Triângulo - Triangle

Triângulo Equilátero
Polígono regular 3 annotated.svg
Um triângulo regular
Modelo Polígono regular
Arestas e vértices 3
Símbolo Schläfli {3}
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Grupo de simetria Diédrico (D 3 ), ordem 2 × 3
Ângulo interno ( graus ) 60 °
Polígono duplo Auto
Propriedades Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotóxico
Triângulo
Triangle illustration.svg
Um triangulo
Arestas e vértices 3
Símbolo Schläfli {3} (para equilátero)
Área vários métodos;
Veja abaixo
Ângulo interno ( graus ) 60 ° (para equilátero)
triângulo, tri, três, ângulo
Triângulo = Tri (três) + Ângulo

Um triângulo é um polígono com três arestas e três vértices . É uma das formas básicas da geometria . Um triângulo com vértices A , B e C é denotado .

Na geometria euclidiana , quaisquer três pontos, quando não colineares , determinam um triângulo único e, simultaneamente, um plano único (isto é, um espaço euclidiano bidimensional ). Em outras palavras, existe apenas um plano que contém esse triângulo e cada triângulo está contido em algum plano. Se toda a geometria é apenas o plano euclidiano , há apenas um plano e todos os triângulos estão contidos nele; entretanto, em espaços euclidianos de dimensões superiores, isso não é mais verdade. Este artigo é sobre triângulos na geometria euclidiana e, em particular, o plano euclidiano, exceto onde indicado de outra forma.

Tipos de triângulo

Diagrama de Euler de tipos de triângulos, usando a definição de que triângulos isósceles têm pelo menos 2 lados iguais (isto é, triângulos equiláteros são isósceles).

A terminologia para categorizar triângulos tem mais de dois mil anos, tendo sido definida na primeira página dos Elementos de Euclides . Os nomes usados ​​para a classificação moderna são uma transliteração direta do grego de Euclides ou suas traduções latinas.

Por comprimentos de lados

O matemático da Grécia Antiga Euclides definiu três tipos de triângulo de acordo com o comprimento de seus lados:

Grego : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , lit. 'De figuras trilaterais, um triângulo isopleurônico [equilátero] é aquele que tem seus três lados iguais, um isósceles aquele que tem apenas dois de seus lados iguais, e um escaleno aquele que tem seus três lados desiguais.'

  • Um triângulo equilátero ( grego : ἰσόπλευρον , romanizadoisópleuron , lit. 'lados iguais') tem três lados do mesmo comprimento. Um triângulo equilátero também é um polígono regular com todos os ângulos medindo 60 °.
  • Um triângulo isósceles ( grego : ἰσοσκελὲς , romanizadoisoskelés , lit. 'pernas iguais') tem dois lados de comprimento igual. Um triângulo isósceles também tem dois ângulos da mesma medida, ou seja, os ângulos opostos aos dois lados do mesmo comprimento. Esse fato é o conteúdo do teorema do triângulo isósceles , conhecido por Euclides . Alguns matemáticos definem um triângulo isósceles como tendo exatamente dois lados iguais, enquanto outros definem um triângulo isósceles como um com pelo menos dois lados iguais. A última definição tornaria todos os triângulos equiláteros triângulos isósceles. O triângulo retângulo 45-45-90, que aparece no ladrilho quadrado de tetraquis , é isósceles.
  • Um triângulo escaleno ( grego : σκαληνὸν , romanizadoskalinón , lit. 'desigual') tem todos os seus lados de comprimentos diferentes. Equivalentemente, tem todos os ângulos de diferentes medidas.

As marcas hachuradas , também chamadas de marcas, são usadas em diagramas de triângulos e outras figuras geométricas para identificar lados de comprimentos iguais. Um lado pode ser marcado com um padrão de "tiques", segmentos de linha curtos na forma de marcas de contagem ; dois lados têm comprimentos iguais se ambos forem marcados com o mesmo padrão. Em um triângulo, o padrão geralmente não passa de 3 pontos. Um triângulo equilátero tem o mesmo padrão em todos os 3 lados, um triângulo isósceles tem o mesmo padrão em apenas 2 lados e um triângulo escaleno tem padrões diferentes em todos os lados, pois nenhum lado é igual.

Da mesma forma, padrões de 1, 2 ou 3 arcos concêntricos dentro dos ângulos são usados ​​para indicar ângulos iguais: um triângulo equilátero tem o mesmo padrão em todos os 3 ângulos, um triângulo isósceles tem o mesmo padrão em apenas 2 ângulos e um triângulo escaleno tem padrões diferentes em todos os ângulos, uma vez que nenhum ângulo é igual.

Por ângulos internos

A primeira página dos Elementos de Euclides , da primeira versão impressa do mundo (1482), mostrando a seção de "definições" do Livro I. O triângulo retângulo é rotulado como " ortogônio ", e os dois ângulos mostrados são "acutus" e "angulus obtusus" .

Os triângulos também podem ser classificados de acordo com seus ângulos internos , medidos aqui em graus .

  • Um triângulo retângulo (ou triângulo retângulo , anteriormente chamado de triângulo retângulo ) tem um de seus ângulos internos medindo 90 ° (um ângulo reto ). O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa , o lado mais longo do triângulo. Os outros dois lados são chamados de pernas ou cateto (singular: cateto ) do triângulo. Triângulos obedecer o teorema de Pitágoras : a soma dos quadrados dos comprimentos das duas pernas é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa: um 2 + b 2 = c 2 , onde um e b são o comprimento das pernas e c é o comprimento da hipotenusa. Os triângulos retângulos especiais são triângulos retângulos com propriedades adicionais que facilitam os cálculos que os envolvem. Um dos dois mais famosos é o triângulo retângulo 3-4-5, onde 3 2 + 4 2 = 5 2 . O triângulo 3-4-5 também é conhecido como triângulo egípcio. Nesta situação, 3, 4 e 5 são um triplo pitagórico . O outro é um triângulo isósceles que tem 2 ângulos medindo 45 graus (triângulo 45–45–90).
  • Um triângulo com todos os ângulos internos medindo menos de 90 ° é um triângulo agudo ou triângulo agudo . Se C é o comprimento do lado mais longo, em seguida, um 2 + b 2 > c 2 , onde um e b são os comprimentos dos outros lados.
  • Um triângulo com um ângulo interno medindo mais de 90 ° é um triângulo obtuso ou triângulo obtuso-angular . Se C é o comprimento do lado mais longo, em seguida, um 2 + b 2 < c 2 , onde um e b são os comprimentos dos outros lados.
  • Um triângulo com um ângulo interno de 180 ° (e vértices colineares ) é degenerado . Um triângulo degenerado direito tem vértices colineares, dois dos quais são coincidentes.

Um triângulo que tem dois ângulos com a mesma medida também tem dois lados com o mesmo comprimento e, portanto, é um triângulo isósceles. Segue-se que em um triângulo onde todos os ângulos têm a mesma medida, todos os três lados têm o mesmo comprimento e, portanto, são equiláteros.

Triângulo retângulo Triângulo obtuso Triângulo agudo
Direito Obtuso Agudo
 
  Oblíquo

Fatos básicos

Um triângulo, mostrando o ângulo externo d.

Os triângulos são considerados figuras planas bidimensionais , a menos que o contexto forneça o contrário (consulte Triângulos não planos , abaixo). Em tratamentos rigorosos, um triângulo é, portanto, denominado 2- simplex (consulte também Polytope ). Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides , nos livros 1–4 de seus Elementos , escritos por volta de 300 aC.

As medidas dos ângulos internos do triângulo sempre somam 180 graus (mesma cor para indicar que são iguais).

A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo no espaço euclidiano é sempre 180 graus. Este fato é equivalente ao postulado paralelo de Euclides . Isso permite determinar a medida do terceiro ângulo de qualquer triângulo, dada a medida de dois ângulos. Um ângulo externo de um triângulo é um ângulo que é um par linear (e, portanto, complementar ) a um ângulo interno. A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos que não são adjacentes a ele; este é o teorema do ângulo externo . A soma das medidas dos três ângulos externos (um para cada vértice) de qualquer triângulo é 360 graus.

Similaridade e congruência

Dois triângulos são semelhantes , se cada ângulo de um triângulo tiver a mesma medida que o ângulo correspondente no outro triângulo. Os lados correspondentes de triângulos semelhantes têm comprimentos que estão na mesma proporção, e essa propriedade também é suficiente para estabelecer a similaridade.

Alguns teoremas básicos sobre triângulos semelhantes são:

  • Se e somente se um par de ângulos internos de dois triângulos tem a mesma medida um do outro, e outro par também tem a mesma medida que o outro, os triângulos são semelhantes.
  • Se e somente se um par de lados correspondentes de dois triângulos estão na mesma proporção que outro par de lados correspondentes, e seus ângulos incluídos têm a mesma medida, então os triângulos são semelhantes. (O ângulo incluído para quaisquer dois lados de um polígono é o ângulo interno entre esses dois lados.)
  • Se e somente se três pares de lados correspondentes de dois triângulos estiverem todos na mesma proporção, os triângulos serão semelhantes.

Dois triângulos congruentes têm exatamente o mesmo tamanho e forma: todos os pares de ângulos internos correspondentes são iguais em medida e todos os pares de lados correspondentes têm o mesmo comprimento. (Isso é um total de seis igualdades, mas três geralmente são suficientes para provar a congruência.)

Algumas condições individualmente necessárias e suficientes para que um par de triângulos seja congruente são:

  • Postulado SAS: Os dois lados de um triângulo têm o mesmo comprimento que os dois lados do outro triângulo e os ângulos incluídos têm a mesma medida.
  • ASA: dois ângulos internos e o lado incluído em um triângulo têm a mesma medida e comprimento, respectivamente, que os do outro triângulo. (O lado incluído para um par de ângulos é o lado que é comum a eles.)
  • SSS: Cada lado de um triângulo tem o mesmo comprimento que um lado correspondente do outro triângulo.
  • AAS: Dois ângulos e um lado correspondente (não incluído) em um triângulo têm a mesma medida e comprimento, respectivamente, que aqueles no outro triângulo. (Às vezes é chamado de AAcorrS e inclui o ASA acima.)

Algumas condições individualmente suficientes são:

  • Teorema da perna da hipotenusa (HL): A hipotenusa e uma perna em um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento que as de outro triângulo retângulo. Isso também é chamado de RHS (ângulo reto, hipotenusa, lado).
  • Teorema do ângulo da hipotenusa: a hipotenusa e um ângulo agudo em um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento e medida, respectivamente, que os do outro triângulo retângulo. Este é apenas um caso particular do teorema AAS.

Uma condição importante é:

  • Condição do ângulo lateral (ou ângulo lateral): Se dois lados e um ângulo não incluído correspondente de um triângulo têm o mesmo comprimento e medida, respectivamente, que aqueles em outro triângulo, então isso não é suficiente para provar congruência; mas se o ângulo dado for oposto ao lado mais comprido dos dois lados, então os triângulos são congruentes. O Teorema da Perna da Hipotenusa é um caso particular desse critério. A condição do ângulo lateral não garante, por si só, que os triângulos sejam congruentes porque um triângulo pode ter um ângulo obtuso e o outro um ângulo agudo.

Usando triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas em trigonometria .

Triângulos retângulos

O teorema de Pitágoras

Um teorema central é o teorema de Pitágoras , que afirma em qualquer triângulo retângulo , o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos dois outros lados. Se a hipotenusa tem comprimento c , e as pernas têm comprimentos a e b , então o teorema afirma que

O inverso é verdadeiro: se os comprimentos dos lados de um triângulo satisfizerem a equação acima, o triângulo terá um ângulo reto oposto ao lado c .

Alguns outros fatos sobre triângulos retângulos:

  • Se as pernas de um triângulo retângulo têm o mesmo comprimento, os ângulos opostos a essas pernas têm a mesma medida. Como esses ângulos são complementares, segue-se que cada um mede 45 graus. Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da hipotenusa é o comprimento de uma perna vezes 2 .
  • Em um triângulo retângulo com ângulos agudos medindo 30 e 60 graus, a hipotenusa tem o dobro do comprimento do lado mais curto e o lado mais longo é igual ao comprimento do lado mais curto vezes 3 :

Para todos os triângulos, ângulos e lados são relacionados pela lei dos cossenos e pela lei dos senos (também chamada de regra do cosseno e regra dos senos ).

Existência de um triângulo

Condição nas laterais

A desigualdade do triângulo afirma que a soma dos comprimentos de quaisquer dois lados de um triângulo deve ser maior ou igual ao comprimento do terceiro lado. Essa soma pode ser igual ao comprimento do terceiro lado apenas no caso de um triângulo degenerado, um com vértices colineares. Não é possível que essa soma seja inferior ao comprimento do terceiro lado. Um triângulo com três comprimentos de lado positivos dados existe se e somente se esses comprimentos de lado satisfazem a desigualdade do triângulo.

Condições nos ângulos

Três ângulos dados formam um triângulo não degenerado (e, na verdade, uma infinidade deles) se e somente se ambas as condições forem válidas: (a) cada um dos ângulos é positivo e (b) a soma dos ângulos é 180 °. Se triângulos degenerados são permitidos, ângulos de 0 ° são permitidos.

Condições trigonométricas

Três ângulos positivos α , β e γ , cada um deles menor que 180 °, são os ângulos de um triângulo se e somente se qualquer uma das seguintes condições se mantiver:

a última igualdade aplicada somente se nenhum dos ângulos for 90 ° (portanto, o valor da função tangente é sempre finito).

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Existem milhares de construções diferentes que encontram um ponto especial associado (e muitas vezes dentro) a um triângulo, satisfazendo alguma propriedade única: consulte o artigo Enciclopédia de Centros de Triângulo para um catálogo delas. Freqüentemente, eles são construídos encontrando três retas associadas de forma simétrica com os três lados (ou vértices) e, então, provando que as três retas se encontram em um único ponto: uma ferramenta importante para provar a existência delas é o teorema de Ceva , que fornece uma critério para determinar quando três dessas linhas são concorrentes . Da mesma forma, as retas associadas a um triângulo são freqüentemente construídas provando que três pontos construídos simetricamente são colineares : aqui o teorema de Menelau fornece um critério geral útil. Nesta seção, apenas algumas das construções mais comumente encontradas são explicadas.

O circuncentro é o centro de um círculo que passa pelos três vértices do triângulo.

Uma bissetriz perpendicular de um lado de um triângulo é uma linha reta que passa pelo ponto médio do lado e é perpendicular a ele, ou seja, forma um ângulo reto com ele. As três bissetoras perpendiculares se encontram em um único ponto, o circuncentro do triângulo , geralmente denotado por O ; este ponto é o centro da circunferência , o círculo passando por todos os três vértices. O diâmetro deste círculo, denominado circundiâmetro , pode ser encontrado na lei dos senos mencionada acima. O raio do circumcircle é chamado de circumradius .

O teorema de Tales implica que, se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, então o ângulo oposto é direito. Se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, então o triângulo é agudo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, o triângulo é obtuso.

A intersecção das altitudes é o ortocentro .

A altitude de um triângulo é uma linha reta através de um vértice e perpendicular ao (isto é, formando um ângulo reto com) o lado oposto. Esse lado oposto é chamado de base da altitude, e o ponto onde a altitude intercepta a base (ou sua extensão) é chamado de da altitude. O comprimento da altitude é a distância entre a base e o vértice. Os três altitudes se intersectam num ponto único, chamado o ortocentro do triângulo, geralmente indicado por H . O ortocentro encontra-se dentro do triângulo se e somente se o triângulo for agudo.

A intersecção das bissetoras do ângulo é o centro do incircle .

Uma bissetriz de ângulo de um triângulo é uma linha reta que passa por um vértice que corta o ângulo correspondente pela metade. As três bissetoras do ângulo se cruzam em um único ponto, o incenter , geralmente denotado por I , o centro do incircle do triângulo . O incircle é o círculo que fica dentro do triângulo e toca todos os três lados. Seu raio é denominado inradius . Existem três outros círculos importantes, os círculos ; eles ficam fora do triângulo e tocam um lado, bem como as extensões dos outros dois. Os centros dos círculos internos e externos formam um sistema ortocêntrico .

A intersecção das medianas é o centróide .

A mediana de um triângulo é uma linha reta que passa por um vértice e o ponto médio do lado oposto e divide o triângulo em duas áreas iguais. Os três medianas se intersectam num ponto único, do triângulo centróide baricentro ou geométrico, geralmente indicado por L . O centróide de um objeto triangular rígido (recortado de uma folha fina de densidade uniforme) também é seu centro de massa : o objeto pode ser equilibrado em seu centróide em um campo gravitacional uniforme. O centróide corta todas as medianas na proporção 2: 1, ou seja, a distância entre um vértice e o centróide é o dobro da distância entre o centróide e o ponto médio do lado oposto.

O círculo de nove pontos demonstra uma simetria onde seis pontos ficam na borda do triângulo.

Os pontos médios dos três lados e os pés das três altitudes estão todos em um único círculo, o círculo de nove pontos do triângulo . Os três pontos restantes para os quais é nomeado são os pontos médios da porção de altitude entre os vértices e o ortocentro . O raio do círculo de nove pontos é a metade do círculo. Toca o incircle (no ponto Feuerbach ) e os três círculos .

A linha de Euler é uma linha reta que passa pelo ortocentro (azul), centro do círculo de nove pontos (vermelho), centróide (laranja) e circuncentro (verde)

O ortocentro (ponto azul), centro do círculo de nove pontos (vermelho), centróide (laranja) e circuncentro (verde) estão todos em uma única linha, conhecida como linha de Euler (linha vermelha). O centro do círculo de nove pontos fica no ponto médio entre o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o centróide e o circuncentro é a metade daquela entre o centróide e o ortocentro.

O centro do círculo incircular geralmente não está localizado na linha de Euler.

Se refletirmos uma mediana na bissetriz do ângulo que passa pelo mesmo vértice, obteremos um simediano . Os três simedianos se cruzam em um único ponto, o ponto simmediano do triângulo.

Calculando os lados e ângulos

Existem vários métodos padrão para calcular o comprimento de um lado ou a medida de um ângulo. Certos métodos são adequados para calcular valores em um triângulo retângulo; métodos mais complexos podem ser necessários em outras situações.

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

Um triângulo retângulo sempre inclui um ângulo de 90 ° (π / 2 radianos), aqui com o rótulo C. Os ângulos A e B podem variar. As funções trigonométricas especificam as relações entre comprimentos laterais e ângulos internos de um triângulo retângulo.

Em triângulos retângulos , as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente podem ser usadas para encontrar ângulos desconhecidos e os comprimentos de lados desconhecidos. Os lados do triângulo são conhecidos da seguinte forma:

  • A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou definido como o lado mais longo de um triângulo retângulo, neste caso h .
  • O lado oposto é o lado oposto ao ângulo em que estamos interessados, neste caso a .
  • O lado adjacente é o lado que está em contato com o ângulo que nos interessa e o ângulo reto, daí seu nome. Nesse caso, o lado adjacente é b .

Seno, cosseno e tangente

O seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento da hipotenusa. No nosso caso

Essa proporção não depende do triângulo retângulo particular escolhido, desde que contenha o ângulo A , uma vez que todos esses triângulos são semelhantes .

O cosseno de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado adjacente e o comprimento da hipotenusa. No nosso caso

A tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente. No nosso caso

A sigla " SOH-CAH-TOA " é um mnemônico útil para essas proporções.

Funções inversas

As funções trigonométricas inversas podem ser usadas para calcular os ângulos internos de um triângulo retângulo com o comprimento de quaisquer dois lados.

O Arcsin pode ser usado para calcular um ângulo a partir do comprimento do lado oposto e do comprimento da hipotenusa.

Arccos pode ser usado para calcular um ângulo do comprimento do lado adjacente e o comprimento da hipotenusa.

O Arctan pode ser usado para calcular um ângulo do comprimento do lado oposto e do comprimento do lado adjacente.

Em cursos introdutórios de geometria e trigonometria, a notação sin -1 , cos -1 , etc., são frequentemente usados ​​no lugar de arcsin, arccos, etc. No entanto, o arcsin, arccos, etc., a notação é padrão em matemática superior onde trigonométrica as funções são comumente elevadas a potências, pois isso evita confusão entre o inverso multiplicativo e o inverso composicional .

Regras de seno, cosseno e tangente

Um triângulo com lados de comprimento a, bec e ângulos α, β e γ respectivamente.

A lei dos senos , ou regra dos senos , afirma que a razão entre o comprimento de um lado e o seno de seu ângulo oposto correspondente é constante, ou seja,

Essa proporção é igual ao diâmetro do círculo circunscrito do triângulo dado. Outra interpretação desse teorema é que todo triângulo com ângulos α, β e γ é semelhante a um triângulo com comprimentos laterais iguais a sin α, sin β e sin γ. Este triângulo pode ser construído construindo primeiro um círculo de diâmetro 1 e inscrevendo nele dois dos ângulos do triângulo. O comprimento dos lados desse triângulo será sin α, sin β e sin γ. O lado cujo comprimento é sen α é oposto ao ângulo cuja medida é α, etc.

A lei dos cossenos , ou regra do cosseno, conecta o comprimento de um lado desconhecido de um triângulo ao comprimento dos outros lados e ao ângulo oposto ao lado desconhecido. De acordo com a lei:

Para um triângulo com comprimento dos lados a , b , c e ângulos α, β, γ respectivamente, dados dois comprimentos conhecidos de um triângulo a e b , e o ângulo entre os dois lados conhecidos γ (ou o ângulo oposto ao desconhecido lado c ), para calcular o terceiro lado c , a seguinte fórmula pode ser usada:

Se os comprimentos de todos os três lados de qualquer triângulo forem conhecidos, os três ângulos podem ser calculados:

A lei das tangentes , ou regra da tangente, pode ser usada para encontrar um lado ou um ângulo quando dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado são conhecidos. Afirma que:

Solução de triângulos

"Solução de triângulos" é o principal problema trigonométrico : encontrar as características que faltam em um triângulo (três ângulos, os comprimentos dos três lados etc.) quando pelo menos três dessas características são dadas. O triângulo pode estar localizado em um plano ou em uma esfera . Este problema geralmente ocorre em várias aplicações trigonométricas, como geodésia , astronomia , construção , navegação etc.

Calculando a área de um triângulo

A área de um triângulo pode ser demonstrada, por exemplo, por meio da congruência de triângulos , como a metade da área de um paralelogramo que tem o mesmo comprimento e altura de base.
Uma derivação gráfica da fórmula que evita o procedimento usual de dobrar a área do triângulo e depois reduzi-la à metade.

Calcular a área T de um triângulo é um problema elementar encontrado com frequência em muitas situações diferentes. A fórmula mais conhecida e simples é:

onde b é o comprimento da base do triângulo eh é a altura ou altitude do triângulo. O termo "base" denota qualquer lado, e "altura" denota o comprimento de uma perpendicular do vértice oposto à base até a linha que contém a base. Em 499 EC Aryabhata , usou este método ilustrado no Aryabhatiya (seção 2.6).

Embora simples, esta fórmula só é útil se a altura puder ser facilmente encontrada, o que nem sempre é o caso. Por exemplo, o agrimensor de um campo triangular pode achar relativamente fácil medir o comprimento de cada lado, mas relativamente difícil construir uma 'altura'. Vários métodos podem ser usados ​​na prática, dependendo do que se sabe sobre o triângulo. A seguir está uma seleção de fórmulas usadas com freqüência para a área de um triângulo.

Usando trigonometria

Aplicando trigonometria para encontrar a altitude h .

A altura de um triângulo pode ser encontrada através da aplicação da trigonometria .

Conhecendo SAS : usando os rótulos na imagem à direita, a altitude é h = a sin . Substituindo isso na fórmula derivada acima, a área do triângulo pode ser expressa como:

(onde α é o ângulo interno em A , β é o ângulo interno em B , é o ângulo interno em C e c é a linha AB ).

Além disso, uma vez que sin α = sin ( π - α) = sin (β + ), e da mesma forma para os outros dois ângulos:

Conhecendo AAS :

e analogamente se o lado conhecido for a ou c .

Conhecendo ASA :

e analogamente se o lado conhecido for b ou c .

Usando a fórmula de Heron

A forma do triângulo é determinada pelo comprimento dos lados. Portanto, a área também pode ser derivada dos comprimentos dos lados. Pela fórmula de Heron :

onde está o semiperímetro , ou metade do perímetro do triângulo.

Três outras maneiras equivalentes de escrever a fórmula de Heron são

Usando vetores

A área de um paralelogramo embutido em um espaço euclidiano tridimensional pode ser calculada usando vetores . Deixe vectores AB e AC ponto, respectivamente, de um para B e de um a C . A área do paralelogramo ABDC é então

que é a magnitude do produto vetorial dos vetores AB e AC . A área do triângulo ABC é a metade disso,

A área do triângulo ABC também pode ser expressa em termos de produtos escalares da seguinte forma:

No espaço euclidiano bidimensional, expressando o vetor AB como um vetor livre no espaço cartesiano igual a ( x 1 , y 1 ) e AC como ( x 2 , y 2 ), isso pode ser reescrito como:

Usando coordenadas

Se o vértice A está localizado na origem (0, 0) de um sistema de coordenadas cartesianas e as coordenadas dos outros dois vértices são dadas por B = ( x B , y B ) e C = ( x C , y C ) , então a área pode ser calculada como 12 vezes o valor absoluto do determinante

Para três vértices gerais, a equação é:

que pode ser escrito como

Se os pontos forem rotulados sequencialmente no sentido anti-horário, as expressões determinantes acima são positivas e os sinais de valor absoluto podem ser omitidos. A fórmula acima é conhecida como fórmula do cadarço ou fórmula do agrimensor.

Se localizarmos os vértices no plano complexo e denotá-los na sequência anti-horária como a = x A + y A i , b = x B + y B i , e c = x C + y C i , e denotar seus conjugados complexos como ,, e , então a fórmula

é equivalente à fórmula do cadarço.

Em três dimensões, a área de um triângulo geral A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) e C = ( x C , y C , z C ) é o Soma pitagórica das áreas das respectivas projeções nos três planos principais (ou seja, x = 0, y = 0 e z = 0):

Usando integrais de linha

A área dentro de qualquer curva fechada, como um triângulo, é dada pela integral de linha em torno da curva da distância algébrica ou sinalizada de um ponto na curva a partir de uma linha reta L orientada arbitrariamente . Os pontos à direita de L, conforme orientados, são considerados como a uma distância negativa de L , enquanto o peso da integral é considerado o componente do comprimento do arco paralelo a L, em vez do próprio comprimento do arco.

Este método é adequado para o cálculo da área de um polígono arbitrário . Tomando L como o eixo x , a integral de linha entre vértices consecutivos ( x i , y i ) e ( x i +1 , y i +1 ) é dada pela base vezes a altura média, a saber ( x i +1 - x i ) ( y i + y i +1 ) / 2 . O sinal da área é um indicador geral da direção da travessia, com a área negativa indicando travessia no sentido anti-horário. A área de um triângulo então cai como o caso de um polígono com três lados.

Enquanto o método integral de linha tem em comum com outros métodos baseados em coordenadas a escolha arbitrária de um sistema de coordenadas, ao contrário dos outros ele não faz nenhuma escolha arbitrária do vértice do triângulo como origem ou do lado como base. Além disso, a escolha do sistema de coordenadas definido por L compromete-se a apenas dois graus de liberdade em vez dos três habituais, uma vez que o peso é uma distância local (por exemplo, x i +1 - x i acima) de onde o método não requer a escolha um eixo normal para L .

Ao trabalhar em coordenadas polares , não é necessário converter para coordenadas cartesianas para usar a integração de linha, uma vez que a integral de linha entre vértices consecutivos ( r i , θ i ) e ( r i +1 , θ i +1 ) de um polígono é fornecida diretamente por r i r i +1 sin (θ i +1 - θ i ) / 2 . Isso é válido para todos os valores de θ, com alguma diminuição na precisão numérica quando | θ | é muitas ordens de magnitude maior do que π. Com esta formulação, a área negativa indica a travessia no sentido horário, o que deve ser levado em consideração ao misturar as coordenadas polares e cartesianas. Assim como a escolha do eixo y ( x = 0 ) é imaterial para a integração da linha em coordenadas cartesianas, a escolha do rumo zero ( θ = 0 ) é irrelevante aqui.

Fórmulas semelhantes à fórmula de Heron

Três fórmulas têm a mesma estrutura que a fórmula de Heron, mas são expressas em termos de variáveis ​​diferentes. Primeiro, denotando as medianas dos lados a , b e c, respectivamente, como m a , m b e m c e sua semi-soma ( m a + m b + m c ) / 2 como σ, temos

Em seguida, denotando as altitudes dos lados a , b e c, respectivamente, como h a , h b e h c , e denotando a semi-soma dos recíprocos das altitudes como temos

E denotando a semi-soma dos senos dos ângulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , temos

onde D é o diâmetro da circunferência:

Usando o teorema de Pick

Veja o teorema de Pick para uma técnica para encontrar a área de qualquer polígono de rede arbitrário (desenhado em uma grade com pontos de rede adjacentes vertical e horizontalmente em distâncias iguais, e com vértices em pontos de rede).

O teorema afirma:

onde é o número de pontos da rede interna e B é o número de pontos da rede situados na borda do polígono.

Outras fórmulas de área

Existem várias outras fórmulas de área, como

onde r é o radius e s é o semiperímetro (na verdade, esta fórmula é válida para todos os polígonos tangenciais ), e

onde estão os raios dos círculos tangentes aos lados a, b, c respectivamente.

Nos tambem temos

e

para circundiâmetro D ; e

para o ângulo α ≠ 90 °.

A área também pode ser expressa como

Em 1885, Baker deu uma coleção de mais de cem fórmulas de áreas distintas para o triângulo. Esses incluem:

para circumradius (raio do circuncírculo) R , e

Limite superior da área

A área T de qualquer triângulo com perímetro p satisfaz

com igualdade válida se e somente se o triângulo é equilátero.

Outros limites superiores na área T são dados por

e

ambos segurando novamente se e somente se o triângulo for equilátero.

Divisão da área

Existem infinitas linhas que dividem a área de um triângulo . Três deles são as medianas, que são as únicas bissetoras da área que passam pelo centróide. Três outras bissetoras de área são paralelas aos lados do triângulo.

Qualquer linha através de um triângulo que divide a área do triângulo e seu perímetro ao meio passa pelo incentivo do triângulo. Pode haver um, dois ou três deles para qualquer triângulo.

Outras fórmulas para triângulos euclidianos gerais

As fórmulas nesta seção são verdadeiras para todos os triângulos euclidianos.

Medianas, bissetriz de ângulo, bissetriz lateral perpendicular e altitudes

As medianas e os lados são relacionados por

e

,

e de forma equivalente para m b e m c .

Para o ângulo A lado oposto a , o comprimento da bissetriz do ângulo interno é dado por

para semiperimeter s , onde o comprimento é medido a partir bissectriz do vértice para onde se encontra o lado oposto.

Os bissetores perpendiculares internos são dados por

onde estão os lados e a área é

A altitude, por exemplo, do lado do comprimento a é

Circumradius e Inradius

As seguintes fórmulas envolvem o circumradius R e o inradius r :

onde h a etc. são as altitudes para os lados subscritos;

e

.

O produto dos dois lados de um triângulo é igual à altitude do terceiro lado vezes o diâmetro D do círculo circunflexo:

Triângulos adjacentes

Suponha que dois triângulos adjacentes, mas não sobrepostos, compartilhem o mesmo lado do comprimento f e compartilhem o mesmo circuncírculo, de modo que o lado do comprimento f seja uma corda do circuncírculo e os triângulos tenham comprimentos laterais ( a , b , f ) e ( c , d , f ), com os dois triângulos juntos formando um quadrilátero cíclico com comprimentos laterais em sequência ( a , b , c , d ). Então

Centroid

Seja G o centróide de um triângulo com vértices A , B e C , e seja P qualquer ponto interior. Então, as distâncias entre os pontos são relacionadas por

A soma dos quadrados dos lados do triângulo é igual a três vezes a soma das distâncias quadradas do centróide dos vértices:

Deixe que q um , q b , e q c ser as distâncias do centróide para os lados de comprimentos de um , b , e c . Então

e

para a área T .

Circuncentro, incentivo e ortocentro

O teorema de Carnot afirma que a soma das distâncias do circuncentro aos três lados é igual à soma do circumradius e do inradius. Aqui, o comprimento de um segmento é considerado negativo se e somente se o segmento estiver totalmente fora do triângulo. Este método é especialmente útil para deduzir as propriedades de formas mais abstratas de triângulos, como as induzidas por álgebras de Lie , que de outra forma têm as mesmas propriedades dos triângulos usuais.

O teorema de Euler afirma que a distância d entre o circuncentro e o incentivo é dada por

ou equivalente

onde R é o circumradius er é o inradius. Assim, para todos os triângulos R ≥ 2 r , com igualdade válida para triângulos equiláteros.

Se denotar que o divide ortocentro uma altitude em segmentos de comprimentos de u e v , outro altura em comprimentos de segmento w e x , e a terceira altura em comprimentos de segmento y e z , então uv = wx = yz .

A distância de um lado ao circuncentro é igual a metade da distância do vértice oposto ao ortocentro.

A soma dos quadrados das distâncias dos vértices ao ortocentro H mais a soma dos quadrados dos lados é igual a doze vezes o quadrado do circumradius:

Ângulos

Além da lei dos senos , a lei dos cossenos , a lei das tangentes e as condições de existência trigonométricas fornecidas anteriormente, para qualquer triângulo

Teorema do trissetor de Morley

O triângulo de Morley, resultante da trissecção de cada ângulo interno. Este é um exemplo de regra de subdivisão finita .

O teorema do trissetor de Morley afirma que, em qualquer triângulo, os três pontos de intersecção dos trissetores dos ângulos adjacentes formam um triângulo equilátero, denominado triângulo de Morley.

Figuras inscritas em um triângulo

Cônicas

Conforme discutido acima, cada triângulo tem um círculo único inscrito (incircle) que é interior ao triângulo e tangente a todos os três lados.

Cada triângulo tem uma inelipse de Steiner única, que é interior ao triângulo e tangente nos pontos médios dos lados. O teorema de Marden mostra como encontrar os focos desta elipse . Essa elipse tem a maior área de qualquer elipse tangente a todos os três lados do triângulo.

A elipse Mandart de um triângulo é a elipse inscrita dentro do triângulo tangente a seus lados nos pontos de contato de seus círculos.

Para qualquer elipse inscrito em um triângulo ABC , deixe os focos se P e Q . Então

Polígono convexo

Cada polígono convexo com área de T pode ser inscrito em um triângulo de área, no máximo, igual a 2 T . A igualdade é válida (exclusivamente) para um paralelogramo .

Hexágono

O hexágono Lemoine é um hexágono cíclico com vértices dados pelas seis interseções dos lados de um triângulo com as três retas que são paralelas aos lados e que passam pelo seu ponto simbólico . Em sua forma simples ou em sua forma de auto-interseção , o hexágono Lemoine está dentro do triângulo com dois vértices em cada lado do triângulo.

Quadrados

Cada triângulo agudo tem três quadrados inscritos (quadrados em seu interior de forma que todos os quatro vértices de um quadrado fiquem em um lado do triângulo, então dois deles ficam do mesmo lado e, portanto, um lado do quadrado coincide com parte de um lado do triângulo). Em um triângulo retângulo, dois dos quadrados coincidem e têm um vértice no ângulo reto do triângulo, então um triângulo retângulo tem apenas dois quadrados distintos inscritos. Um triângulo obtuso tem apenas um quadrado inscrito, com um lado coincidindo com parte do lado mais longo do triângulo. Dentro de um determinado triângulo, um lado comum mais longo está associado a um quadrado menor inscrito. Se um quadrado inscrito tem lado de comprimento q a e o triângulo tem um lado de comprimento a , parte do qual lado coincide com um lado do quadrado, então q a , a , a altitude h a do lado a , e do triângulo área T está relacionada de acordo com

A maior proporção possível da área do quadrado inscrito para a área do triângulo é 1/2, que ocorre quando a 2 = 2 T , q = a / 2 , e a altitude do triângulo da base do comprimento a é igual a a . A menor proporção possível entre o lado de um quadrado inscrito e o lado de outro no mesmo triângulo não obtuso é. Ambos os casos extremos ocorrem para o triângulo retângulo isósceles.

Triângulos

De um ponto interno em um triângulo de referência, os pontos mais próximos nos três lados servem como vértices do triângulo pedal desse ponto. Se o ponto interno for o circuncentro do triângulo de referência, os vértices do triângulo do pedal são os pontos médios dos lados do triângulo de referência e, portanto, o triângulo do pedal é chamado de triângulo do ponto médio ou triângulo medial. O triângulo de ponto médio subdivide o triângulo de referência em quatro triângulos congruentes que são semelhantes ao triângulo de referência.

O triângulo de Gergonne ou triângulo intouch de um triângulo de referência tem seus vértices nos três pontos de tangência dos lados do triângulo de referência com seu incircle. O triângulo extouch de um triângulo de referência tem seus vértices nos pontos de tangência dos círculos do triângulo de referência com seus lados (não estendidos).

Figuras circunscritas a um triângulo

O triângulo tangencial de um triângulo de referência (diferente de um triângulo retângulo) é o triângulo cujos lados estão nas linhas tangentes ao círculo circunflexo do triângulo de referência em seus vértices.

Como mencionado acima, cada triângulo tem um circuncírculo único, um círculo que passa por todos os três vértices, cujo centro é a intersecção das bissetoras perpendiculares dos lados do triângulo.

Além disso, cada triângulo tem uma circunelipse de Steiner exclusiva , que passa pelos vértices do triângulo e tem seu centro no centroide do triângulo. De todas as elipses que passam pelos vértices do triângulo, é a que possui a menor área.

A hipérbole de Kiepert é a cônica única que passa pelos três vértices do triângulo, seu centróide e seu circuncentro.

De todos os triângulos contidos em um determinado polígono convexo, existe um triângulo com área máxima cujos vértices são todos vértices do polígono dado.

Especificando a localização de um ponto em um triângulo

Uma maneira de identificar a localização de pontos dentro (ou fora) de um triângulo é colocá-lo em uma localização e orientação arbitrárias no plano cartesiano e usar as coordenadas cartesianas. Embora seja conveniente para muitos propósitos, esta abordagem tem a desvantagem de todos os valores das coordenadas dos pontos serem dependentes do posicionamento arbitrário no plano.

Dois sistemas evitam esse recurso, de modo que as coordenadas de um ponto não são afetadas pelo movimento do triângulo, girando-o ou refletindo-o como em um espelho, qualquer um dos quais dá um triângulo congruente, ou mesmo redimensionando-o para dar um triângulo semelhante :

  • As coordenadas trilineares especificam as distâncias relativas de um ponto dos lados, de modo que as coordenadas indiquem que a razão entre a distância do ponto do primeiro lado e sua distância do segundo lado é , etc.
  • As coordenadas baricêntricas da forma especificam a localização do ponto pelos pesos relativos que teriam que ser colocados nos três vértices para equilibrar o triângulo sem peso no ponto dado.

Triângulos não planos

Um triângulo não plano é um triângulo que não está contido em um plano (plano). Alguns exemplos de triângulos não planos em geometrias não euclidianas são triângulos esféricos em geometria esférica e triângulos hiperbólicos em geometria hiperbólica .

Enquanto as medidas dos ângulos internos em triângulos planos sempre somam 180 °, um triângulo hiperbólico tem medidas de ângulos que somam menos de 180 ° e um triângulo esférico tem medidas de ângulos que somam mais de 180 °. Um triângulo hiperbólico pode ser obtido desenhando em uma superfície curvada negativamente, como uma superfície de sela , e um triângulo esférico pode ser obtido desenhando em uma superfície curvada positivamente, como uma esfera . Assim, se desenharmos um triângulo gigante na superfície da Terra, descobriremos que a soma das medidas de seus ângulos é maior que 180 °; na verdade, estará entre 180 ° e 540 °. Em particular, é possível desenhar um triângulo em uma esfera tal que a medida de cada um de seus ângulos internos seja igual a 90 °, somando um total de 270 °.

Especificamente, em uma esfera, a soma dos ângulos de um triângulo é

180 ° × (1 + 4 f ),

onde f é a fração da área da esfera que é delimitada pelo triângulo. Por exemplo, suponha que desenhemos um triângulo na superfície da Terra com vértices no Pólo Norte, em um ponto no equador a 0 ° de longitude e um ponto no equador a 90 ° de longitude oeste . A grande linha do círculo entre os dois últimos pontos é o equador, e a grande linha do círculo entre qualquer um desses pontos e o Pólo Norte é uma linha de longitude; portanto, existem ângulos retos nos dois pontos do equador. Além disso, o ângulo no Pólo Norte também é de 90 ° porque os outros dois vértices diferem em 90 ° de longitude. Portanto, a soma dos ângulos neste triângulo é 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 ° . O triângulo envolve 1/4 do hemisfério norte (90 ° / 360 ° visto do Pólo Norte) e, portanto, 1/8 da superfície da Terra, portanto, na fórmula f = 1/8 ; assim, a fórmula fornece corretamente a soma dos ângulos do triângulo como 270 °.

A partir da fórmula da soma dos ângulos acima, também podemos ver que a superfície da Terra é localmente plana: Se desenharmos um triângulo arbitrariamente pequeno na vizinhança de um ponto na superfície da Terra, a fração f da superfície da Terra que está contida pelo triângulo será ser arbitrariamente próximo de zero. Nesse caso, a fórmula da soma dos ângulos é simplificada para 180 °, o que sabemos é o que a geometria euclidiana nos diz para triângulos em uma superfície plana.

Triângulos em construção

O Flatiron Building em Nova York tem a forma de um prisma triangular

Os retângulos têm sido a forma geométrica mais popular e comum para edifícios, uma vez que a forma é fácil de empilhar e organizar; como padrão, é fácil projetar móveis e utensílios para caber em edifícios de formato retangular. Mas os triângulos, embora mais difíceis de usar conceitualmente, fornecem uma grande força. À medida que a tecnologia da computação ajuda os arquitetos a projetar novos edifícios criativos, as formas triangulares estão se tornando cada vez mais predominantes como partes de edifícios e como a forma principal para alguns tipos de arranha-céus, bem como materiais de construção. Em Tóquio, em 1989, os arquitetos se perguntaram se seria possível construir uma torre de 500 andares para fornecer escritórios a preços acessíveis para esta cidade densamente povoada, mas com o perigo de terremotos para os edifícios , os arquitetos consideraram que uma forma triangular seria necessária se tal um edifício deveria ser construído.

Na cidade de Nova York , enquanto a Broadway cruza as avenidas principais, os blocos resultantes são cortados como triângulos e os edifícios foram construídos nessas formas; um desses edifícios é o Flatiron Building de formato triangular, que as pessoas do setor imobiliário admitem ter um "emaranhado de espaços desajeitados que não acomodam facilmente móveis de escritório modernos", mas isso não impediu que a estrutura se tornasse um ícone de referência. Designers fizeram casas na Noruega usando temas triangulares. As formas triangulares apareceram em igrejas, bem como em edifícios públicos, incluindo faculdades, bem como suportes para projetos residenciais inovadores.

Os triângulos são resistentes; enquanto um retângulo pode colapsar em um paralelogramo devido à pressão em um de seus pontos, os triângulos têm uma força natural que suporta estruturas contra pressões laterais. Um triângulo não mudará de forma a menos que seus lados estejam dobrados, estendidos ou quebrados ou se suas juntas se quebrarem; em essência, cada um dos três lados apóia os outros dois. Um retângulo, em contraste, é mais dependente da resistência de suas juntas em um sentido estrutural. Alguns designers inovadores propuseram fazer tijolos não de retângulos, mas com formas triangulares que podem ser combinadas em três dimensões. É provável que os triângulos sejam usados ​​cada vez mais de novas maneiras à medida que a complexidade da arquitetura aumenta. É importante lembrar que os triângulos são fortes em termos de rigidez, mas, embora empacotados em um arranjo de mosaico , os triângulos não são tão fortes quanto os hexágonos sob compressão (daí a prevalência de formas hexagonais na natureza ). Os triângulos tesselados ainda mantêm resistência superior para cantilever , e esta é a base para uma das mais fortes estruturas feitas pelo homem, a treliça tetraédrica .

Veja também

Notas

Referências

links externos