Teoria de calibre - Gauge theory

Na física , uma teoria de gauge é um tipo de teoria de campo em que o Lagrangiano (e, portanto, a dinâmica do próprio sistema) não muda (é invariante ) sob transformações locais de acordo com certas famílias suaves de operações ( grupos de Lie ).

O termo calibre refere-se a qualquer formalismo matemático específico para regular graus de liberdade redundantes no Lagrangiano de um sistema físico. As transformações entre medidores possíveis, chamadas transformações de medidor , formam um grupo de Lie - conhecido como grupo de simetria ou grupo de medidor da teoria. Associada a qualquer grupo de Lie está a álgebra de Lie dos geradores de grupo . Para cada gerador de grupo, necessariamente surge um campo correspondente (geralmente um campo vetorial ) chamado campo de medidor . Os campos de calibre são incluídos no Lagrangiano para garantir sua invariância sob as transformações do grupo local (chamada invariância de calibre ). Quando tal teoria é quantizada , os quanta dos campos de calibre são chamados de bósons de calibre . Se o grupo de simetria não for comutativo, então a teoria de calibre é referida como teoria de calibre não abeliana , sendo o exemplo usual a teoria de Yang-Mills .

Muitas teorias poderosas na física são descritas por Lagrangians que são invariantes sob alguns grupos de transformação de simetria. Quando são invariáveis ​​sob uma transformação realizada de forma idêntica em todos os pontos do espaço - tempo em que ocorrem os processos físicos, diz-se que têm uma simetria global . A simetria local , a pedra angular das teorias de calibre, é uma restrição mais forte. Na verdade, uma simetria global é apenas uma simetria local cujos parâmetros de grupo são fixos no espaço-tempo (da mesma forma que um valor constante pode ser entendido como função de um determinado parâmetro, cuja saída é sempre a mesma).

As teorias de calibre são importantes como as teorias de campo bem-sucedidas que explicam a dinâmica das partículas elementares . A eletrodinâmica quântica é uma teoria de calibre abeliana com o grupo de simetria U (1) e tem um campo de calibre, o potencial eletromagnético de quatro , com o fóton sendo o bóson de calibre. O Modelo Padrão é uma teoria de calibre não abeliana com o grupo de simetria U (1) × SU (2) × SU (3) e tem um total de doze bósons de calibre: o fóton , três bósons fracos e oito glúons .

As teorias de calibre também são importantes para explicar a gravitação na teoria da relatividade geral . Seu caso é um tanto incomum, pois o campo de medida é um tensor, o tensor Lanczos . As teorias da gravidade quântica , começando com a teoria da gravitação de calibre , também postulam a existência de um bóson de calibre conhecido como gráviton . Simetrias de calibre podem ser vistas como análogas ao princípio da covariância geral da relatividade geral, em que o sistema de coordenadas pode ser escolhido livremente sob difeomorfismos arbitrários de espaço-tempo. Tanto a invariância de calibre quanto a invariância de difeomorfismo refletem uma redundância na descrição do sistema. Uma teoria alternativa da gravitação, a teoria da gravidade de calibre , substitui o princípio da covariância geral por um princípio de calibre verdadeiro com novos campos de calibre.

Historicamente, essas idéias foram apresentadas pela primeira vez no contexto do eletromagnetismo clássico e, mais tarde, na relatividade geral . No entanto, a importância moderna das simetrias de calibre apareceu primeiro na mecânica quântica relativística dos elétrons  - eletrodinâmica quântica , elaborada a seguir. Hoje, as teorias de calibre são úteis na matéria condensada , física nuclear e de alta energia, entre outros subcampos.

História

A teoria de campo mais antiga com uma simetria de calibre foi a formulação de Maxwell , em 1864-65, da eletrodinâmica (" Uma Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético "), que afirmava que qualquer campo vetorial cuja ondulação desaparece - e pode, portanto, normalmente ser escrito como um gradiente de uma função - pode ser adicionado ao potencial vetorial sem afetar o campo magnético . A importância dessa simetria permaneceu despercebida nas primeiras formulações. Da mesma forma despercebido, Hilbert derivou as equações de campo de Einstein postulando a invariância da ação sob uma transformação geral de coordenadas. Mais tarde, Hermann Weyl , em uma tentativa de unificar a relatividade geral e o eletromagnetismo , conjeturou que Eichinvarianz ou invariância sob a mudança de escala (ou "calibre") também pode ser uma simetria local da relatividade geral. Após o desenvolvimento da mecânica quântica , Weyl, Vladimir Fock e Fritz London modificaram o calibre substituindo o fator de escala por uma quantidade complexa e transformaram a transformação da escala em uma mudança de fase , que é uma simetria de calibre U (1). Isso explicava o efeito do campo eletromagnético na função de onda de uma partícula mecânica quântica carregada . Esta foi a primeira teoria de calibre amplamente reconhecida, popularizada por Pauli em 1941.

Em 1954, tentando resolver algumas das grandes confusões na física de partículas elementares , Chen Ning Yang e Robert Mills introduziram teorias de calibre não abelianas como modelos para entender a forte interação que mantém os núcleos unidos nos núcleos atômicos . (Ronald Shaw, trabalhando com Abdus Salam , introduziu independentemente a mesma noção em sua tese de doutorado.) Generalizando a invariância de calibre do eletromagnetismo, eles tentaram construir uma teoria baseada na ação do grupo de simetria (não abeliano) SU (2) no dupleto isospin de prótons e nêutrons . Isso é semelhante à ação do grupo U (1) nos campos spinor da eletrodinâmica quântica . Na física de partículas, a ênfase estava no uso de teorias de calibre quantizado .

Essa ideia mais tarde encontrou aplicação na teoria quântica do campo da força fraca e sua unificação com o eletromagnetismo na teoria eletrofraca . As teorias de calibre tornaram-se ainda mais atraentes quando se percebeu que as teorias de calibre não abelianas reproduziam uma característica chamada liberdade assintótica . A liberdade assintótica era considerada uma característica importante de interações fortes. Isso motivou a busca por uma teoria de medidor de força forte. Essa teoria, agora conhecida como cromodinâmica quântica , é uma teoria de calibre com a ação do grupo SU (3) no tripleto de cores dos quarks . O modelo padrão unifica a descrição do eletromagnetismo, interações fracas e interações fortes na linguagem da teoria de gauge.

Na década de 1970, Michael Atiyah começou a estudar a matemática das soluções para as equações clássicas de Yang-Mills . Em 1983, o aluno de Atiyah, Simon Donaldson, desenvolveu este trabalho para mostrar que a classificação diferenciável de 4 variedades suaves é muito diferente de sua classificação até o homeomorfismo . Michael Freedman usou o trabalho de Donaldson para exibir R 4 s exóticos , ou seja, estruturas diferenciáveis exóticas no espaço euclidiano de quatro dimensões. Isso levou a um interesse crescente na teoria de calibre por si mesma, independente de seus sucessos na física fundamental. Em 1994, Edward Witten e Nathan Seiberg inventaram técnicas teóricas de calibre baseadas na supersimetria que permitiam o cálculo de certos invariantes topológicos (os invariantes de Seiberg-Witten ). Essas contribuições para a matemática da teoria de calibre levaram a um interesse renovado nesta área.

A importância das teorias de calibre na física é exemplificada no tremendo sucesso do formalismo matemático em fornecer uma estrutura unificada para descrever as teorias de campo quântico do eletromagnetismo , a força fraca e a força forte . Essa teoria, conhecida como Modelo Padrão , descreve com precisão as previsões experimentais a respeito de três das quatro forças fundamentais da natureza e é uma teoria de calibre com o grupo de calibre SU (3) × SU (2) × U (1) . Teorias modernas como a teoria das cordas , bem como a relatividade geral , são, de uma forma ou de outra, teorias de calibre.

Consulte Pickering para obter mais informações sobre a história das teorias de campo quântico e de calibre.

Descrição

Simetrias globais e locais

Simetria global

Na física , a descrição matemática de qualquer situação física geralmente contém graus de liberdade excessivos ; a mesma situação física é igualmente bem descrita por muitas configurações matemáticas equivalentes. Por exemplo, na dinâmica newtoniana , se duas configurações são relacionadas por uma transformação galileana (uma mudança inercial do referencial), elas representam a mesma situação física. Essas transformações formam um grupo de " simetrias " da teoria, e uma situação física corresponde não a uma configuração matemática individual, mas a uma classe de configurações relacionadas entre si por esse grupo de simetria.

Essa ideia pode ser generalizada para incluir simetrias locais e globais, análogas a "mudanças de coordenadas" muito mais abstratas em uma situação onde não há um sistema de coordenadas " inercial " preferido que cubra todo o sistema físico. Uma teoria de calibre é um modelo matemático que possui simetrias desse tipo, junto com um conjunto de técnicas para fazer previsões físicas consistentes com as simetrias do modelo.

Exemplo de simetria global

Quando uma quantidade que ocorre na configuração matemática não é apenas um número, mas tem algum significado geométrico, como uma velocidade ou um eixo de rotação, sua representação como números arranjados em um vetor ou matriz também é alterada por uma transformação de coordenadas. Por exemplo, se uma descrição de um padrão de fluxo de fluido afirma que a velocidade do fluido na vizinhança de ( x = 1, y = 0) é 1 m / s na direção x positiva , então uma descrição da mesma situação em que o sistema de coordenadas foi girado no sentido horário em 90 graus afirma que a velocidade do fluido na vizinhança de ( x = 0, y = 1) é 1 m / s na direção y positiva . A transformação de coordenadas afetou o sistema de coordenadas usado para identificar a localização da medição e a base na qual seu valor é expresso. Contanto que essa transformação seja realizada globalmente (afetando a base de coordenadas da mesma forma em todos os pontos), o efeito sobre os valores que representam a taxa de mudança de alguma quantidade ao longo de algum caminho no espaço e no tempo à medida que passa pelo ponto P é o mesmo que o efeito sobre os valores que são verdadeiramente local para P .

Simetria local

Uso de feixes de fibra para descrever simetrias locais

Para descrever adequadamente as situações físicas em teorias mais complexas, muitas vezes é necessário introduzir uma "base de coordenadas" para alguns dos objetos da teoria que não têm essa relação simples com as coordenadas usadas para rotular pontos no espaço e no tempo. (Em termos matemáticos, a teoria envolve um feixe de fibras em que a fibra em cada ponto do espaço de base consiste em bases de coordenadas possíveis para uso ao descrever os valores dos objetos naquele ponto.) deve escolher uma base de coordenadas particular em cada ponto (uma seção local do feixe de fibras) e expressar os valores dos objetos da teoria (geralmente " campos " no sentido físico) usando essa base. Duas dessas configurações matemáticas são equivalentes (descrevem a mesma situação física) se estiverem relacionadas por uma transformação dessa base de coordenada abstrata (uma mudança de seção local ou transformação de calibre ).

Na maioria das teorias de calibre, o conjunto de transformações possíveis da base de calibre abstrata em um ponto individual no espaço e no tempo é um grupo de Lie de dimensão finita. O mais simples desses grupos é U (1) , que aparece na formulação moderna da eletrodinâmica quântica (QED) por meio do uso de números complexos . QED é geralmente considerada como a primeira e mais simples teoria de calibre físico. O conjunto de possíveis transformações de calibre de toda a configuração de uma dada teoria de calibre também forma um grupo, o grupo de calibre da teoria. Um elemento do grupo de calibre pode ser parametrizado por uma função que varia suavemente dos pontos do espaço-tempo ao grupo de Lie (dimensão finita), de modo que o valor da função e seus derivados em cada ponto representam a ação da transformação do calibre em a fibra sobre esse ponto.

Uma transformação de calibre com parâmetro constante em cada ponto no espaço e no tempo é análoga a uma rotação rígida do sistema de coordenadas geométricas; ele representa uma simetria global da representação do medidor. Como no caso de uma rotação rígida, essa transformação de medidor afeta expressões que representam a taxa de mudança ao longo de um caminho de alguma quantidade dependente de medidor da mesma forma que aquelas que representam uma quantidade verdadeiramente local. Uma transformação de medidor cujo parâmetro não é uma função constante é chamada de simetria local ; seu efeito em expressões que envolvem uma derivada é qualitativamente diferente daquele em expressões que não envolvem . (Isso é análogo a uma mudança não inercial do referencial, que pode produzir um efeito Coriolis .)

Campos de medição

A versão "covariante de calibre" de uma teoria de calibre explica esse efeito, introduzindo um campo de calibre (em linguagem matemática, uma conexão de Ehresmann ) e formulando todas as taxas de variação em termos da derivada covariante em relação a essa conexão. O campo de medida torna-se uma parte essencial da descrição de uma configuração matemática. Uma configuração na qual o campo de medidor pode ser eliminado por uma transformação de medidor tem a propriedade de que sua intensidade de campo (em linguagem matemática, sua curvatura ) é zero em todos os lugares; uma teoria de calibre não se limita a essas configurações. Em outras palavras, a característica distintiva de uma teoria de gauge é que o campo de gauge não compensa meramente por uma má escolha do sistema de coordenadas; geralmente não há transformação de medidor que faça o campo de medidor desaparecer.

Ao analisar a dinâmica de uma teoria de gauge, o campo de gauge deve ser tratado como uma variável dinâmica, semelhante a outros objetos na descrição de uma situação física. Além de sua interação com outros objetos por meio da derivada covariante, o campo de medidor normalmente contribui com energia na forma de um termo de "autoenergia". Pode-se obter as equações para a teoria de calibre por:

  • partindo de um ansatz ingênuo sem o campo de calibre (no qual os derivados aparecem em uma forma "nua");
  • listar aquelas simetrias globais da teoria que podem ser caracterizadas por um parâmetro contínuo (geralmente um equivalente abstrato de um ângulo de rotação);
  • computar os termos de correção que resultam de permitir que o parâmetro de simetria varie de um lugar para outro; e
  • reinterpretar esses termos de correção como acoplamentos a um ou mais campos de calibre e dar a esses campos termos de autoenergia apropriados e comportamento dinâmico.

Este é o sentido em que uma teoria de calibre "estende" uma simetria global a uma simetria local e se assemelha muito ao desenvolvimento histórico da teoria de calibre da gravidade conhecida como relatividade geral .

Experimentos físicos

Teorias de calibre usadas para modelar os resultados de experimentos físicos envolvidos em:

  • limitar o universo de configurações possíveis àquelas consistentes com as informações usadas para configurar o experimento, e então
  • computar a distribuição de probabilidade dos resultados possíveis que o experimento foi projetado para medir.

Não podemos expressar as descrições matemáticas das "informações de configuração" e os "resultados de medição possíveis", ou as "condições de contorno" do experimento, sem referência a um sistema de coordenadas particular, incluindo uma escolha de medidor. Supõe-se que um experimento adequado isolado da influência "externa" é, em si mesmo, uma afirmação dependente do medidor. O manuseio incorreto de cálculos de dependência de medidor em condições de contorno é uma fonte frequente de anomalias , e as abordagens para evitar anomalias classificam as teorias de medidor.

Teorias do Continuum

As duas teorias de calibre mencionadas acima, eletrodinâmica do contínuo e relatividade geral, são teorias de campo do contínuo. As técnicas de cálculo em uma teoria do contínuo assumem implicitamente que:

  • dada uma escolha completamente fixa de medidor, as condições de contorno de uma configuração individual são completamente descritas
  • dado uma bitola completamente fixa e um conjunto completo de condições de contorno, a menor ação determina uma configuração matemática única e, portanto, uma situação física única consistente com esses limites
  • fixar a bitola não introduz anomalias no cálculo, devido à dependência da bitola na descrição de informações parciais sobre as condições de contorno ou à incompletude da teoria.

A determinação da probabilidade de possíveis resultados de medição prossegue por:

  • estabelecer uma distribuição de probabilidade sobre todas as situações físicas determinadas por condições de contorno consistentes com as informações de configuração
  • estabelecer uma distribuição de probabilidade de resultados de medição para cada situação física possível
  • convolver essas duas distribuições de probabilidade para obter uma distribuição de resultados de medição possíveis consistentes com as informações de configuração

Essas suposições têm validade suficiente em uma ampla gama de escalas de energia e condições experimentais para permitir que essas teorias façam previsões precisas sobre quase todos os fenômenos encontrados na vida diária: luz, calor e eletricidade, eclipses, voos espaciais, etc. Eles falham apenas nas escalas menores e maiores devido a omissões nas próprias teorias, e quando as próprias técnicas matemáticas quebram, mais notavelmente no caso de turbulência e outros fenômenos caóticos .

Teorias quânticas de campo

Além dessas teorias clássicas de campo contínuo, as teorias de calibre mais amplamente conhecidas são as teorias de campo quântico , incluindo a eletrodinâmica quântica e o modelo padrão da física de partículas elementares. O ponto de partida de uma teoria quântica de campos é muito parecido com o de seu análogo contínuo: uma integral de ação covariante-calibre que caracteriza situações físicas "permitidas" de acordo com o princípio da menor ação . No entanto, as teorias do continuum e do quantum diferem significativamente em como lidam com os graus de liberdade em excesso representados pelas transformações de calibre. Teorias contínuas e a maioria dos tratamentos pedagógicos das teorias quânticas de campo mais simples usam uma prescrição de fixação de calibre para reduzir a órbita de configurações matemáticas que representam uma determinada situação física para uma órbita menor relacionada por um grupo de calibre menor (o grupo de simetria global, ou talvez mesmo o grupo trivial).

Teorias quânticas de campo mais sofisticadas, em particular aquelas que envolvem um grupo de calibre não abeliano, quebram a simetria de calibre dentro das técnicas da teoria de perturbação ao introduzir campos adicionais (os fantasmas de Faddeev-Popov ) e contra-termos motivados pelo cancelamento de anomalia , em uma abordagem conhecida como quantização de BRST . Embora essas preocupações sejam, em certo sentido, altamente técnicas, elas também estão intimamente relacionadas à natureza da medição, aos limites do conhecimento de uma situação física e às interações entre condições experimentais incompletamente especificadas e teoria física incompletamente compreendida. As técnicas matemáticas que foram desenvolvidas para tornar as teorias de calibre tratáveis ​​encontraram muitas outras aplicações, desde a física do estado sólido e cristalografia até a topologia de baixa dimensão .

Teoria de calibre clássica

Eletromagnetismo clássico

Historicamente, o primeiro exemplo de simetria de calibre descoberto foi o eletromagnetismo clássico . Em electrostática , um pode discutir o campo eléctrico, E , ou a sua correspondente potencial eléctrico , V . O conhecimento de um torna possível encontrar o outro, exceto que os potenciais que diferem por uma constante,, correspondem ao mesmo campo elétrico. Isso ocorre porque o campo elétrico está relacionado a mudanças no potencial de um ponto no espaço para outro, e a constante C se cancelaria ao ser subtraída para encontrar a mudança no potencial. Em termos de cálculo vetorial , o campo elétrico é o gradiente do potencial ,. Generalizando da eletricidade estática para o eletromagnetismo, temos um segundo potencial, o potencial vetorial A , com

As transformações gerais do medidor agora se tornam não apenas, mas

onde f é qualquer função duas vezes continuamente diferenciável que depende da posição e do tempo. Os campos permanecem os mesmos sob a transformação de medidor e, portanto, as equações de Maxwell ainda estão satisfeitas. Ou seja, as equações de Maxwell têm uma simetria de calibre.

Um exemplo: teoria de calibre escalar O ( n )

O restante desta seção requer alguma familiaridade com a teoria de campo clássica ou quântica e o uso de lagrangianas .
Definições nesta secção grupo de calibre , campo de gauge , interacção de Lagrange , bosões calibre .

O seguinte ilustra como a invariância de medida local pode ser "motivada" heuristicamente a partir de propriedades de simetria global e como isso leva a uma interação entre campos originalmente não interagentes.

Considere um conjunto de n campos escalares reais não interagentes , com massas iguais m . Este sistema é descrito por uma ação que é a soma da ação (usual) para cada campo escalar

O Lagrangiano (densidade) pode ser escrito de forma compacta como

introduzindo um vetor de campos

O termo é a derivada parcial da dimensão ao longo .

Agora é transparente que o Lagrangiano é invariante sob a transformação

quando L é uma constante matriz pertencente ao n -by- n ortogonal grupo S ( n ). Isso preserva a Lagrangiana, uma vez que a derivada das transformações é idêntica a e ambas as quantidades aparecem dentro dos produtos escalares na Lagrangiana (as transformações ortogonais preservam o produto escalar).

Isso caracteriza a simetria global deste Lagrangiano particular, e o grupo de simetria é freqüentemente chamado de grupo de calibre ; o termo matemático é grupo de estrutura , especialmente na teoria de G-estruturas . A propósito, o teorema de Noether implica que a invariância sob este grupo de transformações leva à conservação das correntes

onde as matrizes T a são geradoras do grupo SO ( n ). Existe uma corrente conservada para cada gerador.

Agora, exigir que este Lagrangiano tenha variação local de O ( n ) requer que as matrizes G (que eram constantes anteriormente) devam se tornar funções das coordenadas espaço-temporais x .

Neste caso, as matrizes G não "passam" pelas derivadas, quando G = G ( x ),

A falha da derivada em comutar com "G" introduz um termo adicional (de acordo com a regra do produto), que estraga a invariância do Lagrangeano. A fim de corrigir isso, definimos um novo operador derivado de modo que a derivada de novamente se transforme de forma idêntica com

Esta nova "derivada" é chamada de derivada covariante (calibre) e assume a forma

Onde g é chamado de constante de acoplamento; uma quantidade que define a força de uma interação. Após um cálculo simples, podemos ver que o campo de medidor A ( x ) deve se transformar da seguinte maneira

O campo de calibre é um elemento da álgebra de Lie e pode, portanto, ser expandido como

Existem, portanto, tantos campos de calibre quanto geradores da álgebra de Lie.

Finalmente, agora temos um Lagrangiano invariante de calibre local

Pauli usa o termo transformação de medidor do primeiro tipo para significar a transformação de , enquanto a transformação de compensação em é chamada de transformação de medidor do segundo tipo .

Diagrama de Feynman de bósons escalares interagindo por meio de um bóson de calibre

A diferença entre este Lagrangiano e o Lagrangeano invariante globalmente no medidor é visto como a interação Lagrangiana

Este termo introduz interações entre os n campos escalares apenas como uma consequência da demanda por invariância de gauge local. Porém, para tornar essa interação física e não completamente arbitrária, o mediador A ( x ) precisa se propagar no espaço. Isso é tratado na próxima seção, adicionando ainda outro termo ,, ao Lagrangiano. Na versão quantizada da teoria de campo clássica obtida , os quanta do campo de calibre A ( x ) são chamados de bósons de calibre . A interpretação da interação Lagrangiana na teoria quântica de campos é de bósons escalares interagindo pela troca desses bósons de calibre.

O Lagrangiano de Yang-Mills para o campo de calibre

O quadro de uma teoria de calibre clássica desenvolvida na seção anterior está quase completo, exceto pelo fato de que para definir as derivadas covariantes D , é necessário saber o valor do campo de calibre em todos os pontos do espaço-tempo. Em vez de especificar manualmente os valores deste campo, ele pode ser fornecido como a solução para uma equação de campo. Exigindo ainda que o Lagrangiano que gera esta equação de campo seja localmente invariante de calibre também, uma forma possível para o campo de calibre Lagrangiano é

onde são obtidos a partir de potenciais , sendo os componentes de , por

e são as constantes de estrutura da álgebra de Lie dos geradores do grupo de calibre. Esta formulação do Lagrangiano é chamada de ação Yang-Mills . Outras ações invariantes de calibre também existem (por exemplo, eletrodinâmica não linear , ação de Born-Infeld , modelo de Chern-Simons , termo teta , etc.).

Neste termo Lagrangeano não há campo cuja transformação se contraponha à de . A invariância desse termo nas transformações de calibre é um caso particular de simetria clássica (geométrica) a priori . Essa simetria deve ser restringida para realizar a quantização, sendo o procedimento denominado fixação de calibre , mas mesmo após a restrição, transformações de calibre podem ser possíveis.

O Lagrangiano completo para a teoria de calibre é agora

Um exemplo: Eletrodinâmica

Como uma simples aplicação do formalismo desenvolvido nas seções anteriores, considere o caso da eletrodinâmica , com apenas o campo de elétrons . A ação básica que gera a equação de Dirac do campo de elétrons é

A simetria global para este sistema é

O grupo de calibre aqui é U (1) , apenas rotações do ângulo de fase do campo, com a rotação particular determinada pela constante θ .

A "localização" dessa simetria implica a substituição de θ por θ ( x ) . Uma derivada covariante apropriada é então

Identificar a "carga" e (não deve ser confundida com a constante matemática e na descrição da simetria) com a carga elétrica usual (esta é a origem do uso do termo nas teorias de calibre), e o campo de calibre A ( x ) com o potencial de quatro vetores do campo eletromagnético resulta em uma interação Lagrangiana

onde é o vetor quatro da corrente elétrica no campo de Dirac . O princípio do medidor é, portanto, visto introduzir naturalmente o chamado acoplamento mínimo do campo eletromagnético ao campo de elétrons.

Adicionando um Lagrangiano para o campo de calibre em termos do tensor de intensidade de campo exatamente como na eletrodinâmica, obtém-se o Lagrangeano usado como ponto de partida na eletrodinâmica quântica .

Formalismo matemático

As teorias de calibre são geralmente discutidas na linguagem da geometria diferencial . Matematicamente, um medidor é apenas uma escolha de uma seção (local) de algum pacote principal . Uma transformação de medidor é apenas uma transformação entre duas dessas seções.

Embora a teoria de calibre seja dominada pelo estudo de conexões (principalmente porque é estudada principalmente por físicos de alta energia ), a ideia de uma conexão não é central para a teoria de calibre em geral. Na verdade, um resultado na teoria geral de calibre mostra que representações afins (ou seja, módulos afins ) das transformações de calibre podem ser classificadas como seções de um pacote de jato que satisfaz certas propriedades. Existem representações que se transformam covariante pontualmente (chamadas pelos físicos de transformações de calibre do primeiro tipo), representações que se transformam como uma forma de conexão (chamadas pelos físicos de transformações de calibre do segundo tipo, uma representação afim) - e outras representações mais gerais, como o campo B na teoria BF . Existem representações (realizações) não lineares mais gerais , mas são extremamente complicadas. Ainda assim, os modelos sigma não lineares se transformam de forma não linear, portanto, há aplicações.

Se houver um pacote principal P cujo espaço de base é o espaço ou espaço - tempo e o grupo de estrutura é um grupo de Lie, então as seções de P formam um espaço homogêneo principal do grupo de transformações de calibre.

Conexões (conexão de calibre) definem este pacote principal, produzindo uma derivada covariante ∇ em cada pacote vetorial associado . Se um quadro local for escolhido (uma base local de seções), essa derivada covariante é representada pela forma de conexão A , uma forma 1 com valor de álgebra de Lie , que é chamada de potencial de calibre em física . Evidentemente, essa não é uma quantidade intrínseca, mas dependente do frame. A forma de curvatura F , uma forma 2 com valor de álgebra de Lie que é uma quantidade intrínseca, é construída a partir de uma forma de conexão por

onde d representa a derivada externa e representa o produto em cunha . ( é um elemento do espaço vetorial medido pelos geradores e, portanto, os componentes de não comutam entre si. Portanto, o produto da cunha não desaparece.)

As transformações de calibre infinitesimais formam uma álgebra de Lie, que é caracterizada por um escalar com valor de álgebra de Lie suave , ε. Sob tal transformação de medida infinitesimal ,

onde está o suporte de Lie.

Uma coisa boa é que se , então, onde D é a derivada covariante

Além disso, o que significa transforma covariante.

Nem todas as transformações de medidor podem ser geradas por transformações de medidor infinitesimais em geral. Um exemplo é quando a variedade de base é uma variedade compacta sem limite, de modo que a classe de homotopia de mapeamentos dessa variedade para o grupo de Lie é não trivial. Veja instanton para um exemplo.

A ação Yang-Mills agora é dada por

onde * representa o Hodge dual e o integral é definido como na geometria diferencial .

Uma quantidade que é invariante de calibre (ou seja, invariante sob transformações de calibre) é o loop de Wilson , que é definido sobre qualquer caminho fechado, γ, da seguinte forma:

onde χ é o caractere de uma representação complexa ρ e representa o operador ordenado por caminho.

O formalismo da teoria de gauge transporta-se para um cenário geral. Por exemplo, é suficiente pedir que um pacote vetorial tenha uma conexão métrica ; quando isso acontece, descobre-se que a conexão métrica satisfaz as equações de movimento de Yang-Mills.

Quantização de teorias de calibre

As teorias de calibre podem ser quantizadas pela especialização de métodos que são aplicáveis ​​a qualquer teoria quântica de campo . No entanto, por causa das sutilezas impostas pelas restrições de calibre (consulte a seção sobre Formalismo matemático, acima), há muitos problemas técnicos a serem resolvidos que não surgem em outras teorias de campo. Ao mesmo tempo, a estrutura mais rica das teorias de calibre permite a simplificação de alguns cálculos: por exemplo, as identidades de Ward conectam diferentes constantes de renormalização .

Métodos e objetivos

A primeira teoria de calibre quantizada foi a eletrodinâmica quântica (QED). Os primeiros métodos desenvolvidos para isso envolviam a fixação do medidor e, em seguida, a aplicação da quantização canônica . O método Gupta – Bleuler também foi desenvolvido para lidar com esse problema. As teorias de calibre não abelianas são agora tratadas por uma variedade de meios. Os métodos de quantização são abordados no artigo sobre quantização .

O ponto principal da quantização é ser capaz de calcular amplitudes quânticas para vários processos permitidos pela teoria. Tecnicamente, eles se reduzem aos cálculos de certas funções de correlação no estado de vácuo . Isso envolve uma renormalização da teoria.

Quando o acoplamento contínuo da teoria é pequeno o suficiente, todas as quantidades necessárias podem ser calculadas na teoria de perturbação . Os esquemas de quantização destinados a simplificar tais cálculos (como a quantização canônica ) podem ser chamados de esquemas de quantização perturbativa . Atualmente, alguns desses métodos levam aos testes experimentais mais precisos das teorias de calibre.

No entanto, na maioria das teorias de calibre, existem muitas questões interessantes que não são perturbativas. Os esquemas de quantização adequados para esses problemas (como a teoria de calibre de rede ) podem ser chamados de esquemas de quantização não perturbativos . Cálculos precisos em tais esquemas geralmente requerem supercomputação e, portanto, são menos desenvolvidos atualmente do que outros esquemas.

Anomalias

Algumas das simetrias da teoria clássica são então vistas como não válidas na teoria quântica; um fenômeno denominado anomalia . Entre os mais conhecidos estão:

Medidor puro

Um medidor puro é o conjunto de configurações de campo obtidas por uma transformação de medidor na configuração de campo nulo, ou seja, uma transformação de medidor de zero. Portanto, é uma "órbita de medição" particular no espaço da configuração de campo.

Assim, no caso abeliano, onde , o medidor puro é apenas o conjunto de configurações de campo para todo f ( x ) .

Veja também

Referências

Bibliografia

Leitores gerais
  • Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things . Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. Uma tentativa séria de um físico para explicar a teoria de calibre e o Modelo Padrão com pouca matemática formal.
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Artigos

links externos