Função de partição (teoria quântica de campo) - Partition function (quantum field theory)

Teoria quântica de campos
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v t e

Na teoria quântica de campos , a função de partição é o funcional gerador de todas as funções de correlação , generalizando a função característica da teoria da probabilidade. ${\ displaystyle Z [J]}$

Geralmente é expresso pelo seguinte integral funcional :

${\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, e ^ {i (S [\ phi] + \ int d ^ {4} xJ (x) \ phi (x))} ~,}$

onde S é a ação funcional .

A função de partição na teoria quântica de campos é um caso especial da função de partição matemática e está relacionada à função de partição estatística na mecânica estatística. A principal diferença é que a coleção contável de variáveis ​​aleatórias vista na definição de tais funções de partição mais simples foi substituída por um conjunto incontável, necessitando assim do uso de integrais funcionais sobre um campo . ${\ displaystyle \ phi}$

Usos

As funções de correlação de n pontos podem ser expressas usando o formalismo integral de caminho como ${\ displaystyle G_ {n}}$

${\ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) \ equiv \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \ exp (iS [\ phi ] / \ hbar)} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ exp (iS [\ phi] / \ hbar)}}}$

onde o lado esquerdo é o produto ordenado pelo tempo usado para calcular os elementos da matriz S. O do lado direito significa integrar sobre todas as configurações de campo clássicas possíveis com uma fase dada pela ação clássica avaliada nessa configuração de campo. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ phi}$${\ displaystyle \ phi (x)}$${\ displaystyle S [\ phi]}$

O funcional de geração pode ser usado para calcular as integrais de caminho acima usando uma função auxiliar (chamada de corrente neste contexto). ${\ displaystyle Z [J]}$${\ displaystyle J}$

Da definição (em um contexto 4D)

${\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi \ exp \ left \ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ left [S [\ phi] + \ int d ^ { 4} xJ (x) \ phi (x)) \ right] \ right \}}$

pode ser visto usando derivadas funcionais que as funções de correlação de n pontos são dadas por ${\ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ... ,, x_ {n})}$

${\ displaystyle G_ {n} (x_ {1}, ..., x_ {n}) = (- i \ hbar) ^ {n} {\ frac {1} {Z [0]}} \ left. { \ frac {\ delta ^ {n} Z} {\ delta J (x_ {1}) \ cdots \ delta J (x_ {n})}} \ right | _ {J = 0}}$;

onde está a derivada funcional . ${\ displaystyle \ delta / \ delta J (x_ {i})}$

Conexão com a mecânica estatística

O funcional gerador é o análogo da teoria quântica de campos da função de partição na mecânica estatística: ele nos diz tudo o que poderíamos querer saber sobre um sistema. O funcional gerador é o Santo Graal de qualquer teoria de campo particular: se você tem uma expressão de forma fechada exata para para uma teoria particular, você a resolveu completamente. ${\ displaystyle Z [J]}$

Ao contrário da função de partição na mecânica estatística, a função de partição na teoria quântica de campos contém um fator extra de i na frente da ação, tornando o integrando complexo, não real. Este i aponta para uma conexão profunda entre a teoria quântica de campos e a teoria estatística de campos. Essa conexão pode ser vista por Wick girando o integrando na exponencial da integral de caminho. O i surge do fato de que a função de partição em QFT calcula amplitudes de probabilidade quântica-mecânica entre estados, que assumem valores em um espaço projetivo complexo ( espaço de Hilbert complexo , mas a ênfase é colocada na palavra projetiva , porque as amplitudes de probabilidade são ainda normalizado para um). Os campos na mecânica estatística são variáveis ​​aleatórias com valor real, em oposição aos operadores em um espaço de Hilbert.

Referências

Leitura adicional

• Jean Zinn-Justin (2009), Scholarpedia , 4 (2): 8674 .
• Kleinert, Hagen , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edição, World Scientific (Singapura, 2004); brochura ISBN  981-238-107-4 (também disponível online: arquivos PDF ) .