Valor absoluto - Absolute value

Em matemática , o valor absoluto ou módulo de um número real  x , denotado | x | , é o valor não negativo de  x independentemente de seu sinal . Ou seja, | x | = x se x for positivo e | x | = - x se x for negativo (nesse caso - x é positivo), e | 0 | = 0 . Por exemplo, o valor absoluto de 3 é 3 e o valor absoluto de −3 também é 3. O valor absoluto de um número pode ser considerado como sua distância de zero.

As generalizações do valor absoluto para números reais ocorrem em uma ampla variedade de configurações matemáticas. Por exemplo, um valor absoluto também é definido para os números complexos , os quatérnios , anéis ordenados , campos e espaços vetoriais . O valor absoluto está intimamente relacionado às noções de magnitude , distância e norma em vários contextos matemáticos e físicos.

Terminologia e notação

Em 1806, Jean-Robert Argand introduziu o termo módulo , que significa unidade de medida em francês, especificamente para o valor absoluto complexo , e foi emprestado para o inglês em 1866 como o módulo equivalente em latim . O termo valor absoluto tem sido usado neste sentido desde pelo menos 1806 em francês e 1857 em inglês. A notação | x | , com uma barra vertical em cada lado, foi introduzido por Karl Weierstrass em 1841. Outros nomes para valor absoluto incluem valor numérico e magnitude . Em linguagens de programação e pacotes de software computacional, o valor absoluto de x é geralmente representado por , ou uma expressão semelhante. abs(x)

A notação de barra vertical também aparece em vários outros contextos matemáticos: por exemplo, quando aplicada a um conjunto, denota sua cardinalidade ; quando aplicado a uma matriz , denota seu determinante . Barras verticais denotam o valor absoluto apenas para objetos algébricos para os quais a noção de um valor absoluto é definida, notavelmente um elemento de uma álgebra de divisão normada , por exemplo, um número real, um número complexo ou um quatérnio. Uma notação intimamente relacionada, mas distinta, é o uso de barras verticais para a norma euclidiana ou norma sup de um vetor em , embora barras verticais duplas com subscritos ( e , respectivamente) sejam uma notação mais comum e menos ambígua. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$

Definição e propriedades

Numeros reais

Para qualquer número real  x , o valor absoluto ou módulo de  x é denotado por | x | (uma barra vertical em cada lado da quantidade) e é definida como

${\ displaystyle | x | = {\ begin {cases} x, & {\ text {if}} x \ geq 0 \\ - x, & {\ text {if}} x <0. \ end {cases}} }$

O valor absoluto de  x é sempre positivo ou zero , mas nunca negativo : quando o próprio x é negativo ( x <0 ), então seu valor absoluto é necessariamente positivo ( | x | = - x > 0 ).

Do ponto de vista da geometria analítica , o valor absoluto de um número real é a distância desse número de zero ao longo da reta do número real e, mais geralmente, o valor absoluto da diferença de dois números reais é a distância entre eles. A noção de uma função de distância abstrata em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença (veja "Distância" abaixo).

Uma vez que o símbolo de raiz quadrada representa a raiz quadrada positiva única (quando aplicado a um número positivo), segue-se que

${\ displaystyle | x | = {\ sqrt {x ^ {2}}}}$

é equivalente à definição acima e pode ser usada como uma definição alternativa do valor absoluto dos números reais.

O valor absoluto tem as seguintes quatro propriedades fundamentais ( a , b são números reais), que são usadas para generalização desta noção para outros domínios:

${\ displaystyle | a | \ geq 0}$	Não negatividade
${\ displaystyle | a | = 0 \ iff a = 0}$	Definitividade positiva
${\ displaystyle | ab | = \ left | a \ right | \ left | b \ right |}$	Multiplicatividade
${\ displaystyle | a + b | \ leq | a | + | b |}$	Subaditividade , especificamente a desigualdade triangular

Não negatividade, definição positiva e multiplicatividade são facilmente aparentes a partir da definição. Para ver que a subaditividade é válida, primeiro observe que uma das duas alternativas de tomar s como -1 ou +1 garante que Agora, uma vez que e , segue-se que, qualquer que seja o valor de s , cada um tem por todos reais . Consequentemente, conforme desejado. (Para uma generalização deste argumento para números complexos, consulte "Prova da desigualdade do triângulo para números complexos" abaixo.) ${\ displaystyle s \ cdot (a + b) = | a + b | \ geq 0.}$${\ displaystyle -1 \ cdot x \ leq | x |}$${\ displaystyle +1 \ cdot x \ leq | x |}$${\ displaystyle s \ cdot x \ leq | x |}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle | a + b | = s \ cdot (a + b) = s \ cdot a + s \ cdot b \ leq | a | + | b |}$

Algumas propriedades úteis adicionais são fornecidas abaixo. Essas são consequências imediatas da definição ou estão implícitas nas quatro propriedades fundamentais acima.

${\ displaystyle {\ bigl |} \ left | a \ right | {\ bigr |} = | a |}$	Idempotência (o valor absoluto do valor absoluto é o valor absoluto)
${\ displaystyle \ left | -a \ right | = | a |}$	Uniformidade ( simetria de reflexão do gráfico)
${\ displaystyle | ab | = 0 \ iff a = b}$	Identidade de indiscerníveis (equivalente a definição positiva)
${\ displaystyle | ab | \ leq | ac | + | cb |}$	Desigualdade triangular (equivalente a subditividade)
${\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| a |} {| b |}} \}$(se ) ${\ displaystyle b \ neq 0}$	Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
${\ displaystyle | ab | \ geq {\ bigl |} \ left | a \ right | - \ left | b \ right | {\ bigr |}}$	Desigualdade do triângulo reverso (equivalente à subditividade)

Duas outras propriedades úteis sobre desigualdades são:

${\ displaystyle | a | \ leq b \ iff -b \ leq a \ leq b}$

${\ displaystyle | a | \ geq b \ iff a \ leq -b \}$ ou ${\ displaystyle a \ geq b}$

Essas relações podem ser usadas para resolver desigualdades envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

${\ displaystyle | x-3 | \ leq 9}$	${\ displaystyle \ iff -9 \ leq x-3 \ leq 9}$
	${\ displaystyle \ iff -6 \ leq x \ leq 12}$

O valor absoluto, como "distância de zero", é usado para definir a diferença absoluta entre números reais arbitrários, a métrica padrão dos números reais.

Números complexos

Visto que os números complexos não são ordenados , a definição dada no topo para o valor absoluto real não pode ser aplicada diretamente aos números complexos. No entanto, a interpretação geométrica do valor absoluto de um número real como sua distância de 0 pode ser generalizada. O valor absoluto de um número complexo é definido pela distância euclidiana de seu ponto correspondente no plano complexo a partir da origem . Isso pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras : para qualquer número complexo

${\ displaystyle z = x + iy,}$

onde x e y são números reais, o valor absoluto ou o módulo de  z é denotado | z | e é definido por

${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {[\ operatorname {Re} (z)] ^ {2} + [\ operatorname {Im} (z)] ^ {2}}} = {\ sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}},}$

onde Re ( z ) = x e Im ( z ) = y denotam as partes reais e imaginárias de z , respectivamente. Quando a parte imaginária y é zero, isso coincide com a definição do valor absoluto do número real  x .

Quando um número complexo  z é expresso em sua forma polar como

${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}$

com (e θ ∈ arg ( z ) é o argumento (ou fase) de z ), seu valor absoluto é ${\ textstyle r = {\ sqrt {[\ operatorname {Re} (z)] ^ {2} + [\ operatorname {Im} (z)] ^ {2}}} \ geq 0}$

${\ displaystyle | z | = r.}$

Uma vez que o produto de qualquer número complexo  z e seu conjugado complexo  , com o mesmo valor absoluto, é sempre o número real não negativo , o valor absoluto de um número complexo z é a raiz quadrada do qual é, portanto, chamado de quadrado absoluto ou quadrado módulo de z : ${\ displaystyle {\ bar {z}} = x-iy}$${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}$${\ displaystyle z \ cdot {\ overline {z}},}$

${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \ cdot {\ overline {z}}}}.}$

Este generaliza a definição alternativa para reais: .${\ textstyle | x | = {\ sqrt {x \ cdot x}}}$

O valor absoluto complexo compartilha as quatro propriedades fundamentais fornecidas acima para o valor absoluto real.

Na linguagem da teoria dos grupos , a propriedade multiplicativa pode ser reformulada da seguinte forma: o valor absoluto é um homomorfismo de grupo do grupo multiplicativo dos números complexos para o grupo sob a multiplicação de números reais positivos .

É importante ressaltar que a propriedade de subaditividade (" desigualdade triangular ") se estende a qualquer coleção finita de n números  complexos como${\ textstyle (z_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} z_ {k} \ right | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left | z_ {k} \ right |. }$

( ⁎ )

Essa desigualdade também se aplica a famílias infinitas , desde que a série infinita seja absolutamente convergente . Se a integração de Lebesgue for vista como o análogo contínuo da soma, então essa desigualdade é obedecida analogamente por funções mensuráveis ​​de valor complexo quando integradas em um subconjunto mensurável :${\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} z_ {k}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ left | \ int _ {E} f \, dx \ right | \ leq \ int _ {E} \ left | f \ right | dx.}$

( ⁎⁎ )

(Isso inclui funções integráveis ​​de Riemann em um intervalo limitado como um caso especial.) ${\ displaystyle [a, b]}$

Prova da complexa desigualdade do triângulo

A desigualdade do triângulo, conforme dada por ( ⁎ ), pode ser demonstrada aplicando três propriedades facilmente verificáveis ​​dos números complexos: Ou seja, para cada número complexo , ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$

1. existe tal que e ;${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle | c | = 1}$${\ displaystyle | z | = c \ cdot z}$
2. ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (z) \ leq | z |}$.

Além disso, para uma família de números complexos , . Em particular, ${\ displaystyle (w_ {k}) _ {k = 1} ^ {n}}$ ${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ operatorname {Re} (w_ {k}) + i \ sum _ {k} \ operatorname {Im} (w_ {k}) }$

3. se , então .${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} \ in \ mathbb {R}}$${\ textstyle \ sum _ {k} w_ {k} = \ sum _ {k} \ operatorname {Re} (w_ {k})}$

Prova de ( ⁎ ) : Escolhatal quee(somados ). O cálculo a seguir fornece a desigualdade desejada: ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle | c | = 1}$${\ textstyle \ left | \ sum _ {k} z_ {k} \ right | = c \ left (\ sum _ {k} z_ {k} \ right)}$${\ displaystyle k = 1, \ ldots, n}$

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k} z_ {k} \ right | \; {\ overset {(1)} {=}} \; c \ left (\ sum _ {k} z_ {k} \ direita) = \ sum _ {k} cz_ {k} \; {\ overset {(3)} {=}} \; \ sum _ {k} \ operatorname {Re} (cz_ {k}) \; {\ overset {(2)} {\ leq}} \; \ sum _ {k} | cz_ {k} | = \ sum _ {k} \ left | c \ right | \ left | z_ {k} \ right | = \ sum _ {k} \ left | z_ {k} \ right |.}$

É claro a partir dessa prova que a igualdade é válida em ( ⁎ ) exatamente se todos os forem números reais não negativos, o que por sua vez ocorre exatamente se todos os não nulos tiverem o mesmo argumento , isto é, para uma constante complexa e constantes reais para .${\ displaystyle cz_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle z_ {k} = a_ {k} \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle a_ {k} \ geq 0}$${\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n}$

Uma vez que mensurável implica que também é mensurável, a prova da desigualdade ( ⁎⁎ ) procede pela mesma técnica, substituindo por e por .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | f |}$${\ textstyle \ sum _ {k} (\ cdot)}$${\ textstyle \ int _ {E} (\ cdot) \, dx}$${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle f (x)}$

Função de valor absoluto

A função de valor absoluto real é contínua em todos os lugares. É diferenciável em qualquer lugar, exceto para x = 0 . É monotonicamente decrescente no intervalo (−∞, 0] e monotonicamente crescente no intervalo [0, + ∞) . Como um número real e seu oposto têm o mesmo valor absoluto, é uma função par e, portanto, não é invertível . A verdadeira função valor absoluto é um linear por partes , função convexa .

Ambas as funções reais e complexas são idempotentes .

Relação com a função do signo

A função de valor absoluto de um número real retorna seu valor independentemente de seu sinal, enquanto a função de sinal (ou signum) retorna o sinal de um número independentemente de seu valor. As seguintes equações mostram a relação entre essas duas funções:

${\ displaystyle | x | = x \ operatorname {sgn} (x),}$

ou

${\ displaystyle | x | \ operatorname {sgn} (x) = x,}$

e para x ≠ 0 ,

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ frac {| x |} {x}} = {\ frac {x} {| x |}}.}$

Derivado

A função de valor absoluto real tem uma derivada para cada x ≠ 0 , mas não é diferenciável em x = 0 . Sua derivada para x ≠ 0 é dada pela função degrau :

${\ displaystyle {\ frac {d \ left | x \ right |} {dx}} = {\ frac {x} {| x |}} = {\ begin {cases} -1 & x <0 \\ 1 & x> 0. \ end {casos}}}$

A função de valor absoluto real é um exemplo de uma função contínua que atinge um mínimo global onde a derivada não existe.

A subdiferencial de  | x | em  x = 0 é o intervalo  [-1, 1] .

A complexa função de valor absoluto é contínua em toda parte, mas complexa diferenciável em lugar nenhum porque viola as equações de Cauchy-Riemann .

A segunda derivada de  | x | em relação  ax é zero em qualquer lugar, exceto zero, onde não existe. Como uma função generalizada , a segunda derivada pode ser tomada como duas vezes a função delta de Dirac .

Antiderivado

A antiderivada (integral indefinida) da função de valor absoluto real é

${\ displaystyle \ int \ left | x \ right | dx = {\ frac {x \ left | x \ right |} {2}} + C,}$

onde C é uma constante arbitrária de integração . Esta não é uma antiderivada complexa porque antiderivadas complexas só podem existir para funções complexamente diferenciáveis ​​( holomórficas ), o que a função de valor absoluto complexa não é.

Distância

O valor absoluto está intimamente relacionado à ideia de distância. Como observado acima, o valor absoluto de um número real ou complexo é a distância desse número até a origem, ao longo da linha do número real, para números reais, ou no plano complexo, para números complexos e, mais geralmente, o valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos é a distância entre eles.

A distância euclidiana padrão entre dois pontos

${\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})}$

e

${\ displaystyle b = (b_ {1}, b_ {2}, \ dots, b_ {n})}$

no euclidiano n- espaço é definido como:

${\ displaystyle {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$

Isso pode ser visto como uma generalização, uma vez que para e real, ou seja, em um espaço 1, de acordo com a definição alternativa do valor absoluto, ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle b_ {1}}$

${\ displaystyle | a_ {1} -b_ {1} | = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1 } ^ {1} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}},}$

e por e os números complexos, isto é, em um 2-espaço, ${\ displaystyle a = a_ {1} + ia_ {2}}$${\ displaystyle b = b_ {1} + ib_ {2}}$

${\ displaystyle | ab |}$	${\ displaystyle = | (a_ {1} + ia_ {2}) - (b_ {1} + ib_ {2}) |}$
	${\ displaystyle = | (a_ {1} -b_ {1}) + i (a_ {2} -b_ {2}) |}$
	${\ displaystyle = {\ sqrt {(a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2}}} = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {2} (a_ {i} -b_ {i}) ^ {2}}}.}$

O exposto acima mostra que o "valor absoluto" -distância, para números reais e complexos, está de acordo com a distância euclidiana padrão, que eles herdam como resultado de considerá-los como espaços euclidianos unidimensionais e bidimensionais, respectivamente.

As propriedades do valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos: não negatividade, identidade de indiscerníveis, simetria e a desigualdade triangular dada acima, podem ser vistas como motivando a noção mais geral de uma função de distância da seguinte maneira:

Uma função de valor real d em um conjunto X  ×  X é chamada de métrica (ou função de distância ) em  X , se satisfizer os quatro axiomas a seguir:

${\ displaystyle d (a, b) \ geq 0}$	Não negatividade
${\ displaystyle d (a, b) = 0 \ iff a = b}$	Identidade de indiscerníveis
${\ displaystyle d (a, b) = d (b, a)}$	Simetria
${\ displaystyle d (a, b) \ leq d (a, c) + d (c, b)}$	Desigualdade triangular

Generalizações

Anéis encomendados

A definição de valor absoluto dada para números reais acima pode ser estendida a qualquer anel ordenado . Ou seja, se  a é um elemento de um anel ordenado  R , então o valor absoluto de  a , denotado por | a | , é definido como:

${\ displaystyle | a | = \ left \ {{\ begin {array} {rl} a, & {\ text {if}} a \ geq 0 \\ - a, & {\ text {if}} a <0 . \ end {array}} \ right.}$

onde - a é o inverso aditivo de  a , 0 é a identidade aditiva e <e ≥ têm o significado usual com respeito à ordem no anel.

Campos

As quatro propriedades fundamentais do valor absoluto para números reais podem ser usadas para generalizar a noção de valor absoluto para um campo arbitrário, como segue.

Uma função de valor real  v em um campo  F é chamada de valor absoluto (também um módulo , magnitude , valor ou avaliação ) se ela satisfizer os quatro axiomas a seguir:

${\ displaystyle v (a) \ geq 0}$	Não negatividade
${\ displaystyle v (a) = 0 \ iff a = \ mathbf {0}}$	Definitividade positiva
${\ displaystyle v (ab) = v (a) v (b)}$	Multiplicatividade
${\ displaystyle v (a + b) \ leq v (a) + v (b)}$	Subaditividade ou a desigualdade triangular

Onde 0 denota a identidade aditiva de  F . Resulta de positivo-definiteness e multiplicatividade que v ( 1 ) = 1 , onde 1 denota a identidade multiplicativo de  F . Os valores absolutos reais e complexos definidos acima são exemplos de valores absolutos para um campo arbitrário.

Se v for um valor absoluto em  F , então a função  d em F  ×  F , definida por d ( a ,  b ) = v ( a - b ) , é uma métrica e os seguintes são equivalentes:

• d satisfaz a ultramétrica desigualdade para todos os x , y , z em  F .${\ displaystyle d (x, y) \ leq \ max (d (x, z), d (y, z))}$
• ${\ textstyle \ left \ {v \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbf {1} \ right): n \ in \ mathbb {N} \ right \}}$é delimitada em  R .
• ${\ displaystyle v \ left ({\ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {n}} \ mathbf {1} \ right) \ leq 1 \}$para cada .${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$
• ${\ displaystyle v (a) \ leq 1 \ Rightarrow v (1 + a) \ leq 1 \}$ para todos ${\ displaystyle a \ in F.}$
• ${\ displaystyle v (a + b) \ leq \ max \ {v (a), v (b) \} \}$para todos .${\ displaystyle a, b \ in F}$

Um valor absoluto que satisfaça qualquer (portanto, todas) das condições acima é considerado não-arquimediano , caso contrário, é dito que é arquimediano .

Espaços vetoriais

Novamente, as propriedades fundamentais do valor absoluto para números reais podem ser usadas, com uma ligeira modificação, para generalizar a noção para um espaço vetorial arbitrário.

Uma função de valor real em um espaço vetorial  V sobre um campo  F , representado como || · || , é chamado de valor absoluto , mas mais geralmente uma norma , se satisfizer os seguintes axiomas:

Para todo  a em  F , ev , u em  V ,

${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | \ geq 0}$	Não negatividade
${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | = 0 \ iff \ mathbf {v} = 0}$	Definitividade positiva
${\ displaystyle \ | a \ mathbf {v} \ | = | a | \ | \ mathbf {v} \ |}$	Homogeneidade positiva ou escalabilidade positiva
${\ displaystyle \ | \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ | \ leq \ | \ mathbf {v} \ | + \ | \ mathbf {u} \ |}$	Subaditividade ou a desigualdade triangular

A norma de um vetor também é chamada de comprimento ou magnitude .

No caso do espaço euclidiano , a função definida por ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ | (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ | = {\ sqrt {\ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}}$

é uma norma chamada norma euclidiana . Quando os números reais são considerados como o espaço vetorial unidimensional , o valor absoluto é uma norma e é a norma p (ver espaço L ^p ) para qualquer  p . Na verdade, o valor absoluto é a "única" norma , no sentido de que, para todas as normas || · || ligado , || x || = || 1 || ⋅ | x | . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

O valor absoluto complexo é um caso especial da norma em um espaço de produto interno , que é idêntico à norma euclidiana quando o plano complexo é identificado como o plano euclidiano  . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Álgebras de composição

Toda álgebra de composição A tem uma involução x → x * chamada de conjugação . O produto em A de um elemento x e seu conjugado x * é escrito N ( x ) = xx * e chamado de norma de x .

Os números reais , números complexos e quatérnions são álgebras de composição com normas dadas por formas quadráticas definidas . O valor absoluto nessas álgebras de divisão é dado pela raiz quadrada da norma de álgebra de composição. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Em geral, a norma de uma álgebra de composição pode ser uma forma quadrática que não é definida e possui vetores nulos . Porém, como no caso das álgebras de divisão, quando um elemento x tem uma norma diferente de zero, então x tem um inverso multiplicativo dado por x * / N ( x ).

Notas

Referências

• Bartle; Sherbert; Introdução à análise real (4ª ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN  978-0-471-43331-6 .
• Nahin, Paul J .; Um conto imaginário ; Princeton University Press; (capa dura, 1998). ISBN  0-691-02795-1 .
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra , American Mathematical Soc., 1999. ISBN  978-0-8218-1646-2 .
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN  978-0-07-148754-2 .
• O'Connor, JJ e Robertson, EF; "Jean Robert Argand" .
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations , pp. 259-263, "Absolute Values" , Academic Press (1997) ISBN  0-12-622760-8 .

links externos

• "Valor absoluto" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• valor absoluto no PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valor Absoluto" . MathWorld .