Representação de rotação - Spin representation

Em matemática , as representações de spin são representações projetivas particulares dos grupos ortogonais ou ortogonais especiais em dimensão e assinatura arbitrárias (isto é, incluindo grupos ortogonais indefinidos ). Mais precisamente, eles são representações dos grupos de spin , que são coberturas duplas dos grupos ortogonais especiais. Eles geralmente são estudados sobre os números reais ou complexos , mas podem ser definidos sobre outros campos .

Os elementos de uma representação de spin são chamados de spinors . Eles desempenham um papel importante na descrição física de férmions como o elétron .

As representações de spin podem ser construídas de várias maneiras, mas normalmente a construção envolve (talvez apenas implicitamente) a escolha de um subespaço isotrópico máximo na representação vetorial do grupo. Sobre os números reais, isso geralmente requer o uso de uma complexificação da representação vetorial. Por esta razão, é conveniente definir primeiro as representações de spin sobre os números complexos e derivar as representações reais introduzindo estruturas reais .

As propriedades das representações de spin dependem, de forma sutil, da dimensão e assinatura do grupo ortogonal. Em particular, as representações de spin freqüentemente admitem formas bilineares invariantes , que podem ser usadas para embutir os grupos de spin em grupos de Lie clássicos . Em dimensões baixas, esses embeddings são sobrejetivos e determinam isomorfismos especiais entre os grupos de spin e grupos de Lie mais familiares; isso elucida as propriedades dos espinores nessas dimensões.

Configurar

Deixe- V ser um finito-dimensional real ou complexo espaço vetorial com um não degenerado forma quadrática Q . Os mapas lineares (reais ou complexos) que preservam Q formam o grupo ortogonal O ( V , Q ) . O componente de identidade do grupo é denominado grupo ortogonal especial SO ( V , Q ) . (Para V real com uma forma quadrática indefinida, esta terminologia não é padrão: o grupo ortogonal especial é geralmente definido como um subgrupo com dois componentes neste caso.) Até o isomorfismo de grupo , SO ( V , Q ) tem um único conectado capa dupla , o grupo de spin Spin ( V , Q ) . Existe, portanto, um homomorfismo de grupo h : Spin ( V , Q ) → SO ( V , Q ) cujo kernel tem dois elementos denotados {1, −1} , onde 1 é o elemento identidade . Assim, os elementos do grupo da g e -g de rotação ( V , Q ) são equivalentes após o homomorphism de SO ( V , Q ) ; isto é, h ( g ) = h ( −g ) para qualquer g em Spin ( V , Q ) .

Os grupos O ( V , Q ), SO ( V , Q ) e Spin ( V , Q ) são todos grupos de Lie , e para fixo ( V , Q ) eles têm a mesma álgebra de Lie , portanto ( V , Q ) . Se V é verdadeira, então V é um subespaço vectorial real da sua complexão V _C = V ⊗ _R C , e a forma quadrática Q se estende, naturalmente, a uma forma quadrática Q _C em V _C . Isso incorpora SO ( V , Q ) como um subgrupo de SO ( V _C , Q _C ) e, portanto, podemos perceber Spin ( V , Q ) como um subgrupo de Spin ( V _C , Q _C ) . Além disso, so ( V _C , Q _C ) é a complexificação de so ( V , Q ) .

No caso complexa, formas quadráticas são determinados exclusivamente até isomorfismo pela dimensão N de V . Concretamente, podemos assumir V = C ⁿ e

${\ displaystyle Q (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}.}$

Os grupos de Lie correspondentes são denotados O ( n , C ), SO ( n , C ), Spin ( n , C ) e sua álgebra de Lie assim ( n , C ) .

No caso real, as formas quadráticas são determinadas até o isomorfismo por um par de inteiros não negativos ( p , q ) onde n = p + q é a dimensão de V e p - q é a assinatura . Concretamente, podemos assumir V = R ⁿ e

${\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {p} ^ {2} - ( x_ {p + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {p + q} ^ {2}).}$

Os grupos de Lie e álgebra de Lie correspondentes são denotados O ( p , q ), SO ( p , q ), Spin ( p , q ) e assim ( p , q ) . Escrevemos R ^{p , q} no lugar de R ⁿ para tornar a assinatura explícita.

As representações de spin são, em certo sentido, as representações mais simples de Spin ( n , C ) e Spin ( p , q ) que não vêm de representações de SO ( n , C ) e SO ( p , q ) . Uma representação de spin é, portanto, um espaço vetorial real ou complexo S junto com um homomorfismo de grupo ρ de Spin ( n , C ) ou Spin ( p , q ) para o grupo linear geral GL ( S ) de modo que o elemento −1 é não no kernel de ρ .

Se S for tal representação, então de acordo com a relação entre os grupos de Lie e as álgebras de Lie, ele induz uma representação da álgebra de Lie , ou seja, um homomorfismo da álgebra de Lie de so ( n , C ) ou so ( p , q ) para a álgebra de Lie gl ( S ) de endomorfismos de S com o suporte do comutador .

As representações de spin podem ser analisadas de acordo com a seguinte estratégia: se S é uma representação de spin real de Spin ( p , q ) , então sua complexificação é uma representação de spin complexa de Spin ( p , q ) ; como uma representação de so ( p , q ) , portanto, estende-se a uma representação complexa de so ( n , C ) . Procedendo ao contrário, nós, portanto, primeiro construímos representações de spin complexas de Spin ( n , C ) e assim ( n , C ) , em seguida, as restringimos a representações de spin complexas de so ( p , q ) e Spin ( p , q ) e , finalmente, analisar possíveis reduções para representações de spin reais.

Representações de spin complexas

Seja V = C ⁿ com a forma quadrática padrão Q de modo que

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (V, Q) = {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {C}).}$

A forma bilinear simétrica em V associada a Q por polarização é denotada por ⟨.,.⟩ .

Subespaços isotrópicos e sistemas de raiz

Uma construção padrão das representações de spin de então ( n , C ) começa com a escolha de um par ( W , W ^∗ ) de subespaços totalmente isotrópicos máximos (em relação a Q ) de V com W ∩ W ^∗ = 0 . Vamos fazer essa escolha. Se n = 2 m ou n = 2 m + 1 , então W e W ^∗ têm dimensão m . Se n = 2 m , então V = W ⊕ W ^∗ , enquanto se n = 2 m + 1 , então V = W ⊕ U ⊕ W ^∗ , onde U é o complemento ortogonal unidimensional para W ⊕ W ^∗ . A forma bilinear ⟨.,.⟩ Associada a Q induz um emparelhamento entre W e W ^∗ , que deve ser não degenerado, pois W e W ^∗ são subespaços totalmente isotrópicos e Q não degenerado. Logo, W e W ^∗ são espaços vetoriais duais .

Mais concretamente, vamos a ₁ , ... uma _m ser uma base para W . Então, há uma base única α ₁ , ... α _m de W ^∗ tal que

${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {i}, a_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Se A é um m × m matriz, então Um induz um endomorfismo de W com respeito a esta base e a transposição Um ^T induz uma transformação de W ^* com

${\ displaystyle \ langle Aw, w ^ {*} \ rangle = \ langle w, A ^ {\ mathrm {T}} w ^ {*} \ rangle}$

para todo w em W e w ^∗ em W ^∗ . Segue-se que o endomorfismo ρ _A de V , igual a A em W , - A ^T em W ^∗ e zero em U (se n for ímpar), é assimétrico,

${\ displaystyle \ langle \ rho _ {A} u, v \ rangle = - \ langle u, \ rho _ {A} v \ rangle}$

para todo u , v em V , e portanto (veja o grupo clássico ) um elemento de so ( n , C ) ⊂ End ( V ) .

Usar as matrizes diagonais nesta construção define uma subálgebra Cartan h de so ( n , C ) : a classificação de so ( n , C ) é m , e as matrizes diagonais n × n determinam uma subálgebra abeliana m- dimensional.

Deixe ε ₁ , ... ε _m ser a base de H ^* , tais que, para uma matriz diagonal Um , ε _k ( ρ _A ) é o k th diagonal entrada de um . Claramente, esta é uma base para h ^∗ . Uma vez que a forma bilinear se identifica assim ( n , C ) com , explicitamente, ${\ displaystyle \ wedge ^ {2} V}$

${\ displaystyle x \ wedge y \ mapsto \ varphi _ {x \ wedge y}, \ quad \ varphi _ {x \ wedge y} (v) = 2 (\ langle y, v \ rangle x- \ langle x, v \ rangle y), \ quad x \ wedge y \ in \ wedge ^ {2} V, \ quad x, y, v \ in V, \ quad \ varphi _ {x \ wedge y} \ in {\ mathfrak {assim }} (n, \ mathbb {C}),}$

agora é fácil construir o sistema raiz associado a h . Os espaços raiz (autoespaços simultâneos para a ação de h ) são abrangidos pelos seguintes elementos:

${\ displaystyle a_ {i} \ wedge a_ {j}, \; i \ neq j,}$com raiz (autovalor simultâneo)${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j}}$

${\ displaystyle a_ {i} \ wedge \ alpha _ {j}}$(que está em h se i = j ) com raiz${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ wedge \ alpha _ {j}, \; i \ neq j,}$ com raiz ${\ displaystyle - \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {j},}$

e, se n for ímpar e u for um elemento diferente de zero de U ,

${\ displaystyle a_ {i} \ wedge u,}$ com raiz ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ wedge u,}$ com raiz ${\ displaystyle - \ varepsilon _ {i}.}$

Assim, com relação à base ε ₁ , ... ε _m , as raízes são os vetores em h ^∗ que são permutações de

${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0, \ dots, 0)}$

junto com as permutações de

${\ displaystyle (\ pm 1,0,0, \ dots, 0)}$

se n = 2 m + 1 é ímpar.

Um sistema de raízes positivas é dado por ε _i + ε _j ( i ≠ j ), ε _i - ε _j ( i < j ) e (para n ímpar) ε _i . As raízes simples correspondentes são

${\ displaystyle \ varepsilon _ varej {1} - \ varejpsilon _ {2}, \ varepsilon _ {2} - \ varejpsilon _ {3}, \ ldots, \ varepsilon _ {m-1} - \ varepsilon _ {m}, \ left \ {{\ begin {matriz} \ varejpsilon _ {m-1} + \ varepsilon _ {m} & n = 2m \\\ varejpsilon _ {m} & n = 2m + 1. \ end {matriz}} \ right .}$

As raízes positivas são combinações lineares inteiras não negativas das raízes simples.

Representações de spin e seus pesos

Uma construção das representações de spin de então ( n , C ) usa a (s) álgebra (s) exterior (es)

${\ displaystyle S = \ wedge ^ {\ bullet} W}$ e / ou ${\ displaystyle S '= \ wedge ^ {\ bullet} W ^ {*}.}$

Existe uma ação de V sobre S tal que para qualquer elemento v = w + w ^∗ em W ⊕ W ^∗ e qualquer ψ em S a ação é dada por:

${\ displaystyle v \ cdot \ psi = 2 ^ {\ frac {1} {2}} (w \ wedge \ psi + \ iota (w ^ {*}) \ psi),}$

onde o segundo termo é uma contração ( multiplicação interior ) definida usando a forma bilinear, que pares W e W ^∗ . Esta ação respeita as relações de Clifford v ² = Q ( v ) 1 , e assim induz um homomorfismo da álgebra de Clifford Cl _n C de V para End ( S ) . Uma ação semelhante pode ser definida em S ′ , de forma que S e S ′ são módulos de Clifford .

A álgebra de Lie então ( n , C ) é isomórfica à álgebra de Lie complexificada spin _n ^C em Cl _n C por meio do mapeamento induzido pelo Spin de cobertura ( n ) → SO ( n )

${\ displaystyle v \ wedge w \ mapsto {\ tfrac {1} {4}} [v, w].}$

Segue-se que S e S ′ são representações de so ( n , C ) . Eles são realmente equivalentes representações, por isso nos concentramos em S .

A descrição explícita mostra que os elementos α _i ∧ a _i da subálgebra de Cartan h agem em S por

${\ displaystyle (\ alpha _ {i} \ wedge a_ {i}) \ cdot \ psi = {\ tfrac {1} {4}} (2 ^ {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} (\ iota (\ alpha _ {i}) (a_ {i} \ wedge \ psi) -a_ {i} \ wedge (\ iota (\ alpha _ {i}) \ psi)) = {\ tfrac {1} {2}} \ psi -a_ {i} \ wedge (\ iota (\ alpha _ {i}) \ psi).}$

Uma base para S é dada por elementos do formulário

${\ displaystyle a_ {i_ {1}} \ wedge a_ {i_ {2}} \ wedge \ cdots \ wedge a_ {i_ {k}}}$

para 0 ≤ k ≤ m e i ₁ <... < i _k . Estes claramente abrangem espaços de peso para a ação de h : α _i ∧ a _i tem autovalor −1/2 no vetor de base dado se i = i _j para algum j , e tem autovalor 1/2 caso contrário.

Segue-se que os pesos de S são todas as combinações possíveis de

${\ displaystyle {\ bigl (} \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ pm {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots \ pm {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}$

e cada espaço de peso é unidimensional. Os elementos de S são chamados de espinores de Dirac .

Quando n é par, S não é uma representação irredutível : e são subespaços invariantes. Os pesos se dividem entre aqueles com um número par de sinais de menos e aqueles com um número ímpar de sinais de menos. Ambos S ₊ e S _- são representações irredutíveis de dimensão 2 ^{m −1} cujos elementos são chamados de espinores de Weyl . Eles também são conhecidos como representações de spin quirais ou representações de meio spin. Com relação ao sistema radicular positivo acima, os maiores pesos de S ₊ e S _- são ${\ displaystyle S _ {+} = \ wedge ^ {\ mathrm {even}} W}$${\ displaystyle S _ {-} = \ wedge ^ {\ mathrm {ímpar}} W}$

${\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} { 2}} {\ bigr)}}$ e ${\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}}$

respectivamente. A ação de Clifford identifica Cl _n C com End ( S ) e a subálgebra par é identificada com os endomorfismos preservando S ₊ e S _- . O outro módulo de Clifford S ′ é isomorfo a S neste caso.

Quando n é ímpar, S é uma representação irredutível de so ( n , C ) de dimensão 2 ^m : a ação de Clifford de um vetor unitário u ∈ U é dada por

${\ displaystyle u \ cdot \ psi = \ left \ {{\ begin {matrix} \ psi & {\ hbox {if}} \ psi \ in \ wedge ^ {\ mathrm {even}} W \\ - \ psi & {\ hbox {if}} \ psi \ in \ wedge ^ {\ mathrm {ímpar}} W \ end {matriz}} \ right.}$

e assim por elementos de modo ( n , C ) de forma a u ∧ w ou u ∧ W ^* não preservar as partes pares e ímpares da álgebra exterior de W . O maior peso de S é

${\ displaystyle {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}, \ ldots {\ tfrac {1} {2}} {\ bigr)}.}$

A ação de Clifford não é fiel em S : Cl _n C pode ser identificada com End ( S ) ⊕ End ( S ′), onde u atua com o sinal oposto em S ′. Mais precisamente, as duas representações estão relacionados pela paridade involução α de Cl _N C (também conhecida como o principal automorphism), que é a identidade do subálgebra mesmo, e menos a identidade da parte ímpar de Cl _N C . Em outras palavras, existe um isomorfismo linear de S a S ′, que identifica a ação de A em Cl _n C sobre S com a ação de α ( A ) sobre S ′.

Formas bilineares

se λ é um peso de S , então é - λ . Segue-se que S é isomorfo à representação dual S ^∗ .

Quando n = 2 m + 1 é ímpar, o isomorfismo B : S → S ^∗ é único em escala pelo lema de Schur , uma vez que S é irredutível, e define uma forma bilinear invariante não degenerada β em S via

${\ displaystyle \ beta (\ varphi, \ psi) = B (\ varphi) (\ psi).}$

Aqui invariância significa que

${\ displaystyle \ beta (\ xi \ cdot \ varphi, \ psi) + \ beta (\ varphi, \ xi \ cdot \ psi) = 0}$

para todos os ξ em so ( n , C ) e φ , ψ em S - em outras palavras, a ação de ξ é assimétrica em relação a β . Na verdade, mais é verdade: S ^∗ é uma representação da álgebra de Clifford oposta e, portanto, como Cl _n C tem apenas dois módulos simples não triviais S e S ′, relacionados pela involução de paridade α , há um antiautomorfismo τ de Cl _n C tal que

${\ displaystyle \ quad \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ beta (\ varphi, \ tau (A) \ cdot \ psi) \ qquad (1)}$

para qualquer um em Cl _N C . Na verdade, τ é a reversão (o antiautomorfismo induzido pela identidade em V ) para m par, e a conjugação (o antiautomorfismo induzido por menos a identidade em V ) para m ímpar. Estes dois antiautomorphisms estão relacionados pela paridade involução α , que é o automorphism induzida pelo menos a identidade em V . Ambos satisfazem τ ( ξ ) = - ξ para ξ em so ( n , C ).

Quando n = 2 m , a situação depende mais sensivelmente da paridade de m . Para m par, um peso λ tem um número par de sinais de menos se e somente se - λ tem; segue-se que existem isomorfismos separados B _± : S _± → S _± ^∗ de cada representação de meio spin com seu dual, cada um determinado exclusivamente em escala. Estes podem ser combinados em um isomorfismo B : S → S ^∗ . Para m ímpar, λ é um peso de S ₊ se e somente se - λ é um peso de S _- ; assim, há um isomorfismo de S ₊ para S _- ^∗ , novamente único em escala, e sua transposição fornece um isomorfismo de S _- para S ₊ ^∗ . Estes podem novamente ser combinados em um isomorfismo B : S → S ^∗ .

Para m par e m ímpar, a liberdade na escolha de B pode ser restrita a uma escala geral, insistindo que a forma bilinear β correspondente a B satisfaz (1), onde τ é um antiautomorfismo fixo (reversão ou conjugação).

Simetria e o quadrado do tensor

As propriedades de simetria de β : S ⊗ S → C podem ser determinadas usando álgebras de Clifford ou teoria da representação. Na verdade, muito mais pode ser dito: o tensor quadrado S ⊗ S deve se decompor em uma soma direta de k- formas em V para vários k , porque seus pesos são todos os elementos em h ^∗ cujos componentes pertencem a {−1,0,1 } Agora, mapas lineares equivariantes S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ correspondem bijetivamente a mapas invariantes ∧ ^k V ⊗ S ⊗ S → C e mapas não nulos podem ser construídos através da inclusão de ∧ ^k V na álgebra de Clifford. Além disso, se β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) e τ tem sinal ε _k em ∧ ^k V, então

${\ displaystyle \ beta (A \ cdot \ varphi, \ psi) = \ varepsilon \ varepsilon _ {k} \ beta (A \ cdot \ psi, \ varphi)}$

para A em ∧ ^k V .

Se n = 2 m +1 for ímpar, segue-se do Lema de Schur que

${\ displaystyle S \ otimes S \ cong \ bigoplus _ {j = 0} ^ {m} \ wedge ^ {2j} V ^ {*}}$

(ambos os lados tem a dimensão 2 ^{2 m} e as representações do lado direito são inequivalent). Como as simetrias são governadas por uma involução τ, que é conjugação ou reversão, a simetria do componente ∧ ^2j V ^{∗ se} alterna com j . A combinatória elementar dá

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {m} (- 1) ^ {j} \ dim \ wedge ^ {2j} \ mathbb {C} ^ {2m + 1} = (- 1) ^ {{ \ frac {1} {2}} m (m + 1)} 2 ^ {m} = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m (m + 1)} (\ dim \ mathrm {S} ^ {2} S- \ dim \ wedge ^ {2} S)}$

e as determina sinal que representações ocorrem em S ² S e que ocorrem em ∧ ² S . Em particular

${\ displaystyle \ beta (\ phi, \ psi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m (m + 1)} \ beta (\ psi, \ phi),}$ e

${\ displaystyle \ beta (v \ cdot \ phi, \ psi) = (- 1) ^ {m} (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} m (m + 1)} \ beta ( v \ cdot \ psi, \ phi) = (- 1) ^ {m} \ beta (\ phi, v \ cdot \ psi)}$

para v ∈ V (que é isomórfico a ∧ ^{2 m} V ), confirmando que τ é reversão para m par e conjugação para m ímpar.

Se n = 2 m é par, então a análise é mais envolvida, mas o resultado é uma decomposição mais refinada: S ² S _± , ∧ ² S _± e S ₊ ⊗ S _- podem ser cada um decomposto como uma soma direta de k - formas (onde para k = m há uma decomposição adicional em formas- m autoduais e anti-duplas ).

O resultado principal é a realização de so ( n , C ) como uma subálgebra de uma álgebra de Lie clássica em S , dependendo do n módulo 8, de acordo com a tabela a seguir:

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Álgebra Spinor	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S _ {+}) \ oplus {\ mathfrak {so}} (S _ {-})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S _ {+}) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (S _ {-})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} (S)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (S _ {\ pm})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (S)}$

Para n ≤ 6, esses embeddings são isomorfismos (em sl em vez de gl para n = 6):

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {gl}} (1, \ mathbb {C}) \ qquad (= \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2, \ mathbb {C}) \ qquad (= {\ mathfrak {sl}} (2 , \ mathbb {C}))}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2, \ mathbb {C}) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (2, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sp}} (4, \ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (6, \ mathbb {C}) \ cong {\ mathfrak {sl}} (4, \ mathbb {C}).}$

Representações reais

As representações de spin complexas de so ( n , C ) geram representações reais S de so ( p , q ) restringindo a ação às subálgebras reais. No entanto, existem estruturas de "realidade" adicionais que são invariantes sob a ação das álgebras de Lie reais. Existem três tipos.

1. Existe uma invariante complexo mapa antilinear r : S → S com r ² = id _S . O conjunto fixo de ponto r é, em seguida, um verdadeiro vector subespaço S _R de S com S _R ⊗ C = S . Isso é chamado de estrutura real .
2. Existe uma invariante complexo mapa antilinear j : S → S com j ² = -id _S . Daqui resulta que o triplo de i , j e k : = ij fazer S num espaço vectorial quaterniônica S _H . Isso é chamado de estrutura quaterniônica .
3. Existe um mapa antilinear complexo invariante b : S → S ^∗ que é invertível. Isso define uma forma bilinear pseudo- hermitiana em S e é chamada de estrutura hermitiana .

O tipo de estrutura invariante sob so ( p , q ) depende apenas da assinatura p - q módulo 8, e é dado pela tabela a seguir.

p - q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Estrutura	R + R	R	C	H	H + H	H	C	R

Aqui R , C e H denotam estruturas reais, hermitianas e quaterniônicas, respectivamente, e R + R e H + H indicam que as representações de meio spin admitem estruturas reais ou quaterniônicas, respectivamente.

Descrição e tabelas

Para completar a descrição da representação real, devemos descrever como essas estruturas interagem com as formas bilineares invariantes. Como n = p + q ≅ p - q mod 2, há dois casos: a dimensão e a assinatura são pares, e a dimensão e a assinatura são ímpares.

O caso ímpar é mais simples, há apenas uma representação de spin S complexa e estruturas de Hermit não ocorrem. Para além do caso trivial n = 1, S é sempre uniforme-dimensional, dizer dim S = 2 N . As formas reais de so (2 N , C ) são assim ( K , L ) com K + L = 2 N e assim ^∗ ( N , H ), enquanto as formas reais de sp (2 N , C ) são sp (2 N , R ) e SP ( K , L ) com K + L = N . A presença de uma ação de Clifford de V sobre S força K = L em ambos os casos, a menos que pq = 0, caso em que KL = 0, que é denotado simplesmente por (2 N ) ou sp ( N ). Portanto, as representações de spin ímpar podem ser resumidas na tabela a seguir.

	n mod 8	1, 7	3, 5
p - q mod 8		então (2 N , C )	sp (2 N , C )
1, 7	R	então ( N , N ) ou então (2 N )	sp (2 N , R )
3, 5	H	então ∗ ( N , H )	sp ( N / 2, N / 2) † ou sp ( N )

(†) N é par para n > 3 e para n = 3 , isso é sp (1) .

O caso de dimensão par é semelhante. Para n > 2 , as representações complexas de meio giro são dimensionais pares. Além disso, temos que lidar com estruturas hermitianas e as formas reais de sl (2 N , C ) , que são sl (2 N , R ) , su ( K , L ) com K + L = 2 N , e sl ( N , H ) . As representações de spin pares resultantes são resumidas como segue.

	n mod 8	0	2, 6	4
p - q mod 8		so (2 N , C ) + so (2 N , C )	sl (2 N , C )	sp (2 N , C ) + sp (2 N , C )
0	R + R	então ( N , N ) + então ( N , N ) ∗	sl (2 N , R )	sp (2 N , R ) + sp (2 N , R )
2, 6	C	então (2 N , C )	su ( N , N )	sp (2 N , C )
4	H + H	então ∗ ( N , H ) + então ∗ ( N , H )	sl ( N , H )	sp ( N / 2, N / 2) + sp ( N / 2, N / 2) †

(*) Para pq = 0 , temos, em vez de modo (2 N ) + assim (2 N )

(†) N é igual para n > 4 e para pq = 0 (que inclui n = 4 com N = 1 ), temos, em vez disso, sp ( N ) + sp ( N )

Os isomorfismos de baixa dimensão no caso complexo têm as seguintes formas reais.

Assinatura euclidiana	Assinatura Minkowskiana	Outras assinaturas
${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2) \ cong {\ mathfrak {u}} (1)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (1,1) \ cong \ mathbb {R}}$
${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R})}$
${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1) \ oplus {\ mathfrak {sp}} (1)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (2,2) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R}) \ oplus {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {R} )}$
${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5) \ cong {\ mathfrak {sp}} (2)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4,1) \ cong {\ mathfrak {sp}} (1,1)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,2) \ cong {\ mathfrak {sp}} (4, \ mathbb {R})}$
${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (6) \ cong {\ mathfrak {su}} (4)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (5,1) \ cong {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {H})}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (4,2) \ cong {\ mathfrak {su}} (2,2)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,3) \ cong {\ mathfrak {sl}} (4, \ mathbb {R})}$

Os únicos isomorfismos especiais de álgebras de Lie reais ausentes nesta tabela são e${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ^ {*} (3, \ mathbb {H}) \ cong {\ mathfrak {su}} (3,1)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} ^ {*} (4, \ mathbb {H}) \ cong {\ mathfrak {so}} (6,2).}$

Notas

Referências

• Brauer, Richard ; Weyl, Hermann (1935), "Spinors em n dimensões", American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, vol. 57, No. 2, 57 (2): 425-449, doi : 10.2307 / 2371218 , JSTOR  2371218.
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• Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Your Invariants and Representations (2ª ed.), Princeton University Press (reimpresso em 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.