Heptágono - Heptagon
Heptágono regular | |
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Modelo | Polígono regular |
Arestas e vértices | 7 |
Símbolo Schläfli | {7} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetria | Diédrico (D 7 ), ordem 2 × 7 |
Ângulo interno ( graus ) | ≈128.571 ° |
Polígono duplo | Auto |
Propriedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotóxico |
Em geometria , um heptágono é um polígono de sete lados ou 7-gon.
O heptágono é algumas vezes referido como o septágono , usando "sept-" (uma elisão de septua- , um prefixo numérico derivado do latim , em vez de hepta- , um prefixo numérico derivado do grego ; ambos são cognatos) junto com o sufixo grego "-agon" que significa ângulo.
Heptágono regular
Um heptágono regular , no qual todos os lados e todos os ângulos são iguais, tem ângulos internos de 5π / 7 radianos (128 4 ⁄ 7 graus ). Seu símbolo Schläfli é {7}.
Área
A área ( A ) de um heptágono regular de comprimento lateral a é dada por:
Isso pode ser visto subdividindo o heptágono de lado unitário em sete "fatias de pizza" triangulares com vértices no centro e nos vértices do heptágono e, em seguida, dividindo cada triângulo pela metade usando o apótema como lado comum. O apótema é metade da cotangente de e a área de cada um dos 14 triângulos pequenos é um quarto do apótema.
A expressão algébrica exata é dada em números complexos por:
em que as partes imaginárias se deslocam, deixando uma expressão de valor real. Esta expressão não pode ser reescrita algebricamente sem componentes complexos, uma vez que a função cúbica que serve como o polinômio mínimo de é casus irreducibilis .
A área de um heptágono regular inscrito em um círculo de raio R é, enquanto a área do próprio círculo é, portanto, o heptágono regular preenche aproximadamente 0,8710 de seu círculo circunscrito .
Construção
Como 7 é um primo de Pierpont, mas não um primo de Fermat , o heptágono regular não pode ser construído com compasso e régua, mas pode ser construído com régua e compasso marcados . É o menor polígono regular com esta propriedade. Este tipo de construção é denominado construção neusis . Também é construtível com bússola, régua e trissetor de ângulo. A impossibilidade de construção de régua e compasso decorre da observação de que é um zero da cúbica irredutível x 3 + x 2 - 2 x - 1 . Consequentemente, esse polinômio é o polinômio mínimo de 2cos ( 2π ⁄ 7 ), enquanto o grau do polinômio mínimo para um número construtível deve ser uma potência de 2.
Uma construção neusis do ângulo interno em um heptágono regular. |
Uma animação de uma construção neusis com raio de circunferência , segundo Andrew M. Gleason, baseada na trissecção angular por meio do Tomahawk . Esta construção se baseia no fato de que
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Gerard 't Hooft mostra um heptágono regular feito de apenas 15 tiras de Meccano com barras de tamanhos 8 e 11.
A construção inclui dois triângulos isósceles que mantêm o resto das barras fixas. Do heptágono regular de lado um , menor triângulo isósceles lado e , eo lado mais longo triângulo isósceles d satisfazer
A fórmula é derivada desta fórmula do triângulo heptagonal :
Pequenas construções de heptágonos possíveis:
Heptágono | uma | d | e |
---|---|---|---|
1 | 3 | 4 | 1 |
2 | 8 | 11 | 6 |
3 | 33 | 46 | 29 |
4 | 40 | 53 | 6 |
5 | 55 | 74 | 27 |
Aproximação
Uma aproximação para uso prático com um erro de cerca de 0,2% é mostrada no desenho. É atribuído a Albrecht Dürer . Deixe A ficar na circunferência do circunferência. Desenhe o arco BOC . Em seguida, fornece uma aproximação para a borda do heptágono.
Esta aproximação usa para o lado do heptágono inscrito no círculo unitário enquanto o valor exato é .
Exemplo para ilustrar o erro:
Em um raio de círculo circunscrito r = 1 m , o erro absoluto do 1º lado seria de aproximadamente -1,7 mm
Uma construção de aproximação meccano pode ser feita com onze barras de tamanhos 20, 36 e 45. Esses valores deixam um erro em torno de 0,1%.
Simetria
O heptágono regular pertence ao grupo de pontos D 7h ( notação Schoenflies ), ordem 28. Os elementos de simetria são: um eixo de rotação adequado de 7 vezes C 7 , um eixo de rotação impróprio de 7 vezes, S 7 , 7 planos espelhados verticais, σ v , 7 eixos de rotação de 2 dobras, C 2 , no plano do heptágono e um plano de espelho horizontal, σ h , também no plano do heptágono.
Diagonais e triângulo heptagonal
Do heptágono regular de lado um , menor diagonal b , e mais diagonal c , com a < b < c , satisfazem
- (a equação óptica )
e, portanto
e
Assim - b / c , c / a e a / b satisfazem a equação cúbica. No entanto, nenhuma expressão algébrica com termos puramente reais existe para as soluções desta equação, porque é um exemplo de casus irreducibilis .
Os comprimentos aproximados das diagonais em termos do lado do heptágono regular são dados por
Nos tambem temos
e
Um triângulo heptagonal tem vértices coincidentes com o primeiro, segundo e quarto vértices de um heptágono regular (de um vértice inicial arbitrário) e ângulos e, portanto, seus lados coincidem com um lado e duas diagonais particulares do heptágono regular.
Heptágonos estelares
Dois tipos de heptágonos de estrela ( heptagramas ) podem ser construídos a partir de heptágonos regulares, rotulados pelos símbolos de Schläfli {7/2} e {7/3}, com o divisor sendo o intervalo de conexão.
Heptágonos estrelas azuis, {7/2} e verdes {7/3} dentro de um heptágono vermelho.
Exemplos empíricos
O Reino Unido atualmente, a partir de 2021, tem duas moedas heptagonais , as peças de 50p e 20p , e o dólar de Barbados também é heptagonal. A moeda de 20 cêntimos tem cavidades colocadas de forma semelhante. Estritamente, a forma das moedas é um heptágono de Reuleaux , um heptágono curvilíneo que possui curvas de largura constante ; os lados são curvados para fora para permitir que as moedas rolem suavemente quando são inseridas em uma máquina de venda automática . As moedas de pula do Botswana nas denominações de 2 pula , 1 pula , 50 tebe e 5 tebe também têm a forma de heptágonos de curva equilátero. Moedas na forma de heptágonos de Reuleaux também estão em circulação nas Ilhas Maurício, Emirados Árabes Unidos, Tanzânia, Samoa, Papua Nova Guiné, São Tomé e Príncipe, Haiti, Jamaica, Libéria, Gana, Gâmbia, Jordânia, Jersey, Guernsey, Ilha de Man, Gibraltar, Guiana, Ilhas Salomão, Ilhas Malvinas e Santa Helena. A moeda de 1000 Kwacha da Zâmbia é um verdadeiro heptágono.
A moeda brasileira de 25 cêntimos tem um heptágono inscrito no disco da moeda. Algumas versões antigas do brasão da Geórgia , inclusive nos dias soviéticos , usavam um heptagrama {7/2} como elemento.
Na arquitetura, as plantas heptagonais são muito raras. Um exemplo notável é o Mausoléu do Príncipe Ernst em Stadthagen , Alemanha .
Muitos crachás da polícia nos EUA têm um contorno de heptagrama {7/2}.
Além do prisma heptagonal e do antiprisma heptagonal , nenhum poliedro convexo feito inteiramente de polígonos regulares contém um heptágono como face.
Os heptágonos regulares podem alinhar o plano hiperbólico , como mostrado nesta projeção do modelo de disco de Poincaré :
Gráficos
O gráfico completo K 7 é freqüentemente desenhado como um heptágono regular com todas as 21 arestas conectadas. Este gráfico também representa uma projeção ortográfica dos 7 vértices e 21 arestas do 6-simplex . O polígono de inclinação regular em torno do perímetro é chamado de polígono petrie .
6-simplex (6D) |
Heptágono na natureza
Veja também
Referências
links externos
- Definição e propriedades de um heptágono com animação interativa
- Heptágono de acordo com Johnson
- Outro método de construção aproximado
- Polígonos - Heptágonos
- Aproximação recentemente descoberta e altamente precisa para a construção de um heptágono regular.
- Heptágono, uma construção aproximada como uma animação
- Um heptágono com um determinado lado, uma construção aproximada como uma animação