Grupo Coxeter - Coxeter group

Em matemática , um grupo Coxeter , em homenagem a HSM Coxeter , é um grupo abstrato que admite uma descrição formal em termos de reflexos (ou espelhos caleidoscópicos ). Na verdade, os grupos finitos de Coxeter são precisamente os grupos finitos de reflexão euclidiana ; os grupos de simetria de poliedros regulares são um exemplo. No entanto, nem todos os grupos de Coxeter são finitos e nem todos podem ser descritos em termos de simetrias e reflexos euclidianos. Os grupos Coxeter foram introduzidos em 1934 como abstrações de grupos de reflexão ( Coxeter 1934 ), e os grupos Coxeter finitos foram classificados em 1935 ( Coxeter 1935 ).

Os grupos Coxeter encontram aplicações em muitas áreas da matemática. Exemplos de grupos finitos de Coxeter incluem os grupos de simetria de politopos regulares e os grupos de Weyl de álgebras de Lie simples . Exemplos de grupos infinitos de Coxeter incluem os grupos de triângulos correspondentes a tesselações regulares do plano euclidiano e do plano hiperbólico , e os grupos de Weyl de álgebras de Kac-Moody de dimensão infinita .

As referências padrão incluem ( Humphreys 1992 ) e ( Davis 2007 ).

Definição

Formalmente, um grupo Coxeter pode ser definido como um grupo com a apresentação

${\ displaystyle \ left \ langle r_ {1}, r_ {2}, \ ldots, r_ {n} \ mid (r_ {i} r_ {j}) ^ {m_ {ij}} = 1 \ right \ rangle}$

para onde e para . A condição significa que nenhuma relação da forma deve ser imposta. ${\ displaystyle m_ {ii} = 1}$${\ displaystyle m_ {ij} \ geq 2}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle m_ {ij} = \ infty}$${\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {m}}$

O par em que é um grupo Coxeter com geradores é chamado de sistema Coxeter . Observe que, em geral, não é determinado exclusivamente por . Por exemplo, os grupos Coxeter do tipo e são isomórficos, mas os sistemas Coxeter não são equivalentes (veja abaixo uma explicação desta notação). ${\ displaystyle (W, S)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle S = \ {r_ {1}, \ dots, r_ {n} \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle B_ {3}}$${\ displaystyle A_ {1} \ times A_ {3}}$

Uma série de conclusões podem ser tiradas imediatamente da definição acima.

• A relação significa isso para todos  ; como tal, os geradores são involuções .${\ displaystyle m_ {ii} = 1}$${\ displaystyle (r_ {i} r_ {i}) ^ {1} = (r_ {i}) ^ {2} = 1}$${\ displaystyle i}$
• Se , então, os geradores e comutar. Segue-se a observação de que${\ displaystyle m_ {ij} = 2}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle r_ {j}}$

${\ displaystyle xx = yy = 1}$,

junto com

${\ displaystyle xyxy = 1}$

implica que

${\ displaystyle xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx}$.

Alternativamente, uma vez que os geradores são involuções,, portanto , e portanto é igual ao comutador .${\ displaystyle r_ {i} = r_ {i} ^ {- 1}}$${\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {2} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} r_ {j} = r_ {i} r_ {j} r_ {i} ^ {- 1} r_ {j} ^ {- 1}}$

• Para evitar redundância entre as relações, é necessário supor isso . Segue-se a observação de que${\ displaystyle m_ {ij} = m_ {ji}}$

${\ displaystyle yy = 1}$,

junto com

${\ displaystyle (xy) ^ {m} = 1}$

implica que

${\ displaystyle (yx) ^ {m} = (yx) ^ {m} yy = y (xy) ^ {m} y = yy = 1}$.

Alternativamente, e são elementos conjugados , como .${\ displaystyle (xy) ^ {k}}$${\ displaystyle (yx) ^ {k}}$${\ displaystyle y (xy) ^ {k} y ^ {- 1} = (yx) ^ {k} yy ^ {- 1} = (yx) ^ {k}}$

Matriz de Coxeter e matriz de Schläfli

A matriz de Coxeter é o , matriz simétrica com entradas . De fato, toda matriz simétrica com entradas diagonais exclusivamente 1 e entradas não-diagonais no conjunto é uma matriz de Coxeter. ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle m_ {ij}}$${\ displaystyle \ {2,3, \ ldots \} \ cup \ {\ infty \}}$

A matriz de Coxeter pode ser convenientemente codificada por um diagrama de Coxeter , de acordo com as seguintes regras.

• Os vértices do gráfico são rotulados por subscritos do gerador.
• Os vértices e são adjacentes se e somente se .${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle m_ {ij} \ geq 3}$
• Uma borda é rotulada com o valor de sempre que o valor for ou maior.${\ displaystyle m_ {ij}}$${\ displaystyle 4}$

Em particular, dois geradores comutam se e somente se eles não estiverem conectados por uma borda. Além disso, se um gráfico de Coxeter tiver dois ou mais componentes conectados , o grupo associado é o produto direto dos grupos associados aos componentes individuais. Assim, a união disjunta dos gráficos de Coxeter produz um produto direto dos grupos de Coxeter.

A matriz de Coxeter,, está relacionada à matriz de Schläfli com entradas , mas os elementos são modificados, sendo proporcionais ao produto escalar dos geradores de pares. A matriz de Schläfli é útil porque seus valores próprios determinam se o grupo de Coxeter é do tipo finito (todos positivos), tipo afim (todos não negativos, pelo menos um zero) ou tipo indefinido (caso contrário). O tipo indefinido às vezes é subdividido, por exemplo, em hiperbólico e outros grupos de Coxeter. No entanto, existem várias definições não equivalentes para grupos Coxeter hiperbólicos. ${\ displaystyle M_ {ij}}$${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C_ {ij} = - 2 \ cos (\ pi / M_ {ij})}$

Exemplos

Grupo Coxeter	A 1 × A 1	A 2	B 2	H 2	G 2	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	A 3	B 3	D 4	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$
Diagrama de Coxeter
Matriz de Coxeter	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 e 2 \\ 2 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 e 3 \\ 3 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 e 4 \\ 4 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 e 5 \\ 5 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 e 6 \\ 6 & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & \ infty \\\ infty & 1 \\\ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 1 & 3 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right]}$
Matriz Schläfli	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & -1 \\ - 1 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & - {\ sqrt {2}} \\ - {\ sqrt {2}} & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & - \ phi \\ - \ phi & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & - {\ sqrt {3}} \\ - {\ sqrt {3}} & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & -2 \\ - 2 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & -1 & \ \, 0 \\ - 1 & \ \, 2 & -1 \\\ \, 0 & -1 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \certo]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, \ \ 2 & - {\ sqrt {2}} & \ \, 0 \\ - {\ sqrt {2}} & \ \, \ \ 2 & -1 \\\ \, \ \ 0 & \ \, - 1 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & -1 & \ \, 0 & \ \, 0 \\ - 1 & \ \, 2 & -1 & -1 \\\ \, 0 & -1 & \ \, 2 & \ \, 0 \\\ \, 0 & -1 & \ \, 0 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$	${\ displaystyle \ left [{\ begin {smallmatrix} \ \, 2 & -1 & \ \, 0 & -1 \\ - 1 & \ \, 2 & -1 & \ \, 0 \\\ \, 0 & -1 & \ \, 2 & -1 \\ - 1 & \ \, 0 & -1 & \ \, 2 \ end {smallmatrix}} \ right]}$

Um exemplo

O gráfico no qual os vértices de 1 a n são colocados em uma linha com cada vértice conectado por uma aresta não marcada a seus vizinhos imediatos dá origem ao grupo simétrico S _{n +1} ; os geradores correspondem às transposições (1 2), (2 3), ..., ( n n +1). Duas transposições não consecutivas sempre comutam, enquanto ( k k +1) ( k +1 k +2) dá o ciclo de 3 ( k k +2 k +1). Claro, isso mostra apenas que S _{n + 1} é um grupo quociente do grupo de Coxeter descrito pelo gráfico, mas não é muito difícil verificar se a igualdade é mantida. ${\ displaystyle A_ {n}}$

Conexão com grupos de reflexão

Os grupos Coxeter estão profundamente ligados aos grupos de reflexão . Simplificando, os grupos de Coxeter são grupos abstratos (dados por meio de uma apresentação), enquanto os grupos de reflexão são grupos concretos (dados como subgrupos de grupos lineares ou várias generalizações). Os grupos de Coxeter surgiram do estudo de grupos de reflexão - eles são uma abstração: um grupo de reflexão é um subgrupo de um grupo linear gerado por reflexões (que têm ordem 2), enquanto um grupo de Coxeter é um grupo abstrato gerado por involuções (elementos de ordem 2, abstraindo de reflexões), e cujas relações têm uma certa forma ( , correspondendo a hiperplanos que se encontram em um ângulo de , sendo de ordem k abstraindo de uma rotação de ). ${\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$${\ displaystyle \ pi / k}$${\ displaystyle r_ {i} r_ {j}}$${\ displaystyle 2 \ pi / k}$

O grupo abstrato de um grupo de reflexão é um grupo Coxeter, enquanto, inversamente, um grupo de reflexão pode ser visto como uma representação linear de um grupo Coxeter. Para grupos de reflexão finitos , isso produz uma correspondência exata: todo grupo de Coxeter finito admite uma representação fiel como um grupo de reflexão finito de algum espaço euclidiano. Para grupos infinitos de Coxeter, entretanto, um grupo de Coxeter pode não admitir uma representação como um grupo de reflexão.

Historicamente, ( Coxeter 1934 ) provou que todo grupo de reflexão é um grupo Coxeter (ou seja, tem uma apresentação onde todas as relações são da forma ou ), e de fato este artigo introduziu a noção de um grupo Coxeter, enquanto ( Coxeter 1935 ) provou que cada grupo finito de Coxeter tinha uma representação como um grupo de reflexão e grupos de Coxeter finitos classificados. ${\ displaystyle r_ {i} ^ {2}}$${\ displaystyle (r_ {i} r_ {j}) ^ {k}}$

Grupos finitos de Coxeter

Classificação

Os grupos finitos de Coxeter foram classificados em ( Coxeter 1935 ), em termos de diagramas de Coxeter-Dynkin ; todos eles são representados por grupos de reflexão de espaços euclidianos de dimensão finita.

Os grupos finitos de Coxeter consistem em três famílias de um parâmetro de classificação crescente uma família de um parâmetro de dimensão dois e seis grupos excepcionais : e . O produto de muitos grupos Coxeter finitos nesta lista é novamente um grupo Coxeter, e todos os grupos Coxeter finitos surgem dessa maneira. ${\ displaystyle A_ {n}, B_ {n}, D_ {n},}$${\ displaystyle I_ {2} (p),}$${\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, H_ {3},}$${\ displaystyle H_ {4}}$

Grupos Weyl

Muitos, mas não todos, são grupos Weyl, e cada grupo Weyl pode ser realizado como um grupo Coxeter. Os grupos Weyl são as famílias e e as excepções e denotado em notação grupo Weyl como os grupos não-Weyl são as excepções e e a família , excepto quando isto coincide com um dos grupos (a saber Weyl e ). ${\ displaystyle A_ {n}, B_ {n},}$${\ displaystyle D_ {n},}$${\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4},}$${\ displaystyle I_ {2} (6),}$${\ displaystyle G_ {2}.}$${\ displaystyle H_ {3}}$${\ displaystyle H_ {4},}$${\ displaystyle I_ {2} (p)}$${\ displaystyle I_ {2} (3) \ cong A_ {2}, I_ {2} (4) \ cong B_ {2},}$${\ displaystyle I_ {2} (6) \ cong G_ {2}}$

Isso pode ser provado comparando as restrições nos diagramas Dynkin (não direcionados) com as restrições nos diagramas de Coxeter de grupos finitos: formalmente, o gráfico de Coxeter pode ser obtido a partir do diagrama Dynkin descartando a direção das arestas e substituindo cada aresta dupla por uma aresta rotulada como 4 e cada aresta tripla por uma aresta rotulada 6. Observe também que cada grupo de Coxeter finitamente gerado é um grupo automático . Os diagramas Dynkin têm a restrição adicional de que os únicos rótulos de borda permitidos são 2, 3, 4 e 6, o que resulta no acima. Geometricamente, isso corresponde ao teorema da restrição cristalográfica , e ao fato de que os politopos excluídos não preenchem o espaço ou azulejam o plano - pois o dodecaedro (duplamente, icosaedro) não preenche o espaço; para 120 células (duplamente, 600 células) não preenche o espaço; para um p -gon não telha o plano, exceto para ou (as ladrilhos triangulares, quadrados e hexagonais, respectivamente). ${\ displaystyle H_ {3},}$${\ displaystyle H_ {4},}$${\ displaystyle I_ {2} (p)}$${\ displaystyle p = 3,4,}$${\ displaystyle 6}$

Observe ainda que os diagramas Dynkin (direcionados) B _n e C _n dão origem ao mesmo grupo de Weyl (daí o grupo de Coxeter), porque eles diferem como gráficos direcionados , mas concordam como gráficos não direcionados - a direção é importante para sistemas radiculares, mas não para Weyl grupo; isso corresponde ao hipercubo e ao politopo cruzado sendo politopos regulares diferentes, mas tendo o mesmo grupo de simetria.

Propriedades

Algumas propriedades dos grupos de Coxeter irredutíveis finitos são fornecidas na tabela a seguir. A ordem dos grupos redutíveis pode ser calculada pelo produto de suas ordens de subgrupo irredutíveis.

Rank n	Símbolo do grupo	Símbolo alternativo	Notação de colchetes	Gráfico de Coxeter	Reflexões m = 1 ⁄ 2 nh	Coxeter número h	Pedido	Estrutura de grupo	Politopos relacionados
1	A 1	A 1	[]		1	2	2	${\ displaystyle S_ {2}}$	{}
2	A 2	A 2	[3]		3	3	6	${\ displaystyle S_ {3} \ cong D_ {6} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (4)}$	{3}
3	A 3	A 3	[3,3]		6	4	24	${\ displaystyle S_ {4}}$	{3,3}
4	A 4	A 4	[3,3,3]		10	5	120	${\ displaystyle S_ {5}}$	{3,3,3}
5	A 5	A 5	[3,3,3,3]		15	6	720	${\ displaystyle S_ {6}}$	{3,3,3,3}
n	A n	A n	[3 n −1 ]	...	n ( n + 1) / 2	n + 1	( n + 1)!	${\ displaystyle S_ {n + 1}}$	n -simplex
2	B 2	C 2	[4]		4	4	8	${\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {2} \ cong D_ {8} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (3) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ { +} (5)}$	{4}
3	B 3	C 3	[4,3]		9	6	48	${\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {3} \ cong S_ {4} \ times 2}$	{4,3} / {3,4}
4	B 4	C 4	[4,3,3]		16	8	384	${\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {4}}$	{4,3,3} / {3,3,4}
5	B 5	C 5	[4,3,3,3]		25	10	3840	${\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {5}}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n	B n	C n	[4,3 n −2 ]	...	n 2	2 n	2 n n !	${\ displaystyle C_ {2} \ wr S_ {n}}$	n -cube / n -orthoplex
4	D 4	B 4	[3 1,1,1 ]		12	6	192	${\ displaystyle C_ {2} ^ {3} S_ {4} \ cong 2 ^ {1 + 4} \ dois pontos S_ {3}}$	h {4,3,3} / {3,3 1,1 }
5	D 5	B 5	[3 2,1,1 ]		20	8	1920	${\ displaystyle C_ {2} ^ {4} S_ {5}}$	h {4,3,3,3} / {3,3,3 1,1 }
n	D n	B n	[3 n −3,1,1 ]	...	n ( n - 1)	2 ( n - 1)	2 n −1 n !	${\ displaystyle C_ {2} ^ {n-1} S_ {n}}$	n -demicube / n -orthoplex
6	E 6	E 6	[3 2,2,1 ]		36	12	51840 (72x6!)	${\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {6} ^ {-} (2) \ cong \ operatorname {SO} _ {5} (3) \ cong \ operatorname {PSp} _ {4} (3) \ dois pontos 2 \ cong \ operatorname {PSU} _ {4} (2) \ dois pontos 2}$	2 21 , 1 22
7	E 7	E 7	[3 3,2,1 ]		63	18	2903040 (72x8!)	${\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {7} (2) \ times 2 \ cong \ operatorname {Sp} _ {6} (2) \ times 2}$	3 21 , 2 31 , 1 32
8	E 8	E 8	[3 4,2,1 ]		120	30	696729600 (192 x 10!)	${\ displaystyle 2 \ cdot \ operatorname {GO} _ {8} ^ {+} (2)}$	4 21 , 2 41 , 1 42
4	F 4	F 4	[3,4,3]		24	12	1152	${\ displaystyle \ operatorname {GO} _ {4} ^ {+} (3) \ cong 2 ^ {1 + 4} \ dois pontos (S_ {3} \ vezes S_ {3})}$	{3,4,3}
2	G 2	- ( D6 2)	[6]		6	6	12	${\ displaystyle D_ {12} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (5) \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (7)}$	{6}
2	H 2	G 2	[5]		5	5	10	${\ displaystyle D_ {10} \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (4)}$	{5}
3	H 3	G 3	[3,5]		15	10	120	${\ displaystyle 2 \ vezes A_ {5}}$	{3,5} / {5,3}
4	H 4	G 4	[3,3,5]		60	30	14400	${\ displaystyle 2 \ cdot (A_ {5} \ times A_ {5}) \ dois pontos 2}$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	I 2 ( n )	Dn 2	[ n ]		n	n	2 n	${\ displaystyle D_ {2n}}$ ${\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {-} (n-1)}$quando n = p k + 1, p privilegiada quando n = p k - 1, p privilegiada ${\ displaystyle \ cong \ operatorname {GO} _ {2} ^ {+} (n + 1)}$	{ p }

Grupos de simetria de politopos regulares

Todos os grupos de simetria de politopos regulares são grupos Coxeter finitos. Observe que os politopos duplos têm o mesmo grupo de simetria.

Existem três séries de politopos regulares em todas as dimensões. O grupo de simetria de um n - simplex regular é o grupo simétrico S _{n +1} , também conhecido como grupo de Coxeter do tipo A _n . O grupo de simetria do n - cubo e seu dual, o n - politopo cruzado , é B _n , e é conhecido como grupo hiperoctaédrico .

Os excepcionais politopos regulares nas dimensões dois, três e quatro correspondem a outros grupos Coxeter. Em duas dimensões, os grupos diédricos , que são os grupos de simetria de polígonos regulares , formam a série I ₂ ( p ). Em três dimensões, o grupo de simetria do dodecaedro regular e seu dual, o icosaedro regular , é H ₃ , conhecido como grupo icosaédrico completo . Em quatro dimensões, existem três politopos regulares especiais, o de 24 células , o de 120 células e o de 600 células . O primeiro possui grupo de simetria F ₄ , enquanto os outros dois são duais e possuem grupo de simetria H ₄ .

Os grupos de Coxeter do tipo D _n , E ₆ , E ₇ e E ₈ são os grupos de simetria de certos politopos semirregulares .

Tabela de famílias politópicas irredutíveis
Família n	n- simplex	n- hipercubo	n- orthoplex	n- demicube	1 k2	2 k1	k 21	politopo pentagonal
Grupo	A n	B n		I 2 (p) D n	E 6 E 7 E 8 F 4 G 2			H n
2	Triângulo	Quadrado		p-gon (exemplo: p = 7 )	Hexágono			Pentágono
3	Tetraedro	Cubo	Octaedro	Tetraedro				Dodecaedro	Icosaedro
4	5 células	Tesseract	16 células	Demitesseract	24 células			120 células	600 células
5	5-simplex	5 cubos	5-orthoplex	5-demicube
6	6-simplex	6 cubos	6-orthoplex	6-demicube	1 22	2 21
7	7-simplex	7 cubos	7-orthoplex	7-demicube	1 32	2 31	3 21
8	8-simplex	8 cubos	8-orthoplex	8-demicube	1 42	2 41	4 21
9	9-simplex	9 cubos	9-orthoplex	9-demicube
10	10-simplex	10 cubos	10-orthoplex	10-demicube

Grupos afins Coxeter

Os grupos Coxeter afins formam uma segunda série importante de grupos Coxeter. Eles não são finitos, mas cada um contém um subgrupo abeliano normal, de modo que o grupo quociente correspondente é finito. Em cada caso, o grupo de quociente é ele próprio um grupo de Coxeter, e o gráfico de Coxeter do grupo de Coxeter afim é obtido do gráfico de Coxeter do grupo de quociente adicionando outro vértice e uma ou duas arestas adicionais. Por exemplo, para n  ≥ 2, o gráfico que consiste em n +1 vértices em um círculo é obtido de A _n dessa maneira, e o grupo de Coxeter correspondente é o grupo de Weyl afim de A _n (o grupo simétrico afim ). Para n  = 2, isso pode ser representado como um subgrupo do grupo de simetria do ladrilho padrão do plano por triângulos equiláteros.

Em geral, dado um sistema radicular, pode-se construir o diagrama de Stiefel associado , consistindo nos hiperplanos ortogonais às raízes junto com certas translações desses hiperplanos. O grupo Coxeter afim (ou grupo Weyl afim) é então o grupo gerado pelas reflexões (afins) sobre todos os hiperplanos no diagrama. O diagrama de Stiefel divide o plano em um número infinito de componentes conectados chamados alcovas , e o grupo Coxeter afim age livre e transitivamente nas alcovas, assim como o grupo Weyl comum age livre e transitivamente nas câmaras Weyl. A figura à direita ilustra o diagrama de Stiefel para o sistema raiz. ${\ displaystyle G_ {2}}$

Suponha que seja um sistema de raiz irredutível de classificação e deixe ser uma coleção de raízes simples. Deixe, também, denotar a raiz mais alta. Em seguida, o grupo Coxeter afim é gerado pelas reflexões comuns (lineares) sobre os hiperplanos perpendiculares a , juntamente com uma reflexão afim sobre uma translação do hiperplano perpendicular a . O gráfico de Coxeter para o grupo Weyl afim é o diagrama de Coxeter – Dynkin para , junto com um nó adicional associado a . Nesse caso, um nicho do diagrama de Stiefel pode ser obtido pegando a câmara de Weyl fundamental e cortando-a por uma translação do hiperplano perpendicular a . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r> 1}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {r}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {r + 1}}$

Segue uma lista dos grupos Coxeter afins:

Símbolo do grupo	Símbolo Witt	Notação de colchetes	Gráfico de Coxeter	Tesselação (ões) uniforme (s) relacionada (s)
${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n}}$	${\ displaystyle P_ {n + 1}}$	[3 [ n ] ]	... ou ...	Favo de mel simplético
${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n}}$	${\ displaystyle S_ {n + 1}}$	[4,3 n - 3 , 3 1,1 ]	...	Favo de mel demihipercúbico
${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n}}$	${\ displaystyle R_ {n + 1}}$	[4,3 n -2 , 4]	...	Favo de mel hipercúbico
${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n}}$	${\ displaystyle Q_ {n + 1}}$	[3 1,1 , 3 n −4 , 3 1,1 ]	...	Favo de mel demihipercúbico
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle T_ {7}}$	[3 2,2,2 ]	ou	2 22
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$	${\ displaystyle T_ {8}}$	[3 3,3,1 ]	ou	3 31 , 1 33
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	${\ displaystyle T_ {9}}$	[3 5,2,1 ]		5 21 , 2 51 , 1 52
${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$	${\ displaystyle U_ {5}}$	[3,4,3,3]		Honeycomb de 16 células Honeycomb de 24 células
${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	${\ displaystyle V_ {3}}$	[6,3]		Ladrilhos hexagonais e ladrilhos triangulares
${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	${\ displaystyle W_ {2}}$	[∞]		Apeirogon

O subscrito do símbolo de grupo é um a menos que o número de nós em cada caso, já que cada um desses grupos foi obtido adicionando um nó ao grafo de um grupo finito.

Grupos hiperbólicos de Coxeter

Existem infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos que descrevem grupos de reflexão no espaço hiperbólico , notavelmente incluindo os grupos de triângulos hiperbólicos.

Pedidos parciais

A escolha de geradores de reflexão dá origem a uma função de comprimento ℓ em um grupo de Coxeter, ou seja, o número mínimo de usos de geradores necessários para expressar um elemento de grupo; este é precisamente o comprimento da palavra métrica no gráfico de Cayley . Uma expressão para v usando geradores ℓ ( v ) é uma palavra reduzida . Por exemplo, a permutação (13) em S ₃ tem duas palavras reduzidas, (12) (23) (12) e (23) (12) (23). A função define um mapa generalizando o mapa de sinais para o grupo simétrico. ${\ displaystyle v \ to (-1) ^ {\ ell (v)}}$${\ displaystyle G \ to \ {\ pm 1 \},}$

Usando palavras reduzidas, pode-se definir três ordens parciais no grupo Coxeter, a ordem fraca (direita) , a ordem absoluta e a ordem Bruhat (em homenagem a François Bruhat ). Um elemento v excede um elemento u na ordem de Bruhat se alguma (ou equivalentemente, qualquer) palavra reduzida para v contiver uma palavra reduzida para u como substring, onde algumas letras (em qualquer posição) são eliminadas. Na ordem fraca, v  ≥  u se alguma palavra reduzida para v contiver uma palavra reduzida para u como segmento inicial. Na verdade, o comprimento da palavra torna isso um poset graduado . Os diagramas de Hasse correspondentes a essas ordens são objetos de estudo e estão relacionados ao gráfico de Cayley determinado pelos geradores. A ordem absoluta é definida analogamente à ordem fraca, mas com o conjunto / alfabeto gerador consistindo em todos os conjugados dos geradores Coxeter.

Por exemplo, a permutação (1 2 3) em S ₃ tem apenas uma palavra reduzida, (12) (23), então cobre (12) e (23) na ordem Bruhat, mas cobre apenas (12) na ordem fraca.

Homologia

Uma vez que um grupo de Coxeter é gerado por um número finito de elementos de ordem 2, sua abelianização é um grupo abeliano 2 elementar , isto é, é isomórfico à soma direta de várias cópias do grupo cíclico . Isso pode ser reafirmado em termos do primeiro grupo de homologia de . ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle Z_ {2}}$${\ displaystyle W}$

O multiplicador de Schur , igual ao segundo grupo de homologia de , foi calculado em ( Ihara & Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexão finitos e em ( Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexão afins, com um relato mais unificado dado em ( Howlett 1988 ). Em todos os casos, o multiplicador de Schur também é um grupo 2 abeliano elementar. Para cada família infinita de grupos de Weyl finitos ou afins, a classificação de se estabiliza conforme vai para o infinito. ${\ displaystyle M (W)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ {W_ {n} \}}$${\ displaystyle M (W_ {n})}$${\ displaystyle n}$

Veja também

• Grupo Artin – Tits
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grupo de reflexão complexo
• Elemento Coxeter
• Álgebra de Iwahori-Hecke , uma deformação quântica da álgebra de grupo
• Polinômio de Kazhdan-Lusztig
• Elemento mais longo de um grupo Coxeter
• Arranjo supersolucionável

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos

• "Coxeter group" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Coxeter group" . MathWorld .
• Software Jenn para visualizar os gráficos Cayley de grupos Coxeter finitos em até quatro geradores