Teorema de Chevalley-Warning - Chevalley–Warning theorem

Na teoria dos números, o teorema de Chevalley-Warning implica que certas equações polinomiais em muitas variáveis ​​em um corpo finito têm soluções. Foi provado por Ewald Warning ( 1935 ) e uma forma ligeiramente mais fraca do teorema, conhecida como teorema de Chevalley , foi provada por Chevalley  ( 1935 ). O teorema de Chevalley implicava a conjectura de Artin e Dickson de que campos finitos são campos quase algebricamente fechados ( Artin 1982 , página x).

Declaração dos teoremas

Seja um corpo finito e um conjunto de polinômios de tal forma que o número de variáveis ​​satisfaça ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ {f_ {j} \} _ {j = 1} ^ {r} \ subseteq \ mathbb {F} [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

${\ displaystyle n> \ sum _ {j = 1} ^ {r} d_ {j}}$

onde está o grau total de . Os teoremas são afirmações sobre as soluções do seguinte sistema de equações polinomiais ${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j}}$

${\ displaystyle f_ {j} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = 0 \ quad {\ text {for}} \, j = 1, \ ldots, r.}$

• O teorema de Chevalley-Warning afirma que o número de soluções comuns é divisível pela característica de . Ou, em outras palavras, a cardinalidade do conjunto desaparecido de é módulo .${\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ mathbb {F} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle \ {f_ {j} \} _ {j = 1} ^ {r}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle p}$
• O teorema de Chevalley afirma que se o sistema tem a solução trivial , ou seja, se os polinômios não têm termos constantes, então o sistema também tem uma solução não trivial .${\ displaystyle (0, \ dots, 0) \ in \ mathbb {F} ^ {n}}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in \ mathbb {F} ^ {n} \ barra invertida \ {(0, \ dots, 0) \}}$

O teorema de Chevalley é uma consequência imediata do teorema de Chevalley-Warning, pois é pelo menos 2. ${\ displaystyle p}$

Ambos os teoremas são possíveis no sentido de que, dado algum , a lista tem grau total e apenas a solução trivial. Alternativamente, usando apenas um polinômio, podemos tomar f ₁ como o polinômio de grau n dado pela norma de x ₁ a ₁ + ... + x _n a _n onde os elementos a formam uma base do corpo finito de ordem p ⁿ . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f_ {j} = x_ {j}, j = 1, \ pontos, n}$${\ displaystyle n}$

Warning provou outro teorema, conhecido como segundo teorema de Warning, que afirma que se o sistema de equações polinomiais tem a solução trivial, então ele tem pelo menos soluções onde é o tamanho do corpo finito e . O teorema de Chevalley também segue diretamente disso. ${\ displaystyle q ^ {nd}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle d: = d_ {1} + \ dots + d_ {r}}$

Teorema da Prova de Aviso

Comentário: Se então ${\ displaystyle i <q-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ in \ mathbb {F}} x ^ {i} = 0}$

assim, a soma de qualquer polinômio em grau menor que também desaparece. ${\ displaystyle \ mathbb {F} ^ {n}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle n (q-1)}$

O número total de módulos de soluções comuns é igual a ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r} = 0}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ in \ mathbb {F} ^ {n}} (1-f_ {1} ^ {q-1} (x)) \ cdot \ ldots \ cdot (1-f_ {r} ^ {q-1} (x))}$

porque cada termo é 1 para uma solução e 0 caso contrário. Se a soma dos graus dos polinômios for menor que n , isso desaparece pela observação acima. ${\ displaystyle f_ {i}}$

Conjectura de Artin

É uma consequência do teorema de Chevalley que os campos finitos são quase algebricamente fechados . Isso havia sido conjecturado por Emil Artin em 1935. A motivação por trás da conjectura de Artin era sua observação de que campos quase algebricamente fechados têm grupo de Brauer trivial , junto com o fato de que campos finitos têm grupo de Brauer trivial pelo teorema de Wedderburn .

Teorema Axe-Katz

O teorema Ax-Katz , nomeado após James Ax e Nicholas Katz , determina com mais precisão o poder da cardinalidade de dividir o número de soluções; aqui, se for o maior de , então o expoente pode ser tomado como a função de teto de ${\ displaystyle q ^ {b}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d_ {j}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ frac {n- \ sum _ {j} d_ {j}} {d}}.}$

O resultado Ax – Katz tem uma interpretação em cohomologia étale como um resultado de divisibilidade para os (recíprocos) zeros e pólos da função zeta local . Ou seja, o mesmo poder de divide cada um desses inteiros algébricos . ${\ displaystyle q}$

Veja também

• Nullstellensatz combinatório

Referências

• Artin, Emil (1982), Lang, Serge .; Tate, John (eds.), Collected papers , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90686-7, MR  0671416
• Ax, James (1964), "Zeros of polynomials over finite fields", American Journal of Mathematics , 86 : 255-261, doi : 10.2307 / 2373163 , MR  0160775
• Chevalley, Claude (1935), "Démonstration d'une hipotèse de M. Artin", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (em francês), 11 : 73-75, doi : 10.1007 / BF02940714 , JFM  61.1043.01 , Zbl  0011.14504
• Katz, Nicholas M. (1971), "On a teoreem of Axe", Amer. J. Math. , 93 (2): 485–499, doi : 10.2307 / 2373389
• Warning, Ewald (1935), "Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (em alemão), 11 : 76-83, doi : 10.1007 / BF02940715 , JFM  61.1043.02 , Zbl  0011.14601
• Serre, Jean-Pierre (1973), Um curso de aritmética , pp.  5-6 , ISBN 0-387-90040-3

links externos

• "Provas do teorema de Chevalley-Warning" .