Polígono tangencial - Tangential polygon

Na geometria euclidiana , um polígono tangencial , também conhecido como polígono circunscrito , é um polígono convexo que contém um círculo inscrito (também chamado de incircle ). Este é um círculo tangente a cada um dos lados do polígono. O polígono dual de um polígono tangencial é um polígono cíclico , que possui um círculo circunscrito passando por cada um de seus vértices .

Todos os triângulos são tangenciais, assim como todos os polígonos regulares com qualquer número de lados. Um grupo bem estudado de polígonos tangenciais são os quadriláteros tangenciais , que incluem os losangos e as pipas .

Caracterizações

Um polígono convexo tem um incircle se e somente se todas as bissetoras de seus ângulos internos são concorrentes . Esse ponto comum é o incentivo (o centro do círculo interno).

Existe um polígono tangencial de n lados sequenciais a ₁ , ..., a _n se e somente se o sistema de equações

${\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, \ quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, \ quad \ ldots, \ quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}$

tem uma solução ( x ₁ , ..., x _n ) em reais positivos . Se tal solução existir, então x ₁ , ..., x _n são os comprimentos tangentes do polígono (os comprimentos dos vértices aos pontos onde o círculo inchado é tangente aos lados).

Unicidade e não unicidade

Se o número de lados n for ímpar, para qualquer conjunto de comprimentos laterais que satisfaça o critério de existência acima, haverá apenas um polígono tangencial. Mas se n for par, haverá uma infinidade deles. Por exemplo, no caso do quadrilátero onde todos os lados são iguais, podemos ter um losango com qualquer valor dos ângulos agudos, e todos os losangos são tangenciais a um incircle. ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n}}$

Inradius

Se os n lados de um polígono tangencial são a ₁ , ..., a _n , o inradius ( raio do incircle) é

${\ displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {2K} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}$

onde K é a área do polígono es é o semiperímetro . (Como todos os triângulos são tangenciais, esta fórmula se aplica a todos os triângulos.)

Outras propriedades

• Para um polígono tangencial com um número ímpar de lados, todos os lados são iguais se e somente se todos os ângulos forem iguais (então o polígono é regular). Um polígono tangencial com um número par de lados tem todos os lados iguais se e somente se os ângulos alternados forem iguais (ou seja, os ângulos A , C , E , ... são iguais e os ângulos B , D , F , ... são iguais).
• Em um polígono tangencial com um número par de lados, a soma dos comprimentos dos lados ímpares é igual à soma dos comprimentos dos lados pares.
• Um polígono tangencial tem uma área maior do que qualquer outro polígono com o mesmo perímetro e os mesmos ângulos internos na mesma sequência.
• O centróide de qualquer polígono tangencial, o centróide de seus pontos limites e o centro do círculo inscrito são colineares , com o centróide do polígono entre os outros e duas vezes mais longe do incentivo do que do centróide do limite.

Triângulo tangencial

Embora todos os triângulos sejam tangenciais a algum círculo, um triângulo é chamado de triângulo tangencial de um triângulo de referência se as tangências do triângulo tangencial com o círculo também forem os vértices do triângulo de referência.

Quadrilátero tangencial

Hexágono tangencial

• Em um hexágono tangencial ABCDEF , as diagonais principais AD , BE e CF são concorrentes de acordo com o teorema de Brianchon .

Veja também

• Circumgon

Referências