Matriz de densidade - Density matrix

Na mecânica quântica , uma matriz de densidade é uma matriz que descreve o estado quântico de um sistema físico. Permite o cálculo das probabilidades dos resultados de qualquer medição realizada neste sistema, usando a regra de Born . É uma generalização dos vetores de estado ou funções de onda mais comuns: enquanto aqueles só podem representar estados puros , as matrizes de densidade também podem representar estados mistos . Estados mistos surgem na mecânica quântica em duas situações diferentes: primeiro quando a preparação do sistema não é totalmente conhecida e, portanto, deve-se lidar com um conjunto estatístico de preparações possíveis e, segundo, quando se deseja descrever um sistema físico que está emaranhado com outro, pois seu estado não pode ser descrito por um estado puro.

Matrizes de densidade são, portanto, ferramentas cruciais em áreas de mecânica quântica que lidam com estados mistos, como a mecânica quântica estatísticos , sistemas quânticos abertos , decoerência quântica e informação quântica .

Definição e motivação

A matriz de densidade é uma representação de um operador linear denominado operador de densidade . A matriz de densidade é obtida do operador de densidade pela escolha da base no espaço subjacente. Na prática, os termos matriz de densidade e operador de densidade são freqüentemente usados ​​alternadamente.

Em linguagem operador, um operador de densidade de um sistema é um semi-definida positiva , Hermitiana operador de rastreio uma que actua sobre o espaço de Hilbert do sistema. Essa definição pode ser motivada considerando uma situação em que um estado puro é preparado com probabilidade , conhecido como ensemble . A probabilidade de obtenção do resultado da medição projetiva ao usar projetores é dada por

o que torna o operador de densidade , definido como

,

uma representação conveniente para o estado deste conjunto. É fácil verificar se este operador é semi-definido positivo, Hermitiano, e possui traço um. Por outro lado, segue do teorema espectral que todo operador com essas propriedades pode ser escrito como para alguns estados e coeficientes que são não negativos e somam um. No entanto, essa representação não será única, como mostrado pelo teorema de Schrödinger – HJW .

Outra motivação para a definição de operadores de densidade vem da consideração de medições locais em estados emaranhados. Let Ser um estado puro emaranhado no espaço de Hilbert composto . A probabilidade de obter o resultado da medição ao medir projetores no espaço de Hilbert sozinho é dada por

onde denota o traço parcial sobre o espaço de Hilbert . Isso faz com que o operador

uma ferramenta conveniente para calcular as probabilidades dessas medições locais. É conhecido como a matriz de densidade reduzida do subsistema 1. É fácil verificar se esse operador tem todas as propriedades de um operador de densidade. Por outro lado, o teorema de Schrödinger-HJW implica que todos os operadores de densidade podem ser escritos como para algum estado .

Estados puros e mistos

Um estado quântico puro é um estado que não pode ser escrito como uma mistura probabilística, ou combinação convexa , de outros estados quânticos. Existem várias caracterizações equivalentes de estados puros na linguagem dos operadores de densidade. Um operador de densidade representa um estado puro se e somente se:

  • pode ser escrito como um produto externo de um vetor de estado consigo mesmo, ou seja,
.
.

É importante enfatizar a diferença entre uma mistura probabilística de estados quânticos e sua superposição . Se um sistema físico está preparado para estar no estado ou , com igual probabilidade, pode ser descrito pelo estado misto

onde e são assumidos ortogonais e de dimensão 2, para simplificar. Por outro lado, uma superposição quântica desses dois estados com amplitudes de probabilidade iguais resulta no estado puro com matriz de densidade

Ao contrário da mistura probabilística, esta superposição pode exibir interferência quântica .

Na representação da esfera de Bloch de um qubit , cada ponto na esfera unitária representa um estado puro. Todas as outras matrizes de densidade correspondem a pontos no interior.

Geometricamente, o conjunto de operadores de densidade é um conjunto convexo e os estados puros são os pontos extremos desse conjunto. O caso mais simples é o de um espaço de Hilbert bidimensional, conhecido como qubit . Um estado arbitrário para um qubit pode ser escrito como uma combinação linear das matrizes de Pauli , que fornecem uma base para matrizes auto-adjuntas:

onde os números reais são as coordenadas de um ponto dentro da bola unitária e

Os pontos com representam estados puros, enquanto os estados mistos são representados por pontos no interior. Isso é conhecido como a imagem da esfera de Bloch do espaço de estado de qubit.

Exemplo: polarização de luz

A lâmpada incandescente  (1) emite fótons polarizados completamente aleatórios  (2) com matriz de densidade de estado misto:
.
Depois de passar pelo polarizador de plano vertical  (3), os fótons restantes são todos polarizados verticalmente  (4) e têm matriz de densidade de estado puro:
.

Um exemplo de estados puro e misto é a polarização de luz . Um fóton individual pode ser descrito como tendo polarização circular direita ou esquerda , descrita pelos estados quânticos ortogonais ou uma superposição dos dois: ele pode estar em qualquer estado (com ), correspondendo a polarização linear , circular ou elíptica . Considere agora um fóton polarizado verticalmente, descrito pelo estado . Se passarmos por um polarizador circular que permite apenas luz polarizada, ou apenas luz polarizada, metade dos fótons são absorvidos em ambos os casos. Isso pode fazer parecer que metade dos fótons está no estado e a outra metade no estado , mas isso não é correto: se passarmos por um polarizador linear não haverá absorção alguma, mas se passarmos por um dos estados ou metade dos fótons estão absorvido.

A luz não polarizada (como a luz de uma lâmpada incandescente ) não pode ser descrita como qualquer estado da forma (polarização linear, circular ou elíptica). Ao contrário da luz polarizada, ela passa por um polarizador com 50% de perda de intensidade, qualquer que seja a orientação do polarizador; e não pode ser polarizado passando-o por qualquer placa de onda . No entanto, a luz não polarizada pode ser descrita como um conjunto estatístico, por exemplo, como cada fóton tendo polarização ou polarização com probabilidade 1/2. O mesmo comportamento ocorreria se cada fóton tivesse polarização vertical ou polarização horizontal com probabilidade 1/2. Esses dois conjuntos são completamente indistinguíveis experimentalmente e, portanto, são considerados o mesmo estado misto. Para este exemplo de luz não polarizada, o operador de densidade é igual

Existem também outras formas de gerar luz não polarizada: uma possibilidade é introduzir incerteza na preparação do fóton, por exemplo, passando-o por um cristal birrefringente de superfície rugosa, de forma que partes ligeiramente diferentes do feixe de luz adquiram polarizações diferentes. Outra possibilidade é usar estados emaranhados: um decaimento radioativo pode emitir dois fótons viajando em direções opostas, no estado quântico . O estado conjunto dos dois fótons juntos é puro, mas a matriz de densidade para cada fóton individualmente, encontrada tomando o traço parcial da matriz de densidade conjunta, está completamente misturada.

Conjuntos e purificações equivalentes

Um dado operador de densidade não determina exclusivamente qual conjunto de estados puros dá origem a ele; em geral, existem infinitos conjuntos diferentes gerando a mesma matriz de densidade. Esses não podem ser distinguidos por qualquer medida. Os conjuntos equivalentes podem ser completamente caracterizados: deixe ser um conjunto. Então, para qualquer matriz complexa tal que (uma isometria parcial ), o conjunto definido por

dará origem ao mesmo operador de densidade, e todos os conjuntos equivalentes são desta forma.

Um fato intimamente relacionado é que um determinado operador de densidade tem infinitamente muitas purificações diferentes , que são estados puros que geram o operador de densidade quando um traço parcial é obtido. Deixar

ser o operador de densidade gerado pelo conjunto , com estados não necessariamente ortogonais. Então, para todas as isometrias parciais , temos que

é uma purificação de , onde está uma base ortogonal, e além disso todas as purificações de são desta forma.

Medição

Seja um observável do sistema e suponha que o conjunto esteja em um estado misto, de modo que cada um dos estados puros ocorra com probabilidade . Então, o operador de densidade correspondente é igual

O valor esperado da medição pode ser calculado estendendo-se do caso de estados puros:

onde denota traço . Assim, a expressão familiar para estados puros é substituída por

para estados mistos.

Além disso, se tem resolução espectral

onde é o operador de projeção no espaço próprio correspondente ao valor próprio , o operador de densidade pós-medição é dado por

quando o resultado i é obtido. No caso em que o resultado da medição não é conhecido, o conjunto é descrito por

Se alguém assume que as probabilidades de resultados de medição são funções lineares dos projetores , então elas devem ser dadas pelo traçado do projetor com um operador de densidade. O teorema de Gleason mostra que em espaços de Hilbert de dimensão 3 ou maior, a suposição de linearidade pode ser substituída por uma suposição de não contextualidade . Essa restrição na dimensão pode ser removida assumindo não contextualidade para POVMs também, mas isso foi criticado como fisicamente desmotivado.

Entropia

A entropia de von Neumann de uma mistura pode ser expressa em termos dos valores próprios de ou em termos do traço e logaritmo do operador de densidade . Uma vez que é um operador semi-definido positivo, ele tem uma decomposição espectral tal que , onde estão os vetores ortonormais,, e . Então, a entropia de um sistema quântico com matriz de densidade é

Essa definição implica que a entropia de von Neumann de qualquer estado puro é zero. Se forem estados que têm suporte em subespaços ortogonais, então a entropia de von Neumann de uma combinação convexa desses estados,

é dado pelas entropias de von Neumann dos estados e a entropia de Shannon da distribuição de probabilidade :

Quando os estados não têm suportes ortogonais, a soma do lado direito é estritamente maior do que a entropia de von Neumann da combinação convexa .

Dado um operador de densidade e uma medição projetiva como na seção anterior, o estado definido pela combinação convexa

que pode ser interpretado como o estado produzido pela realização da medição, mas não registrando qual resultado ocorreu, tem uma entropia de von Neumann maior do que a de , exceto se . No entanto, é possível que o produzido por uma medição generalizada , ou POVM , tenha uma entropia de von Neumann mais baixa do que .

A equação de von Neumann para evolução do tempo

Assim como a equação de Schrödinger descreve como os estados puros evoluem no tempo, a equação de von Neumann (também conhecida como equação de Liouville-von Neumann ) descreve como um operador de densidade evolui no tempo. A equação de von Neumann determina que

onde os colchetes denotam um comutador .

Observe que esta equação só é válida quando o operador de densidade é considerado na imagem de Schrödinger , embora esta equação pareça à primeira vista emular a equação de movimento de Heisenberg na imagem de Heisenberg , com uma diferença de sinal crucial:

onde está algum operador de imagem de Heisenberg ; mas nesta imagem a matriz de densidade não é dependente do tempo , e o sinal relativo garante que a derivada do valor esperado no tempo seja igual à da imagem de Schrödinger .

Se o hamiltoniano for independente do tempo, a equação de von Neumann pode ser facilmente resolvida para render

Para um hamiltoniano mais geral, se é o propagador da função de onda em algum intervalo, então a evolução do tempo da matriz de densidade nesse mesmo intervalo é dada por

Funções de Wigner e analogias clássicas

O operador de matriz de densidade também pode ser realizado no espaço de fase . No mapa de Wigner , a matriz de densidade se transforma na função de Wigner equivalente ,

A equação para a evolução temporal da função de Wigner, conhecida como equação de Moyal , é então a transformada de Wigner da equação de von Neumann acima,

onde está o hamiltoniano, e é o colchete de Moyal , a transformada do comutador quântico .

A equação de evolução para a função de Wigner é então análoga àquela de seu limite clássico, a equação de Liouville da física clássica . No limite da constante de Planck de desaparecimento , reduz-se à função de densidade de probabilidade clássica de Liouville no espaço de fase .

Aplicativos de exemplo

As matrizes de densidade são uma ferramenta básica da mecânica quântica e aparecem pelo menos ocasionalmente em quase qualquer tipo de cálculo da mecânica quântica. Alguns exemplos específicos onde as matrizes de densidade são especialmente úteis e comuns são os seguintes:

  • A mecânica estatística usa matrizes de densidade, principalmente para expressar a ideia de que um sistema é preparado a uma temperatura diferente de zero. Construir uma matriz de densidade usando um conjunto canônico dá o resultado da forma , onde é a temperatura inversa e é o Hamiltoniano do sistema. A condição de normalização em que o traço seja igual a 1 define a função de partição a ser . Se o número de partículas envolvidas no sistema não for certo, então um grande conjunto canônico pode ser aplicado, onde os estados somados para formar a matriz de densidade são extraídos de um espaço Fock .
  • A teoria da decoerência quântica normalmente envolve sistemas quânticos não isolados desenvolvendo emaranhamento com outros sistemas, incluindo aparelhos de medição. As matrizes de densidade facilitam muito a descrição do processo e o cálculo de suas consequências. A decoerência quântica explica por que um sistema interagindo com um ambiente passa de um estado puro, exibindo superposições, para um estado misto, uma combinação incoerente de alternativas clássicas. Essa transição é fundamentalmente reversível, pois o estado combinado de sistema e ambiente ainda é puro, mas para todos os efeitos práticos irreversível, pois o ambiente é um sistema quântico muito grande e complexo, e não é viável reverter sua interação. A decoerência é, portanto, muito importante para explicar o limite clássico da mecânica quântica, mas não pode explicar o colapso da função de onda, já que todas as alternativas clássicas ainda estão presentes no estado misto, e o colapso da função de onda seleciona apenas uma delas.
  • Da mesma forma, em computação quântica , teoria quântica da informação , sistemas quânticos abertos , e outras áreas onde a preparação estado é ruidoso e decoherence pode ocorrer, matrizes de densidade são frequentemente utilizados. O ruído é frequentemente modelado por meio de um canal de despolarização ou um canal de amortecimento de amplitude . A tomografia quântica é um processo pelo qual, dado um conjunto de dados que representam os resultados das medições quânticas, uma matriz de densidade consistente com os resultados das medições é calculada.
  • Ao analisar um sistema com muitos elétrons, como um átomo ou molécula , uma primeira aproximação imperfeita, mas útil, é tratar os elétrons como não correlacionados ou cada um tendo uma função de onda de partícula única independente. Este é o ponto de partida usual ao construir o determinante de Slater no método Hartree-Fock . Se houver elétrons preenchendo as funções de onda de uma única partícula , a coleção de elétrons juntos pode ser caracterizada por uma matriz de densidade .

Formulação C * -algébrica de estados

Agora é geralmente aceito que a descrição da mecânica quântica em que todos os operadores auto-adjuntos representam observáveis ​​é insustentável. Por esta razão, observáveis são identificados com os elementos de um resumo C * -álgebra A (que é um sem uma representação distinguido como uma álgebra de operadores) e estados são positivos funcionais lineares sobre um . Porém, usando a construção GNS , podemos recuperar espaços de Hilbert que realizam A como uma subálgebra de operadores.

Geometricamente, um estado puro numa coluna C * -álgebra Um é um estado que é um ponto extremo do conjunto de todos os estados em um . Por propriedades da construção GNS esses estados correspondem a representações irredutíveis de A .

Os estados da álgebra C * dos operadores compactos K ( H ) correspondem exatamente aos operadores de densidade e, portanto, os estados puros de K ( H ) são exatamente os estados puros no sentido da mecânica quântica.

A formulação C * -algébrica pode ser vista como incluindo sistemas clássicos e quânticos. Quando o sistema é clássico, a álgebra de observáveis ​​torna-se uma álgebra C * abeliana. Nesse caso, os estados tornam-se medidas de probabilidade, conforme observado na introdução.

História

O formalismo de operadores de densidade e matrizes foi introduzido em 1927 por John von Neumann e independentemente, mas menos sistematicamente, por Lev Landau e mais tarde em 1946 por Felix Bloch . Von Neumann introduziu a matriz de densidade para desenvolver a mecânica estatística quântica e uma teoria das medições quânticas. O próprio nome matriz de densidade está relacionado à sua correspondência clássica com uma medida de probabilidade de espaço de fase (distribuição de probabilidade de posição e momento) na mecânica estatística clássica , que foi introduzida por Wigner em 1932.

Em contraste, a motivação que inspirou Landau foi a impossibilidade de descrever um subsistema de um sistema quântico composto por um vetor de estado.

Veja também

Notas e referências