Foto de Heisenberg - Heisenberg picture

Na física , a imagem de Heisenberg (também chamada de representação de Heisenberg ) é uma formulação (em grande parte devido a Werner Heisenberg em 1925) da mecânica quântica em que os operadores ( observáveis e outros) incorporam uma dependência do tempo, mas os vetores de estado são tempo- independente, uma base fixa arbitrária rigidamente subjacente à teoria.

Ela está em contraste com a imagem de Schrödinger em que os operadores são constantes, em vez disso, e os estados evoluem com o tempo. As duas imagens diferem apenas por uma mudança de base no que diz respeito à dependência do tempo, que corresponde à diferença entre as transformações ativa e passiva . A imagem de Heisenberg é a formulação da mecânica da matriz em uma base arbitrária, na qual o hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Além disso, serve para definir uma terceira imagem híbrida, a imagem de interação .

Detalhes matemáticos

Na imagem de Heisenberg da mecânica quântica, os vetores de estado | ψ〉 não mudam com o tempo, enquanto os observáveis A satisfazem

onde os rótulos "H" e "S" observáveis ​​na imagem de Heisenberg e Schrödinger respectivamente, H é o hamiltoniano e [•, •] denota o comutador de dois operadores (neste caso H e A ). A obtenção de valores esperados produz automaticamente o teorema de Ehrenfest , apresentado no princípio de correspondência .

Pelo teorema de Stone-von Neumann , a imagem de Heisenberg e a imagem de Schrödinger são unitariamente equivalentes, apenas uma mudança de base no espaço de Hilbert . Em certo sentido, a imagem de Heisenberg é mais natural e conveniente do que a imagem de Schrödinger equivalente, especialmente para teorias relativísticas . A invariância de Lorentz é manifesta na imagem de Heisenberg, uma vez que os vetores de estado não isolam o tempo ou espaço.

Essa abordagem também tem uma semelhança mais direta com a física clássica : simplesmente substituindo o comutador acima pelo colchete de Poisson , a equação de Heisenberg se reduz a uma equação na mecânica hamiltoniana .

Equivalência da equação de Heisenberg com a equação de Schrödinger

Por uma questão de pedagogia, a imagem de Heisenberg é introduzida aqui a partir da imagem de Schrödinger subsequente, porém mais familiar .

O valor esperado de um observável A , que é um operador linear Hermitiano , para um determinado estado de Schrödinger | ψ ( t )〉, é dado por

Na foto de Schrödinger, o estado | ψ ( t )〉 no tempo t está relacionado ao estado | ψ (0)〉 no tempo 0 por um operador de evolução no tempo unitário , U ( t ) ,

Na imagem de Heisenberg, todos os vetores de estado são considerados constantes em seus valores iniciais | ψ (0)〉, enquanto os operadores evoluem com o tempo de acordo com

A equação de Schrödinger para o operador de evolução no tempo é

onde H é o hamiltoniano e ħ é a constante de Planck reduzida .

Segue-se agora que

onde a diferenciação foi realizada de acordo com a regra do produto . Observe que o Hamiltoniano que aparece na linha final acima é o Hamiltoniano de Heisenberg H ( t ), que pode diferir do Hamiltoniano de Schrödinger.

Um caso especial importante da equação acima é obtido se o hamiltoniano não variar com o tempo. Então, o operador de evolução no tempo pode ser escrito como

Portanto,

e,

Aqui ∂ A / ∂ t é a derivada no tempo do A inicial , não o operador A ( t ) definido. A última equação ocupa desde exp - ( i H t / h ) comuta com H .

A equação é resolvida pelo A ( t ) definido acima, conforme evidente pelo uso da identidade do operador padrão ,

que implica

Essa relação também é válida para a mecânica clássica , o limite clássico do acima, dada a correspondência entre colchetes de Poisson e comutadores ,

Na mecânica clássica, para um A sem dependência de tempo explícita,

então, novamente, a expressão para A ( t ) é a expansão de Taylor em torno de t = 0.

Com efeito, a base espacial rígida arbitrária de Hilbert | ψ (0)〉 desapareceu de vista e só é considerado na etapa final de obtenção de valores de expectativa específicos ou elementos de matriz de observáveis.

Relações comutadores

As relações do comutador podem parecer diferentes das da imagem de Schrödinger, por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores x ( t 1 ), x ( t 2 ), p ( t 1 ) e p ( t 2 ) . A evolução temporal desses operadores depende do hamiltoniano do sistema. Considerando o oscilador harmônico unidimensional,

,

a evolução dos operadores de posição e momento é dada por:

,
.

Diferenciar ambas as equações mais uma vez e resolvê-las com as condições iniciais adequadas,

leva a

,
.

A computação direta produz as relações de comutador mais gerais,

,
,
.

Pois , simplesmente recuperamos as relações de comutação canônicas padrão válidas em todas as imagens.

Comparação resumida da evolução em todas as fotos

Para um hamiltoniano independente do tempo H S , onde H 0, S é o hamiltoniano livre,

Evolução Imagem ()
do: Heisenberg Interação Schrödinger
Estado Ket constante
Observável constante
Matriz de densidade constante


Veja também

Referências

  1. ^ "Representação de Heisenberg" . Enciclopédia de Matemática . Retirado em 3 de setembro de 2013 .

links externos

  • Auxiliares pedagógicos da teoria quântica de campos Clique no link para o cap. 2 para encontrar uma introdução simplificada e extensa à imagem de Heisenberg.
  • Algumas derivações expandidas e um exemplo do oscilador harmônico na imagem de Heisenberg [1]
  • O artigo original de Heisenberg traduzido (embora difícil de ler, contém um exemplo para o oscilador anarmônico): Sources of Quantum mechanics BL Van Der Waerden [2]
  • Os cálculos para o átomo de hidrogênio na representação de Heisenberg originalmente de um artigo de Pauli [3]