Čech cohomology - Čech cohomology

Um triângulo de Penrose representa um elemento não trivial da primeira cohomologia de um anel com valores no grupo de distâncias do observador

Em matemática , especificamente na topologia algébrica , Čech cohomology é uma teoria da cohomologia baseada nas propriedades de interseção de coberturas abertas de um espaço topológico . Recebeu o nome do matemático Eduard Čech .

Motivação

Deixe- X um espaço topológico, e deixe ser uma tampa aberta da X . Deixe denotar o nervo da cobertura. A idéia de Čech cohomology é que, por uma tampa aberta que consiste suficientemente pequenos conjuntos abertos, o complexo simplicial resultante deve ser um bom modelo combinatória para o espaço X . Para tal cobertura, a cohomologia Čech de X é definida como a cohomologia simplicial do nervo. Essa ideia pode ser formalizada pela noção de uma boa capa . No entanto, uma abordagem mais geral é tomar o limite direto dos grupos de cohomologia do nervo sobre o sistema de todas as tampas abertas possíveis de X , ordenadas por refinamento . Essa é a abordagem adotada a seguir. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle N ({\ mathcal {U}})}$

Construção

Deixe X ser um espaço topológico , e deixe ser um presheaf de grupos abelianos no X . Vamos ser uma tampa aberta da X . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Simplex

Um q - simplex σ de é uma coleção ordenada de conjuntos q +1 escolhidos , de modo que a interseção de todos esses conjuntos não seja vazia. Essa interseção é chamada de suporte de σ e é denotada como | σ |. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Agora vamos ser tão q -simplex. O j-ésimo limite parcial de σ é definido como o ( q −1) -simplex obtido removendo o j- ésimo conjunto de σ, ou seja: ${\ displaystyle \ sigma = (U_ {i}) _ {i \ in \ {0, \ ldots, q \}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {j} \ sigma: = (U_ {i}) _ {i \ in \ {0, \ ldots, q \} \ setminus \ {j \}}.}$

O limite de σ é definido como a soma alternada dos limites parciais:

${\ displaystyle \ partial \ sigma: = \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j + 1} \ partial _ {j} \ sigma}$

visto como um elemento do grupo abeliano livre abrangido pelos simplicidades de . ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Cochain

Uma q - cochain de com coeficientes em é um mapa que associa a cada q -simplex σ um elemento de e denotamos o conjunto de todas as q -cochains de com coeficientes em by . é um grupo abeliano por adição pontual. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |)}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Diferencial

Os grupos cochain podem ser transformados em um complexo cochain definindo o operador coboundary por: ${\ displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$ ${\ displaystyle \ delta _ {q}: C ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ para C ^ {q + 1} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

${\ displaystyle \ quad (\ delta _ {q} f) (\ sigma): = \ sum _ {j = 0} ^ {q + 1} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |} f (\ partial _ {j} \ sigma),}$

onde está o morfismo de restrição de a (Observe que ∂ _j σ ⊆ σ, mas | σ | ⊆ | ∂ _j σ |.) ${\ displaystyle \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ partial _ {j} \ sigma |)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (| \ sigma |).}$

Um cálculo mostra que ${\ displaystyle \ delta _ {q + 1} \ circ \ delta _ {q} = 0.}$

O operador coboundary é análogo ao derivado exterior da cohomologia De Rham , por isso às vezes é chamado de diferencial do complexo cochain .

Cociclo

Uma q -cochain é chamada de q -cociclo se estiver no núcleo de , portanto, é o conjunto de todos os q -cociclos. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ ker (\ delta _ {q}) \ subseteq C ^ {q} ({\ mathcal {U }}, {\ mathcal {F}})}$

Assim, uma ( q −1) -cochain é um cociclo se para todos os q -simplica a condição de cociclo ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {q} (- 1) ^ {j} \ mathrm {res} _ {| \ sigma |} ^ {| \ partial _ {j} \ sigma |} f ( \ parcial _ {j} \ sigma) = 0}$

detém.

Um 0-cociclo é uma coleção de seções locais de satisfação de uma relação de compatibilidade em cada interseção ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle f (A) | _ {A \ cap B} = f (B) | _ {A \ cap B}}$

Um 1-cociclo satisfaz para todos os não-vazios com ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U = A \ cap B \ cap C}$${\ displaystyle A, B, C \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle f (B \ cap C) | _ {U} -f (A \ cap C) | _ {U} + f (A \ cap B) | _ {U} = 0}$

Coboundary

Uma q -cochain é chamada de q -coboundary se estiver na imagem de e for o conjunto de todos os q -coboundary. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = \ mathrm {Im} (\ delta _ {q-1}) \ subseteq C ^ {q} ( {\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Por exemplo, um 1-cochain é um 1-co-contorno se existir um 0-cochain de modo que para cada interseção ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle A, B \ in {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle f (A \ cap B) = h (A) | _ {A \ cap B} -h (B) | _ {A \ cap B}}$

Cohomology

A cohomologia Čech de com valores em é definida como a cohomologia do complexo cochain . Assim, o q th Čech cohomology é dado por ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle (C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)}$

${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}): = H ^ {q} ((C ^ {\ bullet} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}), \ delta)) = Z ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) / B ^ {q} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$ .

A cohomologia Čech de X é definida considerando refinamentos de tampas abertas. Se é um refinamento de, então há um mapa em cohomologia. As tampas abertas de X formam um conjunto direcionado sob refinamento, de modo que o mapa acima leva a um sistema direto de grupos abelianos. A cohomologia Čech de X com valores em é definida como o limite direto deste sistema. ${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}}) \ to {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {V }}, {\ mathcal {F}}).}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}}): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ({\ mathcal {U}}, { \ mathcal {F}})}$

O cohomología Cech de X com coeficientes em um grupo abeliano fixo Um , denotado , é definido como onde é o feixe constante em X determinado por um . ${\ displaystyle {\ check {H}} (X; A)}$${\ displaystyle {\ check {H}} (X, {\ mathcal {F}} _ {A})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {A}}$

Uma variante da cohomologia Čech, chamada de cohomologia Čech numerável , é definida como acima, exceto que todas as tampas abertas consideradas devem ser numeráveis : isto é, há uma partição da unidade {ρ _i } de modo que cada suporte está contido em algum elemento da capa. Se X for paracompacto e Hausdorff , então a cohomologia Čech numerável concorda com a cohomologia Čech usual. ${\ displaystyle \ {x \ mid \ rho _ {i} (x)> 0 \}}$

Relação com outras teorias de cohomologia

Se X é homotópico equivalente a um complexo CW , então a cohomologia Čech é naturalmente isomórfica à cohomologia singular . Se X é uma variedade diferenciável , então também é naturalmente isomórfico à cohomologia de de Rham ; o artigo sobre cohomologia de de Rham fornece uma breve revisão desse isomorfismo. Para espaços menos bem comportados, a cohomologia Čech difere da cohomologia singular. Por exemplo, se X é a curva senoidal do topologista fechado , então, enquanto ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; A)}$ ${\ displaystyle H ^ {*} (X; A) \,}$${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} (X; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle H ^ {1} (X; \ mathbb {Z}) = 0.}$

Se X é uma variedade diferenciável e a cobertura de X é uma "boa cobertura" ( ou seja, todos os conjuntos U _α são contraíveis até um ponto, e todas as interseções finitas dos conjuntos são vazias ou contraíveis até um ponto), então é isomórfico à cohomologia de de Rham. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {*} ({\ mathcal {U}}; \ mathbb {R})}$

Se X for Hausdorff compacto, então a cohomologia Čech (com coeficientes em um grupo discreto) é isomórfica à cohomologia de Alexander-Spanier .

Em geometria algébrica

A cohomologia Čech pode ser definida de forma mais geral para objetos em um site C dotado de uma topologia. Isto aplica-se, por exemplo, para o site Zariski ou o site Etale de um esquema X . A cohomologia Čech com valores em algum feixe F é definida como

${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F): = \ varinjlim _ {\ mathcal {U}} {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}} , F).}$

onde o colimit corre ao longo de todos os revestimentos (com respeito à topologia escolhido) de X . Aqui é definido como acima, exceto que as interseções dobra r de subconjuntos abertos dentro do espaço topológico ambiente são substituídas pelo produto de fibra dobra r${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {U}} ^ {\ times _ {X} ^ {r}}: = {\ mathcal {U}} \ times _ {X} \ dots \ times _ {X} {\ mathcal { VOCÊ}}.}$

Como na situação clássica de espaços topológicos, sempre há um mapa

${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} (X, F) \ rightarrow H ^ {n} (X, F)}$

de Čech cohomology para sheaf cohomology . É sempre um isomorfismo em graus n = 0 e 1, mas pode falhar em geral. Para a topologia Zariski em um esquema separado noetheriano , Čech e cohomologia de feixe concordam para qualquer feixe quase coerente . Para a topologia étale , as duas cohomologias concordam para qualquer feixe étale em X , desde que qualquer conjunto finito de pontos de X esteja contido em algum subesquema afim aberto. Isso é satisfeito, por exemplo, se X for quase projetivo sobre um esquema afim .

A possível diferença entre a cohomologia Cech e a cohomologia de feixe é uma motivação para o uso de hipercobertos : estes são objetos mais gerais do que o nervo Cech

${\ displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}: \ pontos \ para {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U }} \ para {\ mathcal {U}} \ times _ {X} {\ mathcal {U}} \ para {\ mathcal {U}}.}$

Um K _∗ hipercoberto de X é um objeto simplicial em C , ou seja, uma coleção de objetos K _n junto com mapas de fronteira e degeneração. Aplicando um feixe F a K _∗ produz um grupo abeliano simplicial F ( K _∗ ) cujo n -ésimo grupo de cohomologia é denotado H ⁿ ( F ( K _∗ )). (Este grupo é o mesmo que no caso de K igual a .) Então, pode ser mostrado que há um isomorfismo canônico ${\ displaystyle {\ check {H}} ^ {n} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle N_ {X} {\ mathcal {U}}}$

${\ displaystyle H ^ {n} (X, F) = \ varinjlim _ {K _ {*}} H ^ {n} (F (K _ {*})),}$

onde o colimit agora percorre todos os hipercobertos.

Exemplos

Por exemplo, podemos calcular a cohomologia do feixe coerente de na linha projetiva usando o complexo Čech. Usando a capa ${\ displaystyle \ Omega ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {1} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [y]), U_ {2} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [y ^ {- 1}]) \}}$

temos os seguintes módulos do feixe cotangente

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ Omega ^ {1} (U_ {1}) = \ mathbb {C} [y] dy \\ & \ Omega ^ {1} (U_ {2}) = \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} \ end {alinhado}}}$

Se tomarmos as convenções que, então, obteremos o complexo Čech ${\ displaystyle dy ^ {- 1} = - (1 / y ^ {2}) dy}$

${\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {C} [y] dy \ oplus \ mathbb {C} \ left [y ^ {- 1} \ right] dy ^ {- 1} {\ xrightarrow {d ^ {0}} } \ mathbb {C} \ left [y, y ^ {- 1} \ right] dy \ para 0}$

Desde é injective eo único elemento não à imagem de é que consigamos ${\ displaystyle d ^ {0}}$${\ displaystyle d ^ {0}}$${\ displaystyle y ^ {- 1} dy}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & H ^ {1} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong \ mathbb {C} \\ & H ^ {k} (\ mathbb {P} _ {\ mathbb {C}} ^ {1}, \ Omega ^ {1}) \ cong 0 {\ text {para}} k \ neq 1 \ end {alinhado}} }$

Referências

Notas de rodapé de citação

Referências gerais

• Bott, Raoul ; Loring Tu (1982). Formas diferenciais em topologia algébrica . Nova York: Springer. ISBN   0-387-90613-4 .
• Hatcher, Allen (2002). Topologia Algébrica . Cambridge University Press. ISBN   0-521-79540-0 .
• Wells, Raymond (1980). Análise diferencial em manifolds complexos . Springer-Verlag. ISBN   0-387-90419-0 . ISBN   3-540-90419-0 . Capítulo 2 Apêndice A