Operador de rotação (mecânica quântica) - Rotation operator (quantum mechanics)

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
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v t e

Este artigo trata do operador de rotação , como aparece na mecânica quântica .

Rotações da mecânica quântica

Com cada rotação física , postulamos um operador de rotação da mecânica quântica que gira os estados da mecânica quântica. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle D (R)}$

${\ displaystyle | \ alpha \ rangle _ {R} = D (R) | \ alpha \ rangle}$

Em termos de geradores de rotação,

${\ displaystyle D (\ mathbf {\ hat {n}}, \ phi) = \ exp \ left (-i \ phi {\ frac {\ mathbf {\ hat {n}} \ cdot \ mathbf {J}} { \ hbar}} \ right),}$

onde é o eixo de rotação, é o momento angular e é a constante de Planck reduzida . ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ hbar}$

O operador de tradução

O operador de rotação , com o primeiro argumento indicando o eixo de rotação e o segundo o ângulo de rotação, pode operar por meio do operador de translação para rotações infinitesimais conforme explicado abaixo. Por isso, primeiro é mostrado como o operador de translação está agindo sobre uma partícula na posição x (a partícula está então no estado de acordo com a Mecânica Quântica ). ${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, \ theta)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ operatorname {T} (a)}$ ${\ displaystyle | x \ rangle}$

Tradução da partícula na posição para a posição :${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x + a}$${\ displaystyle \ operatorname {T} (a) | x \ rangle = | x + a \ rangle}$

Como uma tradução de 0 não altera a posição da partícula, temos (com 1 significando o operador de identidade , que não faz nada):

${\ displaystyle \ operatorname {T} (0) = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {T} (a) \ operatorname {T} (da) | x \ rangle = \ operatorname {T} (a) | x + da \ rangle = | x + a + da \ rangle = \ operatorname {T} (a + da) | x \ rangle \ Rightarrow \ operatorname {T} (a) \ operatorname {T} (da) = \ operatorname {T} (a + da)}$

O desenvolvimento de Taylor oferece:

${\ displaystyle \ operatorname {T} (da) = \ operatorname {T} (0) + {\ frac {d \ operatorname {T} (0)} {da}} da + \ cdots = 1 - {\ frac {i } {\ hbar}} p_ {x} da}$

com

${\ displaystyle p_ {x} = i \ hbar {\ frac {d \ operatorname {T} (0)} {da}}}$

Daqui se segue:

${\ displaystyle \ operatorname {T} (a + da) = \ operatorname {T} (a) \ operatorname {T} (da) = \ operatorname {T} (a) \ left (1 - {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {x} da \ right) \ Rightarrow [\ operatorname {T} (a + da) - \ operatorname {T} (a)] / da = {\ frac {d \ operatorname {T}} {da}} = - {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {x} \ operatorname {T} (a)}$

Esta é uma equação diferencial com a solução

${\ displaystyle \ operatorname {T} (a) = \ operatorname {exp} \ left (- {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {x} a \ right).}$

Além disso, suponha que um hamiltoniano seja independente da posição. Porque o operador de tradução pode ser escrito em termos de , e , sabemos que esse resultado significa que o momento linear para o sistema é conservado. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {x}}$${\ displaystyle [p_ {x}, H] = 0}$${\ displaystyle [H, \ operatorname {T} (a)] = 0.}$

Em relação ao momento angular orbital

Classicamente temos para o momento angular Este é o mesmo na mecânica quântica considerando e como operadores. Classicamente, uma rotação infinitesimal do vetor sobre o -eixo para deixar inalterado pode ser expressa pelas seguintes traduções infinitesimais (usando a aproximação de Taylor ): ${\ displaystyle l = r \ times p.}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle dt}$${\ displaystyle r = (x, y, z)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r '= (x', y ', z)}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle x '= r \ cos (t + dt) = x-ydt + \ cdots}$

${\ displaystyle y '= r \ sin (t + dt) = y + xdt + \ cdots}$

Daqui se segue para os estados:

${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, dt) | r \ rangle}$${\ displaystyle = \ operatorname {R} (z, dt) | x, y, z \ rangle}$${\ displaystyle = | x-ydt, y + xdt, z \ rangle}$${\ displaystyle = \ operatorname {T} _ {x} (- ydt) \ operatorname {T} _ {y} (xdt) | x, y, z \ rangle}$${\ displaystyle = \ operatorname {T} _ {x} (- ydt) \ operatorname {T} _ {y} (xdt) | r \ rangle}$

E consequentemente:

${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, dt) = \ operatorname {T} _ {x} (- ydt) \ operatorname {T} _ {y} (xdt)}$

Usando

${\ displaystyle T_ {k} (a) = \ exp \ left (- {\ frac {i} {\ hbar}} p_ {k} a \ right)}$

de cima com a expansão de Taylor, obtemos: ${\ displaystyle k = x, y}$

${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, dt) = \ exp \ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} (xp_ {y} -yp_ {x}) dt \ right] = \ exp \ esquerda (- {\ frac {i} {\ hbar}} l_ {z} dt \ direita) = 1 - {\ frac {i} {\ hbar}} l_ {z} dt + \ cdots}$

com o componente do momento angular de acordo com o produto vetorial clássico . ${\ displaystyle l_ {z} = xp_ {y} -yp_ {x}}$${\ displaystyle z}$

Para obter uma rotação do ângulo , construímos a seguinte equação diferencial usando a condição : ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, 0) = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, t + dt) = \ operatorname {R} (z, t) \ operatorname {R} (z, dt) \ Rightarrow}$

${\ displaystyle [\ operatorname {R} (z, t + dt) - \ operatorname {R} (z, t)] / dt = d \ operatorname {R} / dt = \ operatorname {R} (z, t) [\ operatorname {R} (z, dt) -1] / dt = - {\ frac {i} {\ hbar}} l_ {z} \ operatorname {R} (z, t) \ Rightarrow}$

${\ displaystyle \ operatorname {R} (z, t) = \ exp \ left (- {\ frac {i} {\ hbar}} \ t \ l_ {z} \ right)}$

Semelhante ao operador de translação, se nos for dado um hamiltoniano que implica simetria rotacional em relação ao eixo- . Este resultado significa que o momento angular é conservado. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle [l_ {z}, H] = 0}$${\ displaystyle [\ operatorname {R} (z, t), H] = 0}$

Para o momento angular de spin sobre, por exemplo, o -axis nós apenas substituir com (onde está a matriz de Pauli Y ) e ficamos com a rotação do operador de rotação ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle l_ {z}}$${\ displaystyle S_ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {y}}$${\ displaystyle \ sigma _ {y}}$

${\ displaystyle \ operatorname {D} (y, t) = \ exp \ left (-i {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {y} \ right).}$

Efeito no operador de spin e estados quânticos

Os operadores podem ser representados por matrizes . Da álgebra linear sabe-se que uma certa matriz pode ser representada em outra base através da transformação ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A '= PAP ^ {- 1}}$

onde está a matriz de transformação de base. Se os vetores são respectivamente o eixo z em uma base respectivamente em outra, eles são perpendiculares ao eixo y com um certo ângulo entre eles. O operador de spin na primeira base pode então ser transformado no operador de spin da outra base por meio da seguinte transformação: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle S_ {b}}$${\ displaystyle S_ {c}}$

${\ displaystyle S_ {c} = \ operatorname {D} (y, t) S_ {b} \ operatorname {D} ^ {- 1} (y, t)}$

Da mecânica quântica padrão temos os resultados conhecidos e onde e são a principal gira em suas bases correspondentes. Então nós temos: ${\ displaystyle S_ {b} | b + \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2}} | b + \ rangle}$${\ displaystyle S_ {c} | c + \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2}} | c + \ rangle}$${\ displaystyle | b + \ rangle}$${\ displaystyle | c + \ rangle}$

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar} {2}} | c + \ rangle = S_ {c} | c + \ rangle = \ operatorname {D} (y, t) S_ {b} \ operatorname {D} ^ {- 1} (y, t) | c + \ rangle \ Rightarrow}$

${\ displaystyle S_ {b} \ operatorname {D} ^ {- 1} (y, t) | c + \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2}} \ operatorname {D} ^ {- 1} (y , t) | c + \ rangle}$

Comparação com rendimentos . ${\ displaystyle S_ {b} | b + \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2}} | b + \ rangle}$${\ displaystyle | b + \ rangle = D ^ {- 1} (y, t) | c + \ rangle}$

Isso significa que se o estado é girado em torno do eixo -por um ângulo , ele se torna o estado , um resultado que pode ser generalizado para eixos arbitrários. ${\ displaystyle | c + \ rangle}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle | b + \ rangle}$

Veja também

• Simetria em mecânica quântica
• Base esférica
• Espaço de fase óptica

Referências

• LD Landau e EM Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory , Pergamon Press, 1985
• PAM Dirac: The Principles of Quantum Mechanics , Oxford University Press, 1958
• RP Feynman, RB Leighton e M. Sands: The Feynman Lectures on Physics , Addison-Wesley, 1965