Madhava de Sangamagrama - Madhava of Sangamagrama

Madhava de Sangamagrama
ഇരിഞ്ഞാറ്റപ്പിള്ളി മാധവൻ നമ്പൂതിരി
Nascer c.  1340 (ou c.  1350 )
Faleceu c.  14: 25h
Nacionalidade indiano
Ocupação Astrônomo - matemático
Conhecido por Descoberta da série de potências
Expansões de trigonométricas seno , Cosine e Arctangent funções
série infinita fórmulas da soma para π
Trabalho notável
Golavāda , Madhyāmanayanaprakāra , Veṇvāroha , Sphuṭacandrāpti
Título Golavid (Mestre em Esféricas)

Iriññāttappiḷḷi Mādhavan Nampūtiri conhecido como Mādhava de Sangamagrāma ( c.  1340  - c.  1425 ) foi um matemático e astrônomo hindu da cidade que se acredita ser a atual Kallettumkara, Aloor Panchayath , Irinjalakuda no distrito de Thrissur , Kerala , Índia. Ele é considerado o fundador da escola de astronomia e matemática de Kerala . Um dos maiores matemáticos-astrônomos da Idade Média , Madhava fez contribuições pioneiras para o estudo de séries infinitas , cálculo , trigonometria , geometria e álgebra . Ele foi o primeiro a usar aproximações de séries infinitas para uma gama de funções trigonométricas, que tem sido chamada de "passo decisivo para a frente dos procedimentos finitos da matemática antiga para tratar sua passagem limite para o infinito ".

Alguns estudiosos também sugeriram que o trabalho de Madhava, por meio dos escritos da escola de Kerala, foi transmitido para a Europa por meio de missionários e comerciantes jesuítas que atuavam em torno do antigo porto de Muziris na época. Como resultado, pode ter influenciado os desenvolvimentos europeus posteriores em análise e cálculo.

Historiografia

Embora haja alguma evidência de trabalho matemático em Kerala antes de Madhava ( por exemplo , Sadratnamala c. 1300, um conjunto de resultados fragmentários), é claro pelas citações que Madhava forneceu o impulso criativo para o desenvolvimento de uma rica tradição matemática em Kerala medieval . No entanto, exceto por alguns, a maioria das obras originais de Madhava foram perdidas. Ele é referido na obra de matemáticos Kerala subseqüentes, particularmente em Nilakantha Somayaji 's Tantrasangraha (c. 1500), como fonte para várias expansões em séries infinitas, incluindo sin θ e arctan θ . O texto do século 16 Mahajyānayana prakāra (Método de Computação dos Grandes Senos ) cita Madhava como a fonte para várias derivações em série para π. No Yuktibhāṣā de Jyeṣṭhadeva (c. 1530), escrito em Malayalam , essas séries são apresentadas com provas em termos de expansões da série de Taylor para polinômios como 1 / (1+ x 2 ), com x = tan  θ , etc.

Assim, o que é explicitamente o trabalho de Madhava é fonte de algum debate. O Yukti-dipika (também chamado de Tantrasangraha-vyakhya ), possivelmente composto por Sankara Variyar , um estudante de Jyeṣṭhadeva, apresenta várias versões das expansões em série para sin θ , cos θ e arctan θ , bem como alguns produtos com raio e arclength, a maioria das versões que aparecem em Yuktibhāṣā. Para aqueles que não o fazem, Rajagopal e Rangachari argumentaram, citando extensamente o sânscrito original, que, uma vez que alguns deles foram atribuídos por Nilakantha a Madhava, algumas das outras formas também podem ser obra de Madhava.

Outros especularam que o texto inicial Karanapaddhati (c. 1375–1475) ou o prakāra Mahajyānayana foi escrito por Madhava, mas isso é improvável.

Karanapaddhati , junto com o texto matemático Keralite ainda anterior Sadratnamala , bem como o Tantrasangraha e Yuktibhāṣā , foram considerados em um artigo de 1834 por Charles Matthew Whish , que foi o primeiro a chamar a atenção para sua prioridade sobre Newton na descoberta do Fluxão (nome de Newton para diferenciais). Em meados do século 20, o estudioso russo Jushkevich revisitou o legado de Madhava e uma visão abrangente da escola de Kerala foi fornecida por Sarma em 1972.

Linhagem

Explicação da regra do seno em Yuktibhāṣā

Existem vários astrônomos conhecidos que precederam Madhava, incluindo Kǖţalur Kizhār (século 2), Vararuci (século 4) e Sankaranarayana (866 DC). É possível que outras figuras desconhecidas o tenham precedido. No entanto, temos um registro mais claro da tradição após Madhava. Parameshvara era um discípulo direto. De acordo com um manuscrito em folha de palmeira de um comentário em Malayalam sobre o Surya Siddhanta , o filho de Parameswara, Damodara (c. 1400–1500), tinha Nilakantha Somayaji como um de seus discípulos. Jyeshtadeva era um discípulo de Nilakantha. Achyuta Pisharati de Trikkantiyur é mencionado como discípulo de Jyeṣṭhadeva, e o gramático Melpathur Narayana Bhattathiri como seu discípulo.

Contribuições

Se considerarmos a matemática como uma progressão de processos finitos de álgebra para considerações do infinito, então os primeiros passos em direção a essa transição normalmente vêm com expansões de séries infinitas. É essa transição para a série infinita que é atribuída a Madhava. Na Europa, a primeira dessas séries foi desenvolvida por James Gregory em 1667. O trabalho de Madhava é notável pela série, mas o que é realmente notável é sua estimativa de um termo de erro (ou termo de correção). Isso implica que ele entendeu muito bem a natureza limite da série infinita. Assim, Madhava pode ter inventado as idéias subjacentes às expansões em série infinita de funções, séries de potências , séries trigonométricas e aproximações racionais de séries infinitas.

No entanto, como afirmado acima, quais resultados são precisamente de Madhava e quais são os de seus sucessores é difícil de determinar. O seguinte apresenta um resumo dos resultados que foram atribuídos a Madhava por vários estudiosos.

Série infinita

Entre suas muitas contribuições, ele descobriu séries infinitas para as funções trigonométricas de seno , cosseno , arco-tangente e muitos métodos para calcular a circunferência de um círculo . Uma das séries de Madhava é conhecida pelo texto Yuktibhāṣā , que contém a derivação e a prova da série de potências para a tangente inversa , descoberta por Madhava. No texto, Jyeṣṭhadeva descreve a série da seguinte maneira:

O primeiro termo é o produto do seno e do raio do arco desejado dividido pelo cosseno do arco. Os termos sucessivos são obtidos por um processo de iteração, quando o primeiro termo é repetidamente multiplicado pelo quadrado do seno e dividido pelo quadrado do cosseno. Todos os termos são então divididos pelos números ímpares 1, 3, 5, .... O arco é obtido pela adição e subtração dos termos ímpares e pares, respectivamente. É estabelecido que o seno do arco ou o de seu complemento, o que for menor, deve ser tomado aqui como o seno dado. Caso contrário, os termos obtidos por esta iteração acima não tenderão à magnitude de desaparecimento.

Isso produz:

ou equivalente:

Esta série é a série de Gregory (em homenagem a James Gregory , que a redescobriu três séculos depois de Madhava). Mesmo se considerarmos esta série particular como o trabalho de Jyeṣṭhadeva , ela seria anterior a Gregório em um século, e certamente outras séries infinitas de natureza semelhante foram elaboradas por Madhava. Hoje, é conhecido como a série Madhava-Gregory-Leibniz.

Trigonometria

Madhava compôs uma tabela precisa de senos . Marcando um quarto de círculo em vinte e quatro intervalos iguais, ele deu os comprimentos do meio-acorde (senos) correspondente a cada um deles. Acredita-se que ele possa ter calculado esses valores com base nas expansões da série:

pecar q = q - q 3 /3! + Q 5 / os 5! - q 7 /7! + ...
cos q = 1 - q 2 /2! + Q 4 /4! - q 6 /6! + ...

O valor de π (pi)

O trabalho de Madhava sobre o valor da constante matemática Pi é citado no Mahajyānayana prakāra ("Métodos para os grandes seios"). Embora alguns estudiosos como Sarma sintam que este livro pode ter sido composto pelo próprio Madhava, é mais provável que seja o trabalho de um sucessor do século XVI. Este texto atribui a maioria das expansões a Madhava e dá a seguinte expansão em série infinita de π , agora conhecida como série Madhava-Leibniz :

que ele obteve da expansão em série de potências da função arco-tangente. No entanto, o que é mais impressionante é que ele também deu um termo de correção R n para o erro após calcular a soma até n termos, a saber:

R n = (−1) n / (4 n ), ou
R n = (−1) nn / (4 n 2 + 1), ou
R n = (−1) n ⋅ ( n 2 + 1) / (4 n 3 + 5 n ),

onde a terceira correção leva a cálculos altamente precisos de π.

Há muito se especula como Madhava encontrou esses termos de correção. Eles são os três primeiros convergentes de uma fração contínua finita, que, quando combinada com a série original de Madhava avaliada em n termos, produz cerca de 3 n / 2 dígitos corretos:

O valor absoluto do termo de correção na próxima ordem superior é

| R n | = (4 n 3 + 13 n ) / (16 n 4 + 56 n 2 + 9).

Ele também deu uma série de convergência mais rápida ao transformar a série infinita original de π, obtendo a série infinita

Usando os primeiros 21 termos para calcular uma aproximação de π, ele obtém um valor correto para 11 casas decimais (3,14159265359). O valor de 3,1415926535898, correto para 13 decimais, às vezes é atribuído a Madhava, mas pode ser devido a um de seus seguidores. Essas foram as aproximações mais precisas de π fornecidas desde o século V (ver História das aproximações numéricas de π ).

O texto Sadratnamala parece fornecer o valor surpreendentemente preciso de π = 3,14159265358979324 (correto para 17 casas decimais). Com base nisso, R. Gupta sugeriu que este texto também foi composto por Madhava.

Madhava também realizou investigações em outras séries para comprimentos de arco e as aproximações associadas a frações racionais de π, encontrou métodos de expansão polinomial , descobriu testes de convergência de séries infinitas e a análise de frações contínuas infinitas . Ele também descobriu as soluções de equações transcendentais por iteração e encontrou a aproximação dos números transcendentais por frações contínuas.

Cálculo

Madhava lançou as bases para o desenvolvimento do cálculo , que foram posteriormente desenvolvidas por seus sucessores na escola de astronomia e matemática de Kerala . (Certas idéias de cálculo eram conhecidas por matemáticos anteriores .) Madhava também estendeu alguns resultados encontrados em trabalhos anteriores, incluindo os de Bhāskara II . É incerto, entretanto, se alguma dessas idéias foi transmitida ao Ocidente, onde o cálculo foi desenvolvido independentemente por Isaac Newton e Leibniz .

Obras de Madhava

K. V. Sarma identificou Madhava como a autora das seguintes obras:

  1. Golavada
  2. Madhyamanayanaprakara
  3. Mahajyanayanaprakara (Método de Computação dos Grandes Senos )
  4. Lagnaprakarana ( लग्नप्रकरण )
  5. Venvaroha ( वेण्वारोह )
  6. Sphutacandrapti ( स्फुटचन्द्राप्ति )
  7. Aganita-grahacara ( अगणित-ग्रहचार )
  8. Chandravakyani ( चन्द्रवाक्यानि ) (Tabela dos mnemônicos lunares)

Escola de Astronomia e Matemática de Kerala

A escola de astronomia e matemática de Kerala floresceu por pelo menos dois séculos além de Madhava. Em Jyeṣṭhadeva encontramos a noção de integração, denominada sankalitam , (lit. coleção), como na declaração:

ekadyekothara pada sankalitam samam padavargathinte pakuti ,

que se traduz como a integral de uma variável ( pada ) é igual a metade dessa variável ao quadrado ( varga ); isto é, a integral de x dx é igual ax 2 / 2. Isso é claramente um início para o processo de cálculo integral . Um resultado relacionado afirma que a área sob uma curva é sua integral . Muitos desses resultados são anteriores a resultados semelhantes na Europa em vários séculos. Em muitos sentidos, o Yuktibhāṣā de Jyeshthadeva pode ser considerado o primeiro texto de cálculo do mundo .

O grupo também fez muitos outros trabalhos em astronomia; na verdade, muito mais páginas são desenvolvidas para cálculos astronômicos do que para discutir resultados relacionados à análise.

A escola de Kerala também contribuiu muito para a linguística (a relação entre linguagem e matemática é uma tradição indiana antiga, veja Katyayana ). As tradições ayurvédicas e poéticas de Kerala também podem ser rastreadas até esta escola. O famoso poema, Narayaneeyam , foi composto por Narayana Bhattathiri .

Influência

Madhava foi chamado de "o maior matemático-astrônomo da Índia medieval", ou como "o fundador da análise matemática; algumas de suas descobertas neste campo mostram que ele possuía uma intuição extraordinária". O'Connor e Robertson afirmam que uma avaliação justa de Madhava é que ele deu o passo decisivo em direção à análise clássica moderna.

Possível propagação para a Europa

A escola de Kerala foi bem conhecida nos séculos XV e XVI, no período do primeiro contacto com navegadores europeus na Costa do Malabar . Na época, o porto de Muziris , perto de Sangamagrama , era um importante centro de comércio marítimo, e vários missionários e comerciantes jesuítas atuavam nesta região. Dada a fama da escola de Kerala e o interesse demonstrado por alguns dos grupos jesuítas durante este período na bolsa local, alguns estudiosos, incluindo G. Joseph da U. Manchester sugeriram que os escritos da escola de Kerala também podem ter sido transmitido para a Europa nessa época, ainda cerca de um século antes de Newton.

Veja também

Referências

links externos