Estado quântico - Quantum state

Na física quântica , um estado quântico é uma entidade matemática que fornece uma distribuição de probabilidade para os resultados de cada medição possível em um sistema. O conhecimento do estado quântico, juntamente com as regras para a evolução do sistema no tempo, esgota tudo o que pode ser previsto sobre o comportamento do sistema. Uma mistura de estados quânticos é novamente um estado quântico. Os estados quânticos que não podem ser escritos como uma mistura de outros estados são chamados de estados quânticos puros , enquanto todos os outros estados são chamados de estados quânticos mistos . Um estado quântico puro pode ser representado por um raio em um espaço de Hilbert sobre os números complexos , enquanto estados mistos são representados por matrizes de densidade , que são operadores semidefinidos positivos que atuam em espaços de Hilbert.

Os estados puros também são conhecidos como vetores de estado ou funções de onda , aplicando-se o último termo particularmente quando são representados como funções de posição ou momento. Por exemplo, ao lidar com o espectro de energia do elétron em um átomo de hidrogênio , os vetores de estado relevantes são identificados pelo número quântico principal n , o número quântico do momento angular l , o número quântico magnético m e o componente z de spin s z . Para outro exemplo, se o spin de um elétron é medido em qualquer direção, por exemplo, com um experimento de Stern-Gerlach , há dois resultados possíveis: para cima ou para baixo. O espaço de Hilbert para o spin do elétron é, portanto, bidimensional, constituindo um qubit . Um estado puro aqui é representado por um vetor complexo bidimensional , com comprimento de um; isto é, com

onde e são os valores absolutos de e . Um estado misto, neste caso, tem a estrutura de uma matriz que é Hermitiana e semidefinida positiva, e tem traço 1. Um caso mais complicado é dado (na notação bra-ket ) pelo estado singleto , que exemplifica o emaranhamento quântico :

que envolve a superposição de estados de spin conjuntos para duas partículas com spin 1 2 . O estado singlete satisfaz a propriedade de que se os spins das partículas são medidos ao longo da mesma direção, então o spin da primeira partícula é observado para cima e o spin da segunda partícula é observado para baixo, ou o primeiro é observado para baixo e o segundo um é observado, ambas as possibilidades ocorrendo com igual probabilidade.

Um estado quântico misto corresponde a uma mistura probabilística de estados puros; entretanto, diferentes distribuições de estados puros podem gerar estados mistos equivalentes (ou seja, fisicamente indistinguíveis). O teorema de Schrödinger-HJW classifica a infinidade de maneiras de escrever um dado estado misto como uma combinação convexa de estados puros. Antes de uma determinada medição ser realizada em um sistema quântico, a teoria fornece apenas uma distribuição de probabilidade para o resultado, e a forma que essa distribuição assume é completamente determinada pelo estado quântico e pelos operadores lineares que descrevem a medição. As distribuições de probabilidade para diferentes medições exibem compensações exemplificadas pelo princípio da incerteza : um estado que implica uma distribuição estreita de resultados possíveis para um experimento necessariamente implica uma ampla distribuição de resultados possíveis para outro.

Descrição conceitual

Estados puros

Densidades de probabilidade para o elétron de um átomo de hidrogênio em diferentes estados quânticos.

Na formulação matemática da mecânica quântica , os estados quânticos puros correspondem a vetores em um espaço de Hilbert , enquanto cada quantidade observável (como a energia ou o momento de uma partícula ) está associada a um operador matemático . O operador atua como uma função linear que atua sobre os estados do sistema. Os valores próprios do operador correspondem aos valores possíveis do observável. Por exemplo, é possível observar uma partícula com momentum de 1 kg⋅m / s se e somente se um dos autovalores do operador momentum for 1 kg⋅m / s. O autovetor correspondente (que os físicos chamam de eigenstate ) com autovalor de 1 kg⋅m / s seria um estado quântico com um valor definido e bem definido de momentum de 1 kg⋅m / s, sem incerteza quântica . Se seu momento fosse medido, o resultado é garantido em 1 kg⋅m / s.

Por outro lado, um sistema em uma superposição de várias eigenstates diferentes faz em geral, têm incerteza quântica para o dado observável. Podemos representar esta combinação linear de estados próprios como:

O coeficiente que corresponde a um determinado estado na combinação linear é um número complexo, permitindo assim efeitos de interferência entre estados. Os coeficientes dependem do tempo. Como um estado quântico muda no tempo é governado pelo operador de evolução do tempo . Os símbolos e ao redor do são parte da notação bra – ket .

As misturas estatísticas de estados são um tipo diferente de combinação linear. Uma mistura estatística de estados é um conjunto estatístico de sistemas independentes. As misturas estatísticas representam o grau de conhecimento, enquanto a incerteza dentro da mecânica quântica é fundamental. Matematicamente, uma mistura estatística não é uma combinação que usa coeficientes complexos, mas sim uma combinação que usa probabilidades positivas de valores reais de diferentes estados . Um número representa a probabilidade de um sistema selecionado aleatoriamente estar no estado . Ao contrário do caso de combinação linear, cada sistema está em um estado próprio definido.

O valor esperado de um observável A é uma média estatística dos valores medidos do observável. É essa média e a distribuição de probabilidades que é prevista pelas teorias físicas.

Não existe um estado que seja simultaneamente um estado próprio para todos os observáveis. Por exemplo, não podemos preparar um estado tal que a medição da posição Q ( t ) e a medição do momento P ( t ) (ao mesmo tempo t ) sejam conhecidas exatamente; pelo menos um deles terá uma gama de valores possíveis. Este é o conteúdo da relação de incerteza de Heisenberg .

Além disso, em contraste com a mecânica clássica, é inevitável que a execução de uma medição no sistema geralmente mude seu estado . Mais precisamente: após medir um A observável , o sistema estará em um estado próprio de A ; assim, o estado mudou, a menos que o sistema já estivesse nesse estado próprio. Isso expressa um tipo de consistência lógica: se medirmos A duas vezes na mesma execução do experimento, as medições sendo diretamente consecutivas no tempo, então elas produzirão os mesmos resultados. Isso tem algumas consequências estranhas, como segue.

Considere dois observáveis incompatíveis , A e B , em que A corresponde a uma medida anterior em vez de B . Suponha que o sistema esteja em um estado próprio de B no início do experimento. Se medirmos apenas B , todas as execuções do experimento produzirão o mesmo resultado. Se medirmos primeiro A e depois B na mesma execução do experimento, o sistema será transferido para um estado próprio de A após a primeira medição, e geralmente notaremos que os resultados de B são estatísticos. Assim: As medições da mecânica quântica influenciam umas às outras e a ordem em que são realizadas é importante.

Outra característica dos estados quânticos torna-se relevante se considerarmos um sistema físico que consiste em vários subsistemas; por exemplo, um experimento com duas partículas em vez de uma. A física quântica permite certos estados, chamados de estados emaranhados , que mostram certas correlações estatísticas entre medições nas duas partículas que não podem ser explicadas pela teoria clássica. Para obter detalhes, consulte emaranhamento . Esses estados emaranhados levam a propriedades testáveis ​​experimentalmente ( teorema de Bell ) que nos permitem distinguir entre a teoria quântica e modelos clássicos alternativos (não quânticos).

Imagem de Schrödinger vs. imagem de Heisenberg

Pode-se considerar que os observáveis ​​são dependentes do tempo, enquanto o estado σ foi fixado uma vez no início do experimento. Essa abordagem é chamada de imagem de Heisenberg . (Esta abordagem foi adotada na parte posterior da discussão acima, com os observáveis ​​que variam no tempo P ( t ), Q ( t ).) Pode-se, equivalentemente, tratar os observáveis ​​como fixos, enquanto o estado do sistema depende do tempo ; isso é conhecido como a imagem de Schrödinger . (Essa abordagem foi feita na parte inicial da discussão acima, com um estado variável no tempo .) Conceitualmente (e matematicamente), as duas abordagens são equivalentes; escolher um deles é uma questão de convenção.

Ambos os pontos de vista são usados ​​na teoria quântica. Enquanto a mecânica quântica não relativística é geralmente formulada em termos da imagem de Schrödinger, a imagem de Heisenberg é freqüentemente preferida em um contexto relativístico, isto é, para a teoria quântica de campos . Compare com a imagem de Dirac .

Formalismo em física quântica

Estados puros como raios em um espaço de Hilbert complexo

A física quântica é mais comumente formulada em termos de álgebra linear , como segue. Qualquer sistema é identificado com algum espaço de Hilbert de dimensão finita ou infinita . Os estados puros correspondem aos vetores da norma 1. Assim, o conjunto de todos os estados puros corresponde à esfera unitária no espaço de Hilbert, porque a esfera unitária é definida como o conjunto de todos os vetores com a norma 1.

Multiplicar um estado puro por um escalar é fisicamente inconseqüente (contanto que o estado seja considerado por si mesmo). Se um vetor em um espaço de Hilbert complexo pode ser obtido a partir de outro vetor multiplicando por algum número complexo diferente de zero, os dois vetores correspondem ao mesmo "raio" e também ao mesmo ponto no espaço de Hilbert projetivo de .

Notação de sutiã

Os cálculos em mecânica quântica fazem uso frequente de operadores lineares , produtos escalares, espaços duais e conjugação hermitiana . Para fazer tais cálculos fluírem suavemente e para torná-los desnecessários (em alguns contextos) para entender completamente a álgebra linear subjacente, Paul Dirac inventou uma notação para descrever estados quânticos, conhecida como notação bra-ket . Embora os detalhes disso estejam além do escopo deste artigo, algumas consequências disso são:

  • A expressão usada para denotar um vetor de estado (que corresponde a um estado quântico puro) assume a forma (onde o " " pode ser substituído por quaisquer outros símbolos, letras, números ou mesmo palavras). Isso pode ser contrastado com a notação matemática usual , onde vetores são geralmente letras latinas minúsculas, e é claro a partir do contexto que eles são de fato vetores.
  • Dirac definiu dois tipos de vetor, sutiã e cetinha , duplos entre si.
  • Cada Ket é associado exclusivamente a um suposto sutiã , denotado , que corresponde ao mesmo estado quântico físico. Tecnicamente, o sutiã é o adjunto do cet. É um elemento do espaço dual e relacionado ao ket pelo teorema da representação de Riesz . Em um espaço de dimensão finita com uma base escolhida, escrever como um vetor coluna é um vetor linha; para obtê-lo, basta usar o conjugado complexo transposto e entrada de .
  • Produtos escalares (também chamados de suportes ) são escritos de forma a parecer um sutiã e ket ao lado do outro: . (A frase "bra-ket" deve ser semelhante a "colchete".)

Rodar

O momento angular tem a mesma dimensão ( M · L 2 · T −1 ) que a constante de Planck e, em escala quântica, se comporta como um grau discreto de liberdade de um sistema quântico. A maioria das partículas possui um tipo de momento angular intrínseco que não aparece na mecânica clássica e surge da generalização relativística da teoria de Dirac. Matematicamente, é descrito com espinores . Na mecânica quântica não relativística, as representações de grupo do grupo de Lie SU (2) são usadas para descrever essa liberdade adicional. Para uma determinada partícula, a escolha da representação (e, portanto, a faixa de valores possíveis do spin observável) é especificada por um número não negativo S que, em unidades da constante reduzida de Planck ħ , é um inteiro (0, 1, 2 ...) ou meio inteiro (1/2, 3/2, 5/2 ...). Para uma partícula massiva com spin S , seu número quântico de spin m sempre assume um dos 2 S + 1 valores possíveis no conjunto

Como consequência, o estado quântico de uma partícula com spin é descrito por uma função de onda avaliada por vetor com valores em C 2 S +1 . Equivalentemente, é representado por uma função de valor complexo de quatro variáveis: uma variável de número quântico discreto (para o spin) é adicionada às três variáveis ​​contínuas usuais (para a posição no espaço).

Estados de muitos corpos e estatísticas de partículas

O estado quântico de um sistema de N partículas, cada uma potencialmente com spin, é descrito por uma função de valor complexo com quatro variáveis ​​por partícula, correspondendo a 3 coordenadas espaciais e spin , por exemplo

Aqui, as variáveis ​​de spin m ν assumem valores do conjunto

onde está o spin da ν ésima partícula. para uma partícula que não exibe spin.

O tratamento de partículas idênticas é muito diferente para bósons (partículas com spin inteiro) e férmions (partículas com spin meio inteiro). A função N- partícula acima deve ser simetrizada (no caso bosônico) ou anti-simetrizada (no caso fermiônico) em relação aos números das partículas. Se nem todas as N partículas são idênticas, mas algumas delas são, então a função deve ser (anti) simetrizada separadamente sobre as variáveis ​​correspondentes a cada grupo de variáveis ​​idênticas, de acordo com suas estatísticas (bosônicas ou fermiônicas).

Os elétrons são férmions com S  = 1/2, os fótons (quanta de luz) são bósons com S  = 1 (embora no vácuo eles não tenham massa e não possam ser descritos com a mecânica de Schrödinger).

Quando a simetrização ou anti-simetrização é desnecessária, os espaços de N- partícula de estados podem ser obtidos simplesmente por produtos tensores de espaços de uma partícula, aos quais retornaremos mais tarde.

Estados básicos de sistemas de uma partícula

Como acontece com qualquer espaço de Hilbert , se uma base for escolhida para o espaço de Hilbert de um sistema, qualquer ket pode ser expandido como uma combinação linear desses elementos de base. Simbolicamente, dados Kets de base , qualquer Ket pode ser escrito

onde c i são números complexos . Em termos físicos, isso é descrito dizendo que foi expresso como uma superposição quântica dos estados . Se os kets de base forem escolhidos como ortonormais (como costuma ser o caso), então .

Uma propriedade digna de nota é que os estados normalizados são caracterizados por

e para uma base ortonormal, isso se traduz em

Expansões desse tipo desempenham um papel importante na medição na mecânica quântica. Em particular, se forem autoestados (com autovalores k i ) de um observável, e esse observável for medido no estado normalizado , então a probabilidade de que o resultado da medição seja k i é | c i | 2 . (A condição de normalização acima exige que a soma total das probabilidades seja igual a um.)

Um exemplo particularmente importante é a base de posição , que é a base que consiste em estados próprios com valores próprios do observável que corresponde à posição de medição. Se esses autoestados não forem degenerados (por exemplo, se o sistema for uma partícula única sem spin ), então qualquer ket está associado a uma função de valor complexo do espaço tridimensional

Esta função é chamada de função de onda correspondente a . Similarmente ao caso discreto acima, a densidade de probabilidade da partícula sendo encontrada na posição é e os estados normalizados têm

.

Em termos de conjunto contínuo de base de posição , o estado é:

.

Superposição de estados puros

Como mencionado acima, os estados quânticos podem ser sobrepostos . Se e são dois kets correspondentes a estados quânticos, o ket

é um estado quântico diferente (possivelmente não normalizado). Observe que tanto as amplitudes quanto as fases ( argumentos ) de e irão influenciar o estado quântico resultante. Em outras palavras, por exemplo, embora e (para real θ ) correspondem ao mesmo estado quântico física, eles são não intercambiáveis , uma vez e vai não correspondem ao mesmo estado físico para todas as opções de . No entanto, e vai corresponder ao mesmo estado físico. Isso às vezes é descrito dizendo que os fatores de fase "globais" não são físicos, mas os fatores de fase "relativos" são físicos e importantes.

Um exemplo prático de superposição é o experimento de dupla fenda , no qual a superposição leva à interferência quântica . O estado do fóton é uma superposição de dois estados diferentes, um correspondendo ao deslocamento do fóton pela fenda esquerda e o outro correspondendo à passagem pela fenda direita. A fase relativa desses dois estados depende da diferença das distâncias das duas fendas. Dependendo dessa fase, a interferência é construtiva em alguns locais e destrutiva em outros, criando o padrão de interferência. Podemos dizer que os estados superpostos estão em superposição coerente , por analogia com a coerência em outros fenômenos ondulatórios.

Outro exemplo da importância da fase relativa na superposição quântica são as oscilações de Rabi , onde a fase relativa de dois estados varia no tempo devido à equação de Schrödinger . A superposição resultante acaba oscilando para frente e para trás entre dois estados diferentes.

Estados mistos

Um estado quântico puro é um estado que pode ser descrito por um único vetor ket, conforme descrito acima. Um estado quântico misto é um conjunto estatístico de estados puros (consulte a mecânica estatística quântica ). Estados mistos surgem inevitavelmente de estados puros quando, para um sistema quântico composto com um estado emaranhado , a parte é inacessível ao observador. O estado da peça é expresso então como o traçado parcial acabado .

Um estado misto não pode ser descrito com um único vetor Ket. Em vez disso, é descrito por sua matriz de densidade associada (ou operador de densidade ), geralmente denotada por ρ . Observe que as matrizes de densidade podem descrever estados mistos e puros, tratando-os da mesma forma. Além disso, um estado quântico misto em um determinado sistema quântico descrito por um espaço de Hilbert pode ser sempre representado como o traço parcial de um estado quântico puro (chamado de purificação ) em um sistema bipartido maior para um espaço de Hilbert suficientemente grande .

A matriz de densidade que descreve um estado misto é definida para ser um operador da forma

onde é a fração do conjunto em cada estado puro A matriz de densidade pode ser pensada como uma forma de usar o formalismo de uma partícula para descrever o comportamento de muitas partículas semelhantes, dando uma distribuição de probabilidade (ou conjunto) de estados que essas partículas pode ser encontrado em.

Um critério simples para verificar se uma matriz de densidade está descrevendo um estado puro ou misto é que o traço de ρ 2 seja igual a 1 se o estado for puro e menor que 1 se o estado for misto. Outro critério equivalente é que a entropia de von Neumann seja 0 para um estado puro e estritamente positiva para um estado misto.

As regras para medição na mecânica quântica são particularmente simples de declarar em termos de matrizes de densidade. Por exemplo, a média do conjunto ( valor esperado ) de uma medição correspondente a um observável A é dado por

onde são autovetores e autovalores, respectivamente, para o operador A , e "tr" denota traço. É importante notar que dois tipos de média estão ocorrendo, uma sendo uma superposição quântica ponderada sobre os kets de base dos estados puros, e a outra sendo uma média estatística (dita incoerente ) com as probabilidades p s desses estados.

Segundo Eugene Wigner , o conceito de mistura foi proposto por Lev Landau .

Generalizações matemáticas

Os estados podem ser formulados em termos de observáveis, em vez de vetores em um espaço vetorial. Estes são funcionais lineares normalizados positivos em uma álgebra C * , ou às vezes outras classes de álgebras de observáveis. Consulte Estado em uma construção C * -álgebra e Gelfand-Naimark-Segal para obter mais detalhes.

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

O conceito de estados quânticos, em particular o conteúdo da seção Formalismo em física quântica acima, é abordado na maioria dos livros-texto padrão de mecânica quântica.

Para uma discussão dos aspectos conceituais e uma comparação com os estados clássicos, consulte:

Para uma cobertura mais detalhada dos aspectos matemáticos, consulte:

Para uma discussão sobre purificações de estados quânticos mistos, consulte o Capítulo 2 das notas de aula de John Preskill para Física 219 no Caltech.

Para uma discussão sobre aspectos geométricos, consulte: