Arquimedes - Archimedes

Arquimedes de Siracusa
Ἀρχιμήδης
Uma pintura de um homem mais velho intrigado com problemas geométricos
Arquimedes pensativo,
de Domenico Fetti (1620)
Nascer c.  287  a.C.
Faleceu c.  212  AC (com aproximadamente 75 anos)
Siracusa, Sicília, Magna Graecia
Conhecido por
Carreira científica
Campos Matemática
Física
Engenharia
Astronomia
Mecânica
Influências Eudoxus
Influenciado Apolônio,
herói
Pappus
Eutocius

Arquimedes de Siracusa ( / ˌ ɑr k ɪ m i d i z / ; do grego : Ἀρχιμήδης ; dórico grego[ar.kʰi.mɛː.dɛːs] ; . C  287  . - c  212  aC ) foi um grego matemático , físico , engenheiro , astrônomo e inventor . Embora sejam conhecidos alguns detalhes de sua vida, ele é considerado como um dos principais cientistas na antiguidade clássica . Considerado o maior matemático da história antiga e um dos maiores de todos os tempos, Arquimedes antecipou o cálculo e a análise modernos aplicando o conceito do infinitamente pequeno e o método da exaustão para derivar e provar rigorosamente uma gama de teoremas geométricos , incluindo : a área de um círculo ; a área de superfície e o volume de uma esfera ; área de uma elipse ; a área sob uma parábola ; o volume de um segmento de um parabolóide de revolução ; o volume de um segmento de um hiperbolóide de revolução ; e a área de uma espiral .

Suas outras realizações matemáticas incluem derivar uma aproximação precisa de pi ; definir e investigar a espiral que agora leva seu nome ; e conceber um sistema usando exponenciação para expressar números muito grandes . Ele também foi um dos primeiros a aplicar a matemática aos fenômenos físicos , fundando a hidrostática e a estática . As realizações de Arquimedes nesta área incluem uma prova do princípio da alavanca , o uso generalizado do conceito de centro de gravidade e a enunciação da lei da flutuabilidade . Ele também é creditado por projetar máquinas inovadoras , como sua bomba de parafuso , polias compostas e máquinas de guerra defensivas para proteger sua Syracuse nativa da invasão.

Arquimedes morreu durante o cerco de Siracusa , onde foi morto por um soldado romano, apesar das ordens de não ser ferido. Cícero descreve a visita ao túmulo de Arquimedes, que era encimado por uma esfera e um cilindro , que Arquimedes havia pedido que fossem colocados em seu túmulo para representar suas descobertas matemáticas.

Ao contrário de suas invenções, os escritos matemáticos de Arquimedes eram pouco conhecidos na Antiguidade. Matemáticos de Alexandria o leram e citaram, mas a primeira compilação abrangente não foi feita até c.  530  DC por Isidoro de Mileto em Constantinopla Bizantina , enquanto comentários sobre as obras de Arquimedes escritas por Eutocius no século 6 DC os abriram para um público mais amplo pela primeira vez. As relativamente poucas cópias da obra escrita de Arquimedes que sobreviveram até a Idade Média foram uma fonte influente de ideias para cientistas durante a Renascença e novamente no século 17 , enquanto a descoberta em 1906 de obras até então desconhecidas de Arquimedes no Palimpsesto de Arquimedes forneceu novos insights sobre como ele obteve resultados matemáticos.

Biografia

A Morte de Arquimedes (1815) por Thomas Degeorge

Arquimedes nasceu c. 287 aC na cidade portuária de Siracusa , na Sicília , na época uma colônia autônoma na Magna Grécia . A data de nascimento é baseada em uma declaração do historiador grego bizantino João Tzetzes de que Arquimedes viveu 75 anos antes de sua morte em 212 aC. No Sand-Reckoner , Arquimedes dá o nome de seu pai como Fídias, um astrônomo sobre o qual nada mais se sabe. Uma biografia de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heracleides, mas esta obra se perdeu, deixando os detalhes de sua vida obscuros. Não se sabe, por exemplo, se ele já se casou ou teve filhos, ou se alguma vez visitou Alexandria , no Egito, durante sua juventude. A partir de suas obras escritas que sobreviveram, é claro que ele manteve relações colegiais com estudiosos lá baseados, incluindo seu amigo Conon de Samos e o bibliotecário-chefe Eratóstenes de Cirene .

As versões padrão da vida de Arquimedes foram escritas muito depois de sua morte por historiadores gregos e romanos. A referência mais antiga a Arquimedes ocorre em As Histórias de Políbio ( c. 200-118 aC), escrita cerca de setenta anos após sua morte. Ele lança pouca luz sobre Arquimedes como pessoa e se concentra nas máquinas de guerra que ele teria construído para defender a cidade dos romanos. Políbio comenta como, durante a Segunda Guerra Púnica , Siracusa mudou de aliança de Roma para Cartago , resultando em uma campanha militar para tomar a cidade sob o comando de Marcus Claudius Marcellus e Appius Claudius Pulcher , que durou de 213 a 212 AC. Ele observa que os romanos subestimaram as defesas de Siracusa e menciona várias máquinas projetadas por Arquimedes, incluindo catapultas aprimoradas, máquinas semelhantes a guindastes que podiam girar em arco e atiradores de pedra. Embora os romanos tenham conquistado a cidade, eles sofreram perdas consideráveis ​​devido à inventividade de Arquimedes.

Cícero Descobrindo a Tumba de Arquimedes (1805) por Benjamin West

Cícero (106–43 aC) menciona Arquimedes em algumas de suas obras. Enquanto servia como questor na Sicília, Cícero encontrou o que se presumia ser a tumba de Arquimedes perto do portão Agrigentino em Siracusa, em uma condição negligenciada e coberta de arbustos. Cícero limpou a tumba e pôde ver a escultura e ler alguns dos versos que foram acrescentados como inscrição. A tumba carregava uma escultura ilustrando a prova matemática favorita de Arquimedes , de que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços do cilindro, incluindo suas bases. Ele também menciona que Marcelo trouxe para Roma dois planetários construídos por Arquimedes. O historiador romano Tito Lívio (59 aC-17 dC) reconta a história de Políbio sobre a captura do papel de Siracusa e Arquimedes nela.

Plutarco (45-119 DC) escreveu em suas Vidas Paralelas que Arquimedes era parente do Rei Hiero II , governante de Siracusa. Ele também fornece pelo menos dois relatos sobre como Arquimedes morreu depois que a cidade foi tomada. De acordo com o relato mais popular, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou-lhe que viesse ao encontro de Marcelo, mas ele recusou, dizendo que precisava terminar de trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso e matou Arquimedes com sua espada. Outra história mostra Arquimedes carregando instrumentos matemáticos antes de ser morto porque um soldado pensou que eles eram itens valiosos. Marcelo teria ficado furioso com a morte de Arquimedes, por considerá-lo um recurso científico valioso (ele chamou Arquimedes de "um Briareus geométrico ") e ordenou que ele não fosse ferido.

As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não perturbe meus círculos" ( latim , " Noli turbare circulos meos "; Katharevousa grego , "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε"), uma referência aos círculos no desenho matemático que ele supostamente estava estudando quando perturbado pelo soldado romano. Não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou essas palavras e elas não aparecem no relato de Plutarco. Uma citação semelhante é encontrada na obra de Valerius Maximus (fl. 30 DC), que escreveu em Memorable Doings and Sayings " ... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare' " ("... mas protegendo o pó com as mãos, disse 'eu imploro, não perturbe isso ' ").

Descobertas e invenções

Princípio de Arquimedes

Uma barra de metal, colocada em um recipiente com água em uma balança, desloca tanta água quanto seu próprio volume , aumentando a massa do conteúdo do recipiente e pesando na balança.

A anedota mais conhecida sobre Arquimedes conta como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma irregular. De acordo com Vitrúvio , uma coroa votiva para um templo foi feita para o rei Hiero II de Siracusa , que forneceu o ouro puro para ser usado; Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma prata havia sido substituída pelo ourives desonesto. Arquimedes teve que resolver o problema sem danificar a coroa, então ele não poderia derretê-la em um corpo de forma regular para calcular sua densidade .

No relato de Vitrúvio, Arquimedes notou enquanto tomava banho que o nível da água na banheira subia conforme ele entrava, e percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa. Para fins práticos, a água é incompressível, de modo que a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da coroa pelo volume de água deslocado, a densidade da coroa pode ser obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais baratos e menos densos fossem adicionados. Arquimedes saiu então nu para as ruas, tão empolgado com a descoberta que se esquecera de se vestir, gritando " Eureca !" ( Grego : "εὕρηκα , heúrēka !, Lit. 'Eu encontrei [isso]!'). O teste na coroa foi conduzido com sucesso, provando que a prata realmente tinha sido misturada.

A história da coroa de ouro não aparece em nenhuma parte das obras conhecidas de Arquimedes. A praticidade do método que descreve foi questionada devido à extrema precisão que seria necessária ao medir o deslocamento de água . Em vez disso, Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido na hidrostática como princípio de Arquimedes , que ele descreve em seu tratado Sobre corpos flutuantes . Este princípio afirma que um corpo imerso em um fluido experimenta uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca. Usando esse princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa com a do ouro puro, equilibrando a coroa em uma balança com uma amostra de referência de ouro puro do mesmo peso e, em seguida, mergulhando o aparelho em água. A diferença na densidade entre as duas amostras faria com que a escala se inclinasse de acordo. Galileo Galilei , que em 1586 inventou uma balança hidrostática para pesar metais no ar e na água inspirada na obra de Arquimedes, considerou "provável que esse método seja o mesmo que Arquimedes seguiu, pois, além de muito preciso, é baseado em demonstrações. encontrado pelo próprio Arquimedes. "

Influência

Em um texto do século 12 intitulado Mappae clavicula, há instruções sobre como fazer as pesagens na água para calcular a porcentagem de prata usada e resolver o problema. O poema latino Carmen de ponderibus et mensuris do século IV ou V descreve o uso de uma balança hidrostática para resolver o problema da coroa e atribui o método a Arquimedes.

Parafuso de Arquimedes

O parafuso de Arquimedes pode elevar a água de forma eficiente.

Uma grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia provavelmente surgiu do atendimento às necessidades de sua cidade natal, Siracusa . O escritor grego Ateneu de Naucratis descreveu como o rei Hiero II encarregou Arquimedes de projetar um enorme navio, o Syracusia , que poderia ser usado para viagens de luxo, transporte de suprimentos e como um navio de guerra naval . O siracusia se diz ter sido o maior navio construído em antiguidade clássica . De acordo com Ateneu, era capaz de transportar 600 pessoas e incluía decoração de jardim, um ginásio e um templo dedicado à deusa Afrodite entre suas instalações. Como um navio desse tamanho vazaria uma quantidade considerável de água pelo casco, o parafuso de Arquimedes foi desenvolvido supostamente para remover a água do porão. A máquina de Arquimedes era um dispositivo com uma lâmina giratória em forma de parafuso dentro de um cilindro. Ele era girado à mão e também podia ser usado para transferir água de um corpo d'água baixo para canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes ainda é usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados, como carvão e grãos. O parafuso de Arquimedes descrito na época romana por Vitrúvio pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que era usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia . O primeiro navio a vapor do mundo com uma hélice de parafuso foi o SS Archimedes , que foi lançado em 1839 e batizado em homenagem a Arquimedes e seu trabalho no parafuso.

Garra de Arquimedes

A Garra de Arquimedes é uma arma que ele teria projetado para defender a cidade de Siracusa. Também conhecido como "o sacudidor do navio", a garra consistia em um braço semelhante a um guindaste, no qual um grande gancho de metal estava suspenso. Quando a garra era jogada em um navio de ataque, o braço balançava para cima, levantando o navio da água e possivelmente afundando-o. Houve experimentos modernos para testar a viabilidade da garra e, em 2005, um documentário de televisão intitulado Superweapons of the Ancient World construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo funcional.

Raio de calor

Arquimedes pode ter usado espelhos agindo coletivamente como um refletor parabólico para queimar navios que atacavam Siracusa .
Interpretação artística do espelho de Arquimedes usado para queimar navios romanos. Pintura de Giulio Parigi , c. 1599.

Arquimedes pode ter usado espelhos atuando coletivamente como um refletor parabólico para queimar navios que atacavam Siracusa. O autor do século II DC, Luciano, escreveu que durante o cerco de Siracusa (c. 214–212 aC), Arquimedes destruiu navios inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Tralles menciona os óculos de fogo como a arma de Arquimedes. O dispositivo, às vezes chamado de "raio de calor de Arquimedes", era usado para focar a luz do sol em navios que se aproximavam, fazendo com que pegassem fogo. Na era moderna, dispositivos semelhantes foram construídos e podem ser chamados de heliostático ou forno solar .

Essa suposta arma tem sido objeto de debate contínuo sobre sua credibilidade desde a Renascença . René Descartes rejeitou-o como falso, enquanto os pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito usando apenas os meios que estariam disponíveis para Arquimedes. Foi sugerido que uma grande variedade de escudos de bronze ou cobre altamente polidos atuando como espelhos poderiam ter sido empregados para focar a luz do sol em um navio.

Testes modernos

Um teste do raio de calor de Arquimedes foi realizado em 1973 pelo cientista grego Ioannis Sakkas. O experimento aconteceu na base naval de Skaramagas nos arredores de Atenas . Nessa ocasião, foram usados ​​70 espelhos, cada um com um revestimento de cobre e um tamanho de cerca de 5 por 3 pés (1,52 m × 0,91 m). Os espelhos foram apontados para uma maquete de madeira compensada de um navio de guerra romano a uma distância de cerca de 160 pés (49 m). Quando os espelhos foram focalizados com precisão, a nave explodiu em chamas em poucos segundos. O navio de madeira compensada tinha uma camada de tinta de alcatrão , que pode ter auxiliado na combustão. Uma camada de alcatrão teria sido comum em navios da era clássica.

Em outubro de 2005, um grupo de estudantes do Instituto de Tecnologia de Massachusetts realizou um experimento com 127 ladrilhos de espelho de um pé (30 cm) quadrado, focado em um modelo de navio de madeira a um alcance de cerca de 100 pés (30 m). As chamas irromperam em um pedaço da nave, mas somente depois que o céu estava sem nuvens e a nave permaneceu parada por cerca de dez minutos. Concluiu-se que o dispositivo era uma arma viável nessas condições. O grupo do MIT repetiu o experimento para o programa de televisão MythBusters , usando um barco de pesca de madeira em San Francisco como alvo. Novamente ocorreu alguma carbonização, junto com uma pequena quantidade de chamas. Para pegar fogo, a madeira precisa atingir sua temperatura de autoignição , que é em torno de 300 ° C (572 ° F).

Quando MythBusters transmitiu o resultado do experimento de São Francisco em janeiro de 2006, a alegação foi colocada na categoria de "preso" (ou seja, falhou) por causa do tempo e das condições climáticas ideais necessárias para que a combustão ocorresse. Também foi apontado que, como Siracusa fica de frente para o mar em direção ao leste, a frota romana teria que atacar durante a manhã para obter a melhor iluminação pelos espelhos. MythBusters também apontou que o armamento convencional, como flechas em chamas ou parafusos de uma catapulta, teria sido uma maneira muito mais fácil de colocar fogo em um navio em curtas distâncias.

Em dezembro de 2010, MythBusters novamente olhou para a história do raio de calor em uma edição especial intitulada " Desafio do Presidente ". Vários experimentos foram realizados, incluindo um teste em grande escala com 500 alunos apontando espelhos para uma maquete de um veleiro romano a 120 m de distância. Em todos os experimentos, a vela falhou em atingir os 210 ° C (410 ° F) necessários para pegar fogo, e o veredicto foi novamente "estourado". O programa concluiu que um efeito mais provável dos espelhos seria cegar, deslumbrar ou distrair a tripulação do navio.

Alavanca

Embora Arquimedes não tenha inventado a alavanca , ele deu uma explicação do princípio envolvido em seu trabalho Sobre o Equilíbrio dos Planos . Descrições anteriores da alavanca são encontradas na escola peripatética dos seguidores de Aristóteles , e às vezes são atribuídas a Arquitas . De acordo com Pappus de Alexandria , o trabalho de Arquimedes nas alavancas o levou a comentar: "Dê-me um lugar para ficar e moverei a Terra" ( grego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ). Plutarco descreve como Arquimedes projetou sistemas de polia de bloqueio e travamento , permitindo que os marinheiros usassem o princípio de alavancagem para levantar objetos que, de outra forma, seriam pesados ​​demais para se mover. Arquimedes também recebeu o crédito por melhorar a potência e a precisão da catapulta e por inventar o hodômetro durante a Primeira Guerra Púnica . O odômetro foi descrito como um carrinho com um mecanismo de engrenagem que lançava uma bola em um contêiner após cada milha percorrida.

Instrumentos astronômicos

Arquimedes discute medidas astronômicas da Terra, Sol e Lua, bem como o modelo heliocêntrico do universo de Aristarco , no Sand-Reckoner . Apesar da falta de trigonometria e de uma tabela de acordes, Arquimedes descreve o procedimento e o instrumento usado para fazer observações (uma haste reta com pinos ou ranhuras), aplica fatores de correção a essas medidas e, finalmente, dá o resultado na forma de superior e inferior limites para explicar o erro observacional. Ptolomeu , citando Hiparco, também faz referência às observações do solstício de Arquimedes no Almagesto . Isso tornaria Arquimedes o primeiro grego conhecido a registrar várias datas e horas do solstício em anos sucessivos.

Cícero menciona Arquimedes brevemente em seu diálogo , De re publica , que retrata uma conversa fictícia ocorrida em 129 aC. Após a captura de Siracusa c. 212 aC, o general Marcus Claudius Marcellus teria levado de volta a Roma dois mecanismos, construídos por Arquimedes e usados ​​como auxiliares na astronomia, que mostravam o movimento do Sol, da Lua e de cinco planetas. Cícero menciona mecanismos semelhantes projetados por Tales de Mileto e Eudoxo de Cnido . O diálogo diz que Marcelo manteve um dos dispositivos como seu único saque pessoal de Siracusa e doou o outro para o Templo da Virtude em Roma. O mecanismo de Marcelo foi demonstrado, de acordo com Cícero, por Gaius Sulpicius Gallus a Lucius Furius Philus , que o descreveu assim:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum .

Quando Gallus moveu o globo, aconteceu que a Lua seguiu o Sol por tantas voltas naquele dispositivo de bronze quanto no próprio céu, a partir do qual também no céu o globo do Sol passou a ter o mesmo eclipse, e a Lua então passou a aquela posição que era sua sombra na Terra, quando o Sol estava alinhado.

Esta é a descrição de um planetário ou orrery . Pappus de Alexandria afirmou que Arquimedes havia escrito um manuscrito (agora perdido) sobre a construção desses mecanismos, intitulado Sobre a fabricação de esferas . A pesquisa moderna nesta área tem se concentrado no mecanismo de Antikythera , outro dispositivo construído c.  100  aC que provavelmente foi projetado para o mesmo propósito. A construção de mecanismos desse tipo exigiria um conhecimento sofisticado de engrenagens diferenciais . Antigamente, pensava-se que isso estava além do alcance da tecnologia disponível nos tempos antigos, mas a descoberta do mecanismo de Antikythera em 1902 confirmou que dispositivos desse tipo eram conhecidos pelos gregos antigos.

Matemática

Embora seja frequentemente considerado um designer de dispositivos mecânicos, Arquimedes também fez contribuições para o campo da matemática . Plutarco escreveu que Arquimedes "colocou todo o seu afeto e ambição naquelas especulações mais puras onde não pode haver referência às necessidades vulgares da vida", embora alguns estudiosos acreditem que isso possa ser uma caracterização incorreta.

Método de exaustão

Arquimedes calcula o lado do 12-gon a partir do hexágono e para cada duplicação subsequente dos lados do polígono regular.

Arquimedes foi capaz de usar indivisíveis (um precursor dos infinitesimais ) de uma forma semelhante ao cálculo integral moderno . Por meio da prova por contradição ( reductio ad absurdum ), ele poderia dar respostas a problemas com um grau arbitrário de precisão, ao mesmo tempo em que especificava os limites dentro dos quais a resposta estava. Essa técnica é conhecida como método da exaustão , e ele a empregou para aproximar as áreas das figuras e o valor de π .

Em Measurement of a Circle , ele fez isso desenhando um hexágono regular maior fora de um círculo, em seguida, um hexágono regular menor dentro do círculo, e progressivamente dobrando o número de lados de cada polígono regular , calculando o comprimento de um lado de cada polígono em cada Passo. Conforme o número de lados aumenta, torna-se uma aproximação mais precisa de um círculo. Depois de quatro dessas etapas, quando os polígonos tinham 96 lados cada, ele foi capaz de determinar que o valor de π estava entre 31/7 (aprox. 3,1429) e 310/71(aprox. 3,1408), consistente com seu valor real de aproximadamente 3,1416. Ele também provou que a área de um círculo era igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo ( ).

Propriedade arquimediana

Em Na Esfera e no Cilindro , Arquimedes postula que qualquer magnitude, quando adicionada a si mesma por vezes suficientes, excederá qualquer magnitude dada. Hoje isso é conhecido como a propriedade arquimediana dos números reais.

Arquimedes dá o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre265/153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351/780(aproximadamente 1,7320512) em Medição de um Círculo . O valor real é de aproximadamente 1,7320508, tornando esta uma estimativa muito precisa. Ele apresentou este resultado sem oferecer nenhuma explicação de como o havia obtido. Este aspecto da obra de Arquimedes fez com que John Wallis comentasse que ele era: "como se fosse um propósito definido ter encoberto os rastros de sua investigação, como se ele tivesse ressentido à posteridade o segredo de seu método de investigação enquanto desejava extorquir deles concordam com seus resultados. " É possível que ele tenha usado um procedimento iterativo para calcular esses valores.

A série infinita

Uma prova de que a área do segmento parabólico na figura superior é igual a 4/3 do triângulo inscrito na figura inferior da quadratura da parábola .

Na Quadratura da Parábola , Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é4/3vezes a área de um triângulo inscrito correspondente, conforme mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução para o problema como uma série geométrica infinita com a razão comum 1/4:

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes menores e assim por diante. Esta prova usa uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que soma1/3.

Miríade de miríades

Em The Sand Reckoner , Arquimedes começou a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazer isso, ele desafiou a noção de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu:

Há alguns, Rei Gelo (Gelo II, filho de Hiero II), que pensam que o número da areia é infinito em multidão; e quero dizer com areia não apenas o que existe em torno de Siracusa e o resto da Sicília, mas também o que é encontrado em todas as regiões, sejam habitadas ou não.

Para resolver o problema, Arquimedes desenvolveu um sistema de contagem baseado na miríade . A própria palavra deriva do grego μυριάς , murias , para o número 10.000. Ele propôs um sistema numérico usando poderes de uma miríade de miríades (100 milhões, ou seja, 10.000 x 10.000) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo seria de 8 vigintilhões , ou 8 × 10 63 .

Escritos

Primeira página da ópera de Arquimedes , em grego e latim, editada por David Rivault (1615).

As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico , o dialeto da antiga Siracusa. A obra escrita de Arquimedes não sobreviveu tão bem quanto a de Euclides , e sete de seus tratados são conhecidos por terem existido apenas por meio de referências feitas a eles por outros autores. Pappus de Alexandria menciona On Sphere-Making e outro trabalho sobre poliedros , enquanto Theon de Alexandria cita uma observação sobre a refração da agora perdida Catoptrica .

Arquimedes divulgou seu trabalho por meio de correspondência com os matemáticos de Alexandria . Os escritos de Arquimedes foram coletados pela primeira vez pelo arquiteto grego bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 DC), enquanto comentários sobre as obras de Arquimedes escritos por Eutocius no século VI DC ajudaram a trazer seu trabalho a um público mais amplo. A obra de Arquimedes foi traduzida para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 DC) e para o latim por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187 DC) e Guilherme de Moerbeke (c. 1215–1286 DC).

Durante o Renascimento , a Editio princeps (primeira edição) foi publicada em Basel em 1544 por Johann Herwagen com as obras de Arquimedes em grego e latim.

Sobrevivendo Obras

A seguir estão ordenados cronologicamente com base em novos critérios terminológicos e históricos definidos por Knorr (1978) e Sato (1986).

Medição de um Círculo

Este é um pequeno trabalho que consiste em três proposições. Está escrito na forma de correspondência com Dositheus de Pelusium, que era aluno de Conon de Samos . Na Proposição II, Arquimedes dá uma aproximação do valor de pi ( π ), mostrando que é maior que223/71 e menos que 22/7.

The Sand Reckoner

Nesse tratado, também conhecido como Psammites , Arquimedes conta a quantidade de grãos de areia que caberão no universo. Este livro menciona a teoria heliocêntrica do sistema solar proposta por Aristarco de Samos , bem como ideias contemporâneas sobre o tamanho da Terra e a distância entre os vários corpos celestes . Usando um sistema de números baseado em poderes da miríade , Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo é 8 × 10 63 na notação moderna. A carta introdutória afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo chamado Fídias. The Sand Reckoner é o único trabalho sobrevivente em que Arquimedes discute suas opiniões sobre astronomia.

Quadratura da Parábola

Neste trabalho de 24 proposições dirigidas a Dositeu, Arquimedes prova por dois métodos que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 multiplicada pela área de um triângulo de base e altura iguais. Ele consegue isso calculando o valor de uma série geométrica que soma ao infinito com a razão 1/4.

No Equilíbrio de Planos

Existem dois livros para On the Equilibrium of Planes : o primeiro contém sete postulados e quinze proposições , enquanto o segundo livro contém dez proposições. Na primeira obra, Arquimedes prova a Lei da alavanca , que afirma que:

As magnitudes estão em equilíbrio em distâncias reciprocamente proporcionais aos seus pesos.

Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindo triângulos , paralelogramos e parábolas .

Na esfera e no cilindro

Uma esfera tem 2/3 do volume e da área de superfície de seu cilindro circunscrito, incluindo suas bases.

Neste tratado de dois volumes dirigido a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado de que mais se orgulha, a saber, a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito da mesma altura e diâmetro . O volume é4/3π r 3 para a esfera e 2 π r 3 para o cilindro. A área da superfície é 4 π r 2 para a esfera e 6 π r 2 para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume de dois terços do cilindro circunscrito. Da mesma forma, a esfera tem uma área de dois terços da do cilindro (incluindo as bases).

Em espirais

Este trabalho de 28 proposições também é dirigido a Dositheus. O tratado define o que agora é chamado de espiral arquimediana . É o lugar geométrico dos pontos correspondentes às localizações ao longo do tempo de um ponto que se afasta de um ponto fixo com uma velocidade constante ao longo de uma linha que gira com velocidade angular constante . Equivalentemente, em coordenadas polares ( r , θ ) pode ser descrito pela equação com números reais a e b .

Este é um dos primeiros exemplos de curva mecânica (uma curva traçada por um ponto móvel ) considerada por um matemático grego.

Em Conóides e Esferóides

Este é um trabalho em 32 proposições dirigidas a Dositheus. Neste tratado, Arquimedes calcula as áreas e os volumes das seções de cones , esferas e parabolóides.

Em corpos flutuantes

Na primeira parte deste tratado de dois volumes, Arquimedes explica a lei do equilíbrio dos fluidos e prova que a água vai adotar uma forma esférica em torno de um centro de gravidade. Isso pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria dos astrônomos gregos contemporâneos, como Eratóstenes, de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são autogravitantes, pois ele assume a existência de um ponto em direção ao qual todas as coisas caem para obter a forma esférica.

Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Esta foi provavelmente uma idealização das formas dos cascos dos navios. Algumas de suas seções flutuam com a base submersa e o cume acima da água, da mesma forma que os icebergs flutuam. O princípio de flutuabilidade de Arquimedes é dado na obra, declarado da seguinte forma:

Qualquer corpo totalmente ou parcialmente imerso em um fluido experimenta um impulso ascendente igual, mas oposto em sentido ao peso do fluido deslocado.

Ostomaquião

Também conhecido como Loculus of Archimedes ou Archimedes 'Box , este é um quebra-cabeça de dissecação semelhante a um Tangram , e o tratado que o descreve foi encontrado de forma mais completa no Palimpsesto de Arquimedes . Arquimedes calcula as áreas das 14 peças que podem ser montadas para formar um quadrado . Uma pesquisa publicada pelo Dr. Reviel Netz da Universidade de Stanford em 2003 argumentou que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as peças poderiam ser montadas na forma de um quadrado. Netz calcula que as peças podem ser feitas em um quadrado de 17.152 maneiras. O número de arranjos é 536 quando soluções que são equivalentes por rotação e reflexão foram excluídas. O quebra-cabeça representa um exemplo de um problema inicial em combinatória .

A origem do nome do quebra-cabeça não é clara, e foi sugerido que ele foi tirado da palavra do grego antigo para ' garganta ' ou ' garganta ', estômagos ( στόμαχος ). Ausônio se refere ao quebra-cabeça como Ostomaquião , uma palavra grega composta formada a partir das raízes de osteon ( ὀστέον , 'osso') e machē ( μάχη , 'luta').

O problema do gado

Esta obra foi descoberta por Gotthold Ephraim Lessing em um manuscrito grego que consiste em um poema de 44 versos, na Biblioteca Herzog August em Wolfenbüttel , Alemanha em 1773. É dirigido a Eratóstenes e aos matemáticos de Alexandria. Arquimedes os desafia a contar o número de cabeças de gado no Rebanho do Sol resolvendo várias equações diofantinas simultâneas . Há uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas devem ser números quadrados . Essa versão do problema foi resolvida pela primeira vez por A. Amthor em 1880, e a resposta é um número muito grande , aproximadamente 7,760271 × 10 206 544 .

O Método dos Teoremas Mecânicos

Este tratado foi considerado perdido até a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes em 1906. Neste trabalho, Arquimedes usa indivisíveis e mostra como quebrar uma figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para determinar sua área ou volume. Arquimedes pode ter considerado esse método carente de rigor formal, então ele também usou o método da exaustão para obter os resultados. Tal como acontece com O problema do gado , o método dos teoremas mecânicos foi escrito na forma de uma carta a Eratóstenes em Alexandria .

Obras apócrifas

O Livro dos Lemas de Arquimedes ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A primeira cópia conhecida do texto está em árabe . Os estudiosos TL Heath e Marshall Clagett argumentaram que não pode ter sido escrito por Arquimedes em sua forma atual, uma vez que cita Arquimedes, sugerindo modificação por outro autor. Os Lemas podem ser baseados em um trabalho anterior de Arquimedes que agora se perdeu.

Também foi afirmado que a fórmula de Heron para calcular a área de um triângulo a partir do comprimento de seus lados era conhecida por Arquimedes. A mais antiga referência confiável à fórmula é dada por Heron de Alexandria no século I DC.

Palimpsesto de Arquimedes

Em 1906, o Palimpsesto de Arquimedes revelou obras de Arquimedes que se pensava terem sido perdidas.

O documento mais importante que contém a obra de Arquimedes é o Palimpsesto de Arquimedes. Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla para examinar um pergaminho de orações de pele de cabra de 174 páginas , escrito no século 13 DC, após ler uma curta transcrição publicada sete anos antes por Papadopoulos-Kerameus . Ele confirmou que se tratava de um palimpsesto , um documento com texto escrito sobre uma obra anterior apagada. Os palimpsestos foram criados raspando a tinta de obras existentes e reutilizando-as, o que era uma prática comum na Idade Média, pois o velino era caro. As obras mais antigas no palimpsesto foram identificadas pelos estudiosos como cópias do século 10 DC de tratados anteriormente perdidos por Arquimedes. O pergaminho passou centenas de anos na biblioteca de um mosteiro em Constantinopla antes de ser vendido a um colecionador particular na década de 1920. Em 29 de outubro de 1998, foi vendido em leilão a um comprador anônimo por US $ 2 milhões na Christie's em Nova York .

O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de On Floating Bodies no grego original. É a única fonte conhecida do Método dos Teoremas Mecânicos , referido por Suidas e considerado perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeça do que a encontrada em textos anteriores. O palimpsesto está agora armazenado no Museu de Arte Walters , em Baltimore , Maryland , onde foi submetido a uma série de testes modernos, incluindo o uso de ultravioleta e raios-X de luz para ler o texto substituído.

Os tratados do Palimpsesto de Arquimedes incluem:

Legado

Às vezes referido como o pai da matemática e da física matemática , Arquimedes teve uma grande influência na matemática e nas ciências.

Matemática e física

A Medalha Fields traz um retrato de Arquimedes.

Os historiadores da ciência e da matemática concordam quase universalmente que Arquimedes foi o melhor matemático da antiguidade. Eric Temple Bell , por exemplo, escreveu:

Qualquer lista dos três “maiores” matemáticos de toda a história incluiria o nome de Arquimedes. Os outros dois geralmente associados a ele são Newton e Gauss . Alguns, considerando a relativa riqueza - ou pobreza - da matemática e das ciências físicas nas respectivas idades em que esses gigantes viveram, e estimando suas realizações no contexto de sua época, colocariam Arquimedes em primeiro lugar.

Da mesma forma, Alfred North Whitehead e George F. Simmons disseram de Arquimedes:

No ano de 1500, a Europa sabia menos do que Arquimedes, que morreu no ano 212 AEC.

Se considerarmos o que todos os outros homens realizaram na matemática e na física, em todos os continentes e em todas as civilizações, desde o início dos tempos até o século XVII na Europa Ocidental, as conquistas de Arquimedes superam tudo. Ele foi uma grande civilização sozinho.

Reviel Netz , Professor Suppes em Matemática Grega e Astronomia na Universidade de Stanford e um especialista em Arquimedes observa:

E assim, uma vez que Arquimedes levou mais do que ninguém à formação do cálculo e como ele foi o pioneiro na aplicação da matemática ao mundo físico, verifica-se que a ciência ocidental é apenas uma série de notas de rodapé para Arquimedes. Assim, verifica-se que Arquimedes é o cientista mais importante que já existiu.

Galileu elogiou Arquimedes muitas vezes e se referiu a ele como um "sobre-humano" e como "meu mestre", enquanto Huygens comentou "Eu acho que Arquimedes não é comparável a ninguém" e modelou seu trabalho a partir dele. Leibniz disse: "Aquele que entende Arquimedes e Apolônio admirará menos as realizações dos homens mais importantes de tempos posteriores." Os heróis de Gauss foram Arquimedes e Newton, e Moritz Cantor , que estudou com ele na Universidade de Göttingen , relatou que certa vez comentou em uma conversa que “houve apenas três matemáticos que marcaram época: Arquimedes, Newton e Eisenstein ”.

Invenções

Leonardo da Vinci expressou repetidamente admiração por Arquimedes e atribuiu sua invenção Architonnerre a Arquimedes. O prolífico inventor Nikola Tesla o elogiou assim:

Arquimedes era meu ideal. Eu admirava as obras dos artistas, mas, para mim, eram apenas sombras e aparências. O inventor, pensei, dá ao mundo criações palpáveis, que vivem e funcionam.

Homenagens e comemorações

Estátua de bronze de Arquimedes em Berlim

Há uma cratera na Lua chamada Arquimedes ( 29,7 ° N 4,0 ° O ) em sua homenagem, bem como uma cordilheira lunar , os Montes Arquimedes ( 25,3 ° N 4,6 ° W ). 29 ° 42′N 4 ° 00′W /  / 29,7; -4,025 ° 18′N 4 ° 36′W /  / 25,3; -4,6

A Medalha Fields por resultados excepcionais em matemática traz um retrato de Arquimedes, junto com uma escultura ilustrando sua prova na esfera e no cilindro. A inscrição ao redor da cabeça de Arquimedes é uma citação atribuída ao poeta Manilius , do século I DC , que diz em latim: Transire suum pectus mundoque potiri ("Eleve-se acima de si mesmo e agarre-se ao mundo").

Arquimedes apareceu em selos postais emitidos pela Alemanha Oriental (1973), Grécia (1983), Itália (1983), Nicarágua (1971), San Marino (1982) e Espanha (1963).

A exclamação de Eureka! atribuído a Arquimedes é o lema do estado da Califórnia . Neste caso, a palavra se refere à descoberta de ouro perto do Moinho de Sutter em 1848, que desencadeou a Corrida do Ouro na Califórnia .

Veja também

Referências

Notas

Citações

Leitura adicional

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