Teorema de Kerin-Milman - Krein–Milman theorem

Dada uma forma convexa (azul claro) e seu conjunto de pontos extremos (vermelho), o casco convexo de é ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle K.}$

Na teoria matemática da análise funcional , o teorema de Kerin-Milman é uma proposição sobre conjuntos convexos compactos em espaços vetoriais topológicos localmente convexos (TVSs).

Este teorema generaliza para espaços de dimensão infinita e para conjuntos convexos compactos arbitrários a seguinte observação básica: um triângulo convexo (ou seja, "preenchido"), incluindo seu perímetro e a área "dentro dele", é igual ao casco convexo de seus três vértices, onde esses vértices são exatamente os pontos extremos desta forma. Esta observação também se aplica a qualquer outro polígono convexo no plano ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Declaração e definições

Preliminares e definições

Todo o tempo, será um espaço vetorial real ou complexo. ${\ displaystyle X}$

Para quaisquer elementos e em um espaço vetorial, o conjunto é chamado de ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle [x, y]: = \ {tx + (1-t) y: 0 \ leq t \ leq 1 \}}$ segmento de linha fechada ou intervalo fechado entre e O ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y.}$ segmento de linha aberto ou intervalo aberto entre e é quando enquanto é quando ; ele satisfaz e Os pontos e são chamados depontos finaisdesse intervalo. Diz-se que um intervalo é ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (x, x): = \ varnothing}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle (x, y): = \ {tx + (1-t) y: 0 <t <1 \}}$${\ displaystyle x \ neq y}$${\ displaystyle (x, y) = [x, y] \ setminus \ {x, y \}}$${\ displaystyle [x, y] = (x, y) \ cup \ {x, y \}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$ não degenerado ou adequado se seus pontos finais forem distintos.

Os intervalos e sempre contêm seus terminais, enquanto e nunca contêm nenhum de seus terminais. Se e forem pontos na linha real , a definição acima de é igual à definição usual de intervalo fechado . ${\ displaystyle [x, x] = \ {x \}}$${\ displaystyle [x, y]}$${\ displaystyle (x, x) = \ varnothing}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [x, y]}$

Para qualquer um, o ponto é dito (estritamente) ${\ displaystyle p, x, y \ in X,}$${\ displaystyle p}$ fica entre e se pertence ao segmento de linha aberta ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle (x, y).}$

Se é um subconjunto de e , em seguida, é chamado um ponto extremo${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ in K,}$${\ displaystyle p}$ de se não se encontra entre quaisquer dois pontos distintos de Ou seja, se não existe e de modo que e Neste artigo, o conjunto de todos os pontos extremos de será denotado por ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K.}$${\ displaystyle x, y \ in K}$${\ displaystyle 0 <t <1}$${\ displaystyle x \ neq y}$${\ displaystyle p = tx + (1-t) y.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ operatorname {extreme} (K).}$

Por exemplo, os vértices de qualquer polígono convexo no plano são os pontos extremos desse polígono. Os pontos extremos do disco unidade fechada na é o círculo unitário . Cada intervalo aberto e intervalo fechado degenerado em não tem pontos extremos, enquanto os pontos extremos de um intervalo fechado não degenerado são e ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [x, y]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y.}$

Um conjunto é denominado convexo se para quaisquer dois pontos contiver o segmento de linha O menor conjunto convexo que contém é chamado de casca convexa de e é denotado por O envoltório convexo fechado de um conjunto denotado por é o menor conjunto fechado e convexo contendo É também igual à interseção de todos os subconjuntos convexos fechados que contêm e ao fechamento do casco convexo de ; isso é, ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle x, y \ in S,}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle [x, y].}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {co} S.}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (S),}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {co}}} (S) = {\ overline {\ operatorname {co} (S)}},}$

onde o lado direito denota o fechamento de enquanto o lado esquerdo é a notação. Por exemplo, o casco convexo de qualquer conjunto de três pontos distintos forma um triângulo sólido (isto é, "preenchido"), incluindo seu perímetro. E no plano o círculo unitário não é convexo, mas o disco unitário fechado é convexo e, além disso, este disco é igual à casca convexa do círculo. ${\ displaystyle \ operatorname {co} (S)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2},}$

Demonstração

O casco convexo dos pontos extremos forma um subconjunto de, portanto, o principal ônus da prova é mostrar que há pontos extremos suficientes para que seu casco convexo cubra todos os ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K.}$

Um corolário do teorema acima, que também é chamado de "teorema de Kerin-Milman", é que todo subconjunto convexo compacto não vazio de um TVS localmente convexo de Hausdorff tem pontos extremos; ou seja, o conjunto de seus pontos extremos não está vazio.

Um caso particular deste teorema , que pode ser facilmente visualizado, afirma que dado um polígono convexo , os cantos do polígono são tudo o que é necessário para recuperar a forma do polígono. A afirmação do teorema é falsa se o polígono não for convexo, pois então pode haver muitas maneiras de desenhar um polígono tendo pontos como cantos.

Mais configurações gerais

A suposição de convexidade local para o espaço ambiente é necessária, pois James Roberts ( 1977 ) construiu um contra-exemplo para o espaço não localmente convexo onde ${\ displaystyle L ^ {p} [0,1]}$${\ displaystyle 0 <p <1.}$

A linearidade também é necessária, pois a afirmação falha para conjuntos convexos fracamente compactos em espaços CAT (0) , conforme comprovado por Nicolas Monod  ( 2016 ). No entanto, Theo Buehler ( 2006 ) provou que o teorema de Kerin-Milman é válido para espaços CAT (0) metricamente compactos.

Resultados relacionados

De acordo com as suposições anteriores sobre se é um subconjunto de e o casco convexo fechado de é tudo de, então cada ponto extremo de pertence ao fechamento de Este resultado é conhecido como o inverso (parcial) de Milman ao teorema de Kerin-Milman. ${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T.}$

O teorema Choquet-Bishop-de Leeuw afirma que cada ponto em é o baricentro de uma medida de probabilidade apoiada no conjunto de pontos extremos de ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K.}$

Relação com o axioma de escolha

O axioma da escolha , ou alguma versão mais fraca dele, é necessário para provar este teorema na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Por outro lado, este teorema junto com o teorema do ideal primo Booleano pode provar o axioma de escolha.

História

A declaração original provada por Mark Kerin e David Milman  ( 1940 ) foi um pouco menos geral do que a forma aqui declarada.

Anteriormente, Hermann Minkowski  ( 1911 ) provou que se é tridimensional então é igual ao casco convexo do conjunto de seus pontos extremos. Essa afirmação foi expandida para o caso de qualquer dimensão finita por Ernst Steinitz  ( 1916 ). O teorema de Kerin-Milman generaliza isso para localmente convexo arbitrário ; entretanto, para generalizar de espaços dimensionais finitos para infinitos, é necessário usar o fechamento. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$

Veja também

• Teorema de Banach-Alaoglu  - A bola unitária fechada no dual de um espaço vetorial normado é compacta na topologia fraca *
• Teorema de Carathéodory (casca convexa)  - Um ponto na casca convexa de um conjunto P em Rd, é a combinação convexa de d + 1 pontos em P
• Teoria Choquet
• Teorema de Helly  - Teorema sobre as interseções de conjuntos convexos d-dimensionais
• Teorema de Radon  - Diz que d + 2 pontos em d dimensões podem ser divididos em dois subconjuntos cujas cascas convexas se cruzam
• Lema de Shapley-Folkman
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Citações

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