Rombicuboctaedro - Rhombicuboctahedron

Rombicuboctaedro
(Clique aqui para ver o modelo rotativo)
Modelo	Poliedro uniforme de arquimedes sólido
Elementos	F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2)
Rostos por lados	8 {3} + (6 + 12) {4}
Notação de Conway	eC ou aaC aaaT
Símbolos Schläfli	rr {4,3} ou ${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	t 0,2 {4,3}
Símbolo Wythoff	3 4 | 2
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	O h , B 3 , [4,3], (* 432), pedido 48
Grupo de rotação	O , [4,3] + , (432), ordem 24
Ângulo diédrico	3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 °
Referências	U 10 , C 22 , W 13
Propriedades	Semirregular convexo
Rostos coloridos	3.4.4.4 ( Figura do vértice )
Icositetraedro deltóide ( poliedro duplo )	Internet

Em geometria , o rombicuboctaedro , ou pequeno rombicuboctaedro , é um sólido arquimediano com oito faces triangulares e dezoito quadradas . Existem 24 vértices idênticos, com um triângulo e três quadrados se encontrando em cada um. (Observe que seis dos quadrados compartilham apenas vértices com os triângulos, enquanto os outros doze compartilham uma aresta.) O poliedro tem simetria octaédrica , como o cubo e o octaedro . Seu duplo é chamado de icositraedro deltóide ou icositraedro trapezoidal, embora suas faces não sejam realmente trapézios verdadeiros .

Nomes

Johannes Kepler em Harmonices Mundi (1618) chamou este poliedro de rômbicouboctaedro , abreviação de losango cuboctaédrico truncado , com losango cuboctaédrico sendo seu nome para um dodecaedro rômbico . Existem diferentes truncamentos de um dodecaedro rômbico em um rômbico- suboctaedro topológico : proeminentemente sua retificação (esquerda), aquela que cria o sólido uniforme (centro), e a retificação do cuboctaedro dual (direita), que é o núcleo do composto dual .

Também pode ser chamado de cubo expandido ou cantelado ou octaedro , a partir de operações de truncamento em qualquer poliedro uniforme .

Desde sua inclusão no Wings 3D como um "octotoad", esse apelido não oficial está se espalhando.

Relações geométricas

O rombicuboctaedro pode ser visto como um cubo expandido (as faces azuis) ou um octaedro expandido (as faces vermelhas).

Existem distorções do rombicuboctaedro que, embora algumas das faces não sejam polígonos regulares, ainda são uniformes no vértice. Algumas delas podem ser feitas pegando um cubo ou octaedro e cortando as bordas, depois aparando os cantos, de forma que o poliedro resultante tenha seis faces quadradas e doze retangulares. Estes têm simetria octaédrica e formam uma série contínua entre o cubo e o octaedro, análoga às distorções do rombicosidodecaedro ou às distorções tetraédricas do cuboctaedro . No entanto, o rombicuboctaedro também tem um segundo conjunto de distorções com seis faces retangulares e dezesseis trapezoidais, que não têm simetria octaédrica, mas simetria T _h , de modo que são invariantes sob as mesmas rotações do tetraedro, mas com reflexos diferentes.

As linhas ao longo das quais um Cubo de Rubik pode ser girado são, projetadas em uma esfera, semelhantes, topologicamente idênticas, às bordas de um rômbico-suboctaedro. Na verdade, variantes usando o mecanismo do Cubo de Rubik foram produzidas que se assemelham muito ao rômbico-suboctaedro.

O rhombicuboctahedron é utilizada em três pavimentações uniformes de enchimento de espaço : o favo de mel cantellated cúbico , o favo de mel cúbico runcitruncated , e o favo de mel cúbico alternado runcinated .

Dissecação

O rombicuboctaedro pode ser dissecado em duas cúpulas quadradas e um prisma octogonal central . Uma rotação de uma cúpula de 45 graus cria o pseudo-losangos-cubocta-Hedron . Ambos os poliedros têm a mesma figura de vértice: 3.4.4.4.

Existem três pares de planos paralelos, cada um cruzando o rombicuboctaedro em um octógono regular. O rombicuboctaedro pode ser dividido ao longo de qualquer um deles para obter um prisma octogonal com faces regulares e dois poliedros adicionais chamados cúpulas quadradas , que contam entre os sólidos de Johnson ; é, portanto, uma ortho bicupola quadrada alongada . Essas peças podem ser remontadas para dar um novo sólido denominado gyrobicupola quadrada alongada ou pseudorrombicuboctaedro , com a simetria de um antiprisma quadrado. Neste, os vértices são todos localmente iguais aos de um rombicuboctaedro, com um triângulo e três quadrados se encontrando em cada um, mas não são todos idênticos em relação ao poliedro inteiro, uma vez que alguns estão mais próximos do eixo de simetria do que outros.

	Rombicuboctaedro
	Pseudorrombicuboctaedro

Projeções ortogonais

O rombicuboctaedro tem seis projeções ortogonais especiais , centralizadas em um vértice, em dois tipos de arestas e três tipos de faces: triângulos e dois quadrados. Os dois últimos correspondem aos planos B ₂ e A ₂ Coxeter .

Projeções ortogonais

Centrado por	Vértice	Edge 3-4	Edge 4-4	Face Square-1	Face Square-2	Triângulo de Rosto
Sólido
Wireframe
Simetria projetiva	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
Dual

Ladrilhos esféricos

O rombicuboctaedro também pode ser representado como uma telha esférica e projetado no plano por meio de uma projeção estereográfica . Esta projeção é conforme , preservando ângulos, mas não áreas ou comprimentos. As linhas retas na esfera são projetadas como arcos circulares no plano.

	(6) quadrado -centered	(6) quadrado -centered	(8) centrado em triângulo
Projeção ortogonal	Projeções estereográficas

Simetria piritoédrica

Uma forma de meia simetria do rombicuboctaedro, , existe com simetria piritoédrica , [4,3 ⁺ ], (3 * 2) como diagrama de Coxeter , Símbolo Schläfli s ₂ {3,4}, e pode ser chamado de octaedro cântico . Esta forma pode ser visualizada colorindo alternadamente as bordas dos 6 quadrados . Esses quadrados podem ser distorcidos em retângulos , enquanto os 8 triângulos permanecem equiláteros. As 12 faces quadradas diagonais se tornarão trapézios isósceles . No limite, os retângulos podem ser reduzidos a bordas, e os trapézios tornam-se triângulos, e um icosaedro é formado, por uma construção de octaedro arredondado ,, s {3,4}. (O composto de duas icosaedras é construído a partir de ambas as posições alternadas.)

Variações de simetria piritoédrica
Geometria uniforme	Geometria não uniforme	Geometria não uniforme	No limite, um icosaedro octaedro,, de uma das duas posições.	Composto de dois icosaedros de ambas as posições alternadas.

Propriedades algébricas

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas para os vértices de um rombicuboctaedro centrado na origem, com comprimento de borda 2 unidades, são todas as permutações pares de

(± 1, ± 1, ± (1 + √ 2 )).

Se o rombicuboctaedro original tem comprimento de borda unitário, seu icositraedro estrômbico duplo tem comprimentos de borda

${\ displaystyle {\ frac {2} {7}} {\ sqrt {10 - {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ sqrt {4-2 {\ sqrt { 2}}}}.}$

Área e volume

A área A e o volume V do rombicuboctaedro de comprimento da borda a são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = \ left (18 + 2 {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} && \ approx 21.464 \, 1016a ^ {2} \\ V & = {\ frac {12 + 10 {\ sqrt {2}}} {3}} a ^ {3} && \ approx 8.714 \, 045 \, 21a ^ {3}. \ End {alinhado}}}$

Densidade de compactação

A fração de empacotamento ideal de rombicuboctaedra é dada por

${\ displaystyle \ eta = {\ tfrac {4} {3}} \ left (4 {\ sqrt {2}} - 5 \ right)}$.

Percebeu-se que este valor ótimo é obtido em uma rede de Bravais por de Graaf ( 2011 ). Uma vez que o rombicuboctaedro está contido em um dodecaedro rômbico, cuja esfera inscrita é idêntica à sua própria esfera inscrita, o valor da fração de empacotamento ideal é um corolário da conjectura de Kepler : pode ser alcançado colocando um rômbicouboctaedro em cada célula do dodecaedro rômbico favo de mel , e não pode ser superado, visto que, de outra forma, a densidade ótima de empacotamento de esferas poderia ser superada colocando-se uma esfera em cada rombicuboctaedro do empacotamento hipotético que o ultrapassa.

Nas artes

Retrato de Luca Pacioli (c. 1495)

Ilustração de Leonardo da Vinci em Divina proporione (1509)

O Retrato de Luca Pacioli de 1495 , tradicionalmente atribuído a Jacopo de 'Barbari , inclui um rômbico-suboctaedro de vidro cheio até a metade com água, que pode ter sido pintado por Leonardo da Vinci . A primeira versão impressa do rombicuboctaedro foi de Leonardo e apareceu em Pacioli 's Divina proporione (1509).

Um panorama esférico de 180 ° × 360 ° pode ser projetado em qualquer poliedro; mas o rombicuboctaedro fornece uma aproximação boa o suficiente de uma esfera, embora seja fácil de construir. Este tipo de projeção, denominado Philosphere , é possível a partir de algum software de montagem de panorama. É composto por duas imagens que são impressas separadamente e cortadas com tesoura deixando algumas abas para montagem com cola.

Objetos

Os jogos Freescape , Driller e Dark Side, tinham um mapa do jogo na forma de um rômbico-suboctaedro.

O "Eat-Scurry Galaxy" e o "Sea Slide Galaxy" no videogame Super Mario Galaxy têm planetas com a forma semelhante de um rombicuboctaedro.

Sonic the Hedgehog 3 ' s Icecap Zone apresenta pilares cobertos com rhombicuboctahedra.

Durante a mania do Cubo de Rubik na década de 1980, pelo menos dois quebra-cabeças tortuosos vendidos tinham a forma de um rômbicouboctaedro (o mecanismo era semelhante ao de um Cubo de Rubik ).

• 

  Sundial (1596)

• 

  Sundial

• 

  Poste de luz em Mainz

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  Morra com 18 faces rotuladas

• 

  Alvo de tiro de Cabela

• 

  Cobra de rubik

• 

  Variação do cubo de Rubik

• 

  Cristal de pirita

Poliedros relacionados

O rombicuboctaedro faz parte de uma família de poliedros uniformes relacionados ao cubo e octaedro regular.

Poliedro octaédrico uniforme
Simetria : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= ou	= ou	=
Duplos para poliedros uniformes
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Mutações de simetria

Este poliedro é topologicamente relacionado como uma parte da sequência de poliedros cantelados com figura de vértice (3.4. N .4), e continua como inclinações do plano hiperbólico . Essas figuras transitivas de vértice têm (* n 32) simetria refletiva .

* n mutação de simetria 32 de telhas expandidas: 3.4. n 0,4
Simetria * n 32 [n, 3]	Esférico				Euclides.	Hipérbole compacta.		Paracomp.
	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]
Figura
Config.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

* n 42 mutação de simetria de telhas expandidas: n .4.4.4 v t e
Simetria [n, 4], (* n 42)	Esférico	Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracomp.
	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4]	* ∞42 [∞, 4]
Figuras expandidas
Config.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
Configuração de figuras rômbicas .	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	V6.4.4.4	V7.4.4.4	V8.4.4.4	V∞.4.4.4

Arranjo de vértices

Ele compartilha seu arranjo de vértice com três poliedros uniformes não convexos : o hexaedro truncado estrelado , o pequeno rombihexaedro (tendo as faces triangulares e seis faces quadradas em comum) e o pequeno cubicuboctaedro (tendo doze faces quadradas em comum).

Rombicuboctaedro

Cubicuboctaedro pequeno

Pequeno rhombihexahedron

Hexaedro estrelado truncado

Gráfico Rhombicuboctaedral
Simetria de 4 dobras
Vértices	24
Arestas	48
Automorfismos	48
Propriedades	Gráfico quártico , hamiltoniano , regular
Tabela de gráficos e parâmetros

Gráfico Rhombicuboctaedral

No campo matemático da teoria dos grafos , um gráfico rombicuboctaédrico é o gráfico dos vértices e arestas do rombicuboctaedro, um dos sólidos arquimedianos . Possui 24 vértices e 48 arestas, e é um grafo quártico de Arquimedes .

Veja também

• Composto de cinco rombicuboctaedros
• Cubo
• Cuboctaedro
• Grande rombicuboctaedro não convexo
• Rombicuboctaedro truncado
• Girobicupola quadrada alongada
• Estrela da Morávia
• Octaedro
• Rhombicosidodecaedro
• Cobra de Rubik - quebra-cabeça que pode formar uma "bola" Rhombicuboctaedro
• Biblioteca Nacional da Bielo - Rússia - seu principal componente arquitetônico tem a forma de um rombicuboctaedro.
• Cuboctaedro truncado (grande rombicuboctaedro)

Referências

Leitura adicional

links externos

• Eric W. Weisstein , Rhombicuboctahedron ( sólido arquimediano ) em MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Small rhombicuboctahedral graph" . MathWorld .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3o4x - sirco" .
• O Poliedro Uniforme
• Poliedros de Realidade Virtual A Enciclopédia de Poliedros
• Rede editável para impressão de um rombicuboctaedro com visualização 3D interativa
• Rhombicuboctahedron Star por Sándor Kabai, Wolfram Demonstrations Project .
• Rhombicuboctaedron: tiras de papel para entrançar