Cohomologia De Rham - De Rham cohomology

Campo vetorial correspondendo a uma forma diferencial no plano puncionado que é fechada, mas não exata, mostrando que a cohomologia de Rham desse espaço não é trivial.

Na matemática , a cohomologia de Rham (em homenagem a Georges de Rham ) é uma ferramenta pertencente tanto à topologia algébrica quanto à topologia diferencial , capaz de expressar informações topológicas básicas sobre variedades suaves de uma forma particularmente adaptada à computação e à representação concreta de classes de cohomologia . É uma teoria da cohomologia baseada na existência de formas diferenciais com propriedades prescritas.

Cada forma exata é fechada, mas o inverso não é necessariamente verdadeiro. Por outro lado, existe uma relação entre falha de exatidão e existência de “furos”. Os grupos de cohomologia de De Rham são um conjunto de invariantes de variedades suaves que tornam a relação acima mencionada quantitativa, e serão discutidos neste artigo.

A integração no conceito de formas é de fundamental importância na topologia diferencial, geometria e física, e também produz um dos mais importantes exemplos de cohomologia , a saber a cohomologia de Rham , que (falando grosso modo) mede precisamente a extensão em que o teorema fundamental de o cálculo falha em dimensões superiores e em variedades gerais.
-  Terence Tao , Formas Diferenciais e Integração

Definição

O complexo de Rham é o complexo de cochain de formas diferenciais em alguma variedade lisa M , com a derivada externa como diferencial:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^ {0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^ {3} (M) \ to \ cdots,}$

onde Ω ⁰ ( M ) é o espaço das funções suaves em M , Ω ¹ ( M ) é o espaço das formas 1 e assim por diante. Formas que são a imagem de outras formas sob a derivada externa , mais a função constante 0 em Ω ⁰ ( M ) , são chamadas de exatas e as formas cuja derivada externa é 0 são chamadas de fechadas (ver Formas diferenciais fechadas e exatas ); a relação d ² = 0 então diz que as formas exatas estão fechadas.

Em contraste, as formas fechadas não são necessariamente exatas. Um caso ilustrativo é um círculo como uma variedade e a forma 1 correspondente à derivada do ângulo de um ponto de referência em seu centro, normalmente escrito como dθ (descrito em Formas diferenciais fechadas e exatas ). Não há função θ definida em todo o círculo de forma que dθ seja sua derivada; o aumento de 2 π ao dar uma volta ao redor do círculo na direção positiva implica uma função multivalorada θ . A remoção de um ponto do círculo evita isso, ao mesmo tempo em que altera a topologia da variedade.

A ideia por trás da cohomologia de de Rham é definir classes de equivalência de formas fechadas em uma variedade. Classifica-se duas formas fechadas α , β ∈ Ω ^k ( M ) como cohomólogas se diferirem por uma forma exata, ou seja, se α - β for exata. Esta classificação induz uma relação de equivalência no espaço das formas fechadas em Ω ^k ( M ) . Em seguida, define-se o k -ésimo grupo de cohomologia de Rham como o conjunto de classes de equivalência, ou seja, o conjunto de formas fechadas em Ω ^k ( M ) módulo das formas exatas. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$

Observe que, para qualquer variedade M composta por m componentes desconectados, cada um dos quais conectado , temos que

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^ {m}.}$

Esta situação resulta do facto de qualquer função suave em H com um derivado de zero em todos os lugares separadamente é constante em cada um dos componentes ligados de M .

Cohomologia De Rham calculada

Pode-se frequentemente encontrar as cohomologias gerais de Rham de uma variedade usando o fato acima sobre a cohomologia zero e uma sequência de Mayer-Vietoris . Outro fato útil é que a cohomologia de de Rham é uma invariante de homotopia . Embora o cálculo não seja fornecido, a seguir estão as cohomologias de Rham computadas para alguns objetos topológicos comuns :

A n -sfera

Para a n- esfera , e também quando considerada em conjunto com um produto de intervalos abertos, temos o seguinte. Seja n > 0, m ≥ 0 e I um intervalo real aberto. Então ${\ displaystyle S ^ {n}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n} \ vezes I ^ {m}) \ simeq {\ begin {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {ou }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {e}} k \ neq n. \ end {casos}}}$

O n- torus

O -torus é o produto cartesiano: . Da mesma forma, permitindo aqui, obtemos ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) \ simeq \ mathbb {R} ^ {n \ escolha k}.}$

Também podemos encontrar geradores explícitos para a cohomologia de Rham do toro diretamente usando formas diferenciais. Dada uma variedade quociente e uma forma diferencial , podemos dizer que é -invariante se dado qualquer difeomorfismo induzido por , temos . Em particular, o retrocesso de qualquer forma em é -invariant. Além disso, o retrocesso é um morfismo injetivo. Em nosso caso, as formas diferenciais são -invariantes desde então . Mas, observe que para não é uma invariante -forma. Isso com injetividade implica que ${\ displaystyle \ pi: X \ to X / G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ to X}$${\ displaystyle (\ cdot g) ^ {*} (\ omega) = \ omega}$${\ displaystyle X / G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} / \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i} + \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ in H_ {dR} ^ {1} (T ^ {n})}$

Uma vez que o anel de cohomologia de um toro é gerado por , tomar os produtos exteriores dessas formas fornece todos os representantes explícitos para a cohomologia de Rham de um toro. ${\ displaystyle H ^ {1}}$

Espaço euclidiano perfurado

O espaço euclidiano puncionado fica simplesmente com a origem removida. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^ {2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {caso contrário}} \ end {casos}}.}$

A tira de Möbius

Podemos deduzir do fato de que a faixa de Möbius , M , pode ser deformação retraída para a esfera 1 (ou seja, o círculo unitário real), que:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {1}).}$

Teorema de De Rham

O teorema de Stokes é uma expressão da dualidade entre a cohomologia de de Rham e a homologia das cadeias . Diz que o emparelhamento de formas diferenciais e cadeias, via integração, dá um homomorfismo de cohomologia de de Rham para grupos de cohomologia singulares O teorema de De Rham , provado por Georges de Rham em 1931, afirma que para uma variedade lisa M , este mapa é de fato um isomorfismo . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ ${\ displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$

Mais precisamente, considere o mapa

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M) \ a H ^ {p} (M; \ mathbb {R}),}$

definido da seguinte forma: para qualquer , seja I ( ω ) o elemento de que atua da seguinte forma: ${\ displaystyle [\ omega] \ in H _ {\ mathrm {dR}} ^ {p} (M)}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H ^ {p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

O teorema de de Rham afirma que este é um isomorfismo entre a cohomologia de Rham e a cohomologia singular.

O produto externo confere à soma direta desses grupos uma estrutura em anel . Um outro resultado do teorema é que os dois anéis de cohomologia são isomórficos (como anéis graduados ), onde o produto análogo na cohomologia singular é o produto do copo .

Isomorfismo de Rham teórico de Sheaf

A cohomologia de de Rham é isomórfica à cohomologia Čech , onde é o feixe de grupos abelianos determinado por para todos os conjuntos abertos conectados , e para conjuntos abertos tais que , o morfismo do grupo é dado pelo mapa de identidade em e onde há uma boa cobertura aberta de (ou seja, todos os conjuntos abertos na cobertura aberta são contraíveis até um ponto e todas as interseções finitas dos conjuntos são vazias ou contraíveis até um ponto). Em outras palavras, é o feixe constante dado pela sheafificação da atribuição constante de pré-feixe . ${\ displaystyle H ^ {*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ subset M}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U \ subconjunto V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ underline {\ mathbb {R}}} (V) \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Dito de outra forma, se for uma variedade de dimensões C ^{m +1} compacta , então, para cada uma , há um isomorfismo ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M) \ cong {\ check {H}} ^ {k} (M, {\ underline {\ mathbb {R}}})}$

onde o lado esquerdo é o -ésimo grupo de cohomologia de Rham e o lado direito é a cohomologia Čech para o feixe constante com fibra${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Prova

Vamos denotar o feixe de germes de formas ativadas (com o feixe de funções ativado ). Pelo lema de Poincaré , a seguinte sequência de feixes é exata (na categoria de feixes): ${\ displaystyle \ Omega ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^ {0}}$${\ displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ underline {\ mathbb {R}}} \ to \ Omega ^ {0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^ {m} \ to 0.}$

Esta sequência agora se divide em sequências curtas e exatas

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^ {k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^ {k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^ {k } \ a 0.}$

Cada um deles induz uma longa sequência exata em cohomologia. Visto que o feixe de funções em uma variedade admite partições de unidade , o feixe-cohomologia desaparece para . Assim, as próprias sequências de cohomologia longas e exatas, em última análise, separam-se em uma cadeia de isomorfismos. Em uma extremidade da cadeia está a cohomologia Čech e na outra está a cohomologia de Rham. ${\ displaystyle C ^ {m + 1}}$${\ displaystyle H ^ {i} (\ Omega ^ {k})}$${\ displaystyle i> 0}$

Ideias Relacionadas

A cohomologia de De Rham inspirou muitas idéias matemáticas, incluindo a cohomologia de Dolbeault , a teoria de Hodge e o teorema do índice Atiyah – Singer . No entanto, mesmo em contextos mais clássicos, o teorema inspirou uma série de desenvolvimentos. Em primeiro lugar, a teoria de Hodge prova que há um isomorfismo entre a cohomologia que consiste em formas harmônicas e a cohomologia de de Rham que consiste em formas fechadas módulo de formas exatas. Isso se baseia em uma definição apropriada de formas harmônicas e do teorema de Hodge. Para obter mais detalhes, consulte a teoria de Hodge .

Formas harmônicas

Se M é uma variedade Riemanniana compacta , então cada classe de equivalência em contém exatamente uma forma harmônica . Ou seja, cada membro de uma determinada classe de equivalência de formulários fechados pode ser escrito como ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = \ alpha + \ gamma}$

onde é exata e é harmônica: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Qualquer função harmônica em uma variedade Riemanniana compacta conectada é uma constante. Assim, este elemento representativo particular pode ser entendido como um extremo (um mínimo) de todas as formas cohomologicamente equivalentes no coletor. Por exemplo, em um 2 - toro , pode-se prever uma constante uma -forma como uma em que todos os "cabelos" é penteado ordenadamente no mesmo sentido (e todos os "cabelos" tendo o mesmo comprimento). Nesse caso, há duas combinações cohomologicamente distintas; todos os outros são combinações lineares. Em particular, isso implica que o primeiro número de Betti de um 2- torus é dois. De forma mais geral, em um toro dimensional , pode-se considerar as várias combinações de formas no toro. Há escolher tais combings que podem ser usados para formar os vetores de base para ; o -ésimo número de Betti para o grupo de cohomologia de Rham para o -torus é, portanto, escolhido . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T ^ {n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^ {k} (T ^ {n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Mais precisamente, para uma variedade diferencial M , pode-se equipá-la com alguma métrica Riemanniana auxiliar . Então o Laplaciano é definido por ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta + \ delta d}$

com a derivada exterior e a codiferencial . O Laplaciano é um operador diferencial linear homogêneo (na graduação ) agindo sobre a álgebra exterior das formas diferenciais : podemos observar sua ação em cada componente de grau separadamente. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Se for compacto e orientado , a dimensão do núcleo do Laplaciano agindo sobre o espaço das formas k é então igual (pela teoria de Hodge ) àquele do grupo de cohomologia de Rham em grau : o Laplaciano escolhe uma forma harmônica única em cada classe de cohomologia de formulários fechados . Em particular, o espaço de todas as formas- harmônicas em é isomórfico a. A dimensão de cada um desses espaços é finita e é dada pelo -ésimo número de Betti . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H ^ {k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Decomposição de Hodge

Let Ser uma variedade Riemanniana compacta orientada . A decomposição de Hodge afirma que qualquer forma em se divide exclusivamente na soma de três componentes L ² : ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ omega = \ alpha + \ beta + \ gamma,}$

onde é exato, é coexato e é harmônico. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Diz-se que uma forma é co-fechada se e co-exata se para alguma forma , e que é harmônico se o Laplaciano é zero ,. Segue-se a observação de que as formas exatas e co-exatas são ortogonais; o complemento ortogonal consiste então em formas que são fechadas e co-fechadas: isto é, formas harmônicas. Aqui, a ortogonalidade é definida em relação ao produto interno L ² em : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Pelo uso de espaços ou distribuições de Sobolev , a decomposição pode ser estendida, por exemplo, para uma variedade Riemanniana completa (orientada ou não).

Veja também

• Teoria de Hodge
• Integração ao longo das fibras (para cohomologia de de Rham, o pushforward é dado por integração )

Citações

Referências

links externos

• Ideia do Projeto De Rham Cohomology in Mathifold
• "De Rham cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]