Forma quadrática isotrópica - Isotropic quadratic form
Em matemática, uma forma quadrática sobre um campo F é considerada isotrópica se houver um vetor diferente de zero no qual a forma é avaliada como zero. Caso contrário, a forma quadrática é anisotrópica . Mais precisamente, se q é uma forma quadrática em um espaço vetorial V sobre F , então um vetor diferente de zero v em V é considerado isotrópico se q ( v ) = 0 . Uma forma quadrática é isotrópica se e somente se existe um vetor isotrópico diferente de zero (ou vetor nulo ) para essa forma quadrática.
Suponha que ( V , q ) seja um espaço quadrático e W seja um subespaço . Então W é chamado de subespaço isotrópico de V se algum vetor nele for isotrópico, um subespaço totalmente isotrópico se todos os vetores nele forem isotrópicos e um subespaço anisotrópico se não contiver nenhum vetor isotrópico (diferente de zero). O O índice de isotropia de um espaço quadrático é o máximo das dimensões dos subespaços totalmente isotrópicos.
Uma forma quadrática q em um espaço vetorial real de dimensão finita V é anisotrópica se e somente se q for uma forma definida :
- ou q é definido positivo , isto é, q ( v )> 0 para todos os v diferentes de zero em V ;
- ou q é definida negativa , ou seja, q ( v ) <0 para todos os não-zero, v em V .
De modo mais geral, se a forma quadrática não for degenerada e tiver a assinatura ( a , b ) , seu índice de isotropia será o mínimo de a e b . Um exemplo importante de uma forma isotrópica sobre os reais ocorre no espaço pseudo-euclidiano .
Plano hiperbólico
Seja F um campo de característica não 2 e V = F 2 . Se considerarmos o elemento geral ( x , y ) de V , então as formas quadráticas q = xy e r = x 2 - y 2 são equivalentes, uma vez que há uma transformação linear em V que faz q parecer r , e vice-versa. Evidentemente, ( V , q ) e ( V , r ) são isotrópicos. Este exemplo é chamado de plano hiperbólico na teoria das formas quadráticas . Uma instância comum tem F = números reais em que caso { x ∈ V : q ( x ) = constante diferente de zero} e { x ∈ V : r ( x ) = constante diferente de zero} são hipérboles . Em particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1} é a hipérbole unitária . A notação ⟨1⟩ ⊕ ⟨− 1⟩ foi usada por Milnor e Husemoller para o plano hiperbólico à medida que os sinais dos termos do polinômio bivariado r são exibidos.
O plano hiperbólico afim foi descrito por Emil Artin como um espaço quadrático com base { M , N } satisfazendo M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , onde os produtos representam a forma quadrática.
Através da identidade de polarização, a forma quadrática está relacionada a uma forma bilinear simétrica B ( u , v ) = 1/4( q ( u + v ) - q ( u - v )) .
Dois vectores de u e v são ortogonais quando B ( u , v ) = 0 . No caso do plano hiperbólico, tais u e v são hiperbólica-ortogonal .
Espaço quadrático dividido
Um espaço com forma quadrática é dividido (ou metabólico ) se houver um subespaço que é igual ao seu próprio complemento ortogonal ; equivalentemente, o índice de isotropia é igual a metade da dimensão. O plano hiperbólico é um exemplo, e sobre um campo de característica não igual a 2, cada espaço dividido é uma soma direta de planos hiperbólicos.
Relação com a classificação das formas quadráticas
Do ponto de vista da classificação das formas quadráticas, os espaços anisotrópicos são os blocos de construção básicos para os espaços quadráticos de dimensões arbitrárias. Para um campo geral F , a classificação de formas quadráticas anisotrópicas é um problema não trivial. Em contraste, as formas isotrópicas são geralmente muito mais fáceis de manusear. Pelo teorema da decomposição de Witt , cada espaço de produto interno sobre um campo é uma soma direta ortogonal de um espaço dividido e um espaço anisotrópico.
Teoria de campo
- Se F é um campo algébricamente fechado , por exemplo, o campo dos números complexos , e ( V , q ) é um espaço quadrático de dimensão pelo menos dois, então é isotrópico.
- Se F é um corpo finito e ( V , q ) é um espaço quadrático de dimensão pelo menos três, então é isotrópico (isso é uma consequência do teorema de Chevalley-Warning ).
- Se F é o campo Q p de números p -ádicos e ( V , q ) é um espaço quadrático de dimensão pelo menos cinco, então ele é isotrópico.
Veja também
Referências
- Pete L. Clark, Quadratic forma o capítulo I: Witts theory da University of Miami em Coral Gables, Flórida .
- Tsit Yuen Lam (1973) Algebraic Theory of Quadratic Forms , §1.3 Plano hiperbólico e espaços hiperbólicos, WA Benjamin .
- Tsit Yuen Lam (2005) Introdução a Quadratic Forms over Fields , American Mathematical Society ISBN 0-8218-1095-2 .
- O'Meara, OT (1963). Introdução às formas quadráticas . Springer-Verlag . p. 94 §42D Isotropia. ISBN 3-540-66564-1.
- Serre, Jean-Pierre (2000) [1973]. Um curso de aritmética . Textos de Pós-Graduação em Matemática : Clássicos em Matemática. 7 (reimpressão da 3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl 1034.11003 .