Matemática -Mathematics

Matemática
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3º século aC matemático grego Euclides (segurando pinças ), como imaginado por Rafael neste detalhe da Escola de Atenas (1509-1511)

A matemática (do grego antigo μάθημα ( máthēma )  'conhecimento, estudo, aprendizagem') é uma área do conhecimento, que inclui o estudo de tópicos como números ( aritmética e teoria dos números ), fórmulas e estruturas relacionadas ( álgebra ), formas e espaços em que estão contidos ( geometria ), e quantidades e suas mudanças ( cálculo e análise ). Não há consenso geral sobre seu escopo exato ou status epistemológico .

A maior parte da atividade matemática consiste em descobrir e provar (por raciocínio puro) propriedades de objetos abstratos . Esses objetos são abstrações da natureza (como números naturais ou linhas ), ou (na matemática moderna) entidades abstratas das quais certas propriedades, chamadas axiomas , são estipuladas. Uma prova consiste em uma sucessão de aplicações de algumas regras dedutivas a resultados já conhecidos, incluindo teoremas previamente provados , axiomas e (no caso de abstração da natureza) algumas propriedades básicas que são consideradas como verdadeiros pontos de partida da teoria em consideração. O resultado de uma prova é chamado de teorema .

A matemática é amplamente utilizada na ciência para modelar fenômenos. Isso permite a extração de previsões quantitativas de leis experimentais. Por exemplo, o movimento dos planetas pode ser previsto com alta precisão usando a lei da gravitação de Newton combinada com computação matemática. A independência da verdade matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo para descrever a realidade. Então, quando surgem algumas previsões imprecisas, isso significa que o modelo deve ser melhorado ou alterado, não que a matemática esteja errada. Por exemplo, a precessão do periélio de Mercúrio não pode ser explicada pela lei da gravitação de Newton, mas é explicada com precisão pela relatividade geral de Einstein . Essa validação experimental da teoria de Einstein mostra que a lei da gravitação de Newton é apenas uma aproximação (que ainda é muito precisa na vida cotidiana).

A matemática é essencial em muitos campos, incluindo ciências naturais , engenharia , medicina , finanças , ciência da computação e ciências sociais . Algumas áreas da matemática, como estatística e teoria dos jogos , são desenvolvidas em correlação direta com suas aplicações, e muitas vezes são agrupadas sob o nome de matemática aplicada . Outras áreas matemáticas são desenvolvidas independentemente de qualquer aplicação (e por isso são chamadas de matemática pura ), mas as aplicações práticas são muitas vezes descobertas mais tarde. Um exemplo adequado é o problema da fatoração de inteiros , que remonta a Euclides , mas que não tinha aplicação prática antes de seu uso no sistema criptográfico RSA (para a segurança de redes de computadores ).

A matemática tem sido uma atividade humana desde que existem registros escritos . No entanto, o conceito de "prova" e seu " rigor matemático " associado apareceram pela primeira vez na matemática grega , mais notavelmente nos Elementos de Euclides . A matemática desenvolveu-se em um ritmo relativamente lento até o Renascimento , quando a álgebra e o cálculo infinitesimal foram adicionados à aritmética e à geometria como áreas principais da matemática. Desde então, a interação entre inovações matemáticas e descobertas científicas levou a um rápido aumento na taxa de descobertas matemáticas. No final do século XIX, a crise fundacional da matemática levou à sistematização do método axiomático . Isso, por sua vez, deu origem a um aumento dramático no número de áreas de matemática e seus campos de aplicação; uma testemunha disso é a Classificação de Assuntos de Matemática , que lista mais de sessenta áreas de matemática de primeiro nível.

Áreas da matemática

Antes do Renascimento , a matemática era dividida em duas áreas principais: aritmética , dedicada à manipulação de números , e geometria , dedicada ao estudo das formas. Havia também algumas pseudociências , como a numerologia e a astrologia , que não eram claramente distinguidas da matemática.

Em torno do Renascimento, surgiram duas novas áreas principais. A introdução da notação matemática levou à álgebra , que, grosso modo, consiste no estudo e na manipulação de fórmulas . Cálculo , uma abreviação de cálculo infinitesimal e cálculo integral , é o estudo de funções contínuas , que modelam a mudança e a relação entre quantidades variáveis ​​( variáveis ). Essa divisão em quatro áreas principais permaneceu válida até o final do século XIX, embora algumas áreas, como a mecânica celeste e a mecânica dos sólidos , muitas vezes consideradas como matemáticas, sejam agora consideradas como pertencentes à física . Além disso, algumas disciplinas desenvolvidas durante esse período são anteriores à matemática (sendo dividida em diferentes) áreas, como a teoria das probabilidades e a combinatória , que só mais tarde passaram a ser consideradas áreas autônomas próprias.

No final do século XIX, a crise fundacional da matemática e a consequente sistematização do método axiomático levaram a uma explosão na quantidade de áreas da matemática. A Classificação de Assuntos de Matemática contém mais de 60 áreas de primeiro nível. Algumas dessas áreas correspondem à divisão mais antiga em quatro áreas principais. É o caso da teoria dos números (o nome moderno da aritmética superior ) e da geometria . No entanto, existem várias outras áreas de primeiro nível que têm "geometria" em seu nome ou são comumente consideradas como pertencentes à geometria. Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são divididas em várias áreas de primeiro nível. Outras áreas de primeiro nível não existiam antes do século 20 (por exemplo , teoria das categorias ; álgebra homológica e ciência da computação ) ou não eram consideradas antes como matemática, como 03: Lógica matemática e fundamentos (incluindo teoria de modelos , teoria da computabilidade , teoria dos conjuntos , teoria da prova e lógica algébrica ).

Teoria dos Números

A distribuição de números primos é um ponto central de estudo na teoria dos números. Essa espiral de Ulam serve para ilustrá-la, insinuando, em particular, a independência condicional entre ser primo e ser um valor de certos polinômios quadráticos.

A teoria dos números começou com a manipulação de números , ou seja, números naturais e posteriormente expandida para números inteiros e racionais . ${\displaystyle (\mathbb {N} ),}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ).}$

Uma especificidade da teoria dos números é que muitos problemas que podem ser enunciados de forma muito elementar são muito difíceis e, quando resolvidos, têm uma solução que requer métodos muito sofisticados provenientes de várias partes da matemática. Um exemplo notável é o último teorema de Fermat que foi enunciado em 1637 por Pierre de Fermat e provado apenas em 1994 por Andrew Wiles , usando, entre outras ferramentas, geometria algébrica (mais especificamente teoria dos esquemas ), teoria das categorias e álgebra homológica . Outro exemplo é a conjectura de Goldbach , que afirma que todo inteiro par maior que 2 é a soma de dois números primos . Afirmado em 1742 por Christian Goldbach , permanece não comprovado, apesar do esforço considerável.

Tendo em vista a diversidade dos problemas estudados e dos métodos de resolução, a teoria dos números está atualmente dividida em várias subáreas, que incluem a teoria analítica dos números , a teoria algébrica dos números , a geometria dos números (orientada a métodos), as equações diofantinas e a teoria da transcendência (orientada a problemas). .

Geometria

A geometria é, juntamente com a aritmética , um dos ramos mais antigos da matemática. Começou com receitas empíricas sobre formas, como linhas , ângulos e círculos , que foram desenvolvidas principalmente para a necessidade de topografia e arquitetura .

Uma inovação fundamental foi a elaboração de provas pelos antigos gregos : não é suficiente verificar por medição que, digamos, dois comprimentos são iguais. Tal propriedade deve ser provada por raciocínio abstrato a partir de resultados previamente comprovados ( teoremas ) e propriedades básicas (que são consideradas auto-evidentes porque são muito básicas para serem objeto de uma prova ( postulados )). Este princípio, que é fundamental para toda a matemática, foi elaborado em prol da geometria, e foi sistematizado por Euclides por volta de 300 aC em seu livro Elementos .

A geometria euclidiana resultante é o estudo das formas e seus arranjos construídos a partir de linhas , planos e círculos no plano euclidiano ( geometria plana ) e no espaço euclidiano (tridimensional) .

A geometria euclidiana foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quando René Descartes introduziu o que hoje é chamado de coordenadas cartesianas . Esta foi uma grande mudança de paradigma, pois em vez de definir números reais como comprimentos de segmentos de reta (ver reta numérica ), permitiu a representação de pontos usando números (suas coordenadas), e para o uso de álgebra e, posteriormente, cálculo para resolver problemas geométricos. Essa geometria divide em duas partes que diferem apenas por seus métodos, geometria sintética , que usa métodos puramente geométricos, e geometria analítica , que usa coordenadas sistemicamente.

A geometria analítica permite o estudo de novas formas, em particular curvas que não estão relacionadas a círculos e linhas; essas curvas são definidas como gráficos de funções (cujo estudo levou à geometria diferencial ), ou por equações implícitas , muitas vezes equações polinomiais (que geraram a geometria algébrica ). A geometria analítica permite considerar espaços com dimensões superiores a três (basta considerar mais de três coordenadas), que já não são um modelo do espaço físico.

A geometria expandiu-se rapidamente durante o século XIX. Um acontecimento importante foi a descoberta (na segunda metade do século XIX) de geometrias não euclidianas , que são geometrias onde o postulado das paralelas é abandonado. Este é, além do paradoxo de Russel , um dos pontos de partida da crise fundacional da matemática , ao colocar em questão a veracidade do referido postulado. Esse aspecto da crise foi resolvido sistematizando o método axiomático e adotando que a verdade dos axiomas escolhidos não é um problema matemático. Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de diversas geometrias obtidas quer alterando os axiomas, quer considerando propriedades que são invariantes sob transformações específicas do espaço . Isso resulta em várias subáreas e generalizações de geometria que incluem:

• A geometria projetiva , introduzida no século XVI por Girard Desargues , estende a geometria euclidiana adicionando pontos no infinito nos quais as linhas paralelas se cruzam. Isso simplifica muitos aspectos da geometria clássica, evitando ter um tratamento diferente para linhas de interseção e paralelas.
• Geometria afim , o estudo das propriedades relativas ao paralelismo e independente do conceito de comprimento.
• Geometria diferencial , o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas usando funções diferenciáveis
• Teoria da variedade , o estudo de formas que não estão necessariamente inseridas em um espaço maior
• Geometria Riemanniana , o estudo das propriedades da distância em espaços curvos
• Geometria algébrica , o estudo de curvas, superfícies e suas generalizações, que são definidas usando polinômios
• Topologia , o estudo das propriedades que são mantidas sob deformações contínuas
  • Topologia algébrica , o uso em topologia de métodos algébricos, principalmente álgebra homológica
• Geometria discreta , o estudo das configurações finitas em geometria
• Geometria convexa , o estudo dos conjuntos convexos , que tira sua importância de suas aplicações em otimização
• Geometria complexa , a geometria obtida pela substituição de números reais por números complexos

Álgebra

A álgebra pode ser vista como a arte de manipular equações e fórmulas . Diofanto (século III) e Al-Khwarizmi (século IX) foram dois principais precursores da álgebra. O primeiro resolveu algumas relações entre números naturais desconhecidos (isto é, equações) deduzindo novas relações até obter a solução. O segundo introduziu métodos sistemáticos para transformar equações (como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado). O termo álgebra é derivado da palavra árabe que ele usou para nomear um desses métodos no título de seu tratado principal .

A fórmula quadrática expressa concisamente as soluções de todas as equações quadráticas

A álgebra começou a ser uma área específica apenas com François Viète (1540-1603), que introduziu o uso de letras ( variáveis ) para representar números desconhecidos ou não especificados. Isso permite descrever concisamente as operações que devem ser feitas sobre os números representados pelas variáveis.

Até o século 19, a álgebra consistia principalmente no estudo de equações lineares que é chamada atualmente de álgebra linear e equações polinomiais em uma única incógnita , que eram chamadas de equações algébricas (um termo que ainda está em uso, embora possa ser ambíguo). Durante o século 19, as variáveis ​​começaram a representar outras coisas além de números (como matrizes , inteiros modulares e transformações geométricas ), nas quais algumas operações podem operar, que geralmente são generalizações de operações aritméticas. Para lidar com isso, foi introduzido o conceito de estrutura algébrica , que consiste em um conjunto cujos elementos não são especificados, em operações que atuam sobre os elementos do conjunto e regras que essas operações devem seguir. Assim, o escopo da álgebra evoluiu para se tornar essencialmente o estudo das estruturas algébricas. Esse objeto da álgebra foi chamado de álgebra moderna ou álgebra abstrata , sendo este último termo ainda usado, principalmente no contexto educacional, em oposição à álgebra elementar que se preocupa com a maneira mais antiga de manipular fórmulas.

Cubo de Rubik: o estudo de seus movimentos possíveis é uma aplicação concreta da teoria dos grupos

Alguns tipos de estruturas algébricas têm propriedades que são úteis, e muitas vezes fundamentais, em muitas áreas da matemática. Seu estudo são hoje partes autônomas da álgebra, que incluem:

• teoria de grupo ;
• teoria de campo ;
• espaços vetoriais , cujo estudo é essencialmente o mesmo da álgebra linear ;
• teoria dos anéis ;
• álgebra comutativa , que é o estudo de anéis comutativos , inclui o estudo de polinômios e é uma parte fundamental da geometria algébrica ;
• álgebra homológica
• álgebra de mentira e teoria dos grupos de mentira;
• Álgebra booleana , que é amplamente utilizada para o estudo da estrutura lógica dos computadores .

O estudo dos tipos de estruturas algébricas como objetos matemáticos é o objeto da álgebra universal e da teoria das categorias . Este último se aplica a todas as estruturas matemáticas (não apenas às algébricas). Na sua origem, foi introduzida, juntamente com a álgebra homológica, por permitir o estudo algébrico de objetos não algébricos, como espaços topológicos ; essa área específica de aplicação é chamada de topologia algébrica .

Cálculo e análise

O cálculo, anteriormente chamado cálculo infinitesimal , foi introduzido no século XVII por Newton e Leibniz , de forma independente e simultânea. É fundamentalmente o estudo da relação de duas grandezas variáveis, chamadas variáveis , tais que uma depende da outra. O cálculo foi amplamente expandido no século XVIII por Euler , com a introdução do conceito de função e muitos outros resultados. Atualmente "cálculo" refere-se principalmente à parte elementar desta teoria, e "análise" é comumente usada para partes avançadas.

A análise é subdividida em análise real , onde as variáveis ​​representam números reais e análise complexa, onde as variáveis ​​representam números complexos . Atualmente existem muitas subáreas de análise, algumas sendo compartilhadas com outras áreas da matemática; eles incluem:

• Cálculo multivariável
• Análise funcional , onde as variáveis ​​representam funções variadas;
• Integração , teoria da medida e teoria do potencial , todas fortemente relacionadas com a teoria das probabilidades ;
• Equações diferenciais ordinárias ;
• Equações diferenciais parciais ;
• Análise numérica , dedicada principalmente ao cálculo em computadores de soluções de equações diferenciais ordinárias e parciais que surgem em muitas aplicações da matemática.

Matemática discreta

Lógica matemática e teoria dos conjuntos

Essas disciplinas pertencem à matemática desde o final do século XIX. Antes desse período, os conjuntos não eram considerados objetos matemáticos , e a lógica , embora usada para provas matemáticas , pertencia à filosofia e não era especificamente estudada pelos matemáticos.

Antes do estudo de conjuntos infinitos por Georg Cantor , os matemáticos relutam em considerar coleções que são realmente infinitas , e consideram o infinito como o resultado de uma enumeração sem fim . O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas por considerar conjuntos realmente infinitos, mas também por mostrar que isso implica em diferentes tamanhos de infinito (veja o argumento diagonal de Cantor ) e a existência de objetos matemáticos que não podem ser computados, e nem mesmo descritos explicitamente (por exemplo , bases de Hamel dos números reais sobre os números racionais ). Isso levou à controvérsia sobre a teoria dos conjuntos de Cantor .

No mesmo período, apareceu em várias áreas da matemática que as antigas definições intuitivas dos objetos matemáticos básicos eram insuficientes para garantir o rigor matemático . Exemplos de tais definições intuitivas são "um conjunto é uma coleção de objetos", " número natural é o que é usado para contar", "um ponto é uma forma com comprimento zero em todas as direções", "uma curva é um traço deixado por um ponto em movimento", etc.

Esta é a origem da crise fundamental da matemática . Ele acabou sendo resolvido no mainstream da matemática por sistematizar o método axiomático dentro de uma teoria dos conjuntos formalizada . Grosso modo, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e as propriedades que esses objetos devem ter. Por exemplo, na aritmética de Peano , os números naturais são definidos por "zero é um número", "cada número como um sucessor único", "cada número exceto zero tem um predecessor único" e algumas regras de raciocínio. A "natureza" dos objetos definidos dessa maneira é um problema filosófico que os matemáticos deixam para os filósofos, mesmo que muitos matemáticos tenham opiniões sobre essa natureza, e usem sua opinião - às vezes chamada de "intuição" - para guiar seu estudo e encontrar provas.

Esta abordagem permite considerar "lógicas" (isto é, conjuntos de regras de dedução permitidas), teoremas , provas, etc. como objetos matemáticos, e provar teoremas sobre eles. Por exemplo, os teoremas da incompletude de Gödel afirmam, grosso modo, que, em toda teoria que contém os números naturais, existem teoremas que são verdadeiros (isso é demonstrável em uma teoria maior), mas não demonstráveis ​​dentro da teoria.

Esta abordagem dos fundamentos da matemática foi desafiada durante a primeira metade do século XX por matemáticos liderados por LEJ Brouwer que promoveram uma lógica intuicionista que exclui a lei do terceiro excluído .

Esses problemas e debates levaram a uma ampla expansão da lógica matemática, com subáreas como teoria dos modelos (modelagem de algumas teorias lógicas dentro de outra teoria), teoria da prova , teoria dos tipos , teoria da computabilidade e teoria da complexidade computacional . Embora esses aspectos da lógica matemática tenham sido introduzidos antes do surgimento dos computadores , seu uso no projeto de compiladores , certificação de programas , assistentes de prova e outros aspectos da ciência da computação contribuíram, por sua vez, para a expansão dessas teorias lógicas.

Matemática Aplicada

A matemática aplicada se preocupa com métodos matemáticos que são normalmente usados ​​em ciência, engenharia , negócios e indústria . Assim, "matemática aplicada" é uma ciência matemática com conhecimento especializado . O termo matemática aplicada também descreve a especialidade profissional na qual os matemáticos trabalham em problemas práticos; como uma profissão focada em problemas práticos, a matemática aplicada se concentra na "formulação, estudo e uso de modelos matemáticos" em ciências, engenharia e outras áreas da prática matemática.

No passado, as aplicações práticas motivaram o desenvolvimento de teorias matemáticas, que então se tornaram objeto de estudo em matemática pura, onde a matemática é desenvolvida principalmente por si mesma. Assim, a atividade da matemática aplicada está vitalmente ligada à pesquisa em matemática pura .

Estatística e outras ciências da decisão

A matemática aplicada tem sobreposição significativa com a disciplina de estatística, cuja teoria é formulada matematicamente, especialmente com a teoria das probabilidades . Os estatísticos (trabalhando como parte de um projeto de pesquisa) "criam dados que fazem sentido" com amostragem aleatória e experimentos aleatórios ; o desenho de uma amostra estatística ou experimento especifica a análise dos dados (antes que os dados estejam disponíveis). Ao reconsiderar dados de experimentos e amostras ou ao analisar dados de estudos observacionais , os estatísticos "entendem os dados" usando a arte da modelagem e a teoria da inferência — com seleção e estimativa de modelos ; os modelos estimados e as previsões consequentes devem ser testados em novos dados .

A teoria estatística estuda problemas de decisão como minimizar o risco ( perda esperada ) de uma ação estatística, como usar um procedimento em, por exemplo, estimativa de parâmetros , teste de hipóteses e seleção do melhor . Nessas áreas tradicionais de estatística matemática , um problema de decisão estatística é formulado minimizando uma função objetivo , como perda ou custo esperado , sob restrições específicas: Por exemplo, projetar uma pesquisa geralmente envolve minimizar o custo de estimar uma média populacional com um determinado nível de confiança. Por causa de seu uso de otimização , a teoria matemática da estatística compartilha preocupações com outras ciências da decisão , como pesquisa operacional , teoria de controle e economia matemática .

Matemática computacional

A matemática computacional propõe e estuda métodos para resolver problemas matemáticos que normalmente são grandes demais para a capacidade numérica humana. A análise numérica estuda métodos para problemas em análise usando análise funcional e teoria de aproximação ; a análise numérica inclui amplamente o estudo de aproximação e discretização com foco especial em erros de arredondamento . A análise numérica e, mais amplamente, a computação científica também estudam tópicos não analíticos da ciência matemática, especialmente a teoria algorítmica de matrizes e grafos . Outras áreas da matemática computacional incluem álgebra computacional e computação simbólica .

Teoria do jogo	Dinâmica de fluidos	Análise numérica	Otimização	Teoria da probabilidade	Estatisticas	Criptografia
Finanças matemáticas	Física matemática	Química matemática	Biologia matemática	Economia matemática	Teoria de controle

História

A história da matemática pode ser vista como uma série cada vez maior de abstrações . Evolutivamente falando, a primeira abstração a ocorrer, que é compartilhada por muitos animais, foi provavelmente a dos números: a percepção de que uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (por exemplo) têm algo em comum, ou seja, a quantidade de seus membros. Conforme evidenciado por registros encontrados em ossos, além de reconhecer como contar objetos físicos, os povos pré -históricos também podem ter reconhecido como contar quantidades abstratas, como tempo – dias, estações ou anos.

O tablet matemático babilônico Plimpton 322, datado de 1800 aC.

Evidência para matemática mais complexa não aparece até cerca de 3000  aC , quando os babilônios e egípcios começaram a usar aritmética , álgebra e geometria para tributação e outros cálculos financeiros, para construção e astronomia . Os textos matemáticos mais antigos da Mesopotâmia e do Egito são de 2000 a 1800 aC. Muitos textos antigos mencionam triplos pitagóricos e assim, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o conceito matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e da geometria básicas. É na matemática babilônica que a aritmética elementar ( adição , subtração , multiplicação e divisão ) aparece pela primeira vez no registro arqueológico. Os babilônios também possuíam um sistema de valor posicional e usavam um sistema de numeração sexagesimal que ainda é usado hoje para medir ângulos e tempo.

Arquimedes usou o método de exaustão , descrito aqui, para aproximar o valor de pi .

Começando no século 6 aC com os pitagóricos , com a matemática grega , os gregos antigos começaram um estudo sistemático da matemática como um assunto por direito próprio. Por volta de 300 aC, Euclides introduziu o método axiomático ainda usado na matemática hoje, consistindo em definição, axioma, teorema e prova. Seu livro, Elements , é amplamente considerado o livro-texto mais bem-sucedido e influente de todos os tempos. O maior matemático da antiguidade é frequentemente considerado Arquimedes (c. 287–212 aC) de Siracusa . Ele desenvolveu fórmulas para calcular a área superficial e o volume de sólidos de revolução e usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com a soma de uma série infinita , de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno. Outras realizações notáveis ​​da matemática grega são as seções cônicas ( Apolônio de Perga , século III aC), trigonometria ( Hiparco de Nicéia , século II aC) e os primórdios da álgebra ( Diofanto , século III dC).

Os numerais usados ​​no manuscrito Bakhshali , datado entre o século 2 aC e o século 2 dC.

O sistema de numeração hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo hoje, evoluíram ao longo do primeiro milênio dC na Índia e foram transmitidos ao mundo ocidental através da matemática islâmica . Outros desenvolvimentos notáveis ​​da matemática indiana incluem a definição moderna e aproximação de seno e cosseno , e uma forma primitiva de séries infinitas .

Uma página da Álgebra de al-Khwārizmī

Leonardo Fibonacci , o matemático italiano que introduziu o sistema de numeração hindu-arábico inventado entre os séculos 1 e 4 por matemáticos indianos, para o mundo ocidental.

Durante a Idade de Ouro do Islã , especialmente durante os séculos IX e X, a matemática viu muitas inovações importantes baseadas na matemática grega. A realização mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento da álgebra . Outras realizações do período islâmico incluem avanços na trigonometria esférica e a adição do ponto decimal ao sistema de numeração arábico. Muitos matemáticos notáveis ​​deste período eram persas, como Al-Khwarismi , Omar Khayyam e Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Durante o início do período moderno , a matemática começou a se desenvolver em ritmo acelerado na Europa Ocidental . O desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Leibniz no século XVII revolucionou a matemática. Leonhard Euler foi o matemático mais notável do século XVIII, contribuindo com numerosos teoremas e descobertas. Talvez o matemático mais importante do século XIX tenha sido o matemático alemão Carl Gauss , que fez inúmeras contribuições para campos como álgebra , análise , geometria diferencial , teoria das matrizes , teoria dos números e estatística . No início do século 20, Kurt Gödel transformou a matemática publicando seus teoremas da incompletude , que mostram em parte que qualquer sistema axiomático consistente – se poderoso o suficiente para descrever a aritmética – conterá proposições verdadeiras que não podem ser provadas.

Desde então, a matemática foi muito ampliada e houve uma interação frutífera entre matemática e ciência , em benefício de ambas. Descobertas matemáticas continuam a ser feitas até hoje. De acordo com Mikhail B. Sevryuk, na edição de janeiro de 2006 do Bulletin of the American Mathematical Society , "O número de artigos e livros incluídos no banco de dados Mathematical Reviews desde 1940 (o primeiro ano de operação do MR) é agora mais de 1,9 milhões, e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados a cada ano. A esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano contém novos teoremas matemáticos e suas provas ."

Etimologia

A palavra matemática vem do grego antigo máthēma ( μάθημα ), que significa "o que é aprendido", "o que se conhece", portanto também "estudo" e "ciência". A palavra para "matemática" passou a ter o significado mais estreito e técnico "estudo matemático" mesmo nos tempos clássicos. Seu adjetivo é mathēmatikós ( μαθηματικός ), que significa "relacionado ao aprendizado" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático". Em particular, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latim : ars mathematica ) significava "a arte matemática".

Da mesma forma, uma das duas principais escolas de pensamento do pitagorismo era conhecida como mathēmatikoi (μαθηματικοί) - que na época significava "alunos" em vez de "matemáticos" no sentido moderno.

Em latim, e em inglês até cerca de 1700, o termo matemática significava mais comumente " astrologia " (ou às vezes " astronomia ") em vez de "matemática"; o significado mudou gradualmente para o atual de cerca de 1500 a 1800. Isso resultou em vários erros de tradução. Por exemplo, a advertência de Santo Agostinho de que os cristãos devem tomar cuidado com mathematici , ou seja, astrólogos, às vezes é mal traduzida como uma condenação dos matemáticos.

A forma plural aparente em inglês, como a forma plural francesa les mathématiques (e o derivado singular menos comumente usado la mathématique ), remonta ao latim neutro plural mathematica ( Cícero ), baseado no plural grego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), usado por Aristóteles (384-322 aC), e significando aproximadamente "todas as coisas matemáticas", embora seja plausível que o inglês tenha emprestado apenas o adjetivo mathematic (al) e formado o substantivo math novamente, seguindo o padrão da física e da metafísica , que foram herdado do grego. Em inglês, o substantivo math leva um verbo no singular. Muitas vezes é abreviado para maths ou, na América do Norte, math .

Filosofia da matemática

Não há consenso geral sobre a definição exata ou status epistemológico da matemática. Aristóteles definiu a matemática como "a ciência da quantidade" e esta definição prevaleceu até o século 18. No entanto, Aristóteles também observou que um foco na quantidade por si só pode não distinguir a matemática de ciências como a física; em sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável em pensamento" de instâncias reais separam a matemática.

No século 19, quando o estudo da matemática aumentou em rigor e começou a abordar tópicos abstratos, como teoria de grupos e geometria projetiva , que não têm uma relação clara com quantidade e medida, matemáticos e filósofos começaram a propor uma variedade de novas definições. .

Muitos matemáticos profissionais não se interessam por uma definição de matemática ou a consideram indefinível. Não há sequer consenso sobre se a matemática é uma arte ou uma ciência. Alguns apenas dizem: "Matemática é o que os matemáticos fazem".

Três tipos principais

Três tipos principais de definição de matemática hoje são chamados logicista , intuicionista e formalista , cada um refletindo uma escola filosófica diferente de pensamento. Todos têm falhas graves, nenhum tem ampla aceitação e nenhuma reconciliação parece possível.

Definições de lógico

Uma definição inicial de matemática em termos de lógica foi a de Benjamin Peirce (1870): "a ciência que tira conclusões necessárias". No Principia Mathematica , Bertrand Russell e Alfred North Whitehead avançaram o programa filosófico conhecido como logicismo e tentaram provar que todos os conceitos, declarações e princípios matemáticos podem ser definidos e provados inteiramente em termos de lógica simbólica . Um exemplo de uma definição logicista da matemática é a de Russell (1903) "Toda Matemática é Lógica Simbólica".

Definições intuicionistas

As definições intuicionistas , desenvolvidas a partir da filosofia do matemático LEJ Brouwer , identificam a matemática com certos fenômenos mentais. Um exemplo de definição intuicionista é "Matemática é a atividade mental que consiste em realizar construções uma após a outra". Uma peculiaridade do intuicionismo é que ele rejeita algumas ideias matemáticas consideradas válidas de acordo com outras definições. Em particular, enquanto outras filosofias da matemática permitem que objetos que podem ser provados existem mesmo que não possam ser construídos, o intuicionismo permite apenas objetos matemáticos que podem ser realmente construídos. Os intuicionistas também rejeitam a lei do terceiro excluído (ou seja, ). Embora essa postura os force a rejeitar uma versão comum de prova por contradição como um método de prova viável, ou seja, a inferência de , eles ainda são capazes de inferir de . Para eles, é uma declaração estritamente mais fraca do que . ${\estilo de exibição P\vee \neg P}$${\estilo de exibição P}$${\displaystyle \neg P\to \bot }$${\estilo de exibição \neg P}$${\displaystyle P\to \bot }$${\estilo de exibição \neg (\neg P)}$${\estilo de exibição P}$

Definições formalistas

As definições formalistas identificam a matemática com seus símbolos e as regras para operar neles. Haskell Curry definiu a matemática simplesmente como "a ciência dos sistemas formais". Um sistema formal é um conjunto de símbolos, ou tokens , e algumas regras sobre como os tokens devem ser combinados em fórmulas . Em sistemas formais, a palavra axioma tem um significado especial diferente do significado comum de "uma verdade auto-evidente", e é usada para se referir a uma combinação de tokens que está incluída em um determinado sistema formal sem precisar ser derivada usando o regras do sistema.

A matemática como ciência

Carl Friedrich Gauss , conhecido como o príncipe dos matemáticos

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss se referiu à matemática como "a rainha das ciências". Mais recentemente, Marcus du Sautoy chamou a matemática de "a rainha da ciência ... a principal força motriz por trás da descoberta científica". O filósofo Karl Popper observou que "a maioria das teorias matemáticas são, como as da física e da biologia , hipotético - dedutivas : a matemática pura, portanto, acaba por estar muito mais próxima das ciências naturais cujas hipóteses são conjecturas, do que parecia até recentemente". Popper também observou que "certamente admitirei um sistema como empírico ou científico apenas se for capaz de ser testado pela experiência".

A matemática compartilha muito em comum com muitos campos das ciências físicas, notadamente a exploração das consequências lógicas das suposições. A intuição e a experimentação também desempenham um papel na formulação de conjecturas tanto na matemática quanto nas (outras) ciências. A matemática experimental continua a crescer em importância dentro da matemática, e a computação e a simulação estão desempenhando um papel cada vez maior nas ciências e na matemática.

Vários autores consideram que a matemática não é uma ciência porque não se baseia em evidências empíricas . As opiniões dos matemáticos sobre este assunto são variadas. Muitos matemáticos acham que chamar sua área de ciência é minimizar a importância de seu lado estético e de sua história nas tradicionais sete artes liberais ; outros acham que ignorar sua conexão com as ciências é fechar os olhos para o fato de que a interface entre a matemática e suas aplicações na ciência e na engenharia impulsionou muito desenvolvimento na matemática. Uma maneira pela qual essa diferença de ponto de vista se desenrola é no debate filosófico sobre se a matemática é criada (como na arte) ou descoberta (como na ciência). Na prática, os matemáticos são tipicamente agrupados com os cientistas no nível bruto, mas separados nos níveis mais sutis. Esta é uma das muitas questões consideradas na filosofia da matemática .

Inspiração, matemática pura e aplicada e estética

Isaac Newton (esquerda) e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o cálculo infinitesimal.

A matemática surge de muitos tipos diferentes de problemas. No início, estes foram encontrados no comércio, medição de terras , arquitetura e depois astronomia ; hoje, todas as ciências apresentam problemas estudados por matemáticos, e muitos problemas surgem dentro da própria matemática. Por exemplo, o físico Richard Feynman inventou a formulação integral do caminho da mecânica quântica usando uma combinação de raciocínio matemático e percepção física, e a teoria das cordas de hoje , uma teoria científica ainda em desenvolvimento que tenta unificar as quatro forças fundamentais da natureza , continua a inspirar nova matemática.

Alguma matemática é relevante apenas na área que a inspirou e é aplicada para resolver outros problemas nessa área. Mas muitas vezes a matemática inspirada em uma área se mostra útil em muitas áreas e junta-se ao estoque geral de conceitos matemáticos. Muitas vezes é feita uma distinção entre matemática pura e matemática aplicada . No entanto, os tópicos de matemática pura muitas vezes acabam tendo aplicações, por exemplo, teoria dos números em criptografia .

Este fato notável, que mesmo a matemática "mais pura" muitas vezes acaba tendo aplicações práticas, é o que o físico Eugene Wigner chamou de " a eficácia irracional da matemática ". O filósofo da matemática Mark Steiner escreveu extensivamente sobre este assunto e reconhece que a aplicabilidade da matemática constitui “um desafio ao naturalismo”. Para a filósofa da matemática Mary Leng , o fato de o mundo físico agir de acordo com os ditames de entidades matemáticas não causais existentes além do universo é "uma feliz coincidência". Por outro lado, para alguns antirrealistas , as conexões, que são adquiridas entre coisas matemáticas, apenas espelham as conexões adquiridas entre objetos do universo, então não há "feliz coincidência".

Como na maioria das áreas de estudo, a explosão do conhecimento na era científica levou à especialização: agora existem centenas de áreas especializadas em matemática e a mais recente Classificação de Matérias em Matemática tem 46 páginas. Várias áreas da matemática aplicada se fundiram com tradições relacionadas fora da matemática e se tornaram disciplinas por direito próprio, incluindo estatística, pesquisa operacional e ciência da computação .

Para aqueles que são inclinados à matemática, muitas vezes há um aspecto estético definido em grande parte da matemática. Muitos matemáticos falam sobre a elegância da matemática, sua estética intrínseca e beleza interior. A simplicidade e a generalidade são valorizadas. Há beleza em uma prova simples e elegante , como a prova de Euclides de que existem infinitos números primos , e em um método numérico elegante que acelera o cálculo, como a rápida transformada de Fourier . GH Hardy em A Mathematician's Apology expressou a crença de que essas considerações estéticas são, em si mesmas, suficientes para justificar o estudo da matemática pura. Ele identificou critérios como significância, imprevisibilidade, inevitabilidade e economia como fatores que contribuem para uma estética matemática. A pesquisa matemática geralmente busca características críticas de um objeto matemático. Um teorema expresso como uma caracterização de um objeto por essas características é o prêmio. Exemplos de argumentos matemáticos particularmente sucintos e reveladores foram publicados em Proofs from THE BOOK .

A popularidade da matemática recreativa é outro sinal do prazer que muitos encontram em resolver questões matemáticas. No outro extremo social, os filósofos continuam a encontrar problemas na filosofia da matemática , como a natureza da prova matemática .

Notação, linguagem e rigor

Leonhard Euler criou e popularizou grande parte da notação matemática usada hoje.

A maior parte da notação matemática em uso hoje foi inventada após o século XV. Antes disso, a matemática era escrita em palavras, limitando a descoberta matemática. Euler (1707-1783) foi responsável por muitas dessas notações. A notação moderna torna a matemática eficiente para o profissional, enquanto os iniciantes geralmente a acham assustadora.

A linguagem matemática fornece um significado mais preciso para palavras comuns como ou e somente do que elas têm na fala cotidiana. Outros termos como aberto e campo são ao mesmo tempo precisos e também se referem a conceitos específicos presentes apenas na matemática. A linguagem matemática também inclui muitos termos técnicos, como homeomorfismo e integrável , que não têm significado fora da matemática. Além disso, frases abreviadas como iff para " se e somente se " pertencem ao jargão matemático . Essa notação especial e vocabulário técnico são precisos e concisos, tornando possível trabalhar em ideias de complexidade desmedida. Os matemáticos referem-se a essa precisão de linguagem e lógica como "rigor".

A validade das provas matemáticas é fundamentalmente uma questão de rigor . Os matemáticos querem que seus teoremas sigam axiomas por meio de raciocínio sistemático. Isso é para evitar "teoremas" equivocados, baseados em intuições falíveis, que surgiram muitas vezes na história da matemática. O rigor esperado na matemática variou ao longo do tempo: os gregos esperavam argumentos detalhados, mas no auge de Isaac Newton , os métodos empregados eram menos rigorosos. Problemas inerentes às definições usadas por Newton levaram ao ressurgimento de análises cuidadosas e provas formais no século XIX. A incompreensão do rigor é uma causa notável para alguns dos equívocos comuns da matemática.

Apesar da concisão da matemática, muitas provas requerem centenas de páginas para serem expressas. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos das provas se expandissem ainda mais. As provas assistidas podem ser errôneas se o software de prova tiver falhas e se forem longas, difíceis de verificar. Por outro lado, os assistentes de prova permitem a verificação de detalhes que não podem ser fornecidos em uma prova manuscrita e fornecem certeza da exatidão de provas longas, como a do teorema de Feit-Thompson de 255 páginas .

Tradicionalmente, os axiomas eram considerados "verdades auto-evidentes". No entanto, em um nível formal, um axioma é apenas uma sequência de símbolos, que tem um significado intrínseco apenas no contexto das fórmulas deriváveis ​​de um sistema axiomático . O programa de Hilbert tentou colocar a matemática em uma base axiomática firme, mas o teorema da incompletude de Gödel o derrubou, mostrando que todo sistema axiomático (suficientemente poderoso) tem fórmulas indecidíveis ; e assim a axiomatização da matemática é impossível. No entanto, muitas vezes se imagina que a matemática (no que diz respeito ao seu conteúdo formal) nada mais é do que teoria dos conjuntos em alguma axiomatização, no sentido de que toda afirmação ou prova matemática poderia ser transformada em fórmulas dentro da teoria dos conjuntos.

Prêmios

A parte da frente da Medalha Fields

Indiscutivelmente o prêmio de maior prestígio em matemática é a Medalha Fields , estabelecida em 1936 e concedida a cada quatro anos (exceto em torno da Segunda Guerra Mundial) para até quatro indivíduos. A Medalha Fields é muitas vezes considerada um equivalente matemático do Prêmio Nobel.

O Prêmio Wolf de Matemática , instituído em 1978, reconhece as conquistas ao longo da vida. Outro grande prêmio internacional, o Prêmio Abel , foi instituído em 2002 e concedido pela primeira vez em 2003. A Medalha Chern foi introduzida em 2010 para reconhecer as realizações da vida. Esses elogios são concedidos em reconhecimento a um determinado corpo de trabalho, que pode ser inovador ou fornecer uma solução para um problema pendente em um campo estabelecido.

Uma famosa lista de 23 problemas abertos , chamada " problemas de Hilbert ", foi compilada em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert . Essa lista alcançou grande fama entre os matemáticos, e pelo menos treze dos problemas já foram resolvidos. Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada " Problemas do Prêmio Millennium ", foi publicada em 2000. Apenas um deles, a hipótese de Riemann , duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desses problemas traz uma recompensa de 1 milhão de dólares. Atualmente, apenas um desses problemas, a conjectura de Poincaré , foi resolvido.

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

Leitura adicional