discriminante Fundamental - Fundamental discriminant
Em matemática , uma discriminante fundamentais D é um número inteiro invariante na teoria de integrais binários formas quadráticas . Se Q ( x , y ) = ax 2 + bxy + cy 2 é uma forma quadrática, com coeficientes inteiros, em seguida, D = b 2 - 4 ac representa a discriminante de Q ( x , y ). Por outro lado, cada número inteiro D com D ≡ 0, 1 (mod 4) é o discriminante de alguma forma quadrática binário com coeficientes inteiros. Assim, todos esses números inteiros são referidos como discriminantes desta teoria.
Há explícitas congruência condições que dão ao conjunto de discriminantes fundamentais. Especificamente, D é um discriminante fundamentais se, e somente se, uma das seguintes afirmações detém
- D ≡ 1 (mod 4) e é quadrado-livre ,
- D = 4 m , em que m ≡ 2 ou 3 (mod 4) e m é quadrado-livre.
Os primeiros dez discriminantes fundamentais positivos são:
Os primeiros dez discriminantes fundamentais negativos são:
Conexão com o corpo quadrático
Há uma conexão entre a teoria das formas quadráticas binárias integrais ea aritmética dos campos de número quadrático . Uma propriedade básica desta ligação é que D 0 é um discriminante fundamentais se, e apenas se, D 0 = 1 ou D 0 é o discriminante de um campo de número de quadrática. Há exatamente um corpo quadrático para cada discriminante fundamentais D 0 ≠ 1, até isomorfismo .
Atenção : Esta é a razão pela qual alguns autores consideram 1 não ser um discriminante fundamental. Pode-se interpretar D 0 = 1 como o degenerada "quadrática" campo Q (os números racionais ).
fatoração
Discriminantes fundamentais também podem ser caracterizados pela sua fatoração em poderes primos positivos e negativos . Definir o conjunto
onde os números primos ≡ 1 (mod 4) são positivos e os que ≡ 3 (mod 4) são negativos. Em seguida, um número D 0 ≠ 1 é um discriminante fundamentais se, e somente se, é o produto de pares relativamente primos membros da S .
Referências
- Henri Cohen (1993). A Course in Computational teoria dos números algébricos . Textos de pós-graduação em matemática. 138 . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-55640-0 . MR 1.228.206 .
- Duncan Buell (1989). Formas quadráticas binárias: teoria clássica e cálculos modernos . Springer-Verlag . p. 69. ISBN 0-387-97037-1 .
- Don Zagier (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper . Berlim, Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10603-6 .