História da matemática - History of mathematics

Uma prova de Euclides 's Elements (c. 300 aC), considerado o livro mais influente de todos os tempos.
Tabela de numerais

A área de estudo conhecida como história da matemática é principalmente uma investigação sobre a origem das descobertas na matemática e, em menor grau, uma investigação sobre os métodos matemáticos e notação do passado . Antes da era moderna e da disseminação mundial do conhecimento, exemplos escritos de novos desenvolvimentos matemáticos vieram à luz apenas em alguns locais. A partir de 3000 aC, os estados mesopotâmicos da Suméria , Acádia e Assíria , seguidos de perto pelo Egito Antigo e o estado levantino de Ebla começaram a usar aritmética , álgebra e geometria para fins de tributação, comércio, comércio e também nos padrões da natureza , o campo da astronomia e para registrar o tempo e formular calendários .

Os primeiros textos matemáticos disponíveis são da Mesopotâmia e do Egito - Plimpton 322 ( babilônico c. 2000-1900 aC), o papiro matemático Rhind ( egípcio c. 1800 aC) e o Papiro matemático de Moscou (egípcio c. 1890 aC). Todos esses textos mencionam os chamados triplos pitagóricos , portanto, por inferência, o teorema de Pitágoras parece ser o desenvolvimento matemático mais antigo e difundido depois da aritmética e da geometria básicas.

O estudo da matemática como uma "disciplina demonstrativa" começou no século 6 aC com os pitagóricos , que cunharam o termo "matemática" do grego antigo μάθημα ( matema ), que significa "matéria de instrução". A matemática grega refinou muito os métodos (especialmente por meio da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático nas provas ) e expandiu o assunto da matemática. Embora não tenham feito virtualmente nenhuma contribuição para a matemática teórica , os antigos romanos usaram a matemática aplicada em levantamentos , engenharia estrutural , engenharia mecânica , contabilidade , criação de calendários lunares e solares e até artes e ofícios . A matemática chinesa fez contribuições iniciais, incluindo um sistema de valor de posição e o primeiro uso de números negativos . O sistema numeral hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo hoje, evoluíram ao longo do primeiro milênio DC na Índia e foram transmitidos ao mundo ocidental por meio da matemática islâmica por meio do trabalho de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida por essas civilizações. Contemporânea, mas independente dessas tradições, foi a matemática desenvolvida pela civilização maia do México e da América Central , onde o conceito de zero recebeu um símbolo padrão em algarismos maias .

Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram traduzidos para o latim do século 12 em diante, levando a um maior desenvolvimento da matemática na Europa medieval . Desde os tempos antigos até a Idade Média , os períodos de descoberta matemática foram frequentemente seguidos por séculos de estagnação. Começando na Itália renascentista no século 15, novos desenvolvimentos matemáticos, interagindo com novas descobertas científicas, foram feitos em um ritmo crescente que continua até os dias atuais. Isso inclui o trabalho inovador de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz no desenvolvimento do cálculo infinitesimal durante o curso do século XVII. No final do século 19, o Congresso Internacional de Matemáticos foi fundado e continua a liderar avanços na área.

Pré-histórico

As origens do pensamento matemático estão nos conceitos de número , padrões na natureza , magnitude e forma . Estudos modernos de cognição animal mostraram que esses conceitos não são exclusivos dos humanos. Esses conceitos teriam feito parte da vida cotidiana nas sociedades de caçadores-coletores. A ideia do conceito de "número" evoluindo gradualmente ao longo do tempo é sustentada pela existência de linguagens que preservam a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas não de números maiores que dois.

O osso de Ishango , encontrado próximo às cabeceiras do rio Nilo (nordeste do Congo ), pode ter mais de 20.000 anos e consiste em uma série de marcas esculpidas em três colunas ao longo do comprimento do osso. As interpretações comuns são que o osso Ishango mostra ou uma contagem da mais antiga demonstração conhecida de sequências de números primos ou um calendário lunar de seis meses. Peter Rudman argumenta que o desenvolvimento do conceito de números primos só poderia ter ocorrido após o conceito de divisão, que ele data depois de 10.000 aC, com os números primos provavelmente não sendo compreendidos até cerca de 500 aC. Ele também escreve que "nenhuma tentativa foi feita para explicar por que uma contagem de algo deveria exibir múltiplos de dois, números primos entre 10 e 20 e alguns números que são quase múltiplos de 10." O osso Ishango, de acordo com o estudioso Alexander Marshack , pode ter influenciado o desenvolvimento posterior da matemática no Egito, pois, como algumas entradas no osso Ishango, a aritmética egípcia também fez uso da multiplicação por 2; isso, entretanto, é contestado.

Os egípcios pré-dinásticos do 5º milênio aC representavam desenhos geométricos pictoricamente . Tem sido afirmado que monumentos megalíticos na Inglaterra e na Escócia , datando do terceiro milênio aC, incorporam idéias geométricas como círculos , elipses e triplos pitagóricos em seu design. Todos os itens acima são contestados, entretanto, e os documentos matemáticos indiscutíveis mais antigos atualmente são de fontes babilônicas e egípcias dinásticas.

Babilônico

A matemática babilônica se refere a qualquer matemática dos povos da Mesopotâmia (atual Iraque ), desde os dias dos primeiros sumérios, passando pelo período helenístico, quase até o início do cristianismo . A maioria dos trabalhos matemáticos da Babilônia vem de dois períodos amplamente separados: As primeiras centenas de anos do segundo milênio aC (antigo período da Babilônia) e os últimos séculos do primeiro milênio aC ( período selêucida ). É chamada de matemática babilônica devido ao papel central da Babilônia como local de estudo. Mais tarde, sob o Império Árabe , a Mesopotâmia, especialmente Bagdá , mais uma vez se tornou um importante centro de estudo para a matemática islâmica .

Problema de geometria em uma tábua de argila pertencente a uma escola de escribas; Susa , primeira metade do segundo milênio AEC

Em contraste com a escassez de fontes na matemática egípcia , o conhecimento da matemática babilônica é derivado de mais de 400 tábuas de argila desenterradas desde a década de 1850. Escritas em escrita cuneiforme , as tabuinhas eram inscritas enquanto a argila estava úmida e cozidas no forno ou pelo calor do sol. Alguns deles parecem ser trabalhos de casa avaliados.

As primeiras evidências da matemática escrita remontam aos antigos sumérios , que construíram a civilização mais antiga da Mesopotâmia. Eles desenvolveram um sistema complexo de metrologia de 3000 aC. Por volta de 2500 aC em diante, os sumérios escreveram tabuadas de multiplicação em tabuinhas de argila e lidaram com exercícios geométricos e problemas de divisão . Os primeiros vestígios dos numerais babilônicos também datam desse período.

A tabuinha matemática da Babilônia Plimpton 322, datada de 1800 aC.

A matemática babilônica foi escrita usando um sistema numeral sexagesimal (base 60) . Disto deriva o uso moderno de 60 segundos em um minuto, 60 minutos em uma hora e 360 ​​(60 × 6) graus em um círculo, bem como o uso de segundos e minutos de arco para denotar frações de um grau . É provável que o sistema sexagesimal tenha sido escolhido porque 60 pode ser dividido igualmente por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 e 30. Além disso, ao contrário dos egípcios, gregos e romanos, os babilônios tinham um sistema de valor de posição, onde os dígitos escritos na coluna da esquerda representam valores maiores, assim como no sistema decimal . O poder do sistema de notação babilônico residia no fato de poder ser usado para representar frações tão facilmente quanto números inteiros; portanto, multiplicar dois números que continham frações não era diferente de multiplicar inteiros, semelhante à notação moderna. O sistema de notação dos babilônios foi o melhor de qualquer civilização até a Renascença , e seu poder permitiu-lhe alcançar notável precisão computacional; por exemplo, a tabuinha babilônica YBC 7289 fornece uma aproximação de 2 com precisão de cinco casas decimais. Os babilônios careciam, entretanto, de um equivalente da vírgula decimal e, portanto, o valor posicional de um símbolo freqüentemente tinha que ser inferido a partir do contexto. No período selêucida, os babilônios desenvolveram um símbolo zero como um substituto para posições vazias; no entanto, foi usado apenas para posições intermediárias. Este sinal de zero não aparece nas posições terminais, portanto, os babilônios chegaram perto, mas não desenvolveram um verdadeiro sistema de valor nominal.

Outros tópicos cobertos pela matemática babilônica incluem frações, álgebra, equações quadráticas e cúbicas e o cálculo de números regulares e seus pares recíprocos . As tabuinhas também incluem tabelas de multiplicação e métodos para resolver equações lineares , quadráticas e cúbicas , um feito notável para a época. As tabuinhas do período da Antiga Babilônia também contêm as primeiras declarações conhecidas do teorema de Pitágoras . No entanto, como acontece com a matemática egípcia, a matemática babilônica não mostra nenhuma consciência da diferença entre soluções exatas e aproximadas, ou a capacidade de resolução de um problema e, o mais importante, nenhuma declaração explícita da necessidade de provas ou princípios lógicos.

egípcio

Imagem do Problema 14 do Papiro Matemático de Moscou . O problema inclui um diagrama que indica as dimensões da pirâmide truncada.

A matemática egípcia se refere à matemática escrita na língua egípcia . A partir do período helenístico , o grego substituiu o egípcio como língua escrita dos estudiosos egípcios . O estudo matemático no Egito continuou mais tarde sob o Império Árabe como parte da matemática islâmica , quando o árabe se tornou a língua escrita dos estudiosos egípcios.

O texto matemático egípcio mais extenso é o papiro Rhind (às vezes também chamado de Papiro Ahmes em homenagem ao seu autor), datado de c. 1650 aC, mas provavelmente uma cópia de um documento mais antigo do Império Médio de cerca de 2.000 a 1.800 aC. É um manual de instruções para alunos de aritmética e geometria. Além de fornecer fórmulas e métodos de área para multiplicação, divisão e trabalho com frações unitárias, ele também contém evidências de outros conhecimentos matemáticos, incluindo números primos e compostos ; meios aritméticos , geométricos e harmônicos ; e entendimentos simplistas tanto do Crivo de Eratóstenes quanto da teoria dos números perfeitos (a saber, a do número 6). Ele também mostra como resolver equações lineares de primeira ordem , bem como séries aritméticas e geométricas .

Outro texto matemático egípcio significativo é o papiro de Moscou , também do período do Império Médio , datado de c. 1890 AC. Consiste no que hoje é chamado de problemas de palavras ou problemas de história , que aparentemente tinham a intenção de entretenimento. Um problema é considerado de particular importância porque fornece um método para encontrar o volume de um tronco (pirâmide truncada).

Finalmente, o Papiro de Berlim 6619 (c. 1800 aC) mostra que os antigos egípcios podiam resolver uma equação algébrica de segunda ordem .

grego

O teorema de Pitágoras . Os pitagóricos são geralmente creditados com a primeira prova do teorema.

A matemática grega refere-se à matemática escrita na língua grega desde a época de Tales de Mileto (~ 600 aC) até o fechamento da Academia de Atenas em 529 dC. Os matemáticos gregos viviam em cidades espalhadas por todo o Mediterrâneo Oriental, da Itália ao Norte da África, mas estavam unidos pela cultura e pela língua. A matemática grega do período posterior a Alexandre, o Grande, às vezes é chamada de matemática helenística .

A matemática grega era muito mais sofisticada do que a matemática desenvolvida por culturas anteriores. Todos os registros sobreviventes da matemática pré-grega mostram o uso de raciocínio indutivo , isto é, observações repetidas usadas para estabelecer regras empíricas. Os matemáticos gregos, ao contrário, usaram o raciocínio dedutivo . Os gregos usavam a lógica para tirar conclusões de definições e axiomas e usavam o rigor matemático para prová- los.

Pensa-se que a matemática grega começou com Tales de Mileto (c. 624-c.546 aC) e Pitágoras de Samos (c. 582-c. 507 aC). Embora a extensão da influência seja contestada, eles provavelmente foram inspirados pela matemática egípcia e babilônica . Segundo a lenda, Pitágoras viajou para o Egito para aprender matemática, geometria e astronomia com os sacerdotes egípcios.

Thales usou a geometria para resolver problemas como calcular a altura das pirâmides e a distância dos navios da costa. Ele é creditado com o primeiro uso do raciocínio dedutivo aplicado à geometria, derivando quatro corolários para o teorema de Tales . Como resultado, ele foi aclamado como o primeiro matemático verdadeiro e o primeiro indivíduo conhecido a quem uma descoberta matemática foi atribuída. Pitágoras estabeleceu a Escola Pitagórica , cuja doutrina era que a matemática governava o universo e cujo lema era "Tudo é número". Foram os pitagóricos que cunharam o termo "matemática" e com quem o estudo da matemática por si só começa. Os pitagóricos são creditados com a primeira prova do teorema de Pitágoras , embora a afirmação do teorema tenha uma longa história, e com a prova da existência de números irracionais . Embora ele foi precedido pelos babilônios e os chineses , os neopitagórica matemático Nicômaco (60-120 AD), desde um dos primeiros greco-romanas tabuada , enquanto o mais antigo existente tabela de multiplicação grega é encontrada em um tablet cera datado do século 1 AD (agora encontrado no Museu Britânico ). A associação dos neopitagóricos com a invenção ocidental da tabuada é evidente em seu nome medieval posterior : mensa Pythagorica .

Platão (428/427 aC - 348/347 aC) é importante na história da matemática por inspirar e orientar os outros. Sua Academia Platônica , em Atenas , se tornou o centro matemático do mundo no século 4 aC, e foi dessa escola que os principais matemáticos da época, como Eudoxo de Cnido , vieram. Platão também discutiu os fundamentos da matemática, esclareceu algumas das definições (por exemplo, a de uma linha como "comprimento sem largura") e reorganizou as suposições. O método analítico é atribuído a Platão, enquanto uma fórmula para a obtenção dos triplos pitagóricos leva seu nome.

Eudoxus (408-c. 355 aC) desenvolveu o método da exaustão , um precursor da integração moderna e uma teoria das proporções que evitou o problema das magnitudes incomensuráveis . O primeiro permitiu o cálculo de áreas e volumes de figuras curvilíneas, enquanto o último permitiu aos geômetras subsequentes fazerem avanços significativos na geometria. Embora não tenha feito descobertas matemáticas técnicas específicas, Aristóteles (384-c. 322 aC) contribuiu significativamente para o desenvolvimento da matemática, lançando as bases da lógica .

Um dos mais antigos fragmentos de sobreviventes de Euclides Elementos , encontrados em Oxirrinco e datada de cerca de AD 100. O diagrama acompanha Livro II, Proposta 5.

No século 3 aC, o principal centro de educação e pesquisa matemática era o Museu de Alexandria . Foi lá que Euclides (c. 300 aC) ensinou e escreveu os Elementos , amplamente considerado o livro-texto mais bem-sucedido e influente de todos os tempos. Os Elementos introduziram o rigor matemático por meio do método axiomático e é o primeiro exemplo do formato ainda usado na matemática hoje, o da definição, axioma, teorema e prova. Embora a maior parte do conteúdo dos Elementos já fosse conhecida, Euclides os organizou em uma estrutura lógica única e coerente. Os Elementos eram conhecidos por todas as pessoas instruídas no Ocidente até meados do século 20 e seus conteúdos ainda são ensinados nas aulas de geometria hoje. Além dos teoremas familiares da geometria euclidiana , os Elementos foram concebidos como um livro introdutório a todos os assuntos matemáticos da época, como a teoria dos números , álgebra e geometria sólida , incluindo provas de que a raiz quadrada de dois é irracional e que há infinitamente muitos números primos. Euclides também escreveu extensivamente sobre outros assuntos, como seções cônicas , óptica , geometria esférica e mecânica, mas apenas metade de seus escritos sobreviveu.

Arquimedes usou o método da exaustão para aproximar o valor de pi .

Arquimedes (c. 287-212 aC) de Siracusa , amplamente considerado o maior matemático da antiguidade, usou o método da exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com o somatório de uma série infinita , de uma maneira não muito diferente de cálculo moderno. Ele também mostrou que era possível usar o método de exaustão para calcular o valor de π com a precisão desejada, e obteve o valor de π mais preciso então conhecido, 3 10/71 <π <310/70. Ele também estudou a espiral que leva seu nome, obteve fórmulas para os volumes das superfícies de revolução (parabolóide, elipsóide, hiperbolóide) e um método engenhoso de exponenciação para expressar números muito grandes. Embora também seja conhecido por suas contribuições para a física e vários dispositivos mecânicos avançados, o próprio Arquimedes dava muito mais valor aos produtos de seu pensamento e aos princípios matemáticos gerais. Ele considerou sua maior conquista a descoberta da área de superfície e volume de uma esfera, que obteve provando que eram 2/3 da área de superfície e volume de um cilindro que circunscrevia a esfera.

Apolônio de Perga fez avanços significativos no estudo das seções cônicas .

Apolônio de Perga (c. 262–190 aC) fez avanços significativos no estudo das seções cônicas , mostrando que se pode obter todas as três variedades de seção cônica variando o ângulo do plano que corta um cone com dupla nefasta. Ele também cunhou a terminologia em uso hoje para seções cônicas, a saber, parábola ("colocar ao lado" ou "comparação"), "elipse" ("deficiência") e "hipérbole" ("um lance além"). Sua obra Cônicas é uma das obras matemáticas mais conhecidas e preservadas da Antiguidade, e nela ele deriva muitos teoremas relativos às seções cônicas que seriam inestimáveis ​​para matemáticos e astrônomos posteriores que estudavam o movimento planetário, como Isaac Newton. Embora nem Apolônio nem qualquer outro matemático grego tenha dado o salto para coordenar a geometria, o tratamento de Apolônio das curvas é em alguns aspectos semelhante ao tratamento moderno, e alguns de seus trabalhos parecem antecipar o desenvolvimento da geometria analítica por Descartes cerca de 1800 anos depois.

Por volta da mesma época, Eratóstenes de Cirene (c. 276–194 aC) desenvolveu o Crivo de Eratóstenes para encontrar números primos . O século 3 AC é geralmente considerado como a "Idade de Ouro" da matemática grega, com os avanços na matemática pura daí em diante em declínio relativo. No entanto, nos séculos que se seguiram, avanços significativos foram feitos na matemática aplicada, mais notavelmente na trigonometria , em grande parte para atender às necessidades dos astrônomos. Hiparco de Nicéia (c. 190-120 aC) é considerado o fundador da trigonometria para compilar a primeira tabela trigonométrica conhecida, e a ele também se deve o uso sistemático do círculo de 360 ​​graus. Heron de Alexandria (c. 10–70 DC) é creditado com a fórmula de Heron para encontrar a área de um triângulo escaleno e por ser o primeiro a reconhecer a possibilidade de números negativos possuírem raízes quadradas. Menelau de Alexandria (c. 100 DC) foi o pioneiro da trigonometria esférica por meio do teorema de Menelau . O trabalho trigonométrico mais completo e influente da antiguidade é o Almagesto de Ptolomeu (c. 90-168 DC), um tratado astronômico de referência cujas tabelas trigonométricas seriam usadas pelos astrônomos pelos próximos mil anos. Ptolomeu também é creditado com o teorema de Ptolomeu para derivar quantidades trigonométricas, e o valor mais preciso de π fora da China até o período medieval, 3,1416.

Página de rosto da edição de 1621 da Aritmética de Diofanto , traduzida para o latim por Claude Gaspard Bachet de Méziriac .

Após um período de estagnação após Ptolomeu, o período entre 250 e 350 DC é algumas vezes referido como a "Idade de Prata" da matemática grega. Durante este período, Diophantus fez avanços significativos na álgebra , particularmente na análise indeterminada , que também é conhecida como "análise diofantina". O estudo das equações diofantinas e aproximações diofantinas é uma área significativa de pesquisa até hoje. Seu trabalho principal foi a Aritmética , uma coleção de 150 problemas algébricos lidando com soluções exatas para equações determinadas e indeterminadas . A Aritmética teve uma influência significativa em matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat , que chegou ao seu famoso Último Teorema depois de tentar generalizar um problema que havia lido na Aritmética (o de dividir um quadrado em dois quadrados). Diofanto também fez avanços significativos na notação, sendo a Aritmética a primeira instância de simbolismo algébrico e sincopação.

A Hagia Sophia foi projetada pelos matemáticos Antêmio de Tralles e Isidoro de Mileto .

Entre os últimos grandes matemáticos gregos está Pappus de Alexandria (século IV dC). Ele é conhecido por seu teorema do hexágono e teorema do centróide , bem como pela configuração de Pappus e gráfico de Pappus . Sua coleção é uma importante fonte de conhecimento sobre a matemática grega, já que a maior parte dela sobreviveu. Pappus é considerado o último grande inovador na matemática grega, com trabalhos subsequentes consistindo principalmente de comentários sobre trabalhos anteriores.

A primeira mulher matemática registrada pela história foi Hipácia de Alexandria (350–415 DC). Ela sucedeu a seu pai ( Theon de Alexandria ) como bibliotecário na Grande Biblioteca e escreveu muitas obras sobre matemática aplicada. Por causa de uma disputa política, a comunidade cristã em Alexandria fez com que ela fosse despida publicamente e executada. Sua morte às vezes é considerada o fim da era da matemática grega alexandrina, embora o trabalho tenha continuado em Atenas por mais um século com figuras como Proclo , Simplicius e Eutocius . Embora Proclo e Simplício fossem mais filósofos do que matemáticos, seus comentários sobre trabalhos anteriores são fontes valiosas sobre a matemática grega. O fechamento da Academia neoplatônica de Atenas pelo imperador Justiniano em 529 DC é tradicionalmente considerado o fim da era da matemática grega, embora a tradição grega tenha continuado ininterrupta no império bizantino com matemáticos como Antêmio de Tralles e Isidoro de Mileto , os arquitetos da Hagia Sophia . Não obstante, a matemática bizantina consistia principalmente em comentários, com pouca inovação, e os centros de inovação matemática já se encontravam em outros lugares nessa época.

romano

Os equipamentos utilizados por uma antiga Roman terra agrimensor ( gromatici ), encontrado no local de Aquincum , moderno Budapeste , Hungria

Embora os matemáticos gregos étnicos continuassem sob o governo do final da República Romana e do Império Romano subsequente , não havia matemáticos latinos nativos notáveis em comparação. Os antigos romanos , como Cícero (106-43 aC), um influente estadista romano que estudou matemática na Grécia, acreditavam que os topógrafos e calculadores romanos estavam muito mais interessados ​​na matemática aplicada do que na matemática teórica e na geometria apreciadas pelos gregos. Não está claro se os romanos primeiro derivaram seu sistema numérico diretamente do precedente grego ou dos numerais etruscos usados ​​pela civilização etrusca centrada no que hoje é a Toscana , na Itália central .

Usando cálculos, os romanos eram adeptos de instigar e detectar fraudes financeiras , bem como de administrar impostos para o tesouro . Siculus Flaccus , um dos gromatici romanos (ou seja, agrimensor), escreveu as categorias de campos , que ajudaram os agrimensores romanos a medir as áreas de superfície de terras e territórios atribuídos. Além de administrar o comércio e os impostos, os romanos também aplicaram regularmente a matemática para resolver problemas de engenharia , incluindo a construção de arquitetura como pontes , construção de estradas e preparação para campanhas militares . Artes e ofícios , como mosaicos romanos , inspirados em designs gregos anteriores , criaram padrões geométricos ilusionistas e cenas ricas e detalhadas que exigiam medidas precisas para cada telha de tessera , as peças do opus tessellatum medindo em média oito milímetros quadrados e as peças mais finas do opus vermiculatum com um superfície média de quatro milímetros quadrados.

A criação do calendário romano também exigiu matemática básica. O primeiro calendário supostamente remonta ao século 8 aC durante o reino romano e incluía 356 dias mais um ano bissexto a cada dois anos. Em contraste, o calendário lunar da era republicana continha 355 dias, aproximadamente dez e um quarto dias mais curtos que o ano solar , uma discrepância que foi resolvida adicionando um mês extra ao calendário após 23 de fevereiro. Este calendário foi suplantado pelo calendário Juliano , um calendário solar organizado por Júlio César (100–44 aC) e desenvolvido por Sosigenes de Alexandria para incluir um dia bissexto a cada quatro anos em um ciclo de 365 dias. Este calendário, que continha um erro de 11 minutos e 14 segundos, foi posteriormente corrigido pelo calendário gregoriano organizado pelo Papa Gregório XIII ( r . 1572–1585 ), virtualmente o mesmo calendário solar usado nos tempos modernos como o calendário padrão internacional.

Quase ao mesmo tempo, os chineses han e os romanos inventaram o odômetro com rodas para medir as distâncias percorridas, o modelo romano descrito pela primeira vez pelo engenheiro civil e arquiteto romano Vitrúvio (c. 80 aC - c. 15 aC). O dispositivo foi usado pelo menos até o reinado do imperador Commodus ( r . 177 - 192 DC ), mas seu projeto parece ter se perdido até que experimentos foram feitos durante o século 15 na Europa Ocidental. Talvez contando com engrenagens e tecnologias similares encontradas no mecanismo de Antikythera , o hodômetro de Vitruvius apresentava rodas de carruagem medindo 4 pés (1,2 m) de diâmetro girando quatrocentas vezes em uma milha romana (aproximadamente 4.590 pés / 1400 m). A cada revolução, um dispositivo de pino e eixo engatava uma roda dentada de 400 dentes que girava uma segunda engrenagem responsável por jogar pedras em uma caixa, cada pedra representando uma milha percorrida.

chinês

A Tsinghua Bamboo Slips , contendo o mundo mais antigo decimal tabela de multiplicação , datada de 305 aC, durante o Reinos Combatentes período

Uma análise da matemática chinesa antiga demonstrou seu desenvolvimento único em comparação com outras partes do mundo, levando os estudiosos a presumir um desenvolvimento totalmente independente. O texto matemático mais antigo existente da China é o Zhoubi Suanjing , com datas variadas entre 1200 aC e 100 aC, embora uma data de cerca de 300 aC durante o período dos Reinos Combatentes pareça razoável. No entanto, as tiras de bambu de Tsinghua , contendo a primeira tabela de multiplicação decimal conhecida (embora os antigos babilônios tivessem uma com uma base de 60), é datado por volta de 305 aC e talvez seja o texto matemático mais antigo da China.

Digno de nota é o uso na matemática chinesa de um sistema de notação posicional decimal, os chamados "numerais de bastão", nos quais cifras distintas eram usadas para números entre 1 e 10, e cifras adicionais para potências de dez. Assim, o número 123 seria escrito usando o símbolo para "1", seguido pelo símbolo para "100", então o símbolo para "2" seguido pelo símbolo para "10", seguido pelo símbolo para "3". Esse era o sistema numérico mais avançado do mundo na época, aparentemente em uso vários séculos antes da era comum e bem antes do desenvolvimento do sistema numeral indiano. Os numerais em bastão permitiam a representação de números tão grandes quanto desejado e permitiam que os cálculos fossem realizados no suan pan , ou ábaco chinês. A data da invenção da panela suan não é certa, mas o mais cedo escrito datas de menção a partir de 190 DC, em Xu Yue 's Notas complementares na arte das Figuras .

O trabalho mais antigo existente sobre geometria na China vem do cânone filosófico Moista c. 330 AC, compilado pelos seguidores de Mozi (470–390 AC). O Mo Jing descreveu vários aspectos de muitos campos associados à ciência física e também forneceu um pequeno número de teoremas geométricos. Ele também definiu os conceitos de circunferência , diâmetro , raio e volume .

Os nove capítulos sobre a arte matemática , um dos primeiros textos matemáticos sobreviventes da China (século 2 DC).

Em 212 aC, o imperador Qin Shi Huang ordenou que todos os livros do Império Qin, exceto os oficialmente sancionados, fossem queimados. Este decreto não foi obedecido universalmente, mas, como consequência desta ordem, pouco se sabe sobre a matemática chinesa antiga antes desta data. Após a queima de livros em 212 aC, a dinastia Han (202 aC a 220 dC) produziu obras de matemática que presumivelmente se expandiram em obras que agora estão perdidas. O mais importante deles é Os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática , cujo título completo apareceu por volta de 179 DC, mas existia em parte sob outros títulos de antemão. Consiste em problemas de 246 palavras envolvendo agricultura, negócios, emprego de geometria para calcular vãos de altura e proporções de dimensão para torres de pagode chinesas , engenharia, topografia e inclui material em triângulos retângulos . Ele criou uma prova matemática para o teorema de Pitágoras e uma fórmula matemática para a eliminação gaussiana . O tratado também fornece valores de π , que os matemáticos chineses originalmente aproximaram como 3 até que Liu Xin (d. 23 DC) forneceu uma figura de 3,1457 e, posteriormente, Zhang Heng (78-139) aproximou pi de 3,1724, bem como 3,162 tomando o raiz quadrada de 10. Liu Hui comentou sobre os Nove Capítulos no século III dC e deu um valor de π com precisão de 5 casas decimais (ou seja, 3,14159). Embora mais uma questão de resistência computacional do que uma visão teórica, no século 5 DC Zu Chongzhi calculou o valor de π com sete casas decimais (ou seja, 3,141592), que permaneceu como o valor mais preciso de π por quase os próximos 1000 anos. Ele também estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera .

O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século 13, durante a última metade da dinastia Song (960–1279), com o desenvolvimento da álgebra chinesa. O texto mais importante desse período é o Espelho Precioso dos Quatro Elementos, de Zhu Shijie (1249–1314), que trata da solução de equações algébricas simultâneas de ordem superior usando um método semelhante ao método de Horner . O espelho precioso também contém um diagrama do triângulo de Pascal com coeficientes de expansões binomiais até a oitava potência, embora ambos apareçam em obras chinesas já em 1100. Os chineses também fizeram uso do diagrama combinatório complexo conhecido como quadrado mágico e círculos mágicos , descrito nos tempos antigos e aperfeiçoado por Yang Hui (1238–1298 DC).

Mesmo depois que a matemática européia começou a florescer durante a Renascença , a matemática européia e chinesa eram tradições separadas, com uma significativa produção matemática chinesa em declínio a partir do século 13 em diante. Missionários jesuítas como Matteo Ricci levaram idéias matemáticas para frente e para trás entre as duas culturas dos séculos 16 a 18, embora neste ponto muito mais idéias matemáticas estavam entrando na China do que saindo.

A matemática japonesa , a matemática coreana e a matemática vietnamita são tradicionalmente vistas como derivadas da matemática chinesa e pertencentes à esfera cultural do leste asiático com base no confucionismo . A matemática coreana e japonesa foi fortemente influenciada pelos trabalhos algébricos produzidos durante a dinastia Song da China, enquanto a matemática vietnamita foi fortemente influenciada por obras populares da dinastia Ming da China (1368-1644). Por exemplo, embora os tratados matemáticos vietnamitas tenham sido escritos em chinês ou no idioma nativo vietnamita Chữ Nôm , todos eles seguiram o formato chinês de apresentar uma coleção de problemas com algoritmos para resolvê-los, seguidos de respostas numéricas. A matemática no Vietnã e na Coréia estava associada principalmente à burocracia profissional da corte de matemáticos e astrônomos , enquanto no Japão era mais prevalente no âmbito das escolas particulares .

indiano

Os numerais usados ​​no manuscrito Bakhshali , datado entre o século 2 aC e o século 2 dC.
Evolução dos numerais na Índia
Números indianos em pedra e inscrições de cobre
Numerais brahmi
Números Brahmi antigos em uma parte da Índia

A civilização mais antiga do subcontinente indiano é a Civilização do Vale do Indo (fase madura: 2.600 a 1900 aC) que floresceu na bacia do rio Indo . Suas cidades foram dispostas com regularidade geométrica, mas nenhum documento matemático conhecido sobreviveu desta civilização.

Os mais antigos registros matemáticos existentes na Índia são os Sulba Sutras (datados de várias formas entre o século 8 aC e o século 2 dC), apêndices de textos religiosos que fornecem regras simples para a construção de altares de várias formas, como quadrados, retângulos, paralelogramos e outros. Como no Egito, a preocupação com as funções do templo aponta para uma origem da matemática no ritual religioso. Os Sulba Sutras fornecem métodos para construir um círculo com aproximadamente a mesma área de um dado quadrado , o que implica várias aproximações diferentes do valor de π . Além disso, eles calculam a raiz quadrada de 2 com várias casas decimais, listam os triplos pitagóricos e fornecem uma declaração do teorema de Pitágoras . Todos esses resultados estão presentes na matemática babilônica, indicando a influência mesopotâmica. Não se sabe até que ponto os Sulba Sutras influenciaram os matemáticos indianos posteriores. Como na China, há falta de continuidade na matemática indiana; avanços significativos são separados por longos períodos de inatividade.

Pāṇini (c. Século V aC) formulou as regras para a gramática sânscrita . Sua notação era semelhante à notação matemática moderna e usava metarules, transformações e recursão . Pingala (aproximadamente séculos 3 a 1 aC) em seu tratado de prosódia usa um dispositivo que corresponde a um sistema numérico binário . Sua discussão sobre a combinatória de metros corresponde a uma versão elementar do teorema binomial . O trabalho de Pingala também contém as idéias básicas dos números de Fibonacci (chamados mātrāmeru ).

Os próximos documentos matemáticos significativos da Índia após os Sulba Sutras são os Siddhantas , tratados astronômicos dos séculos 4 e 5 DC ( período de Gupta ) mostrando forte influência helenística. Eles são significativos por conterem a primeira instância de relações trigonométricas baseadas no meio-acorde, como é o caso na trigonometria moderna, ao invés do acorde completo, como era o caso na trigonometria ptolomaica. Por meio de uma série de erros de tradução, as palavras "seno" e "cosseno" derivam do sânscrito "jiya" e "kojiya".

Explicação da regra do seno em Yuktibhāṣā

Por volta de 500 DC, Aryabhata escreveu o Aryabhatiya , um pequeno volume, escrito em verso, destinado a complementar as regras de cálculo usadas em astronomia e mensuração matemática, embora sem nenhum sentimento para a lógica ou metodologia dedutiva. Embora cerca de metade das entradas estejam erradas, é no Aryabhatiya que o sistema de valor de casa decimal aparece pela primeira vez. Vários séculos depois, o matemático muçulmano Abu Rayhan Biruni descreveu o Aryabhatiya como uma "mistura de pedras comuns e cristais caros".

No século 7, Brahmagupta identificou o teorema de Brahmagupta , a identidade de Brahmagupta e a fórmula de Brahmagupta , e pela primeira vez, em Brahma-sphuta-siddhanta , ele explicou lucidamente o uso de zero como marcador e dígito decimal , e explicou o hindu– Sistema de numeração arábica . Foi a partir de uma tradução desse texto indiano sobre matemática (c. 770) que os matemáticos islâmicos foram apresentados a esse sistema numérico, que eles adaptaram como algarismos arábicos . Os estudiosos islâmicos levaram o conhecimento desse sistema numérico para a Europa por volta do século 12, e agora ele substituiu todos os sistemas numéricos mais antigos em todo o mundo. Vários conjuntos de símbolos são usados ​​para representar números no sistema numeral hindu-arábico, todos os quais evoluíram a partir dos numerais Brahmi . Cada uma das cerca de doze principais escritas da Índia tem seus próprios glifos numéricos. No século 10, o comentário de Halayudha sobre o trabalho de Pingala contém um estudo da sequência de Fibonacci e do triângulo de Pascal , e descreve a formação de uma matriz .

No século 12, Bhāskara II viveu no sul da Índia e escreveu extensivamente sobre todos os ramos da matemática então conhecidos. Seu trabalho contém objetos matemáticos equivalentes ou aproximadamente equivalentes a infinitesimais, derivadas, o teorema do valor médio e a derivada da função seno. Até que ponto ele antecipou a invenção do cálculo é um assunto controverso entre os historiadores da matemática.

No século 14, Madhava de Sangamagrama , o fundador da Escola de Matemática de Kerala , encontrou a série Madhava – Leibniz e obteve dela uma série transformada , cujos primeiros 21 termos ele usou para calcular o valor de π como 3,14159265359. Madhava também encontrou a série Madhava-Gregory para determinar o arco tangente, a série de potências Madhava-Newton para determinar o seno e cosseno e a aproximação de Taylor para as funções seno e cosseno. No século 16, Jyesthadeva consolidou muitos dos desenvolvimentos e teoremas da Escola Kerala no Yukti-bhāṣā . Argumentou-se que os avanços da escola de Kerala, que lançou as bases do cálculo, foram transmitidos para a Europa no século XVI. por meio de missionários e comerciantes jesuítas que atuavam em torno do antigo porto de Muziris na época e, como resultado, influenciaram diretamente os desenvolvimentos europeus posteriores em análise e cálculo. No entanto, outros estudiosos argumentam que a Escola de Kerala não formulou uma teoria sistemática de diferenciação e integração , e que não há qualquer evidência direta de seus resultados serem transmitidos para fora de Kerala.

Impérios islâmicos

O Império Islâmico estabelecido na Pérsia , Oriente Médio , Ásia Central , Norte da África , Península Ibérica e em partes da Índia no século 8 fez contribuições significativas para a matemática. Embora a maioria dos textos islâmicos sobre matemática tenha sido escrita em árabe , a maioria deles não foi escrita por árabes , uma vez que muito parecido com o status do grego no mundo helenístico, o árabe era usado como língua escrita por estudiosos não árabes em todo o mundo islâmico no Tempo. Os persas contribuíram para o mundo da matemática ao lado dos árabes.

No século 9, o matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escreveu um livro importante sobre os numerais hindu-arábicos e outro sobre métodos para resolver equações. Seu livro On the Calculation with Hindu Numerals , escrito por volta de 825, junto com o trabalho de Al-Kindi , foram fundamentais na divulgação da matemática indiana e dos numerais indianos para o Ocidente. A palavra algoritmo é derivada da latinização de seu nome, Algoritmi, e a palavra álgebra do título de uma de suas obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( O Compendioso Livro de Cálculo por Conclusão e Balanceamento ). Ele deu uma explicação exaustiva para a solução algébrica de equações quadráticas com raízes positivas, e foi o primeiro a ensinar álgebra de forma elementar e para seu próprio bem. Ele também discutiu o método fundamental de " redução " e "balanceamento", referindo-se à transposição de termos subtraídos para o outro lado de uma equação, ou seja, o cancelamento de termos semelhantes em lados opostos da equação. Esta é a operação que al-Khwārizmī originalmente descreveu como al-jabr . Sua álgebra também não estava mais preocupada "com uma série de problemas a serem resolvidos, mas uma exposição que começa com termos primitivos em que as combinações devem dar todos os protótipos possíveis para as equações, que daí em diante constituem explicitamente o verdadeiro objeto de estudo." Ele também estudou uma equação por si mesma e "de uma maneira genérica, na medida em que ela não surge simplesmente no curso da solução de um problema, mas é especificamente chamado para definir uma classe infinita de problemas".

No Egito, Abu Kamil estendeu a álgebra ao conjunto de números irracionais , aceitando raízes quadradas e quarta raízes como soluções e coeficientes para equações quadráticas. Ele também desenvolveu técnicas usadas para resolver três equações simultâneas não lineares com três variáveis ​​desconhecidas. Uma característica única de seus trabalhos foi tentar encontrar todas as soluções possíveis para alguns de seus problemas, incluindo aquele em que ele encontrou 2.676 soluções. Suas obras formaram uma base importante para o desenvolvimento da álgebra e influenciaram matemáticos posteriores, como al-Karaji e Fibonacci.

Outros desenvolvimentos em álgebra foram feitos por Al-Karaji em seu tratado al-Fakhri , onde ele estende a metodologia para incorporar poderes inteiros e raízes inteiras de quantidades desconhecidas. Algo próximo a uma prova por indução matemática aparece em um livro escrito por Al-Karaji por volta de 1000 DC, que o usou para provar o teorema binomial , o triângulo de Pascal e a soma dos cubos inteiros . O historiador da matemática, F. Woepcke, elogiou Al-Karaji por ser "o primeiro a introduzir a teoria do cálculo algébrico ". Também no século 10, Abul Wafa traduziu as obras de Diofanto para o árabe. Ibn al-Haytham foi o primeiro matemático a derivar a fórmula para a soma das quatro potências, usando um método que é facilmente generalizável para determinar a fórmula geral para a soma de quaisquer potências integrais. Ele realizou uma integração para encontrar o volume de um parabolóide e foi capaz de generalizar seu resultado para as integrais de polinômios até o quarto grau . Assim, ele chegou perto de encontrar uma fórmula geral para as integrais dos polinômios, mas não estava preocupado com nenhum polinômio acima do quarto grau.

No final do século 11, Omar Khayyam escreveu discussões das dificuldades em Euclid , um livro sobre o que percebeu como falhas na de Euclides Elements , especialmente o postulado das paralelas . Ele também foi o primeiro a encontrar a solução geométrica geral para equações cúbicas . Ele também foi muito influente na reforma do calendário .

No século 13, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) fez avanços na trigonometria esférica . Ele também escreveu um trabalho influente sobre o postulado paralelo de Euclides . No século 15, Ghiyath al-Kashi calculou o valor de π com a 16ª casa decimal. Kashi também tinha um algoritmo para calcular as raízes n , que era um caso especial dos métodos dados muitos séculos depois por Ruffini e Horner .

Outras realizações dos matemáticos muçulmanos durante este período incluem a adição da notação do ponto decimal aos algarismos arábicos , a descoberta de todas as funções trigonométricas modernas além do seno, a introdução de criptanálise e análise de frequência por al-Kindi , o desenvolvimento da geometria analítica por Ibn al-Haytham , o início da geometria algébrica por Omar Khayyam e o desenvolvimento de uma notação algébrica por al-Qalasādī .

Durante a época do Império Otomano e do Império Safávida a partir do século 15, o desenvolvimento da matemática islâmica estagnou.

Maia

Os algarismos maias para os números de 1 a 19, escritos na escrita maia

Nas Américas pré-colombianas , a civilização maia que floresceu no México e na América Central durante o primeiro milênio DC desenvolveu uma tradição única de matemática que, devido ao seu isolamento geográfico, era totalmente independente da matemática europeia, egípcia e asiática existente. Os numerais maias utilizavam uma base de vinte, o sistema vigesimal , em vez de uma base de dez que forma a base do sistema decimal usado pela maioria das culturas modernas. Os maias usaram a matemática para criar o calendário maia , bem como para prever fenômenos astronômicos em sua astronomia maia nativa . Embora o conceito de zero tenha que ser inferido na matemática de muitas culturas contemporâneas, os maias desenvolveram um símbolo padrão para ele.

Europeu medieval

O interesse europeu medieval pela matemática foi impulsionado por preocupações bastante diferentes daquelas dos matemáticos modernos. Um elemento motriz foi a crença de que a matemática forneceu a chave para compreender a ordem criada da natureza, muitas vezes justificado por Platão 's Timeu e a passagem bíblica (no Livro da Sabedoria ) que Deus havia ordenado todas as coisas na medida, e número, e peso .

Boécio proporcionou um lugar para a matemática no currículo no século 6, quando cunhou o termo quadrivium para descrever o estudo da aritmética, geometria, astronomia e música. Ele escreveu De institutione Aritmética , uma tradução livre do grego de Nicômaco 's Introdução à Aritmética ; Deinstitucionale musica , também derivado de fontes gregas; e uma série de trechos de Euclides 's Elements . Suas obras eram teóricas, ao invés de práticas, e foram a base do estudo matemático até a recuperação das obras matemáticas gregas e árabes.

No século 12, os estudiosos europeus viajou para a Espanha e Sicília buscando textos árabes científicos , incluindo al-Khwarizmi 's A Compendious Livro sobre Cálculo de Conclusão e Balanceamento , traduzido para o latim por Robert de Chester , e o texto completo da de Euclides Elements , traduzido em várias versões por Adelard of Bath , Herman of Carinthia e Gerard of Cremona . Essas e outras novas fontes geraram uma renovação da matemática.

Leonardo de Pisa, agora conhecido como Fibonacci , aprendeu por acaso sobre os algarismos hindu-arábicos em uma viagem ao que hoje é Béjaïa , na Argélia , com seu pai comerciante. (A Europa ainda usava numerais romanos .) Lá, ele observou um sistema de aritmética (especificamente algoritmo ) que, devido à notação posicional dos numerais hindu-arábicos, era muito mais eficiente e facilitou muito o comércio. Leonardo escreveu Liber Abaci em 1202 (atualizado em 1254) apresentando a técnica à Europa e iniciando um longo período de popularização. O livro também trouxe para a Europa o que agora é conhecido como a sequência de Fibonacci (conhecida pelos matemáticos indianos por centenas de anos antes), que foi usada como um exemplo comum dentro do texto.

O século 14 viu o desenvolvimento de novos conceitos matemáticos para investigar uma ampla gama de problemas. Uma contribuição importante foi o desenvolvimento da matemática do movimento local.

Thomas Bradwardine propôs que a velocidade (V) aumenta na proporção aritmética à medida que a razão entre a força (F) e a resistência (R) aumenta na proporção geométrica. Bradwardine expressou isso por uma série de exemplos específicos, mas embora o logaritmo ainda não tenha sido concebido, podemos expressar sua conclusão de forma anacrônica escrevendo: V = log (F / R). A análise de Bradwardine é um exemplo de transferência de uma técnica matemática usada por al-Kindi e Arnald de Villanova para quantificar a natureza dos medicamentos compostos para um problema físico diferente.

Nicole Oresme (1323–1382), mostrado neste manuscrito iluminado contemporâneo com uma esfera armilar em primeiro plano, foi a primeira a oferecer uma prova matemática para a divergência das séries harmônicas .

Um dos calculadores de Oxford do século 14 , William Heytesbury , sem o cálculo diferencial e o conceito de limites , propôs medir a velocidade instantânea "pelo caminho que seria descrito por [um corpo] se ... fosse movido uniformemente ao mesmo grau de velocidade com que é movido naquele dado instante ".

Heytesbury e outros determinaram matematicamente a distância percorrida por um corpo em movimento uniformemente acelerado (hoje resolvido por integração ), afirmando que "um corpo em movimento adquirindo ou perdendo uniformemente aquele incremento [de velocidade] percorrerá em algum determinado tempo uma [distância] completamente igual para aquele que ele atravessaria se estivesse se movendo continuamente ao mesmo tempo com o grau médio [de velocidade] ".

Nicole Oresme da Universidade de Paris e o italiano Giovanni di Casali forneceram, de forma independente, demonstrações gráficas dessa relação, afirmando que a área sob a linha que representa a aceleração constante representava a distância total percorrida. Em um comentário matemático posterior sobre os Elementos de Euclides , Oresme fez uma análise geral mais detalhada na qual demonstrou que um corpo adquirirá em cada incremento sucessivo de tempo um incremento de qualquer qualidade que aumenta conforme os números ímpares. Como Euclides havia demonstrado que a soma dos números ímpares são os números quadrados, a qualidade total adquirida pelo corpo aumenta com o quadrado do tempo.

Renascimento

Durante o Renascimento , o desenvolvimento da matemática e da contabilidade estavam interligados. Embora não haja relação direta entre álgebra e contabilidade, o ensino das matérias e os livros publicados muitas vezes destinados aos filhos de comerciantes que foram enviados para escolas de cálculo (na Flandres e Alemanha ) ou escolas de ábaco (conhecido como abbaco na Itália), onde aprenderam as habilidades úteis para o comércio e comércio. Provavelmente não há necessidade de álgebra na realização de operações de contabilidade , mas para operações de permuta complexas ou o cálculo de juros compostos , um conhecimento básico de aritmética era obrigatório e o conhecimento de álgebra era muito útil.

Piero della Francesca (c. 1415–1492) escreveu livros sobre geometria sólida e perspectiva linear , incluindo De Prospectiva Pingendi (Sobre a perspectiva da pintura) , Trattato d'Abaco (Tratado de Abacus) e De quinque corporibus regularibus (Sobre os cinco sólidos regulares ) .

Retrato de Luca Pacioli , pintura tradicionalmente atribuída a Jacopo de 'Barbari , 1495, ( Museo di Capodimonte ).

Luca Pacioli da Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalità (italiano: 'Revisão da Aritmética , Geometria , Razão e Proporção ') foi impresso pela primeira vez e publicado em Veneza em 1494. Ele incluiu uma de 27 páginas tratado em contabilidade , "Particulario de Computis et Scripturis " (italiano:" Detalhes de cálculo e registro "). Ele foi escrito principalmente para, e vendido principalmente para, comerciantes que usaram o livro como um texto de referência, como uma fonte de prazer dos quebra - cabeças matemáticos que ele continha e para ajudar na educação de seus filhos. Na Summa Arithmetica , Pacioli introduziu símbolos para mais e menos pela primeira vez em um livro impresso, símbolos que se tornaram notação padrão na matemática do Renascimento italiano. Summa Arithmetica também foi o primeiro livro conhecido impresso na Itália a conter álgebra . Pacioli obteve muitas de suas idéias de Piero Della Francesca, a quem plagiou.

Na Itália, durante a primeira metade do século 16, Scipione del Ferro e Niccolò Fontana Tartaglia descobriram soluções para equações cúbicas . Gerolamo Cardano os publicou em seu livro Ars Magna de 1545 , junto com uma solução para as equações quárticas , descobertas por seu aluno Lodovico Ferrari . Em 1572, Rafael Bombelli publicou seu L'Algebra no qual mostra como lidar com as quantidades imaginárias que podem aparecer na fórmula de Cardano para resolver equações cúbicas.

O livro De Thiende de Simon Stevin ('a arte dos décimos'), publicado pela primeira vez em holandês em 1585, continha o primeiro tratamento sistemático da notação decimal , que influenciou todos os trabalhos posteriores sobre o sistema de números reais .

Impulsionada pelas demandas da navegação e pela necessidade crescente de mapas precisos de grandes áreas, a trigonometria tornou-se um importante ramo da matemática. Bartholomaeus Pitiscus foi o primeiro a usar a palavra, publicando sua Trigonometria em 1595. A tabela de senos e cossenos de Regiomontanus foi publicada em 1533.

Durante o Renascimento, o desejo dos artistas de representar o mundo natural de forma realista, junto com a filosofia redescoberta dos gregos, levou os artistas a estudar matemática. Eles também eram os engenheiros e arquitetos da época e, de qualquer forma, precisavam da matemática. A arte da pintura em perspectiva e os desenvolvimentos da geometria que a envolvem foram estudados intensamente.

Matemática durante a Revolução Científica

Século 17

O século 17 viu um aumento sem precedentes de ideias matemáticas e científicas em toda a Europa. Galileu observou as luas de Júpiter em órbita ao redor daquele planeta, usando um telescópio baseado em um brinquedo importado da Holanda. Tycho Brahe reuniu uma enorme quantidade de dados matemáticos que descrevem as posições dos planetas no céu. Por sua posição como assistente de Brahe, Johannes Kepler foi inicialmente exposto e interagiu seriamente com o tópico do movimento planetário. Os cálculos de Kepler foram simplificados pela invenção contemporânea de logaritmos por John Napier e Jost Bürgi . Kepler conseguiu formular leis matemáticas do movimento planetário. A geometria analítica desenvolvida por René Descartes (1596–1650) permitiu que essas órbitas fossem plotadas em um gráfico, em coordenadas cartesianas .

Com base em trabalhos anteriores de muitos predecessores, Isaac Newton descobriu as leis da física que explicam as Leis de Kepler e reuniu os conceitos agora conhecidos como cálculo . De forma independente, Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveu o cálculo e grande parte da notação de cálculo ainda em uso hoje. A ciência e a matemática tornaram-se um empreendimento internacional, que logo se espalharia por todo o mundo.

Além da aplicação da matemática aos estudos do céu, a matemática aplicada começou a se expandir para novas áreas, com a correspondência de Pierre de Fermat e Blaise Pascal . Pascal e Fermat estabeleceram as bases para as investigações da teoria da probabilidade e as regras correspondentes da combinatória em suas discussões sobre um jogo de azar . Pascal, com sua aposta , tentou usar a recém-desenvolvida teoria da probabilidade para defender uma vida devotada à religião, com base em que, mesmo que a probabilidade de sucesso fosse pequena, as recompensas seriam infinitas. Em certo sentido, isso prenunciou o desenvolvimento da teoria da utilidade no século 18-19.

século 18

O matemático mais influente do século 18 foi, sem dúvida, Leonhard Euler (1707-1783). Suas contribuições vão desde a fundação do estudo da teoria dos grafos com o problema das Sete Pontes de Königsberg até a padronização de muitos termos matemáticos modernos e notações. Por exemplo, ele nomeou a raiz quadrada de menos 1 com o símbolo i , e popularizou o uso da letra grega para representar a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Ele fez inúmeras contribuições para o estudo da topologia, teoria dos grafos, cálculo, combinatória e análise complexa, como evidenciado pela infinidade de teoremas e notações nomeadas para ele.

Outros importantes matemáticos europeus do século 18 incluíram Joseph Louis Lagrange , que fez um trabalho pioneiro na teoria dos números, álgebra, cálculo diferencial e o cálculo das variações, e Laplace que, na era de Napoleão , fez um trabalho importante sobre os fundamentos do celestial mecânica e nas estatísticas .

Moderno

século 19

Ao longo do século 19, a matemática tornou-se cada vez mais abstrata. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) resume essa tendência. Ele fez um trabalho revolucionário em funções de variáveis ​​complexas , em geometria e na convergência de séries , deixando de lado suas muitas contribuições para a ciência. Ele também deu as primeiras provas satisfatórias do teorema fundamental da álgebra e da lei da reciprocidade quadrática .

Comportamento das linhas com uma perpendicular comum em cada um dos três tipos de geometria

Este século viu o desenvolvimento das duas formas de geometria não euclidiana , onde o postulado paralelo da geometria euclidiana não é mais válido. O matemático russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky e seu rival, o matemático húngaro János Bolyai , definiram e estudaram a geometria hiperbólica de forma independente , onde a singularidade dos paralelos não existe mais. Nesta geometria, a soma dos ângulos em um triângulo soma menos de 180 °. A geometria elíptica foi desenvolvida no final do século 19 pelo matemático alemão Bernhard Riemann ; aqui, nenhum paralelo pode ser encontrado e os ângulos em um triângulo somam mais de 180 °. Riemann também desenvolveu a geometria Riemanniana , que unifica e generaliza amplamente os três tipos de geometria, e definiu o conceito de uma variedade , que generaliza as idéias de curvas e superfícies .

O século 19 viu o início de uma grande quantidade de álgebra abstrata . Hermann Grassmann na Alemanha deu uma primeira versão dos espaços vetoriais , William Rowan Hamilton na Irlanda desenvolveu a álgebra não comutativa . O matemático britânico George Boole desenvolveu uma álgebra que logo evoluiu para o que hoje é chamado de álgebra booleana , na qual os únicos números eram 0 e 1. A álgebra booleana é o ponto de partida da lógica matemática e tem importantes aplicações em engenharia elétrica e ciência da computação . Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann e Karl Weierstrass reformularam o cálculo de uma forma mais rigorosa.

Além disso, pela primeira vez, os limites da matemática foram explorados. Niels Henrik Abel , um norueguês, e Évariste Galois , um francês, provaram que não existe um método algébrico geral para resolver equações polinomiais de grau maior que quatro ( teorema de Abel-Ruffini ). Outros matemáticos do século 19 utilizaram isso em suas provas de que régua e compasso por si só não são suficientes para trissecionar um ângulo arbitrário , para construir o lado de um cubo com o dobro do volume de um dado cubo, nem para construir um quadrado igual em área a um dado círculo. Os matemáticos haviam tentado em vão resolver todos esses problemas desde os tempos dos gregos antigos. Por outro lado, a limitação de três dimensões na geometria foi superada no século 19 por meio de considerações de espaço de parâmetros e números hipercomplexos .

As investigações de Abel e Galois nas soluções de várias equações polinomiais estabeleceram as bases para novos desenvolvimentos da teoria dos grupos e os campos associados da álgebra abstrata . No século 20, os físicos e outros cientistas viram a teoria dos grupos como a forma ideal de estudar a simetria .

No final do século 19, Georg Cantor estabeleceu os primeiros fundamentos da teoria dos conjuntos , o que permitiu o tratamento rigoroso da noção de infinito e se tornou a linguagem comum de quase todas as matemáticas. A teoria dos conjuntos de Cantor e a ascensão da lógica matemática nas mãos de Peano , LEJ Brouwer , David Hilbert , Bertrand Russell e AN Whitehead iniciaram um longo debate sobre os fundamentos da matemática .

O século 19 viu a fundação de várias sociedades matemáticas nacionais: a London Mathematical Society em 1865, a Société Mathématique de France em 1872, o Circolo Matematico di Palermo em 1884, a Edinburgh Mathematical Society em 1883 e a American Mathematical Society em 1888. A primeira sociedade internacional de interesse especial, a Quaternion Society , foi formada em 1899, no contexto de uma controvérsia sobre vetores .

Em 1897, Hensel introduziu os números p-ádicos .

século 20

O século 20 viu a matemática se tornar uma profissão importante. Todos os anos, milhares de novos Ph.Ds em matemática eram concedidos e empregos estavam disponíveis tanto no ensino como na indústria. Um esforço para catalogar as áreas e aplicações da matemática foi realizado na enciclopédia de Klein .

Em um discurso de 1900 no Congresso Internacional de Matemáticos , David Hilbert estabeleceu uma lista de 23 problemas não resolvidos em matemática . Esses problemas, abrangendo muitas áreas da matemática, formaram um foco central para grande parte da matemática do século XX. Hoje, 10 foram resolvidos, 7 estão parcialmente resolvidos e 2 ainda estão em aberto. Os 4 restantes são formulados de forma muito vaga para serem declarados como resolvidos ou não.

Um mapa ilustrando o Teorema das Quatro Cores

Conjecturas históricas notáveis ​​foram finalmente provadas. Em 1976, Wolfgang Haken e Kenneth Appel provaram o teorema das quatro cores , polêmico na época para o uso de um computador para isso. Andrew Wiles , com base no trabalho de outros, provou o Último Teorema de Fermat em 1995. Paul Cohen e Kurt Gödel provaram que a hipótese do contínuo é independente (não pode ser provada nem refutada) dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos . Em 1998, Thomas Callister Hales provou a conjectura de Kepler .

Colaborações matemáticas de tamanho e escopo sem precedentes aconteceram. Um exemplo é a classificação de grupos finitos simples (também chamados de "teorema enorme"), cuja prova entre 1955 e 2004 exigiu 500 artigos em periódicos de cerca de 100 autores, e preenchendo dezenas de milhares de páginas. Um grupo de matemáticos franceses, incluindo Jean Dieudonné e André Weil , publicando sob o pseudônimo de " Nicolas Bourbaki ", tentou expor toda a matemática conhecida como um todo coerente e rigoroso. As várias dezenas de volumes resultantes tiveram uma influência controversa na educação matemática.

Órbita Newtoniana (vermelha) vs. Einsteiniana (azul) de um planeta solitário orbitando uma estrela, com precessão relativística de apsides

A geometria diferencial ganhou destaque quando Albert Einstein a usou na relatividade geral . Áreas inteiramente novas da matemática, como lógica matemática , topologia e a teoria dos jogos de John von Neumann , mudaram os tipos de questões que poderiam ser respondidas por métodos matemáticos. Todos os tipos de estruturas foram abstraídos usando axiomas e nomes dados como espaços métricos , espaços topológicos etc. Como os matemáticos fazem, o próprio conceito de uma estrutura abstrata foi abstraído e conduzido à teoria das categorias . Grothendieck e Serre reformularam a geometria algébrica usando a teoria dos feixes . Grandes avanços foram feitos no estudo qualitativo de sistemas dinâmicos que Poincaré começou na década de 1890. A teoria da medida foi desenvolvida no final do século 19 e no início do século 20. As aplicações das medidas incluem a integral de Lebesgue , a axiomatização da teoria da probabilidade de Kolmogorov e a teoria ergódica . A teoria do nó foi amplamente expandida. A mecânica quântica levou ao desenvolvimento da análise funcional . Outras novas áreas incluem Laurent Schwartz 's teoria da distribuição , teoria do ponto fixo , a teoria singularidade e René Thom ' s teoria da catástrofe , teoria do modelo , e Mandelbrot 's fractais . A teoria de Lie com seus grupos de Lie e álgebras de Lie tornou-se uma das principais áreas de estudo.

A análise atípica , introduzida por Abraham Robinson , reabilitou a abordagem infinitesimal do cálculo, que havia caído em descrédito em favor da teoria dos limites , ao estender o campo dos números reais aos números hiperreais que incluem quantidades infinitesimais e infinitas. Um sistema numérico ainda maior, os números surreais foram descobertos por John Horton Conway em conexão com jogos combinatórios .

O desenvolvimento e a melhoria contínua de computadores , primeiro em máquinas analógicas mecânicas e, em seguida, em máquinas eletrônicas digitais, permitiram à indústria lidar com quantidades cada vez maiores de dados para facilitar a produção, distribuição e comunicação em massa, e novas áreas da matemática foram desenvolvidas para lidar com isso. : Alan Turing 's teoria da computabilidade ; teoria da complexidade ; O uso de ENIAC de Derrick Henry Lehmer para promover a teoria dos números e o teste de Lucas-Lehmer ; Rózsa Péter é a teoria da função recursiva ; Claude Shannon é a teoria da informação ; processamento de sinal ; análise de dados ; otimização e outras áreas de pesquisa operacional . Nos séculos anteriores, muito foco matemático estava no cálculo e nas funções contínuas, mas o surgimento das redes de computação e comunicação levou a uma crescente importância dos conceitos discretos e à expansão da combinatória, incluindo a teoria dos grafos . A velocidade e as habilidades de processamento de dados dos computadores também permitiam o manuseio de problemas matemáticos que consumiam muito tempo para serem resolvidos com cálculos em papel e lápis, levando a áreas como análise numérica e computação simbólica . Alguns dos métodos e algoritmos mais importantes do século 20 são: o algoritmo simplex , a transformada rápida de Fourier , códigos de correção de erros , o filtro de Kalman da teoria de controle e o algoritmo RSA de criptografia de chave pública .

Ao mesmo tempo, insights profundos foram feitos sobre as limitações da matemática. Em 1929 e 1930, foi provado que a verdade ou falsidade de todas as afirmações formuladas sobre os números naturais mais a adição ou a multiplicação (mas não ambas), era decidível , ou seja, podia ser determinada por algum algoritmo. Em 1931, Kurt Gödel descobriu que esse não era o caso para os números naturais mais a adição e a multiplicação; este sistema, conhecido como aritmética de Peano , era de fato incompleta . (A aritmética de Peano é adequada para uma boa parte da teoria dos números , incluindo a noção de número primo .) Uma consequência dos dois teoremas da incompletude de Gödel é que em qualquer sistema matemático que inclua a aritmética de Peano (incluindo toda a análise e geometria ), a verdade necessariamente ultrapassa prova, ou seja, existem afirmações verdadeiras que não podem ser provadas dentro do sistema. Conseqüentemente, a matemática não pode ser reduzida à lógica matemática, e o sonho de David Hilbert de tornar toda a matemática completa e consistente precisava ser reformulado.

O valor absoluto da função Gama no plano complexo.

Uma das figuras mais coloridas da matemática do século 20 foi Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), um autodidata indiano que conjecturou ou provou mais de 3.000 teoremas, incluindo propriedades de números altamente compostos , a função de partição e sua assintótica e funções teta simuladas . Ele também fez grandes investigações nas áreas de funções gama , formas modulares , séries divergentes , séries hipergeométricas e teoria dos números primos .

Paul Erdős publicou mais artigos do que qualquer outro matemático na história, trabalhando com centenas de colaboradores. Os matemáticos têm um jogo equivalente ao Jogo de Kevin Bacon , o que leva ao número de Erdős de um matemático. Isso descreve a "distância colaborativa" entre uma pessoa e Paul Erdős, medida pela autoria conjunta de artigos matemáticos.

Emmy Noether foi descrita por muitos como a mulher mais importante da história da matemática. Ela estudou as teorias de anéis , campos e álgebras .

Como na maioria das áreas de estudo, a explosão de conhecimento na era científica levou à especialização: no final do século, havia centenas de áreas especializadas em matemática e a Classificação de Matemática tinha dezenas de páginas. Mais e mais periódicos matemáticos foram publicados e, no final do século, o desenvolvimento da World Wide Web levou à publicação online.

século 21

Em 2000, o Clay Mathematics Institute anunciou os sete Problemas do Prêmio do Milênio e, em 2003, a conjectura de Poincaré foi resolvida por Grigori Perelman (que se recusou a aceitar o prêmio por criticar o estabelecimento da matemática).

A maioria dos periódicos matemáticos agora tem versões online, bem como versões impressas, e muitos periódicos somente online são lançados. Há uma tendência crescente em direção à publicação em acesso aberto , inicialmente popularizada pelo arXiv .

Futuro

Existem muitas tendências observáveis ​​na matemática, sendo a mais notável que o assunto está crescendo cada vez mais, os computadores são cada vez mais importantes e poderosos, a aplicação da matemática à bioinformática está se expandindo rapidamente e o volume de dados sendo produzidos pela ciência e pela indústria, facilitado por computadores, está se expandindo de forma explosiva.

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Em geral

Livros em um período específico

Livros sobre um tópico específico

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