S -matriz - S-matrix

Em física , o S -matrix ou matriz de dispersão refere-se o estado inicial e o estado final de um sistema físico passando por um processo de espalhamento . É usado em mecânica quântica , teoria de espalhamento e teoria quântica de campo (QFT).

Mais formalmente, no contexto de QFT, a matriz S é definida como a matriz unitária conectando conjuntos de estados de partícula assintoticamente livres (os estados de entrada e de saída ) no espaço de Hilbert de estados físicos. Um estado multipartículas é considerado livre (não interagindo) se ele se transforma sob as transformações de Lorentz como um produto tensorial , ou produto direto na linguagem da física, de estados de uma partícula conforme prescrito pela equação (1) abaixo. Assintoticamente livre, então, significa que o estado tem essa aparência no passado distante ou no futuro distante.

Embora a matriz S possa ser definida para qualquer fundo ( espaço-tempo ) que seja assintoticamente solucionável e não tenha horizontes de eventos , ela tem uma forma simples no caso do espaço de Minkowski . Neste caso especial, o espaço de Hilbert é um espaço de representações unitárias irredutíveis do grupo não homogêneo de Lorentz (o grupo de Poincaré ); a matriz S é o operador de evolução entre (o passado distante) e (o futuro distante). É definido apenas no limite da densidade de energia zero (ou distância infinita de separação de partículas). ${\ displaystyle t = - \ infty}$${\ displaystyle t = + \ infty}$

Pode-se mostrar que se uma teoria quântica de campos no espaço de Minkowski tem uma lacuna de massa , o estado no passado assintótico e no futuro assintótico são ambos descritos por espaços de Fock .

História

A matriz S foi introduzida pela primeira vez por John Archibald Wheeler no artigo de 1937 "Sobre a descrição matemática de núcleos de luz pelo método de estrutura de grupo ressonante". Neste artigo, Wheeler introduziu uma matriz de espalhamento - uma matriz unitária de coeficientes conectando "o comportamento assintótico de uma solução particular arbitrária [das equações integrais] com o de soluções de uma forma padrão", mas não a desenvolveu completamente.

Na década de 1940, Werner Heisenberg desenvolveu e fundamentou de forma independente a ideia da matriz S. Por causa das divergências problemáticas presentes na teoria quântica de campos naquela época, Heisenberg foi motivado a isolar as características essenciais da teoria que não seriam afetadas por mudanças futuras conforme a teoria se desenvolvesse. Ao fazer isso, ele foi levado a introduzir uma matriz S "característica" unitária.

Hoje, no entanto, os resultados exatos da matriz S são o coroamento da teoria de campo conforme , dos sistemas integráveis e de várias outras áreas da teoria quântica de campos e da teoria das cordas . S -matrizes não são substitutos para um tratamento teórico de campo, mas sim, complementam os resultados finais de tal.

Motivação

Em física de partículas de alta energia, está interessado em calcular a probabilidade de diferentes resultados em experimentos de espalhamento . Esses experimentos podem ser divididos em três estágios:

1. Colidem juntos uma coleção de partículas de entrada (geralmente duas partículas com altas energias).
2. Permitindo que as partículas de entrada interajam. Essas interações podem alterar os tipos de partículas presentes (por exemplo, se um elétron e um pósitron se aniquilarem, eles podem produzir dois fótons ).
3. Medindo as partículas de saída resultantes.

O processo pelo qual as partículas que chegam são transformadas (por meio de sua interação ) nas partículas que saem é chamado de espalhamento . Para a física de partículas, uma teoria física desses processos deve ser capaz de calcular a probabilidade de diferentes partículas de saída quando diferentes partículas de entrada colidem com diferentes energias.

A matriz S na teoria quântica de campos atinge exatamente isso. Supõe-se que a aproximação de densidade de energia pequena é válida nesses casos.

Usar

A matriz S está intimamente relacionada à amplitude da probabilidade de transição na mecânica quântica e às seções transversais de várias interações; os elementos (entradas numéricas individuais) na matriz S são conhecidos como amplitudes de espalhamento . Os pólos da matriz S no plano de energia complexa são identificados com estados vinculados , estados virtuais ou ressonâncias . Cortes de ramificação da matriz S no plano de energia complexa estão associados à abertura de um canal de espalhamento .

Na abordagem hamiltoniana da teoria quântica de campos, a matriz S pode ser calculada como uma exponencial ordenada no tempo do hamiltoniano integrado na imagem de interação ; também pode ser expresso usando as integrais de caminho de Feynman . Em ambos os casos, o cálculo perturbativo da matriz S leva aos diagramas de Feynman .

Em teoria de espalhamento , o S -matrix é um operador de partícula mapeamento livre em estados de partícula livre fora estados ( canais de espalhamento ) na imagem de Heisenberg . Isso é muito útil porque muitas vezes não podemos descrever a interação (pelo menos, não as mais interessantes) exatamente.

Na mecânica quântica unidimensional

Um protótipo simples em que a matriz S é bidimensional é considerado primeiro, para fins de ilustração. Nele, partículas com energia aguda E se espalham a partir de um potencial localizado V de acordo com as regras da mecânica quântica unidimensional. Este modelo simples já exibe alguns recursos de casos mais gerais, mas é mais fácil de manusear.

Cada energia E produz uma matriz S = S ( E ) que depende V . Assim, o total S -matrix poderia, figurativamente falando, ser visualizada, numa base adequada, como uma "matriz contínua" com cada elemento de zero, excepto para 2 × 2 -blocos ao longo da diagonal para um determinado V .

Definição

Considere-se uma localizada uma dimensional barreira de potencial V ( x ) , sujeita a um feixe de partículas quânticas com energia E . Essas partículas incidem na barreira potencial da esquerda para a direita.

As soluções da equação de Schrödinger fora da barreira de potencial são ondas planas dadas por

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {- ikx}}$

para a região à esquerda da barreira potencial, e

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} (x) = Ce ^ {ikx} + De ^ {- ikx}}$

para a região à direita da barreira potencial, onde

${\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}$

é o vetor de onda . A dependência do tempo não é necessária em nossa visão geral e, portanto, é omitida. O termo com coeficiente A representa a onda de entrada, enquanto o termo com coeficiente C representa a onda de saída. B representa a onda refletora. Como definimos a onda de entrada movendo-se na direção positiva (vindo da esquerda), D é zero e pode ser omitido.

A "amplitude de espalhamento", ou seja, a sobreposição de transição das ondas de saída com as ondas de entrada é uma relação linear que define a matriz S ,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}.}$

A relação acima pode ser escrita como

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {out}} = S \ Psi _ {\ rm {in}}}$

Onde

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {out}} = {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}}, \ quad \ Psi _ {\ rm {in}} = {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatriz}}, \ qquad S = {\ begin {pmatriz} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ {22} \ end {pmatriz}}.}$

Os elementos de S caracterizam completamente as propriedades de espalhamento da barreira de potencial V ( x ) .

Propriedade unitária

A propriedade unitária da matriz S está diretamente relacionada à conservação da corrente de probabilidade na mecânica quântica .

A corrente de probabilidade J da função de onda ψ (x) é definida como

${\ displaystyle J = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} - \ psi {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial x}} \ right)}$.

A densidade de corrente à esquerda da barreira é

${\ displaystyle J _ {\ rm {L}} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ left (| A | ^ {2} - | B | ^ {2} \ right)}$,

enquanto a densidade de corrente à direita da barreira é

${\ displaystyle J _ {\ rm {R}} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ left (| C | ^ {2} - | D | ^ {2} \ right)}$.

Para a conservação da densidade de corrente de probabilidade, J _L = J _R . Isso implica que a matriz S é uma matriz unitária .

Prova

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & J _ {\ rm {L}} = J _ {\ rm {R}} \\ & | A | ^ {2} - | B | ^ {2} = | C | ^ { 2} - | D | ^ {2} \\ & | B | ^ {2} + | C | ^ {2} = | A | ^ {2} + | D | ^ {2} \\ & \ Psi _ {\ rm {out}} ^ {\ dagger} \ Psi _ {\ rm {out}} = \ Psi _ {\ rm {in}} ^ {\ dagger} \ Psi _ {\ rm {in}} \\ & \ Psi _ {\ rm {in}} ^ {\ dagger} S ^ {\ dagger} S \ Psi _ {\ rm {in}} = \ Psi _ {\ rm {in}} ^ {\ dagger} \ Psi _ {\ rm {in}} \\ & S ^ {\ dagger} S = I \\\ fim {alinhado}}}$

Simetria de reversão de tempo

Se o potencial V ( x ) for real, o sistema possui simetria de reversão no tempo . Sob esta condição, se ψ (x) é uma solução da equação de Schrödinger, então ψ * (x) também é uma solução.

A solução reversa no tempo é dada por

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} ^ {*} (x) = A ^ {*} e ^ {- ikx} + B ^ {*} e ^ {ikx}}$

para a região à esquerda para a barreira potencial, e

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} ^ {*} (x) = C ^ {*} e ^ {- ikx} + D ^ {*} e ^ {ikx}}$

para a região à direita da barreira potencial, onde os termos com coeficiente B * , C * representam a onda de entrada e os termos com coeficiente A * , D * representam a onda de saída.

Eles são novamente relacionados pela matriz S ,

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A ^ {*} \\ D ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} & S_ {12} \\ S_ {21} & S_ { 22} \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatriz} B ^ {*} \\ C ^ {*} \ end {pmatriz}} \,}$

isso é,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {in}} ^ {*} = S \ Psi _ {\ rm {out}} ^ {*}.}$

Agora, as relações

${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {in}} ^ {*} = S \ Psi _ {\ rm {out}} ^ {*}, \ quad \ Psi _ {\ rm {out}} = S \ Psi _ {\ rm {in}}}$

juntos produzem uma condição

${\ displaystyle S ^ {*} S = I}$

Esta condição, em conjunto com a relação de unitariedade, implica que a matriz S é simétrica, como resultado da simetria de reversão do tempo,

${\ displaystyle S ^ {T} = S.}$

Coeficiente de transmissão e coeficiente de reflexão

O coeficiente de transmissão da esquerda da barreira de potencial é, quando D = 0 ,

${\ displaystyle T _ {\ rm {L}} = {\ frac {| C | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {21} | ^ {2}.}$

O coeficiente de reflexão da esquerda da barreira de potencial é, quando D = 0 ,

${\ displaystyle R _ {\ rm {L}} = {\ frac {| B | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {11} | ^ {2}.}$

Da mesma forma, o coeficiente de transmissão da direita da barreira potencial é, quando A = 0 ,

${\ displaystyle T _ {\ rm {R}} = {\ frac {| B | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {12} | ^ {2}.}$

O coeficiente de reflexão da direita da barreira potencial é, quando A = 0 ,

${\ displaystyle R _ {\ rm {R}} = {\ frac {| C | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {22} | ^ {2}.}$

As relações entre os coeficientes de transmissão e reflexão são

${\ displaystyle T _ {\ rm {L}} + R _ {\ rm {L}} = 1}$

e

${\ displaystyle T _ {\ rm {R}} + R _ {\ rm {R}} = 1.}$

Essa identidade é uma consequência da propriedade unitária da matriz S.

Teorema óptico em uma dimensão

No caso de partículas livres V ( x ) = 0 , a matriz S é

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Sempre que V ( x ) é diferente de zero, no entanto, há uma saída da matriz S da forma acima, para

${\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 2ir & 1 + 2it \\ 1 + 2it & 2ir ^ {*} {\ frac {1 + 2it} {1-2it ^ {*}}} \ end {pmatrix}}.}$

Esta partida é parametrizada por duas funções complexas de energia, r e t . Da unitariedade também segue uma relação entre essas duas funções,

${\ displaystyle | r | ^ {2} + | t | ^ {2} = \ operatorname {Im} (t).}$

O análogo dessa identidade em três dimensões é conhecido como teorema óptico .

Definição na teoria quântica de campos

Imagem de interação

Uma maneira direta de definir a matriz S começa considerando a imagem de interação . Deixe o hamiltoniano H ser dividido em parte livre de H ₀ e a interacção V , H = H ₀ + V . Neste quadro, os operadores se comportam como operadores de campo livres e os vetores de estado possuem uma dinâmica de acordo com a interação V . Deixar

${\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}$

denotam um estado que evoluiu de um estado inicial livre

${\ displaystyle \ left | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle.}$

O elemento S -matriz é então definido como a projeção deste estado no estado final

${\ displaystyle \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ right |.}$

Assim

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} \ equiv \ lim _ {t \ rightarrow + \ infty} \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | \ Psi (t) \ right \ rangle \ equiv \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ right | S \ left | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle,}$

onde S é o S-operador . A grande vantagem desta definição é que o operador de evolução no tempo U que evolui um estado na imagem de interação é formalmente conhecido,

${\ displaystyle U (t, t_ {0}) = Te ^ {- i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} d \ tau V (\ tau)},}$

onde T denota o produto ordenado por tempo . Expresso neste operador,

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ lim _ {t_ {2} \ rightarrow + \ infty} \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow - \ infty} \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ right | U (t_ {2}, t_ {1}) \ left | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle,}$

do qual

${\ displaystyle S = U (\ infty, - \ infty).}$

Expandir usando o conhecimento sobre U dá uma série Dyson ,

${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {n} T \ left [V (t_ {1}) \ cdots V (t_ {n}) \ right],}$

ou, se V vier como uma densidade hamiltoniana,

${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots { \ mathcal {H}} (t_ {n}) \ direita].}$

Sendo um tipo especial de operador de evolução no tempo, S é unitário. Para qualquer estado inicial e qualquer estado final que se encontre

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} | S | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ Phi _ {\ rm {f}} \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ { 1}) \ cdots {\ mathcal {H}} (t_ {n}) \ right] \ right | \ Phi _ {\ rm {i}} \ right \ rangle.}$

Essa abordagem é um tanto ingênua, pois os problemas potenciais são varridos para debaixo do tapete. Isso é intencional. A abordagem funciona na prática e algumas das questões técnicas são abordadas nas outras seções.

Estados dentro e fora

Aqui, uma abordagem um pouco mais rigorosa é feita a fim de abordar problemas potenciais que foram desconsiderados na abordagem de imagem de interação acima. O resultado final é, obviamente, o mesmo de seguir o caminho mais rápido. Para isso, são necessárias as noções de estados de entrada e saída. Eles serão desenvolvidos de duas maneiras, a partir do vácuo e a partir de estados de partículas livres. Desnecessário dizer que as duas abordagens são equivalentes, mas iluminam as questões de ângulos diferentes.

De vacua

Se a ^† ( k ) é um operador de criação , seu adjunto hermitiano é um operador de aniquilação e destrói o vácuo,

${\ displaystyle a (k) \ left | *, 0 \ right \ rangle = 0.}$

Na notação de Dirac , defina

${\ displaystyle | *, 0 \ rangle}$

como um estado quântico de vácuo , ou seja, um estado sem partículas reais. O asterisco significa que nem todos os vácuos são necessariamente iguais e certamente não são iguais ao estado zero do espaço de Hilbert 0 . Todos os estados de vácuo são assumidos como invariante de Poincaré , invariância sob translações, rotações e impulsos, formalmente,

${\ displaystyle P ^ {\ mu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle, \ quad M ^ {\ mu \ nu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle,}$

onde P ^μ é o gerador da tradução no espaço e no tempo, e M ^μν é o gerador das transformações de Lorentz . Assim, a descrição do vácuo é independente do quadro de referência. Associado ao entrar e sair estados a serem definidos são os que entram e saem operadores de campo (aka campos ) Φ _i e Φ _o . A atenção está aqui voltada para o caso mais simples, o de uma teoria escalar , a fim de exemplificar com o mínimo de confusão possível da notação. Os campos de entrada e saída satisfazem

${\ displaystyle (\ Box ^ {2} + m ^ {2}) \ phi _ {\ rm {i, o}} (x) = 0,}$

a equação livre de Klein – Gordon . Esses campos são postulados como tendo as mesmas relações de comutação de tempo igual (ETCR) que os campos livres,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {[\ phi _ {\ rm {i, o}} (x), \ pi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} & = i \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}), \\ {[\ phi _ {\ rm {i, o}} (x), \ phi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} & = {[\ pi _ {\ rm {i, o}} (x), \ pi _ {\ rm {i, o}} (y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} = 0 \ end {alinhado}},}$

onde π _{i , j} é o campo canonicamente conjugado a Φ _{i , j} . Associados aos campos de entrada e saída estão dois conjuntos de operadores de criação e aniquilação, a ^† _i ( k ) e a ^† _f ( k ) , agindo no mesmo espaço de Hilbert , em dois conjuntos completos distintos ( espaços Fock ; espaço inicial i , espaço final f ). Esses operadores atendem às regras de comutação usuais,

${\ displaystyle {\ begin {align} {[a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p}), a _ {\ rm {i, o}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p} ')]} & = i \ delta (\ mathbf {p} - \ mathbf {p'}), \\ {[a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p}), a _ {\ rm {i, o}} (\ mathbf {p '})]} & = {[a _ {\ rm {i, o}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}), a _ {\ rm {i, o}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p '})]} = 0. \ end {alinhado}}}$

A ação dos operadores de criação em seus respectivos vacua e estados com um número finito de partículas nos estados de entrada e saída é dada por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle & = a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle, \\\ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { n} \ right \ rangle & = a _ {\ rm {f}} ^ {\ dagger} (p_ {1}) \ cdots a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {n}) \ left | f, 0 \ right \ rangle, \ end {alinhado}}}$

onde as questões de normalização foram ignoradas. Consulte a próxima seção para uma descrição detalhada de como um estado geral de n- partícula é normalizado. Os espaços inicial e final são definidos por

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {i}} = \ operatorname {span} \ {\ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | \ mathrm {i}, 0 \ right \ rangle \},}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {\ rm {f}} = \ operatorname {span} \ {\ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = a _ {\ rm {f}} ^ {\ dagger} (p_ {1}) \ cdots a _ {\ rm {f}} ^ {\ dagger} (p_ {n}) \ left | \ mathrm {f}, 0 \ right \ rangle \}.}$

Os estados assintóticos são assumidos como tendo propriedades de transformação de Poincaré bem definidas, ou seja, eles são considerados transformados como um produto direto de estados de uma partícula. Esta é uma característica de um campo não interativo. Disto se segue que os estados assintóticos são todos os autoestados do operador momentum P ^μ ,

${\ displaystyle P ^ {\ mu} \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle = k_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + k_ {m} ^ {\ mu} \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle, \ quad P ^ {\ mu} \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = p_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + p_ {n} ^ {\ mu} \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { n} \ right \ rangle.}$

Em particular, eles são auto-estados do hamiltoniano completo,

${\ displaystyle H = P ^ {0}.}$

O vácuo é geralmente postulado como estável e único,

${\ displaystyle | \ mathrm {i}, 0 \ rangle = | \ mathrm {f}, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle \ equiv | 0 \ rangle.}$

A interação é assumida como ligada e desligada adiabaticamente.

Foto de Heisenberg

A imagem de Heisenberg é empregada daqui em diante. Nesta foto, os estados são independentes do tempo. Um vetor de estado de Heisenberg, portanto, representa a história completa do espaço-tempo de um sistema de partículas. A marcação dos estados de entrada e saída refere-se à aparência assintótica. Um estado Ψ _{α , in} é caracterizado por como t → −∞ o conteúdo da partícula é aquele representado coletivamente por α . Da mesma forma, um estado Ψ _{β , out} terá o conteúdo da partícula representado por β para t → + ∞ . Partindo do pressuposto de que os estados de entrada e saída, bem como os estados de interação, habitam o mesmo espaço de Hilbert e assumindo a integridade dos estados de entrada e saída normalizados (postulado de completude assintótica), os estados iniciais podem ser expandidos em uma base de final estados (ou vice-versa). A expressão explícita é fornecida posteriormente, após mais notação e terminologia terem sido introduzidas. Os coeficientes de expansão são precisamente os elementos da matriz S a serem definidos abaixo.

Embora os vetores de estado sejam constantes no tempo na imagem de Heisenberg, os estados físicos que eles representam não são . Se um sistema está em um estado Ψ no tempo t = 0 , então ele será encontrado no estado U ( τ ) Ψ = e ^{- iHτ} Ψ no tempo t = τ . Este não é (necessariamente) o mesmo vetor de estado de Heisenberg, mas é um vetor de estado equivalente , o que significa que, na medição, será considerado um dos estados finais da expansão com coeficiente diferente de zero. Deixando τ variar, vê-se que o Ψ observado (não medido) é de fato o vetor de estado da imagem de Schrödinger . Repetindo a medição o suficiente muitas vezes e calculando a média, pode-se dizer que o mesmo vetor de estado é de fato encontrado no tempo t = τ como no tempo t = 0 . Isso reflete a expansão acima de um estado interno para outros estados.

De estados de partículas livres

Para este ponto de vista, deve-se considerar como o experimento de espalhamento arquetípico é realizado. As partículas iniciais são preparadas em estados bem definidos, onde estão tão distantes que não interagem. Eles são feitos de alguma forma para interagir, e as partículas finais são registradas quando elas estão tão distantes que pararam de interagir. A ideia é procurar na imagem de Heisenberg os estados que no passado distante tinham a aparência de estados de partículas livres. Este será o nos estados. Da mesma forma, um estado de saída será um estado que, em um futuro distante, terá a aparência de um estado de partícula livre.

A notação da referência geral para esta seção, Weinberg (2002) , será usada. Um estado geral de multipartículas sem interação é dado por

${\ displaystyle \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots},}$

Onde

• p é momentum,
• σ é a componente z de spin ou, no caso sem massa, helicidade ,
• n é uma espécie de partícula.

Esses estados são normalizados como

${\ displaystyle \ left (\ Psi _ {p_ {1} '\ sigma _ {1}' n_ {1} '; p_ {2}' \ sigma _ {2} 'n_ {2}'; \ cdots}, \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots} \ right) = \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} _ {1} '- \ mathbf {p} _ {1}) \ delta _ {\ sigma _ {1}' \ sigma _ {1}} \ delta _ {n_ {1} 'n_ {1} } \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} _ {2} '- \ mathbf {p} _ {2}) \ delta _ {\ sigma _ {2}' \ sigma _ {2}} \ delta _ {n_ {2} 'n_ {2}} \ cdots \ quad \ pm {\ text {permutações}}.}$

As permutações funcionam como tal; se s ∈ S _k é uma permutação de objetos k (para um estado de partícula k ) tal que

${\ displaystyle n_ {s (i)} '= n_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq k,}$

então, resulta um termo diferente de zero. O sinal é mais, a menos que s envolva um número ímpar de transposições de férmions, caso em que é menos. A notação é geralmente abreviada, deixando uma letra grega representar a coleção inteira que descreve o estado. Na forma abreviada, a normalização torna-se

${\ displaystyle \ left (\ Psi _ {\ alpha '}, \ Psi _ {\ alpha} \ right) = \ delta (\ alpha' - \ alpha).}$

Ao integrar sobre estados de partícula livre, escreve-se nesta notação

${\ displaystyle d \ alpha \ cdots \ equiv \ sum _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2} \ cdots,}$

onde a soma inclui apenas termos tais que nenhum dois termos são iguais módulo a permutação dos índices de tipo de partícula. Os conjuntos de estados procurados devem ser completos . Isso é expresso como

${\ displaystyle \ Psi = \ int d \ alpha \ \ Psi _ {\ alpha} \ left (\ Psi _ {\ alpha}, \ Psi \ right),}$

que poderia ser parafraseado como

${\ displaystyle \ int d \ alpha \ \ left | \ Psi _ {\ alpha} \ right \ rangle \ left \ langle \ Psi _ {\ alpha} \ right | = 1,}$

onde para cada α fixo , o lado direito é um operador de projeção no estado α . Sob uma transformação de Lorentz não homogênea (Λ, a ) , o campo se transforma de acordo com a regra

${\ displaystyle U (\ Lambda, a) \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2} \ cdots} = e ^ { -ia _ {\ mu} ((\ Lambda p_ {1}) ^ {\ mu} + (\ Lambda p_ {2}) ^ {\ mu} + \ cdots)} {\ sqrt {\ frac {(\ Lambda p_ {1}) ^ {0} (\ Lambda p_ {2}) ^ {0} \ cdots} {p_ {1} ^ {0} p_ {2} ^ {0} \ cdots}}} \ sum _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {2}' \ cdots} D _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {1}} ^ {(j_ {1})} (W (\ Lambda, p_ {1 })) D _ {\ sigma _ {2} '\ sigma _ {2}} ^ {(j_ {2})} (W (\ Lambda, p_ {2})) \ cdots \ Psi _ {\ Lambda p_ { 1} \ sigma _ {1} 'n_ {1}; \ Lambda p_ {2} \ sigma _ {2}' n_ {2} \ cdots},}$

( 1 )

onde W (Λ, p ) é a rotação de Wigner e D ^{( j )} é a representação (2 j + 1) -dimensional de SO (3) . Ao colocar Λ = 1, a = ( τ , 0, 0, 0) , para o qual U é exp ( iHτ ) , em (1) , segue-se imediatamente que

${\ displaystyle H \ Psi = E _ {\ alpha} \ Psi, \ quad E _ {\ alpha} = p_ {1} ^ {0} + p_ {2} ^ {0} + \ cdots,}$

assim, os estados de entrada e saída procurados são os autoestados do hamiltoniano completo que não interagem necessariamente devido à ausência de termos de energia de partícula mistos. A discussão na seção acima sugere que os estados in Ψ ⁺ e os estados out Ψ ^- devem ser tais que

${\ displaystyle e ^ {- iH \ tau} \ int d \ alpha \ g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ int d \ alpha \ e ^ {- iE _ {\ alpha} \ tau} g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}}$

para grande positivo e negativo τ tem a aparência do pacote correspondente, representado por g , de estados de partícula livre, g assumido suave e adequadamente localizado no momento. Pacotes de ondas são necessários, caso contrário, a evolução do tempo produzirá apenas um fator de fase indicando partículas livres, o que não pode ser o caso. O lado direito segue que os estados de entrada e saída são autoestados do hamiltoniano acima. Para formalizar este requisito, suponha que o hamiltoniano H completo pode ser dividido em dois termos, um hamiltoniano de partícula livre H ₀ e uma interação V , H = H ₀ + V tal que os autoestados Φ _γ de H ₀ têm a mesma aparência que os estados internos e externos em relação à normalização e propriedades de transformação de Lorentz,

${\ displaystyle H_ {0} \ Phi _ {\ alpha} = E _ {\ alpha} \ Phi _ {\ alpha},}$

${\ displaystyle (\ Phi _ {\ alpha} ', \ Phi _ {\ alpha}) = \ delta (\ alpha' - \ alpha).}$

Os estados de entrada e saída são definidos como autoestados do hamiltoniano completo,

${\ displaystyle H \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = E _ {\ alpha} \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm},}$

satisfatório

${\ displaystyle e ^ {- iH \ tau} \ int d \ alpha \ g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} \ rightarrow e ^ {- iH_ {0} \ tau} \ int d \ alpha \ g (\ alpha) \ Phi _ {\ alpha}.}$

para τ → −∞ ou τ → + ∞ respectivamente. Definir

${\ displaystyle \ Omega (\ tau) \ equiv e ^ {+ iH \ tau} e ^ {- iH_ {0} \ tau},}$

então

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Omega (\ mp \ infty) \ Phi _ {\ alpha}.}$

Esta última expressão funcionará apenas usando pacotes de onda. A partir dessas definições, segue-se que os estados de entrada e saída são normalizados da mesma forma que os estados de partícula livre,

${\ displaystyle (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {+}) = (\ Phi _ {\ beta}, \ Phi _ {\ alpha}) = (\ Psi _ {\ beta} ^ {-}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) = \ delta (\ beta - \ alpha),}$

e os três conjuntos são unitariamente equivalentes. Agora reescreva a equação do valor próprio,

${\ displaystyle (E _ {\ alpha} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ pm i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} + V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm},}$

onde os termos ± iε foram adicionados para tornar o operador no LHS invertível. Uma vez que os estados de entrada e saída se reduzem aos estados de partícula livre para V → 0 , coloque

${\ displaystyle i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = i \ epsilon \ Phi _ {\ alpha}}$

no RHS para obter

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + (E _ {\ alpha} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) ^ {- 1} V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}.}$

Em seguida, use a integridade dos estados de partículas livres,

${\ displaystyle V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ int d \ beta \ (\ Phi _ {\ beta}, V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}) \ Phi _ { \ beta} \ equiv \ int d \ beta \ T _ {\ beta \ alpha} ^ {\ pm} \ Phi _ {\ beta},}$

para finalmente obter

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + \ int d \ beta \ {\ frac {T _ {\ beta \ alpha} ^ {\ pm} \ Phi _ { \ beta}} {E _ {\ alpha} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}.}$

Aqui, H ₀ foi substituído por seu autovalor nos estados de partícula livre. Esta é a equação de Lippmann-Schwinger .

Em estados expressos como estados externos

Os estados iniciais podem ser expandidos com base nos estados finais (ou vice-versa). Usando a relação de completude,

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} = \ int d \ beta (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+} = \ int d \ beta | \ Psi _ {\ beta} ^ {+} \ rangle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {- } \ rangle = \ sum _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2 } \ cdots (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+},}$

${\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} = \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | \ mathrm {f }, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ {4} p_ {m} C_ {m} ( p_ {1} \ ldots p_ {m}) \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} ~,}$

onde | C _m | ² é a probabilidade de que a interação se transforme

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}}$

em

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ beta} ^ {+}}$.

Pelas regras comuns da mecânica quântica,

${\ displaystyle C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) = \ left \ langle \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle = (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-})}$

e um pode escrever

${\ displaystyle \ left | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | \ mathrm {f}, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ {4} p_ {m} \ left | \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ { m} \ right \ rangle} \ left \ langle \ mathrm {f}, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | \ mathrm {i}, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle ~. }$

Os coeficientes de expansão são precisamente os elementos da matriz S a serem definidos abaixo.

A matriz S

A matriz S agora é definida por

${\ displaystyle S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = \ langle \ mathrm {f}, \ beta | \ mathrm {i}, \ alpha \ rangle, \ qquad | \ mathrm {f}, \ beta \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {\ rm {f}}, \ quad | \ mathrm {i} , \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {\ rm {i}}.}$

Aqui α e β são atalhos que representam o conteúdo da partícula, mas suprime os rótulos individuais. Associado à matriz S está o operador S S definido por

${\ displaystyle \ langle \ Phi _ {\ beta} | S | \ Phi _ {\ alpha} \ rangle \ equiv S _ {\ beta \ alpha},}$

onde os Φ _γ são estados de partículas livres. Esta definição está de acordo com a abordagem direta usada na imagem de interação. Além disso, devido à equivalência unitária,

${\ displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle.}$

Como um requisito físico, S deve ser um operador unitário . Esta é uma declaração de conservação de probabilidade na teoria quântica de campos. Mas

${\ displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle.}$

Por completude então,

${\ displaystyle S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle,}$

então S é a transformação unitária de estados internos em estados externos. A invariância de Lorentz é outro requisito crucial na matriz S. O S-operador representa o quântico transformação canónica do inicial em estados para os finais fora estados. Além disso, S deixa o estado de vácuo invariante e transforma os campos no espaço em campos fora do espaço,

${\ displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ phi _ {\ mathrm {f}} = S \ phi _ {\ mathrm {i}} S ^ {- 1} ~.}$

Em termos de operadores de criação e aniquilação, isso se torna

${\ displaystyle a _ {\ rm {f}} (p) = Sa _ {\ rm {i}} (p) S ^ {- 1}, a _ {\ rm {f}} ^ {\ dagger} (p) = Sa _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (p) S ^ {- 1},}$

portanto

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S | \ mathrm {i}, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle & = Sa _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger } (k_ {1}) a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = Sa _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {1}) S ^ {- 1} Sa _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {2}) S ^ {- 1} \ cdots Sa _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} (k_ {n}) S ^ {- 1} S | 0 \ rangle \\ & = a _ {\ rm {o}} ^ {\ dagger } (k_ {1}) a _ {\ rm {o}} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {o}} ^ {\ dagger} (k_ {n}) S | 0 \ rangle = a _ {\ rm {o}} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a _ {\ rm {o}} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a _ {\ rm {o} } ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = | \ mathrm {o}, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle. \ end {alinhados}} }$

Uma expressão semelhante é válida quando S opera para a esquerda em um estado de saída. Isso significa que a matriz S pode ser expressa como

${\ displaystyle S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ mathrm {o}, \ beta | \ mathrm {i}, \ alpha \ rangle = \ langle \ mathrm {i}, \ beta | S | \ mathrm {i }, \ alpha \ rangle = \ langle \ mathrm {o}, \ beta | S | \ mathrm {o}, \ alpha \ rangle.}$

Se S descreve uma interação corretamente, essas propriedades também devem ser verdadeiras:

• Se o sistema for constituído por uma única partícula no momento próprio eigenstate | k ⟩ , então S | k ⟩ = | k ⟩ . Isso decorre do cálculo acima como um caso especial.
• O elemento da matriz S pode ser diferente de zero apenas onde o estado de saída tem o mesmo momento total que o estado de entrada. Isso segue da invariância de Lorentz necessária da matriz S.

Operador de evolução U

Defina um operador de criação e aniquilação dependente do tempo da seguinte forma,

${\ displaystyle a ^ {\ dagger} \ left (k, t \ right) = U ^ {- 1} (t) a _ {\ rm {i}} ^ {\ dagger} \ left (k \ right) U \ esquerda (t \ direita)}$

${\ displaystyle a \ left (k, t \ right) = U ^ {- 1} (t) a _ {\ rm {i}} \ left (k \ right) U \ left (t \ right) ~,}$

então, para os campos,

${\ displaystyle \ phi _ {\ rm {f}} = U ^ {- 1} (\ infty) \ phi _ {\ rm {i}} U (\ infty) = S ^ {- 1} \ phi _ { \ rm {i}} S ~,}$

Onde

${\ displaystyle S = e ^ {i \ alpha} \, U (\ infty)}$ .

Nós permitimos uma diferença de fase, dada por

${\ displaystyle e ^ {i \ alpha} = \ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle ^ {- 1} ~,}$

porque para S ,

${\ displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle \ Longrightarrow \ left \ langle 0 | S | 0 \ right \ rangle = \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle = 1 ~.}$

Substituindo a expressão explícita por U , tem-se

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {\ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle}} {\ mathcal {T}} e ^ {- i \ int {d \ tau H_ {\ rm {int}} (\ tau)}} ~,}$

onde está a parte de interação do hamiltoniano e é o ordenamento do tempo. ${\ displaystyle H _ {\ rm {int}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Por inspeção, pode-se ver que esta fórmula não é explicitamente covariante.

Dyson series

A expressão mais amplamente usada para a matriz S é a série Dyson. Isso expressa o operador S -matrix como a série :

${\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int \ cdots \ int d ^ {4} x_ {1 } d ^ {4} x_ {2} \ ldots d ^ {4} x_ {n} T [{\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {1}) {\ mathcal {H} } _ {\ rm {int}} (x_ {2}) \ cdots {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {n})]}$

Onde:

• ${\ displaystyle T [\ cdots]}$denota ordenação de tempo ,
• ${\ displaystyle \; {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x)}$denota a densidade hamiltoniana de interação que descreve as interações na teoria.

A não- S -matriz

Uma vez que a transformação de partículas em buraco negro para radiação de Hawking não pode ser descrita com uma matriz S , Stephen Hawking propôs uma " matriz não S ", para a qual ele usou o cifrão, e que, portanto, também foi chamada de "matriz dólar "

Veja também

• Diagrama de Feynman
• Fórmula de redução LSZ
• Teorema de Wick
• Teorema de Haag
• Imagem de interação

Observações

Notas

Referências

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• Barut, Asim Orhan (1967). A Teoria da Matriz de Dispersão para as interações de partículas fundamentais . Macmillan.
• Albert Messiah (1999). Mecânica Quântica . Publicações de Dover. ISBN 0-486-40924-4.
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