Cube - Cube

Hexaedro regular
(Clique aqui para ver o modelo rotativo)
Modelo	Sólido platônico
Código curto	4 =
Elementos	F = 6, E = 12 V = 8 (χ = 2)
Rostos por lados	6 {4}
Notação de Conway	C
Símbolos Schläfli	{4,3}
	t {2,4} ou {4} × {} tr {2,2} ou {} × {} × {}
Configuração de rosto	V3.3.3.3
Símbolo Wythoff	3 | 2 4
Diagrama de Coxeter
Simetria	O h , B 3 , [4,3], (* 432)
Grupo de rotação	O , [4,3] + , (432)
Referências	U 06 , C 18 , W 3
Propriedades	zonoedro regular , convexo
Ângulo diédrico	90 °
4.4.4 ( Figura do vértice )	Octaedro ( poliedro duplo )
Internet

Rede de um cubo

Modelo 3D de um cubo

Em geometria , um cubo é um objeto sólido tridimensional delimitado por seis faces, facetas ou lados quadrados , com três se encontrando em cada vértice .

O cubo é o único hexaedro regular e é um dos cinco sólidos platônicos . Possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

O cubo também é um paralelepípedo quadrado , um cuboide equilátero e um romboedro direito . É um prisma quadrado regular em três orientações e um trapézio trigonal em quatro orientações.

O cubo é dual com o octaedro . Possui simetria cúbica ou octaédrica .

O cubo é o único poliedro convexo cujas faces são todas quadradas .

Projeções ortogonais

O cubo tem quatro projeções ortogonais especiais , centradas, em um vértice, arestas, face e normal à sua figura de vértice . O primeiro e o terceiro correspondem aos planos A ₂ e B _{2 de} Coxeter .

Projeções ortogonais

Centrado por	Enfrentar	Vértice
Aviões Coxeter	B 2	A 2
Simetria projetiva	[4]	[6]
Visualizações inclinadas

Ladrilhos esféricos

O cubo também pode ser representado como uma telha esférica e projetado no plano por meio de uma projeção estereográfica . Esta projeção é conforme , preservando ângulos, mas não áreas ou comprimentos. As linhas retas na esfera são projetadas como arcos circulares no plano.

Projeção ortográfica	Projeção estereográfica

Coordenadas cartesianas

Para um cubo centrado na origem, com arestas paralelas aos eixos e com um comprimento de aresta de 2, as coordenadas cartesianas dos vértices são

(± 1, ± 1, ± 1)

enquanto o interior consiste em todos os pontos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) com −1 < x _i <1 para todo i .

Equação em ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Em geometria analítica , a superfície de um cubo com centro ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) e comprimento de aresta de 2a é o local de todos os pontos ( x , y , z ) de modo que

${\ displaystyle \ max \ {| x-x_ {0} |, | y-y_ {0} |, | z-z_ {0} | \} = a.}$

Um cubo também pode ser considerado o caso limite de um superelipsóide 3D, pois todos os três expoentes se aproximam do infinito.

Fórmulas

Para um cubo de comprimento de aresta : ${\ displaystyle a}$

área de superfície	${\ displaystyle 6a ^ {2} \,}$	volume	${\ displaystyle a ^ {3} \,}$
rosto diagonal	${\ displaystyle {\ sqrt {2}} a}$	diagonal do espaço	${\ textstyle {\ sqrt {3}} a}$
raio da esfera circunscrita	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} a}$	raio da esfera tangente às bordas	${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}}$
raio da esfera inscrita	${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$	ângulos entre faces (em radianos )	${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Como o volume de um cubo é a terceira potência de seus lados , as terceiras potências são chamadas de cubos , por analogia com os quadrados e as segundas potências. ${\ displaystyle a \ vezes a \ vezes a}$

Um cubo tem o maior volume entre os cubóides (caixas retangulares) com uma determinada área de superfície . Além disso, um cubo tem o maior volume entre os cubóides com o mesmo tamanho linear total (comprimento + largura + altura).

Ponto no espaço

Para um cubo cuja esfera circunscrita tem raio R , e para um determinado ponto em seu espaço tridimensional com distâncias d _i dos oito vértices do cubo, temos:

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {8} d_ {i} ^ {4}} {8}} + {\ frac {16R ^ {4}} {9}} = \ left ({\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {8} d_ {i} ^ {2}} {8}} + {\ frac {2R ^ {2}} {3}} \ direita) ^ { 2}.}$

Dobrando o cubo

Dobrar o cubo , ou o problema de Delian , era o problema colocado pelos antigos matemáticos gregos de usar apenas uma bússola e régua para começar com o comprimento da borda de um dado cubo e construir o comprimento da borda de um cubo com o dobro do volume do cubo original. Eles não conseguiram resolver esse problema e, em 1837, Pierre Wantzel provou que era impossível porque a raiz cúbica de 2 não é um número construtível .

Colorações uniformes e simetria

Árvore de simetria octaédrica

O cubo tem três cores uniformes, nomeadas pelas cores das faces quadradas em torno de cada vértice: 111, 112, 123.

O cubo possui quatro classes de simetria, que podem ser representadas colorindo as faces do vértice transitivo . A maior simetria octaédrica O _h tem todas as faces da mesma cor. A simetria diedral D _4h vem do cubo ser um prisma, com todos os quatro lados sendo da mesma cor. Os subconjuntos prismáticos D _2d têm a mesma cor do anterior e D _2h tem cores alternadas para seus lados para um total de três cores, emparelhadas por lados opostos. Cada forma de simetria possui um símbolo Wythoff diferente .

Nome	Hexaedro regular	Prisma quadrado	Trapezoprismo retangular	Cuboide retangular	Prisma rômbico	Trapezoedro trigonal
Diagrama de Coxeter
Símbolo Schläfli	{4,3}	{4} × {} rr {4,2}	s 2 {2,4}	{} 3 tr {2,2}	{} × 2 {}
Símbolo Wythoff	3 | 4 2	4 2 | 2		2 2 2 |
Simetria	O h [4,3] (* 432)	D 4h [4,2] (* 422)	D 2d [4,2 + ] (2 * 2)	D 2h [2,2] (* 222)		D 3d [6,2 + ] (2 * 3)
Ordem de simetria	24	16	8	8		12
Imagem ( coloração uniforme )	(111)	(112)	(112)	(123)	(112)	(111), (112)

Relações geométricas

As 11 redes do cubo.

Estes seis lados familiares dados são cubo em forma.

Um cubo tem onze redes (uma mostrada acima): ou seja, existem onze maneiras de achatar um cubo oco cortando sete arestas. Para colorir o cubo de modo que duas faces adjacentes não tenham a mesma cor, seriam necessárias pelo menos três cores.

O cubo é a célula do único mosaico regular do espaço euclidiano tridimensional . Também é único entre os sólidos platônicos por ter faces com número par de lados e, conseqüentemente, é o único membro desse grupo que é um zonoedro (toda face tem simetria de ponto).

O cubo pode ser cortado em seis pirâmides quadradas idênticas . Se essas pirâmides quadradas forem anexadas às faces de um segundo cubo, um dodecaedro rômbico é obtido (com pares de triângulos coplanares combinados em faces rômbicas).

Outras dimensões

O análogo de um cubo no espaço euclidiano quadridimensional tem um nome especial - um tesserato ou hipercubo . Mais apropriadamente, um hipercubo (ou cubo n- dimensional ou simplesmente n- cubo ) é o análogo do cubo no espaço euclidiano n- dimensional e um tesserato é o hipercubo de ordem 4. Um hipercubo também é chamado de politopo de medida .

Existem análogos do cubo em dimensões inferiores também: um ponto na dimensão 0, um segmento de linha em uma dimensão e um quadrado em duas dimensões.

Poliedros relacionados

O dual de um cubo é um octaedro , visto aqui com vértices no centro das faces quadradas do cubo.

O hemicubo é o quociente de 2 para 1 do cubo.

O quociente do cubo pelo mapa antípoda produz um poliedro projetivo , o hemicubo .

Se o cubo original tiver comprimento de aresta 1, seu poliedro duplo (um octaedro ) terá comprimento de aresta . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {2}} / 2}$

O cubo é um caso especial em várias classes de poliedros gerais:

Os vértices de um cubo podem ser agrupados em dois grupos de quatro, cada um formando um tetraedro regular ; mais geralmente, isso é referido como um semicubo . Esses dois juntos formam um composto regular , a stella octangula . A interseção dos dois forma um octaedro regular. As simetrias de um tetraedro regular correspondem às de um cubo que mapeia cada tetraedro para si mesmo; as outras simetrias do cubo mapeiam as duas.

Um desses tetraedros regulares tem um volume de 1/3do cubo. O espaço restante consiste em quatro tetraedros irregulares iguais com um volume de1/6 daquele do cubo, cada um.

O cubo retificado é o cuboctaedro . Se cantos menores são cortados, obtemos um poliedro com seis faces octogonais e oito triangulares. Em particular, podemos obter octógonos regulares ( cubo truncado ). O rombicuboctaedro é obtido cortando ambos os cantos e bordas na quantidade correta.

Um cubo pode ser inscrito em um dodecaedro de forma que cada vértice do cubo seja um vértice do dodecaedro e cada aresta seja uma diagonal de uma das faces do dodecaedro; tomar todos esses cubos dá origem ao composto regular de cinco cubos.

Se dois cantos opostos de um cubo são truncados na profundidade dos três vértices diretamente conectados a eles, um octaedro irregular é obtido. Oito desses octaedros irregulares podem ser anexados às faces triangulares de um octaedro regular para obter o cuboctaedro.

O cubo está topologicamente relacionado a uma série de poliedros esféricos e ladrilhos com figuras de vértice de ordem 3 .

* n mutação de simetria de 32 de tilings regulares: { n , 3} v t e
Esférico				Euclidiana	Hipérbole compacta.		Paraco.	Hiperbólica não compacta
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞, 3}	{12i, 3}	{9i, 3}	{6i, 3}	{3i, 3}

O cuboctaedro pertence a uma família de poliedros uniformes relacionados ao cubo e ao octaedro regular.

Poliedro octaédrico uniforme
Simetria : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 1,1 }	t {3,4} t {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	h {4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 1,1 }
		=	=	=				= ou	= ou	=
Duplos para poliedros uniformes
V4 3	V3.8 2	V (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

O cubo está topologicamente relacionado como parte de uma sequência de ladrilhos regulares, estendendo-se até o plano hiperbólico : {4, p}, p = 3,4,5 ...

* n 42 mutação de simetria de tilings regulares: {4, n } v t e
Esférico	Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8} ...	{4, ∞}

Com simetria diedral , Dih ₄ , o cubo está topologicamente relacionado em uma série de poliedros uniformes e inclinações 4.2n.2n, estendendo-se para o plano hiperbólico:

* n 42 mutação de simetria de tilings truncados: 4,2 n .2 n v t e
Simetria * n 42 [n, 4]	Esférico		Euclidiana	Hiperbólica compacta				Paracomp.
	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Figuras truncadas
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4,12,12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
figuras n-kis
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Todas essas figuras têm simetria octaédrica .

O cubo é uma parte de uma sequência de poliedros rômbicos e telhas com [ n , 3] simetria de grupo de Coxeter . O cubo pode ser visto como um hexaedro rômbico onde os rombos são quadrados.

Mutações de simetria de tilings quasi-regulares duplos: V (3.n) 2
* n32	Esférico			Euclidiana	Hiperbólico
	* 332	* 432	* 532	* 632	* 732	* 832 ...	* ∞32
Revestimento
Conf.	V (3,3) 2	V (3,4) 2	V (3,5) 2	V (3,6) 2	V (3,7) 2	V (3,8) 2	V (3.∞) 2

O cubo é um prisma quadrado :

Família de prismas n- gonais uniformes

• v
• t
• e

Nome do prisma	Prisma digonal	(Trigonal) Prisma triangular	(Tetragonal) Prisma quadrado	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal	Prisma heptagonal	Prisma octogonal	Prisma eneagonal	Prisma decagonal	Prisma Hendecagonal	Prisma dodecagonal	...	Prisma apeirogonal
Imagem poliedro												...
Imagem de mosaico esférico												Imagem de ladrilho plano
Vertex config.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	∞.4.4
Diagrama de Coxeter												...

Como um trapézio trigonal , o cubo está relacionado à família de simetria diédrica hexagonal.

Poliedro esférico hexagonal hexagonal uniforme
Simetria : [6,2] , (* 622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2 * 3)
{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Duplos para uniformes
V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	V2 6	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Compostos regulares e uniformes de cubos

Composto de três cubos

Composto de cinco cubos

Em favos de mel uniformes e polychora

É um elemento de 9 de 28 favos de mel uniformes convexos :

Favo de mel cúbico	Favo de mel prismático quadrado truncado	Favo de mel prismático quadrado	Favo de mel prismático triangular alongado	Favo de mel prismático triangular giroelongado
Favo de mel cúbico cantelado	Favo de mel cúbico cantitruncado	Favo de mel cúbico runcitruncado	Favo de mel cúbico alternado runcinado

É também um elemento de cinco policora uniformes quadridimensionais :

Tesseract	16 células canteladas	Tesserato Runcinado	16 células cantitruncadas	Runcitruncado de 16 células

Gráfico cúbico

Gráfico cúbico
Nomeado após	Q 3
Vértices	8
Arestas	12
Raio	3
Diâmetro	3
Cilha	4
Automorfismos	48
Número cromático	2
Propriedades	Hamiltoniano , regular , simétrico , distância regular , distância transitiva , 3 vértices conectado , bipartido , gráfico planar
Tabela de gráficos e parâmetros

O esqueleto do cubo (os vértices e arestas) forma um gráfico , com 8 vértices e 12 arestas. É um caso especial do gráfico de hipercubo . É um dos 5 gráficos platônicos , cada um um esqueleto de seu sólido platônico .

Uma extensão é o gráfico tridimensional k -ary de Hamming , que para k = 2 é o gráfico do cubo. Gráficos desse tipo ocorrem na teoria do processamento paralelo em computadores.

Veja também

• Pirâmide
• Tesseract
• Trapezoedro

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Cube" . MathWorld .
• Cubo: modelo de poliedro interativo *
• Volume de um cubo , com animação interativa
• Cube (site de Robert Webb)