Assinatura métrica - Metric signature
Em matemática , a assinatura ( v , p , r ) de um tensor métrico g (ou equivalentemente, uma forma quadrática real pensada como uma forma bilinear simétrica real em um espaço vetorial de dimensão finita ) é o número (contado com multiplicidade) de autovalores positivos, negativos e zero da matriz simétrica real g ab do tensor métrico em relação a uma base . Na física relativística , o v representa o tempo ou dimensão virtual e op para o espaço e a dimensão física. Alternativamente, ele pode ser definido como as dimensões de um subespaço máximo positivo e nulo . Pela lei da inércia de Sylvester, esses números não dependem da escolha da base. A assinatura, portanto, classifica a métrica até uma escolha de base. A assinatura é frequentemente denotada por um par de inteiros ( v , p ) implicando r = 0, ou como uma lista explícita de sinais de valores próprios, como (+, -, -, -) ou (-, +, +, +) para as assinaturas (1, 3, 0) e (3, 1, 0) , respectivamente.
A assinatura é considerada indefinida ou mista se v e p forem diferentes de zero, e degenerada se r for diferente de zero. Uma métrica Riemanniana é uma métrica com uma assinatura definida positiva ( v , 0) . Uma métrica Lorentziana é uma métrica com assinatura ( p , 1) ou (1, p ) .
Há outra noção de assinatura de um tensor métrico não degenerado dado por um único número s definido como ( v - p ) , onde v e p são como acima, o que é equivalente à definição acima quando a dimensão n = v + p é dada ou implícito. Por exemplo, s = 1 - 3 = −2 para (+, -, -, -) e seu espelhamento s ' = - s = +2 para (-, +, +, +) .
Definição
A assinatura de um tensor métrico é definida como a assinatura da forma quadrática correspondente . É o número ( v , p , r ) de autovalores positivos e zero de qualquer matriz (ou seja, em qualquer base para o espaço vetorial subjacente) que representa a forma, contada com suas multiplicidades algébricas . Normalmente, r = 0 é necessário, o que é o mesmo que dizer que um tensor métrico deve ser não degenerado, ou seja, nenhum vetor diferente de zero é ortogonal a todos os vetores.
Pela lei da inércia de Sylvester, os números ( v , p , r ) são independentes de base.
Propriedades
Assinatura e Dimensão
Pelo teorema espectral, uma matriz n × n simétrica sobre os reais é sempre diagonalizável e, portanto, tem exatamente n autovalores reais (contados com a multiplicidade algébrica ). Assim, v + p = n = dim ( V ) .
Lei da inércia de Sylvester: independência da escolha da base e existência de base ortonormal
De acordo com a lei da inércia de Sylvester , a assinatura do produto escalar (também conhecido como forma bilinear simétrica real), g não depende da escolha da base. Além disso, para cada métrica g de assinatura ( v , p , r ) existe uma base tal que g ab = +1 para a = b = 1, ..., v , g ab = −1 para a = b = v + 1, ..., v + p e g ab = 0 caso contrário. Segue-se que existe uma isometria ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) se e somente se as assinaturas de g 1 e g 2 são iguais. Da mesma forma, a assinatura é igual para duas matrizes congruentes e classifica uma matriz até a congruência. Equivalentemente, a assinatura é constante nas órbitas do grupo linear geral GL ( V ) no espaço de tensores contravariantes de posto 2 simétrico S 2 V ∗ e classifica cada órbita.
Interpretação geométrica dos índices
O número v (resp. P ) é a dimensão máxima de um subespaço vetorial no qual o produto escalar g é positivo-definido (resp. Negativo-definido) e r é a dimensão do radical do produto escalar g ou o nulo subespaço da matriz simétrica g ab do produto escalar . Assim, um produto escalar não degenerado tem assinatura ( v , p , 0) , com v + p = n . Uma dualidade dos casos especiais ( v , p , 0) corresponde a dois autovalores escalares que podem ser transformados um no outro pelo espelhamento reciprocamente.
Exemplos
Matrizes
A assinatura do n × n matriz de identidade é ( N , 0, 0) . A assinatura de uma matriz diagonal é o número de números positivos, negativos e zero em sua diagonal principal .
As seguintes matrizes têm ambas a mesma assinatura (1, 1, 0) , portanto, são congruentes devido à lei da inércia de Silvestre :
Produtos escalares
O produto escalar padrão definido em possui as assinaturas n- dimensionais ( v , p , r ) , onde v + p = n e posto r = 0 .
Em física, o espaço de Minkowski é uma variedade do espaço-tempo com v = 1 e p = 3 bases e tem um produto escalar definido pela matriz:
que tem assinatura e é conhecido como espaço-supremacia ou semelhante a espaço; ou a assinatura de espelhamento , conhecida como supremacia virtual ou semelhante ao tempo com a matriz.
Como calcular a assinatura
Existem alguns métodos para calcular a assinatura de uma matriz.
- Para qualquer matriz simétrica n × n não degenerada , diagonalize -a (ou encontre todos os seus autovalores ) e conte o número de sinais positivos e negativos.
- Para uma matriz simétrica, o polinômio característico terá todas as raízes reais, cujos signos podem, em alguns casos, ser completamente determinados pela regra dos signos de Descartes .
- O algoritmo de Lagrange fornece uma maneira de calcular uma base ortogonal e, assim, calcular uma matriz diagonal congruente (portanto, com a mesma assinatura) à outra: a assinatura de uma matriz diagonal é o número de elementos positivos, negativos e zero em sua diagonal .
- De acordo com o critério de Jacobi, uma matriz simétrica é definida-positiva se e somente se todos os determinantes de seus principais menores forem positivos.
Assinatura em física
Em matemática, a convenção usual para qualquer variedade Riemanniana é usar um tensor métrico definido positivo (significando que após a diagonalização, os elementos na diagonal são todos positivos).
Na física teórica , o espaço - tempo é modelado por uma variedade pseudo-Riemanniana . A assinatura conta quantos caracteres semelhantes ao tempo ou ao espaço estão no espaço-tempo, no sentido definido pela relatividade especial : como usado na física de partículas , a métrica tem um autovalor no subespaço semelhante ao tempo, e seu autovalor de espelhamento no subespaço semelhante a um espaço. No caso específico da métrica Minkowski ,
- ,
a assinatura métrica é ou (+, -, -, -) se seu autovalor é definido na direção do tempo, ou ou (-, +, +, +) se o autovalor é definido nas três direções espaciais x , y e z . (Às vezes, a convenção de sinal oposto é usada, mas com o dado aqui s mede diretamente o tempo adequado .)
Mudança de assinatura
Se uma métrica for regular em todos os lugares, a assinatura da métrica é constante. No entanto, se for permitido métricas que são degeneradas ou descontínuas em algumas hipersuperfícies, a assinatura da métrica pode mudar nessas superfícies. Essas métricas de mudança de assinatura podem ter aplicações em cosmologia e gravidade quântica .