Operador estrela de Hodge - Hodge star operator

Em matemática , o operador estrela de Hodge ou estrela de Hodge é um mapa linear definido na álgebra externa de um espaço vetorial orientado de dimensão finita dotado de uma forma bilinear simétrica não degenerada . Aplicar o operador a um elemento da álgebra produz o dual de Hodge do elemento. Este mapa foi apresentado por WVD Hodge .

Por exemplo, em um espaço euclidiano tridimensional orientado, um plano orientado pode ser representado pelo produto exterior de dois vetores de base, e seu dual de Hodge é o vetor normal dado por seu produto vetorial ; inversamente, qualquer vetor é dual ao plano orientado perpendicular a ele, dotado de um bivetor adequado. Generalizando isso para um espaço vetorial n- dimensional, a estrela de Hodge é um mapeamento um-para-um de k -vetores para ( n-k ) -vetores; as dimensões desses espaços são os coeficientes binomiais . ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}} = {\ tbinom {n} {nk}}}$

A naturalidade do operador estrela significa que ele pode desempenhar um papel na geometria diferencial, quando aplicado ao feixe cotangente de uma variedade pseudo-Riemanniana e, portanto, às formas k diferenciais . Isso permite a definição da codiferencial como o adjunto de Hodge da derivada exterior , levando ao operador Laplace – de Rham . Isso generaliza o caso do espaço euclidiano tridimensional, no qual a divergência de um campo vetorial pode ser percebida como o oposto codiferencial do operador gradiente , e o operador de Laplace em uma função é a divergência de seu gradiente. Uma aplicação importante é a decomposição de Hodge de formas diferenciais em uma variedade Riemanniana fechada .

Definição formal para k- vetores

Seja V um espaço vetorial n- dimensional com uma forma bilinear simétrica não degenerada , aqui referido como um produto interno. Isso induz um produto interno em k -vetores , pois , ao defini-lo em k -vetores decomponíveis e igualar o determinante de Gram${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ textstyle \ alpha, \ beta \ in \ bigwedge ^ {\! k} V}$${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha _ {k}}$${\ displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {k}}$

${\ displaystyle \ langle \ alpha, \ beta \ rangle = \ det \ left (\ left \ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {j} \ right \ rangle _ {i, j = 1} ^ {k }\direito)}$

estendido para através da linearidade. ${\ textstyle \ bigwedge ^ {\! k} V}$

A unidade n- vetor é definida em termos de uma base ortonormal orientada de V como: ${\ displaystyle \ omega \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V}$ ${\ displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ omega \: = \ e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {n}.}$

O operador estrela de Hodge é um operador linear na álgebra exterior de V , mapeando k -vetores para ( n - k ) -vetores, para . Ele tem a seguinte propriedade, que o define completamente: ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$

${\ displaystyle \ alpha \ wedge ({\ star} \ beta) = \ langle \ alpha, \ beta \ rangle \, \ omega}$para cada par de k- vetores${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V.}$

Dualmente, no espaço de n -formas (alternando funções n -multilineares em ), o dual to é a forma de volume , a função cujo valor em é o determinante da matriz montada a partir dos vetores de coluna de em -coordenadas. ${\ displaystyle {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! n} V ^ {*}}$${\ displaystyle V ^ {n}}$${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ det}$${\ displaystyle v_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge v_ {n}}$${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$

Aplicando a equação acima, obtemos a definição dupla: ${\ displaystyle \ det}$

${\ displaystyle \ det (\ alpha \ wedge {\ star} \ beta) = \ langle \ alpha, \ beta \ rangle.}$

ou equivalentemente, tomada , e : ${\ displaystyle \ alpha = \ alpha _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha _ {k}}$${\ displaystyle \ beta = \ beta _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ star \ beta = \ beta _ {1} ^ {\ star} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {nk} ^ {\ star}}$

${\ displaystyle \ det \ left (\ alpha _ {1} \ wedge \ cdots \ wedge \ alpha _ {k} \ wedge \ beta _ {1} ^ {\ star} \ wedge \ cdots \ wedge \ beta _ {nk } ^ {\ star} \ right) \ = \ \ det \ left (\ langle \ alpha _ {i}, \ beta _ {j} \ rangle \ right).}$

Isso significa que, escrevendo uma base ortonormal de k -vetores como em todos os subconjuntos de , o Hodge dual é o ( n - k ) -vetor correspondente ao conjunto complementar : ${\ displaystyle e_ {I} \ = \ e_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {i_ {k}}}$${\ displaystyle I = \ {i_ {1} <\ cdots <i_ {k} \}}$${\ displaystyle [n] = \ {1, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle {\ bar {I}} = [n] \ setminus I = \ left \ {{\ bar {i}} _ {1} <\ cdots <{\ bar {i}} _ {nk} \ right \}}$

${\ displaystyle {\ star} e_ {I} = (- 1) ^ {\ sigma (I)} e _ {\ bar {I}},}$

onde está o sinal da permutação . ${\ displaystyle (-1) ^ {\ sigma (I)}}$${\ displaystyle \ sigma (I) = i_ {1} \ cdots i_ {k} {\ bar {i}} _ {1} \ cdots {\ bar {i}} _ {nk}}$

Uma vez que a estrela de Hodge assume uma base ortonormal para uma base ortonormal, é uma isometria na álgebra exterior . ${\ textstyle \ bigwedge V}$

Explicação geométrica

A estrela de Hodge é motivada pela correspondência entre um subespaço W de V e seu subespaço ortogonal (em relação ao produto interno), onde cada espaço é dotado de uma orientação e um fator de escala numérico. Especificamente, um k- vetor decomposto diferente de zero corresponde ao Plücker embutindo- se no subespaço com base orientada , dotado de um fator de escala igual ao volume k- dimensional do paralelepípedo medido por esta base (igual ao Gramiano , o determinante de a matriz de produtos internos ). A estrela de Hodge agindo em um vetor decomposto pode ser escrita como um vetor decomposto ( n - k ): ${\ displaystyle w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k} \ in \ textstyle \ bigwedge ^ {\! k} V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {k}}$${\ displaystyle \ langle w_ {i}, w_ {j} \ rangle}$

${\ displaystyle \ star (w_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge w_ {k}) \, = \, u_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge u_ {nk},}$

onde forma uma base orientada do espaço ortogonal . Além disso, a ( n - k ) -volume do mosto -parallelepiped igual a k -volume da -parallelepiped, e deve formar uma base orientada de V . ${\ displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {nk}}$ ${\ displaystyle U = W ^ {\ perp} \!}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {k}, u_ {1}, \ ldots, u_ {nk}}$

Um k- vetor geral é uma combinação linear de k -vetores decomponíveis, e a definição da estrela de Hodge é estendida para k -vetores gerais , definindo-a como sendo linear.

Exemplos

Duas dimensões

Em duas dimensões com a métrica euclidiana normalizada e a orientação dada pela ordenação ( x , y ) , a estrela de Hodge nas formas k é dada por

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \, 1 & = dx \ wedge dy \\ {\ star} \, dx & = dy \\ {\ star} \, dy & = - dx \\ {\ star} (dx \ wedge dy) & = 1. \ end {alinhado}}}$

No plano complexo considerado como um espaço vetorial real com a forma sesquilinear padrão como métrica, a estrela de Hodge tem a propriedade notável de ser invariante sob mudanças holomórficas de coordenadas. Se z = x + iy é uma função holomórfica de w = u + iv , então pelas equações de Cauchy-Riemann temos que ∂ x/∂ você = ∂ y/∂ v e ∂ y/∂ você = -∂ x/∂ v. Nas novas coordenadas

${\ displaystyle \ alpha \ = \ p \, dx + q \, dy \ = \ \ left (p {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} + q {\ frac {\ partial y} {\ parcial u}} \ direita) \, du + \ esquerda (p {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} + q {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}} \ direita) \, dv \ = \ p_ {1} du + q_ {1} \, dv,}$

de modo a

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \ alpha & = - q_ {1} \, du + p_ {1} \, dv \\ [4pt] & = - \ left (p {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} + q {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}} \ direita) du + \ esquerda (p {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} + q { \ frac {\ parcial y} {\ parcial u}} \ direita) dv \\ [4pt] & = - q \ esquerda ({\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} dv \ direita) + p \ esquerda ({\ frac {\ parcial y} {\ parcial u}} du + {\ frac {\ parcial y} {\ parcial v}} dv \ direita) \\ [4pt] & = - q \, dx + p \, dy, \ end {alinhado}}}$

provando a invariância reivindicada.

Três dimensões

Um exemplo comum do operador estrela de Hodge é o caso n = 3 , quando pode ser tomado como a correspondência entre vetores e bivetores. Especificamente, para euclidiana R ³ com a base de um-formas frequentemente utilizados em cálculo vector , verifica-se que ${\ displaystyle dx, dy, dz}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \, dx & = dy \ wedge dz \\ {\ star} \, dy & = dz \ wedge dx \\ {\ star} \, dz & = dx \ wedge dy. \ end {alinhado}}}$

A estrela de Hodge relaciona o produto externo e o produto vetorial em três dimensões:

${\ displaystyle {\ star} (\ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} \ qquad {\ star} (\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}) = \ mathbf {u} \ wedge \ mathbf {v}.}$

Aplicada a três dimensões, a estrela Hodge fornece um isomorfismo entre vectores axiais e bivectors , de modo que cada vetor axial um está associado com um bivector A e vice-versa, que é: . A estrela de Hodge também pode ser interpretada como uma forma de correspondência geométrica entre um eixo e uma rotação infinitesimal em torno do eixo, com velocidade igual ao comprimento do vetor do eixo. Um produto interno em um espaço vetorial fornece um isomorfismo que se identifica com seu espaço dual , e o espaço de todos os operadores lineares é naturalmente isomórfico ao produto tensorial . Assim , para , o mapeamento estelar leva cada vetor a um bivetor , que corresponde a um operador linear . Especificamente, é um operador skew-symmetric , que corresponde a uma rotação infinitesimal : ou seja, as rotações macroscópicas em torno do eixo são dadas pela matriz exponencial . Com relação à base de , o tensor corresponde a uma matriz de coordenadas com 1 na linha e coluna, etc., e a cunha é a matriz assimétrica de inclinação , etc. Ou seja, podemos interpretar o operador estrela como:${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ star} \ mathbf {a}, \ \ \ mathbf {a} = {\ star} \ mathbf {A}}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V \ cong V ^ {*} \!}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle L: V \ a V}$ ${\ displaystyle V ^ {*} \! \! \ otimes V \ cong V \ otimes V}$${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ textstyle \ star: V \ to \ bigwedge ^ {\! 2} \! V \ subset V \ otimes V}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ star \ mathbf {v} \ in V \ otimes V}$${\ displaystyle L _ {\ mathbf {v}}: V \ a V}$${\ displaystyle L _ {\ mathbf {v}}}$${\ displaystyle \ mathbb {v}}$ ${\ displaystyle \ exp (tL _ {\ mathbf {v}})}$${\ displaystyle dx, dy, dz}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle dx \ otimes dy}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle dx \ wedge dy \, = \, dx \ otimes dy-dy \ otimes dx}$${\ displaystyle \ scriptscriptstyle \ left [{\ begin {array} {rrr} \, 0 \! \! & \! \! 1 & \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \ ! \\ [-. 5em] \, \! - 1 \! \! & \! \! 0 \! \! & \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \\ [-. 5em] \, 0 \! \! & \! \! 0 \! \! & \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \ End {array }}\!\!\!\direito]}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} = a \, dx + b \, dy + c \, dz \ quad \ longrightarrow \ quad \ star {\ mathbf {v}} \ \ cong \ L _ {\ mathbf {v}} \ = \ left [{\ begin {array} {rrr} 0 & c & -b \\ - c & 0 & a \\ b & -a & 0 \ end {array}} \ right].}$

Sob esta correspondência, produto cruzado de vectores corresponde ao comutador colchete de Lie de operadores lineares: . ${\ displaystyle L _ {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}} = L _ {\ mathbf {u}} L _ {\ mathbf {v}} -L _ {\ mathbf {v}} L _ {\ mathbf {u }}}$

Quatro dimensões

No caso , a estrela de Hodge atua como um endomorfismo da segunda potência exterior (ou seja, mapeia 2 formas em 2 formas, uma vez que 4 - 2 = 2 ). Se a assinatura do tensor métrico for totalmente positiva, ou seja, em uma variedade Riemanniana , então a estrela de Hodge é uma involução . Se a assinatura for mista, ou seja, pseudo-Riemanniana , a aplicação duas vezes retornará o argumento a um sinal - ver § Dualidade abaixo. Esta propriedade de endomorfismo particular de 2 formas em quatro dimensões torna objetos geométricos naturais autoduais e antiduais de duas formas para estudar. Ou seja, pode-se descrever o espaço de 2 formas em quatro dimensões com uma base que “diagonaliza” a operação da estrela de Hodge com autovalores (ou , dependendo da assinatura). ${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle \ pm i}$

Para concretude, discutimos Hodge dual no espaço-tempo de Minkowski onde com assinatura métrica e coordenadas . A forma de volume é orientada como . Para formulários únicos , ${\ displaystyle n = 4}$${\ displaystyle (- +++)}$${\ displaystyle (t, x, y, z)}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0123} = 1}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ star dt & = - dx \ wedge dy \ wedge dz \ ,, \\\ star dx & = - dt \ wedge dy \ wedge dz \ ,, \\\ star dy & = dt \ wedge dx \ wedge dz \ ,, \\\ star dz & = - dt \ wedge dx \ wedge dy \ ,, \ end {alinhado}}}$

enquanto para 2 formulários ,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ star (dt \ wedge dx) & = - dy \ wedge dz \ ,, \\\ estrela (dt \ wedge dy) & = - dz \ wedge dx \ ,, \\\ estrela (dt \ wedge dz) & = - dx \ wedge dy \ ,, \\\ estrela (dx \ wedge dy) & = dt \ wedge dz \ ,, \\\ estrela (dx \ wedge dz) & = - dt \ wedge dy \ ,, \\\ star (dy \ wedge dz) & = dt \ wedge dx \,. \ end {alinhado}}}$

Eles estão resumidos na notação do índice como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ star (dx ^ {\ mu}) & = \ eta ^ {\ mu \ lambda} \ varepsilon _ {\ lambda \ nu \ rho \ sigma} {\ frac {1} { 3!}} Dx ^ {\ nu} \ wedge dx ^ {\ rho} \ wedge dx ^ {\ sigma} \ ,, \\\ estrela (dx ^ {\ mu} \ wedge dx ^ {\ nu}) & = \ eta ^ {\ mu \ kappa} \ eta ^ {\ nu \ lambda} \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ rho \ sigma} {\ frac {1} {2!}} dx ^ {\ rho} \ cunha dx ^ {\ sigma} \,. \ end {alinhado}}}$

Hodge dual para formas de três e quatro pode ser facilmente deduzido do fato de que, na assinatura Lorentziana, para formas de classificação ímpar e para formas de classificação par. Uma regra fácil de lembrar para essas operações de Hodge é que, dada uma forma , seu dual de Hodge pode ser obtido escrevendo os componentes não envolvidos em uma ordem como essa . Um sinal de menos extra entrará apenas se contiver . (Para (+ - - -) , se coloca em um sinal de menos se envolve um número ímpar de formas associadas ao espaço , e .) ${\ displaystyle (\ star) ^ {2} = 1}$${\ displaystyle (\ star) ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ star} \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ wedge (\ star \ alpha) = dt \ wedge dx \ wedge dy \ wedge dz}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dt}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle dy}$${\ displaystyle dz}$

Observe que as combinações

${\ displaystyle {\ begin {align} (dx ^ {\ mu} \ wedge dx ^ {\ nu}) ^ {\ pm}: = {\ frac {1} {2}} {\ big (} dx ^ { \ mu} \ wedge dx ^ {\ nu} \ mp i \ star (dx ^ {\ mu} \ wedge dx ^ {\ nu}) {\ big)} \ end {alinhado}}}$

toma como autovalor para Hodge dual, ou seja, ${\ displaystyle \ pm i}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ star (dx ^ {\ mu} \ wedge dx ^ {\ nu}) ^ {\ pm} = \ pm i (dx ^ {\ mu} \ wedge dx ^ {\ nu} }) ^ {\ pm} \ ,, \ end {alinhado}}}$

e, portanto, merecem o nome de duas formas auto-duais e anti-self-duais. Compreender a geometria, ou cinemática, do espaço-tempo de Minkowski em setores autoduais e antiduais duais acaba sendo esclarecedor nas perspectivas matemáticas e físicas , estabelecendo contatos para o uso da linguagem dos dois espinor na física moderna, como o espinor - formalismo de helicidade ou teoria de twistor .

Invariância conforme

A estrela de Hodge é conformalmente invariante em n formas em um espaço vetorial 2n dimensional V, ou seja, se é uma métrica em e , então as estrelas de Hodge induzidas ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle \ star _ {g}, \ star _ {\ lambda g} \ dois pontos \ Lambda ^ {n} V \ to \ Lambda ^ {n} V}$

são os mesmos.

Exemplo: derivados em três dimensões

A combinação do operador e da derivada externa d gera os operadores clássicos grad , curl e div nos campos vetoriais no espaço euclidiano tridimensional. Isso funciona da seguinte maneira: d leva uma forma 0 (uma função) para uma forma 1, uma forma 1 para uma forma 2 e uma forma 2 para uma forma 3 (e leva uma forma 3 para zero). Para uma forma 0 , o primeiro caso escrito em componentes fornece: ${\ displaystyle \ star}$ ${\ displaystyle f = f (x, y, z)}$

${\ displaystyle df = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} \, dx + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \, dy + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} \, dz.}$

O produto interno identifica formas 1 com campos de vetor como , etc., de modo que se torna . ${\ displaystyle dx \ mapsto (1,0,0)}$${\ displaystyle df}$${\ textstyle \ operatorname {grad} f = \ left ({\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}}, {\ frac {\ parcial f } {\ parcial z}} \ direita)}$

No segundo caso, um campo vetorial corresponde à forma 1 , que possui derivada externa: ${\ displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$${\ displaystyle \ varphi = A \, dx + B \, dy + C \, dz}$

${\ displaystyle d \ varphi = \ left ({\ frac {\ partial C} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial B} {\ partial z}} \ right) dy \ wedge dz + \ left ({ \ frac {\ partial C} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial A} {\ partial z}} \ right) dx \ wedge dz + \ left ({\ partial B \ over \ partial x} - { \ frac {\ partial A} {\ partial y}} \ right) dx \ wedge dy.}$

Aplicar a estrela Hodge fornece a forma 1:

${\ displaystyle \ star d \ varphi = \ left ({\ partial C \ over \ partial y} - {\ partial B \ over \ partial z} \ right) \, dx- \ left ({\ parcial C \ over \ parcial x} - {\ parcial A \ sobre \ parcial z} \ direita) \, dy + \ esquerda ({\ parcial B \ sobre \ parcial x} - {\ parcial A \ sobre \ parcial y} \ direita) \, dz ,}$

que se torna o campo vetorial . ${\ textstyle \ operatorname {curl} \ mathbf {F} = \ left ({\ frac {\ parcial C} {\ parcial y}} - {\ frac {\ parcial B} {\ parcial z}}, \, - {\ frac {\ parcial C} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial A} {\ parcial z}}, \, {\ frac {\ parcial B} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial A} {\ parcial y}} \ direita)}$

No terceiro caso, novamente corresponde a . Aplicando estrela de Hodge, derivada externa e estrela de Hodge novamente: ${\ displaystyle \ mathbf {F} = (A, B, C)}$${\ displaystyle \ varphi = A \, dx + B \, dy + C \, dz}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ star \ varphi & = A \, dy \ wedge dz-B \, dx \ wedge dz + C \, dx \ wedge dy, \\ d {\ star \ varphi} & = \ left ({\ frac {\ parcial A} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial B} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial C} {\ parcial z}} \ direita) dx \ wedge dy \ wedge dz, \\\ star d {\ star \ varphi} & = {\ frac {\ parcial A} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial B} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial C} {\ parcial z}} = \ operatorname {div} \ mathbf {F}. \ end {alinhado}}}$

Uma vantagem dessa expressão é que a identidade d ² = 0 , que é verdadeira em todos os casos, tem como casos especiais duas outras identidades: 1) curl grad f = 0 e 2) div curl F = 0 . Em particular, as equações de Maxwell assumem uma forma particularmente simples e elegante, quando expressas em termos da derivada externa e da estrela de Hodge. A expressão (multiplicada por uma potência apropriada de -1) é chamada de codiferencial ; ele é definido em plena generalidade, para qualquer dimensão, mais adiante no artigo abaixo. ${\ displaystyle \ star d \ star}$

Também se pode obter o Laplaciano Δ  f  = div grad  f em termos das operações acima:

${\ displaystyle \ Delta f = \ star d {\ star df} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}}.}$

O Laplaciano também pode ser visto como um caso especial do operador Laplace – deRham mais geral , onde é a codiferencial para -formas . Qualquer função é uma forma 0 e, portanto, isso se reduz ao Laplaciano comum. Para a forma 1 acima, a codiferencial é e após algum plug and chug , obtém-se o Laplaciano atuando sobre . ${\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$${\ displaystyle \ delta = (- 1) ^ {k} \ star d \ star}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ delta f = 0}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ delta = - \ star d \ star}$${\ displaystyle \ varphi}$

Dualidade

Aplicar a estrela de Hodge duas vezes deixa um k- vetor inalterado, exceto por seu sinal: pois em um espaço n- dimensional V , tem-se ${\ displaystyle \ eta \ in {\ textstyle \ bigwedge} ^ {k} V}$

${\ displaystyle {\ star} {\ star} \ eta = (- 1) ^ {k (nk)} s \ eta,}$

onde s é a paridade da assinatura do produto interno em V , ou seja, o sinal do determinante da matriz do produto interno em relação a qualquer base. Por exemplo, se n = 4 e a assinatura do produto interno for (+ - - -) ou (- + + +), então s = −1 . Para variedades Riemannianas (incluindo espaços euclidianos), sempre temos s = 1 .

A identidade acima implica que o inverso de pode ser dado como ${\ displaystyle \ star}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} ^ {- 1}: ~ {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! k} V & \ to {\ textstyle \ bigwedge} ^ {\! nk} V \\ \ eta & \ mapsto (-1) ^ {k (nk)} \! s {\ star} \ eta \ end {alinhado}}}$

Se n for ímpar, então k ( n - k ) será par para qualquer k , enquanto se n for par, então k ( n - k ) terá a paridade de k . Portanto:

${\ displaystyle {\ star} ^ {- 1} = {\ begin {cases} s {\ star} & n {\ text {is odd}} \\ (- 1) ^ {k} s {\ star} & n { \ text {é par}} \ end {casos}}}$

onde k é o grau do elemento operado.

Em manifolds

Para uma variedade pseudo-Riemanniana orientada n- dimensional M , aplicamos a construção acima a cada espaço cotangente e seus poderes exteriores e, portanto, às formas k diferenciais , as seções globais do feixe . A métrica Riemanniana induz um produto interno em cada ponto . Definimos o Hodge dual de uma forma k , definindo como a forma única ( n - k ) satisfatória ${\ displaystyle {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$${\ displaystyle \ wedge ^ {k} {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$ ${\ displaystyle \ zeta \ in \ Omega ^ {k} (M) = \ Gamma \ left (\ wedge ^ {k} {\ text {T}} ^ {*} \! M \ right)}$ ${\ displaystyle \ wedge ^ {k} \ mathrm {T} ^ {*} \! M \ a M}$${\ displaystyle \ wedge ^ {k} {\ text {T}} _ {p} ^ {*} M}$${\ displaystyle p \ in M}$ ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle {\ star} \ zeta}$

${\ displaystyle \ eta \ wedge {\ star} \ zeta \ = \ \ langle \ eta, \ zeta \ rangle \, \ omega}$

para cada forma k , onde uma função de valor real está ativada e a forma de volume é induzida pela métrica Riemanniana. Integrando esta equação , o lado direito se torna o produto interno ( integrável ao quadrado ) nas formas k , e obtemos: ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ langle \ eta, \ zeta \ rangle}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {M} \ eta \ wedge {\ star} \ zeta \ = \ \ langle \! \ langle \ eta, \ zeta \ rangle \! \ rangle.}$

Mais geralmente, se não for orientado, pode-se definir a estrela de Hodge de uma forma k como uma forma ( n - k ) - pseudo diferencial ; ou seja, uma forma diferencial com valores no pacote de linha canônica . ${\ displaystyle M}$

Computação em notação de índice

Calculamos em termos de notação de índice tensorial com respeito a uma base (não necessariamente ortonormal) em um espaço tangente e sua base dual em , tendo a matriz métrica e sua matriz inversa . O Hodge dual de uma forma k decomponível é: ${\ textstyle \ left \ {{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {n}}} \ right \}}$${\ displaystyle V = T_ {p} M}$${\ displaystyle \ {dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n} \}}$${\ displaystyle V ^ {*} = T_ {p} ^ {*} M}$${\ textstyle (g_ {ij}) = \ left (\ left \ langle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ right \ rangle \ right)}$${\ displaystyle (g ^ {ij}) = (\ langle dx_ {i}, dx_ {j} \ rangle)}$

${\ displaystyle \ star \ left (dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ right) \ = \ {\ frac {\ sqrt {| \ det [g_ {ab }] |}} {(nk)!}} g ^ {i_ {1} j_ {1}} \ cdots g ^ {i_ {k} j_ {k}} \ varepsilon _ {j_ {1} \ dots j_ { n}} dx ^ {j_ {k + 1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {j_ {n}}.}$

Aqui está o símbolo Levi-Civita com , e implicitamente obtemos a soma de todos os valores dos índices repetidos . O fatorial é responsável pela contagem dupla e não está presente se os índices de soma forem restritos a isso . O valor absoluto do determinante é necessário, pois pode ser negativo, como para espaços tangentes a variedades Lorentzianas . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {j_ {1} \ dots j_ {n}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {1 \ dots n} = 1}$${\ displaystyle j_ {1}, \ ldots, j_ {n}}$${\ displaystyle (nk)!}$${\ displaystyle j_ {k + 1} <\ dots <j_ {n}}$

Uma forma diferencial arbitrária pode ser escrita da seguinte forma:

${\ displaystyle \ alpha \ = \ {\ frac {1} {k!}} \ alpha _ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}} \ = \ \ sum _ {i_ {1} <\ dots <i_ {k}} \ alpha _ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} dx ^ {i_ { 1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}}.}$

O fatorial é novamente incluído para contabilizar a contagem dupla quando permitimos índices não crescentes. Gostaríamos de definir o dual do componente de forma que o dual de Hodge da forma seja dado por ${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle \ alpha _ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}}}$

${\ displaystyle \ star \ alpha = {\ frac {1} {(nk)!}} (\ star \ alpha) _ {i_ {k + 1}, \ dots, i_ {n}} dx ^ {i_ {k +1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {n}}.}$

Usando a expressão acima para o dual de Hodge de , encontramos: ${\ displaystyle dx ^ {i_ {1}} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {i_ {k}}}$

${\ displaystyle (\ star \ alpha) _ {i_ {k + 1}, \ dots, i_ {n}} = {\ frac {\ sqrt {| \ det [g_ {ab}] |}} {k!} } \ alpha ^ {i_ {1}, \ dots, i_ {k}} \, \, \ varepsilon _ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}.}$

Embora se possa aplicar essa expressão a qualquer tensor , o resultado é antissimétrico, uma vez que a contração com o símbolo de Levi-Civita completamente antissimétrico cancela tudo, exceto a parte totalmente antissimétrica do tensor. É, portanto, equivalente à anti-simetrização seguida pela aplicação da estrela de Hodge. ${\ displaystyle \ alpha}$

A forma de volume unitário é dada por: ${\ displaystyle \ omega = \ star 1 \ in \ wedge ^ {n} V ^ {*}}$

${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ left | \ det [g_ {ij}] \ right |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}.}$

Codifferencial

A aplicação mais importante da estrela de Hodge em variedades é definir a codiferencial em formas k . Deixar ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ delta = (- 1) ^ {n (k-1) +1} s \ {\ star} d {\ star} = (- 1) ^ {k} \, {\ star} ^ {- 1} d {\ star}}$

onde é a derivada externa ou diferencial, e para variedades Riemannianas. Então ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle d: \ Omega ^ {k} (M) \ to \ Omega ^ {k + 1} (M)}$

enquanto

${\ displaystyle \ delta: \ Omega ^ {k} (M) \ to \ Omega ^ {k-1} (M).}$

A codiferencial não é uma antiderivação na álgebra exterior, ao contrário da derivada exterior.

O codiferencial é o adjunto do derivado externo em relação ao produto interno quadrado integrável:

${\ displaystyle \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle \ = \ \ langle \! \ langle d \ eta, \ zeta \ rangle \! \ rangle,}$

onde é uma forma ( k + 1) e uma forma k . Essa identidade segue o teorema de Stokes para formas suaves: ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle 0 \ = \ \ int _ {M} d (\ eta \ wedge {\ star} \ zeta) \ = \ \ int _ {M} \ left (d \ eta \ wedge {\ star} \ zeta - \ eta \ wedge {\ star} (- 1) ^ {k + 1} \, {\ star} ^ {- 1} d {\ star} \ zeta \ right) \ = \ \ langle \! \ langle d \ eta, \ zeta \ rangle \! \ rangle - \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle,}$

desde que M tenha limite vazio ou ou tenha valores de limite zero. (A definição adequada do acima requer a especificação de um espaço vetorial topológico que é fechado e completo no espaço de formas suaves. O espaço de Sobolev é convencionalmente usado; ele permite que o convergente de uma sequência de formas (as ) seja intercambiado com o combinado operações diferenciais e integrais, de modo que e da mesma forma para sequências convergindo para .) ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ star \ zeta}$${\ displaystyle \ zeta _ {i} \ to \ zeta}$${\ displaystyle i \ to \ infty}$${\ displaystyle \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta _ {i} \ rangle \! \ rangle \ to \ langle \! \ langle \ eta, \ delta \ zeta \ rangle \! \ rangle}$${\ displaystyle \ eta}$

Uma vez que o diferencial satisfaz , o codifferencial tem a propriedade correspondente ${\ displaystyle d ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle \ delta ^ {2} = s ^ {2} {\ star} d {\ star} {\ star} d {\ star} = (- 1) ^ {k (nk)} s ^ {3} {\ star} d ^ {2} {\ star} = 0.}$

O operador Laplace-deRham é dado por

${\ displaystyle \ Delta = (\ delta + d) ^ {2} = \ delta d + d \ delta}$

e está no cerne da teoria de Hodge . É simétrico:

${\ displaystyle \ langle \! \ langle \ Delta \ zeta, \ eta \ rangle \! \ rangle = \ langle \! \ langle \ zeta, \ Delta \ eta \ rangle \! \ rangle}$

e não negativo:

${\ displaystyle \ langle \! \ langle \ Delta \ eta, \ eta \ rangle \! \ rangle \ geq 0.}$

A estrela de Hodge envia formas harmônicas para formas harmônicas. Como consequência da teoria de Hodge , a cohomologia de de Rham é naturalmente isomórfica ao espaço das formas k harmônicas e, portanto, a estrela de Hodge induz um isomorfismo de grupos de cohomologia

${\ displaystyle {\ star}: H _ {\ Delta} ^ {k} (M) \ a H _ {\ Delta} ^ {nk} (M),}$

que por sua vez dá identificações canônicas via dualidade de Poincaré de H ^k ( M ) com seu espaço dual .

Citações

Referências