Equação de Klein-Gordon - Klein–Gordon equation

A equação de Klein – Gordon ( equação de Klein – Fock – Gordon ou às vezes equação de Klein – Gordon – Fock ) é uma equação de onda relativística , relacionada à equação de Schrödinger . É de segunda ordem no espaço e no tempo e manifestamente covariante de Lorentz . É uma versão quantizada da relação relativística energia-momento . Suas soluções incluem um campo escalar quântico ou pseudoescalar , um campo cujos quanta são partículas sem spin. Sua relevância teórica é semelhante à da equação de Dirac . As interações eletromagnéticas podem ser incorporadas, formando o tópico da eletrodinâmica escalar , mas como as partículas sem spin comuns como os píons são instáveis ​​e também experimentam a interação forte (com termo de interação desconhecido no hamiltoniano ), a utilidade prática é limitada.

A equação pode ser colocada na forma de uma equação de Schrödinger. Nessa forma, ele é expresso como duas equações diferenciais acopladas, cada uma de primeira ordem no tempo. As soluções têm dois componentes, refletindo o grau de liberdade da carga na relatividade. Admite uma quantidade conservada, mas não é definida positiva. A função de onda não pode, portanto, ser interpretada como uma amplitude de probabilidade . Em vez disso, a quantidade conservada é interpretada como carga elétrica , e o quadrado da norma da função de onda é interpretado como uma densidade de carga . A equação descreve todas as partículas sem spin com carga positiva, negativa e zero.

Qualquer solução da equação de Dirac livre é, para cada um de seus quatro componentes, uma solução da equação de Klein-Gordon livre. A equação de Klein-Gordon não constitui a base de uma teoria relativística quântica consistente de uma partícula . Não existe tal teoria conhecida para partículas de qualquer spin. Para a reconciliação completa da mecânica quântica com a relatividade especial, a teoria quântica de campos é necessária, na qual a equação de Klein-Gordon ressurge como a equação obedecida pelos componentes de todos os campos quânticos livres. Na teoria quântica de campos, as soluções das versões livres (não interativas) das equações originais ainda desempenham um papel. Eles são necessários para construir o espaço de Hilbert (espaço de Fock ) e para expressar campos quânticos usando conjuntos completos (conjuntos abrangentes do espaço de Hilbert) de funções de onda.

Demonstração

A equação de Klein-Gordon pode ser escrita de diferentes maneiras. A própria equação geralmente se refere à forma de espaço de posição, onde pode ser escrita em termos de componentes de espaço e tempo separados ou combinando-os em um vetor de quatro . Por Fourier transformar o campo em espaço de momento, a solução é geralmente escrita em termos de uma superposição de ondas planas cuja energia e momento obedecem à relação de dispersão energia-momento da relatividade especial . Aqui, a equação de Klein-Gordon é fornecida para as duas convenções de assinatura métrica comuns .

Equação de Klein-Gordon em unidades normais com assinatura métrica
Espaço de posição

Transformação de Fourier

Espaço momentum

Separados

tempo e espaço

Forma de quatro vetores

Aqui, é o operador d'Alembert e é o operador Laplace . A velocidade da luz e a constante de Planck costumam atrapalhar as equações, portanto, são frequentemente expressas em unidades naturais onde .

Equação de Klein-Gordon em unidades naturais com assinatura métrica
Espaço de posição

Transformação de Fourier

Espaço momentum

Separados

tempo e espaço

Forma de quatro vetores

Ao contrário da equação de Schrödinger, a equação de Klein – Gordon admite dois valores de ω para cada k : um positivo e um negativo. Somente separando as partes de frequência positiva e negativa se obtém uma equação que descreve uma função de onda relativística. Para o caso independente do tempo, a equação de Klein-Gordon torna-se

que é formalmente o mesmo que a equação homogênea de Poisson rastreada .

Solução para partícula livre

Aqui, a equação de Klein-Gordon em unidades naturais,, com a assinatura métrica é resolvida pela transformação de Fourier. Inserindo a transformação de Fourier

e usando ortogonalidade dos exponenciais complexos dá a relação de dispersão
Isso restringe os momentos para aqueles que estão na casca , dando soluções de energia positiva e negativa
Para um novo conjunto de constantes , a solução torna-se
É comum lidar com as soluções de energia positiva e negativa separando as energias negativas e trabalhar apenas com as positivas :
Na última etapa, foi renomeado. Agora podemos realizar a integração, pegando a parte da frequência positiva apenas da função delta:

Isso é comumente considerado uma solução geral para a equação de Klein-Gordon. Observe que, como a transformação inicial de Fourier continha quantidades invariantes de Lorentz como only, a última expressão também é uma solução invariante de Lorentz para a equação de Klein-Gordon. Se não for necessária a invariância de Lorentz, pode-se absorver o fator-nos coeficientes e .

História

A equação foi nomeada em homenagem aos físicos Oskar Klein e Walter Gordon , que em 1926 propôs que ela descreve elétrons relativísticos. Outros autores que fizeram afirmações semelhantes no mesmo ano foram Vladimir Fock , Johann Kudar, Théophile de Donder e Frans-H. van den Dungen e Louis de Broglie . Embora a modelagem do spin do elétron tenha exigido a equação de Dirac , a equação de Klein-Gordon descreve corretamente as partículas compostas relativísticas sem spin , como o píon . Em 4 de julho de 2012, a Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear CERN anunciou a descoberta do bóson de Higgs . Como o bóson de Higgs é uma partícula de spin zero, é a primeira partícula aparentemente elementar observada a ser descrita pela equação de Klein-Gordon. É necessária mais experimentação e análise para discernir se o bóson de Higgs observado é o do Modelo Padrão ou uma forma mais exótica, possivelmente composta.

A equação de Klein-Gordon foi considerada pela primeira vez como uma equação de onda quântica por Schrödinger em sua busca por uma equação que descreve as ondas de De Broglie . A equação é encontrada em seus cadernos do final de 1925, e ele parece ter preparado um manuscrito aplicando-a ao átomo de hidrogênio. No entanto, porque não leva em conta o spin do elétron, a equação prediz a estrutura fina do átomo de hidrogênio incorretamente, incluindo superestimar a magnitude geral do padrão de divisão por um fator de 4 n/2 n - 1para o n nível de energia -ésimo. O espectro relativístico da equação de Dirac é, no entanto, facilmente recuperado se o número quântico do momento orbital l for substituído pelo número quântico do momento angular total j . Em janeiro de 1926, Schrödinger submeteu para publicação sua equação, uma aproximação não relativística que prevê os níveis de energia de Bohr do hidrogênio sem estrutura fina .

Em 1926, logo após a equação de Schrödinger ter sido introduzida, Vladimir Fock escreveu um artigo sobre sua generalização para o caso de campos magnéticos , onde as forças eram dependentes da velocidade , e derivou independentemente esta equação. Tanto Klein quanto Fock usaram o método de Kaluza e Klein. Fock também determinou a teoria de calibre para a equação de onda . A equação de Klein-Gordon para uma partícula livre tem uma solução simples de onda plana .

Derivação

A equação não relativística para a energia de uma partícula livre é

Ao quantizar isso, obtemos a equação de Schrödinger não relativística para uma partícula livre:

Onde

é o operador momentum ( sendo o operador del ), e

é o operador de energia .

A equação de Schrödinger sofre por não ser relativisticamente invariante , o que significa que é inconsistente com a relatividade especial .

É natural tentar usar a identidade da relatividade especial para descrever a energia:

Então, apenas inserir os operadores quânticos para momentum e energia produz a equação

A raiz quadrada de um operador diferencial pode ser definida com a ajuda das transformações de Fourier , mas devido à assimetria das derivadas de espaço e tempo, Dirac descobriu que era impossível incluir campos eletromagnéticos externos de forma relativisticamente invariante. Ele então procurou outra equação que pudesse ser modificada para descrever a ação das forças eletromagnéticas. Além disso, essa equação, como está, é não local (consulte também a Introdução às equações não locais ).

Klein e Gordon, em vez disso, começaram com o quadrado da identidade acima, ou seja,

que, quando quantizado, dá

que simplifica para

Reorganizando os rendimentos dos termos

Como todas as referências a números imaginários foram eliminadas desta equação, ela pode ser aplicada a campos com valor real , bem como àqueles que possuem valores complexos .

Reescrevendo os dois primeiros termos usando o inverso do diagnóstico métrico de Minkowski (- c 2 , 1, 1, 1) e escrevendo a convenção de soma de Einstein explicitamente, obtemos

Assim, a equação de Klein-Gordon pode ser escrita em uma notação covariante. Isso geralmente significa uma abreviatura na forma de

Onde

e

Este operador é chamado de operador d'Alembert .

Hoje, essa forma é interpretada como a equação de campo relativística para partículas de spin -0. Além disso, qualquer componente de qualquer solução para a equação de Dirac livre (para uma partícula de spin 1/2 ) é automaticamente uma solução para a equação de Klein-Gordon livre. Isso se generaliza para partículas de qualquer spin devido às equações de Bargmann-Wigner . Além disso, na teoria quântica de campos , cada componente de cada campo quântico deve satisfazer a equação livre de Klein-Gordon, tornando a equação uma expressão genérica de campos quânticos.

Equação de Klein-Gordon em um potencial

A equação de Klein-Gordon pode ser generalizada para descrever um campo em algum potencial V ( ψ ) como

Corrente conservada

A corrente conservada associada à simetria U (1) de um campo complexo satisfazendo a equação de Klein-Gordon lê

A forma da corrente conservada pode ser derivada sistematicamente aplicando o teorema de Noether à simetria U (1). Não o faremos aqui, mas simplesmente daremos uma prova de que esta corrente conservada está correta.

Prova usando manipulações algébricas da equação KG

Da equação de Klein-Gordon para um campo complexo de massa , escrito em notação covariante

e seu conjugado complexo

temos, multiplicando pela esquerda respectivamente por e (e omitindo por brevidade a dependência explícita ),

Subtraindo o primeiro do último, obtemos

então nós também sabemos

da qual obtemos a lei de conservação para o campo Klein – Gordon:

Açao

A equação de Klein-Gordon também pode ser derivada por um método variacional , considerando a ação

onde ψ é o campo de Klein – Gordon e m é sua massa. O conjugado complexo de ψ é escrito ψ . Se o campo escalar for considerado com valor real, então ψ = ψ , e é comum introduzir um fator de 1/2 para ambos os termos.

Aplicando a fórmula do tensor tensão-energia de Hilbert à densidade Lagrangiana (a quantidade dentro da integral), podemos derivar o tensor tensão-energia do campo escalar. Isto é

Pela integração do componente tempo-tempo T 00 sobre todo o espaço, pode-se mostrar que ambas as soluções de ondas planas de frequência positiva e negativa podem ser fisicamente associadas a partículas com energia positiva . Este não é o caso para a equação de Dirac e seu tensor de energia-momento.

Limite não relativístico

Campo clássico

Tomando o limite não relativístico ( vc ) de um campo clássico de Klein-Gordon ψ ( x , t ) começa com o ansatz fatorando o termo oscilatório de energia de massa em repouso ,

Definindo a energia cinética , no limite não relativístico v ~ p << c , e portanto

Aplicar isso resulta no limite não relativístico da segunda derivada de tempo ,

Substituindo na equação livre de Klein-Gordon,, resulta

que (dividindo o exponencial e subtraindo o termo de massa) simplifica para

Este é um campo clássico de Schrödinger .

Campo quântico

O limite análogo de um campo quântico de Klein-Gordon é complicado pela não comutatividade do operador de campo. No limite vc , os operadores de criação e aniquilação se desacoplam e se comportam como campos de Schrödinger quânticos independentes .

Interação eletromagnética

Existe uma maneira simples de fazer qualquer campo interagir com o eletromagnetismo de uma forma invariante de calibre : substitua os operadores derivativos pelos operadores derivativos covariante de calibre. Isso ocorre porque para manter a simetria das equações físicas para a função de onda sob uma transformação de calibre U (1) local, onde é um ângulo de fase localmente variável, cuja transformação redireciona a função de onda no espaço de fase complexo definido por , é necessário que as derivadas ordinárias ser substituídos por derivadas covariantes de calibre , enquanto os campos de calibre se transformam como . Com a assinatura métrica (-, +, +, +), a equação de Klein – Gordon torna-se, portanto,

em unidades naturais , onde A é o potencial do vetor. Embora seja possível adicionar muitos termos de ordem superior, por exemplo,

esses termos não são renormalizáveis em 3 + 1 dimensões.

A equação de campo para um campo escalar carregado multiplica por i , o que significa que o campo deve ser complexo. Para que um campo seja carregado, ele deve ter dois componentes que podem girar um no outro, as partes real e imaginária.

A ação para um escalar carregado sem massa é a versão covariante da ação não carregada:

Interação gravitacional

Na relatividade geral , incluímos o efeito da gravidade substituindo derivadas covariantes por parciais , e a equação de Klein-Gordon torna-se (na assinatura principalmente positiva )

ou equivalente,

onde g αβ é o inverso do tensor métrico que é o campo potencial gravitacional, g é o determinante do tensor métrico, μ é a derivada covariante e Γ σ μν é o símbolo de Christoffel que é o campo de força gravitacional .

Veja também

Observações

Notas

Referências

links externos