Polígono Equilateral - Equilateral polygon

Em geometria , um polígono equilátero é um polígono que tem todos os lados do mesmo comprimento. Exceto no caso do triângulo , ele não precisa ser equiangular (não precisa ter todos os ângulos iguais), mas se for um polígono regular . Se o número de lados for pelo menos cinco, um polígono equilátero não precisa ser um polígono convexo : ele pode ser côncavo ou até mesmo se auto-interseccionar .

Exemplos

Todos os polígonos regulares e polígonos transitivos de borda são equiláteros. Quando um polígono equilátero não se cruza e é cíclico (seus vértices estão em um círculo), ele deve ser regular. Um quadrilátero equilátero deve ser convexo; este polígono é um losango (possivelmente um quadrado ).

Pentágono equilátero convexo

Pentágono equilátero côncavo

Um pentágono equilátero convexo pode ser descrito por dois ângulos consecutivos, que juntos determinam os outros ângulos. No entanto, pentágonos equiláteros e polígonos equiláteros com mais de cinco lados também podem ser côncavos e, se pentágonos côncavos são permitidos, dois ângulos não são mais suficientes para determinar a forma do pentágono.

Um polígono tangencial (aquele que tem um incircle tangente a todos os seus lados) é equilátero se e somente se os ângulos alternados são iguais (isto é, ângulos 1, 3, 5, ... são iguais e ângulos 2, 4, .. . são iguais). Assim, se o número de lados n for ímpar, um polígono tangencial é equilátero se e somente se for regular.

Medição

O teorema de Viviani generaliza para polígonos equiláteros: A soma das distâncias perpendiculares de um ponto interior aos lados de um polígono equilátero é independente da localização do ponto interior.

Os principais diagonais de um hexágono cada dividir o hexágono em quadriláteros. Em qualquer hexágono equilátero convexo com lado comum a , existe uma diagonal principal d ₁ tal que

${\ displaystyle {\ frac {d_ {1}} {a}} \ leq 2}$

e uma diagonal principal d _{2 de} modo que

${\ displaystyle {\ frac {d_ {2}} {a}}> {\ sqrt {3}}}$.

Otimalidade

Quatro Reinhardt 15-gons

Quando um polígono equilátero é inscrito em um polígono de Reuleaux , ele forma um polígono de Reinhardt . Dentre todos os polígonos convexos com o mesmo número de lados, esses polígonos têm o maior perímetro possível para seu diâmetro , a maior largura possível para seu diâmetro e a maior largura possível para seu perímetro.

Referências

links externos

• Mídia relacionada a polígonos Equilaterais no Wikimedia Commons
• Triângulo equilateral com animação interativa
• Uma propriedade dos polígonos equiangulares: do que se trata? uma discussão do teorema de Viviani em Cut-the-knot .