjunto de funções do arco-tangente que estão envolvidas na computação. ${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle \ pi}$

Arcsine

Observando um triângulo equilátero e observando que

${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {6}} \ right) = {\ frac {1} {2}}}$

rendimentos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ pi & = 6 \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 6 \ left ({\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 2 ^ {3}}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4 \ cdot 5 \ cdot 2 ^ {5}}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 7 \ cdot 2 ^ {7}}} + \ cdots \! \ right) \\ & = {\ frac {3 } {16 ^ {0} \ cdot 1}} + {\ frac {6} {16 ^ {1} \ cdot 3}} + {\ frac {18} {16 ^ {2} \ cdot 5}} + { \ frac {60} {16 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \! = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {3 \ cdot {\ binom {2n} {n }}} {16 ^ {n} (2n + 1)}} \\ & = 3 + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {9} {640}} + {\ frac {15} {7168}} + {\ frac {35} {98304}} + {\ frac {189} {2883584}} + {\ frac {693} {54525952}} + {\ frac {429} {167772160}} + \ cdots \ end {alinhados}}}$

com uma convergência tal que cada cinco termos adicionais produzam pelo menos mais três dígitos.

Métodos de extração de dígitos

A fórmula de Bailey – Borwein – Plouffe (BBP) para calcular π foi descoberta em 1995 por Simon Plouffe. Usando matemática de base 16 , a fórmula pode calcular qualquer dígito particular de π - retornando o valor hexadecimal do dígito - sem ter que calcular os dígitos intermediários (extração de dígitos).

${\ displaystyle \ pi = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4} {8n + 1}} - {\ frac {2} {8n + 4}} - {\ frac {1} {8n + 5}} - {\ frac {1} {8n + 6}} \ right) \ left ({\ frac {1} {16}} \ right) ^ {n}}$

Em 1996, Simon Plouffe derivado de um algoritmo para extrair o n ° de dígitos decimais de π (utilizando uma base  10 matemática para extrair uma base de  dígito 10), e que pode fazê-lo com uma velocidade melhorada de O ( N ³ (registo n ) ³ ) Tempo. O algoritmo não requer virtualmente nenhuma memória para o armazenamento de uma matriz ou matriz, portanto, o milionésimo dígito de π pode ser calculado usando uma calculadora de bolso. No entanto, seria muito tedioso e impraticável fazer isso.

${\ displaystyle \ pi + 3 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n2 ^ {n} n! ^ {2}} {(2n)!}}}$

A velocidade de cálculo da fórmula de Plouffe foi aprimorada para O ( n ² ) por Fabrice Bellard , que derivou uma fórmula alternativa (embora apenas na  matemática de base 2) para calcular π .

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ { 10n}}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n +1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2}} { 10n + 7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right)}$

Métodos eficientes

Muitas outras expressões para π foram desenvolvidas e publicadas pelo matemático indiano Srinivasa Ramanujan . Ele trabalhou com o matemático Godfrey Harold Hardy na Inglaterra por vários anos.

Expansões decimais extremamente longas de π são normalmente calculadas com o algoritmo de Gauss-Legendre e o algoritmo de Borwein ; o algoritmo Salamin-Brent , que foi inventado em 1976, também foi usado.

Em 1997, David H. Bailey , Peter Borwein e Simon Plouffe publicaram um artigo (Bailey, 1997) sobre uma nova fórmula para π como uma série infinita :

${\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right).}$

Esta fórmula permite calcular facilmente o k- ésimo dígito binário ou hexadecimal de π , sem ter que calcular os k  - 1 dígitos anteriores. O site de Bailey contém a derivação, bem como implementações em várias linguagens de programação . O projeto PiHex calculou 64 bits em torno do quadrilionésimo bit de π (que acabou sendo 0).

Fabrice Bellard melhorou ainda mais o BBP com sua fórmula :

${\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {2 ^ {6}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{(-1)} ^ {n}} {2 ^ {10n}}} \ left (- {\ frac {2 ^ {5}} {4n + 1}} - {\ frac {1} {4n + 3}} + {\ frac {2 ^ {8}} {10n + 1}} - {\ frac {2 ^ {6}} {10n + 3}} - {\ frac {2 ^ {2}} {10n + 5}} - {\ frac {2 ^ {2} } {10n + 7}} + {\ frac {1} {10n + 9}} \ right)}$

Outras fórmulas que foram usadas para calcular estimativas de π incluem:

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = \ sum _ { k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {k} k! ^ {2}} {(2k + 1)!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} \ left ( 1 + {\ frac {2} {5}} \ left (1 + {\ frac {3} {7}} \ left (1+ \ cdots \ right) \ right) \ right)}$

Newton .

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}}} {9801}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 4k)! (1103 + 26390k)} {(k!) ^ {4} 396 ^ {4k}}}}$

Srinivasa Ramanujan .

Isso converge extraordinariamente rápido. O trabalho de Ramanujan é a base para os algoritmos mais rápidos usados, a partir da virada do milênio, para calcular π .

Em 1988, David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky encontraram uma série de convergência ainda mais rápida (o algoritmo de Chudnovsky ):

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {1} {426880 {\ sqrt {10005}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( 6k)! (13591409 + 545140134k)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640320) ^ {3k}}}}$.

A velocidade de vários algoritmos para calcular pi para n dígitos corretos é mostrada abaixo em ordem decrescente de complexidade assintótica. M (n) é a complexidade do algoritmo de multiplicação empregado.

Algoritmo	Ano	Complexidade de tempo ou velocidade
Algoritmo de Gauss-Legendre	1975	${\ displaystyle O (M (n) \ log (n))}$
Algoritmo de Chudnovsky	1988	${\ displaystyle O (n \ log (n) ^ {3})}$
Divisão binária da série arctan na fórmula de Machin		${\ displaystyle O (M (n) (\ log n) ^ {2})}$
Fórmula de Leibniz para π	Década de 1300	Convergência sublinear. Cinco bilhões de termos para 10 casas decimais corretas

Projetos

Pi Hex

Pi Hex era um projeto para calcular três dígitos binários específicos de π usando uma rede distribuída de várias centenas de computadores. Em 2000, depois de dois anos, o projeto terminou de computar o cinco trilionésimo (5 * 10 ¹² ), o quarenta trilionésimo e o quatrilionésimo (10 ¹⁵ ) bits. Todos os três acabaram sendo 0.

Software para calcular π

Ao longo dos anos, vários programas foram escritos para calcular π para muitos dígitos em computadores pessoais .

Propósito geral

A maioria dos sistemas de álgebra de computador pode calcular π e outras constantes matemáticas comuns com qualquer precisão desejada.

Funções para calcular π também estão incluídas em muitas bibliotecas gerais para aritmética de precisão arbitrária , por exemplo Class Library for Numbers , MPFR e SymPy .

Propósito especial

Os programas projetados para calcular π podem ter um desempenho melhor do que os softwares matemáticos de uso geral. Eles normalmente implementam pontos de verificação e troca de disco eficiente para facilitar cálculos de execução extremamente longa e com alto custo de memória.

• TachusPi de Fabrice Bellard é o programa usado por ele mesmo para calcular o número recorde mundial de dígitos de pi em 2009.
• y -cruncherde Alexander Yee é o programa que todos os detentores de recorde mundial desde Shigeru Kondo em 2010 têm usado para calcularnúmeros de dígitos de recorde mundial. O y-cruncher também pode ser usado para calcular outras constantes e mantém os recordes mundiais de várias delas.
• PiFast de Xavier Gourdon foi o programa mais rápido para Microsoft Windows em 2003. De acordo com seu autor, ele pode computar um milhão de dígitos em 3,5 segundos em um Pentium 4 de 2,4 GHz . PiFast também pode calcular outros números irracionais como e e √ 2 . Ele também pode funcionar com menor eficiência com muito pouca memória (até algumas dezenas de megabytes para computar bem mais de um bilhão (10 ⁹ ) de dígitos). Esta ferramenta é uma referência popular na comunidade de overclocking . PiFast 4.4 está disponível na página Pi de Stu . PiFast 4.3 está disponível na página de Gourdon.
• QuickPi de Steve Pagliarulo para Windows é mais rápido do que PiFast para execuções de menos de 400 milhões de dígitos. A versão 4.5 está disponível na página Pi de Stu abaixo. Como PiFast, QuickPi também pode calcular outros números irracionais como e , √ 2 e √ 3 . O software pode ser obtido em Pi-Hacks Yahoo! fórum ou da página Pi de Stu .
• Super PI do Kanada Laboratory da Universidade de Tóquio é o programa para Microsoft Windows para execuções de 16.000 a 33.550.000 dígitos. Ele pode computar um milhão de dígitos em 40 minutos, dois milhões de dígitos em 90 minutos e quatro milhões de dígitos em 220 minutos em um Pentium 90 MHz. Super PI versão 1.9 está disponível na página Super PI 1.9 .

Veja também

• Milü

Notas

Referências

• Bailey, David H .; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (abril de 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF) . Matemática da Computação . 66 (218): 903–913. Bibcode : 1997MaCom..66..903B . doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9 .
• Beckmann, Petr (1971). Uma História de π . Nova York: St. Martin's Press. ISBN 978-0-88029-418-8. MR  0449960 .
• Eves, Howard (1992). Uma Introdução à História da Matemática (6ª ed.). Publicação do Saunders College. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., Londres: Penguin ed.). Londres: Penguin. ISBN 978-0-14-027778-4.
• Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pirâmide: além da imaginação. Dentro da Grande Pirâmide de Gizé . Londres: BBC.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (2004). Pi: um livro de referência (3ª ed.). Nova York: Springer Science + Business Media LLC. ISBN 978-1-4757-4217-6.