Teorema - Theorem

O teorema de Pitágoras tem pelo menos 370 provas conhecidas

Em matemática , um teorema é uma afirmação que tem sido provado , ou pode ser provado. A prova de um teorema é um argumento lógico que usa as regras de inferência de um sistema dedutivo para estabelecer que o teorema é uma consequência lógica dos axiomas e teoremas previamente provados.

Na corrente principal da matemática, os axiomas e as regras de inferência são comumente deixados implícitos e, neste caso, quase sempre são aqueles da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha , ou de uma teoria menos poderosa, como Peano aritmética . Uma exceção notável é a prova de Wiles do Último Teorema de Fermat , que envolve os universos de Grothendieck cuja existência requer a adição de um novo axioma à teoria dos conjuntos. Geralmente, uma afirmação que é explicitamente chamada de teorema é um resultado comprovado que não é uma consequência imediata de outros teoremas conhecidos. Além disso, muitos autores qualificam como teoremas apenas os resultados mais importantes e usam os termos lema , proposição e corolário para teoremas menos importantes.

Na lógica matemática , os conceitos de teoremas e provas foram formalizados a fim de permitir o raciocínio matemático sobre eles. Nesse contexto, as declarações tornam -se fórmulas bem formadas de alguma linguagem formal . Uma teoria consiste em algumas declarações básicas chamadas axiomas e algumas regras de dedução (às vezes incluídas nos axiomas). Os teoremas da teoria são as afirmações que podem ser derivadas dos axiomas usando as regras de dedução. Essa formalização levou à teoria da prova , que permite provar teoremas gerais sobre teoremas e provas. Em particular, os teoremas da incompletude de Gödel mostram que toda teoria consistente contendo os números naturais tem afirmações verdadeiras sobre os números naturais que não são teoremas da teoria (isto é, eles não podem ser provados dentro da teoria).

Como os axiomas são freqüentemente abstrações de propriedades do mundo físico , os teoremas podem ser considerados como a expressão de alguma verdade, mas em contraste com a noção de uma lei científica , que é experimental , a justificativa da verdade de um teorema é puramente dedutiva .

Teorema e verdade

Até o final do século 19 e a crise fundamental da matemática , todas as matemáticas foram construídas a partir de algumas propriedades básicas que eram consideradas evidentes por si mesmas; por exemplo, os fatos de que todo número natural tem um sucessor e de que existe exatamente uma linha que passa por dois pontos distintos dados. Essas propriedades básicas que não foram consideradas como absolutamente evidentes foram chamadas de postulados ; por exemplo, os postulados de Euclides . Todos os teoremas foram provados usando implícita ou explicitamente essas propriedades básicas e, por causa da evidência dessas propriedades básicas, um teorema provado foi considerado uma verdade definitiva, a menos que houvesse um erro na prova. Por exemplo, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 °, e isso foi considerado um fato incontestável.

Um aspecto da crise fundacional da matemática foi a descoberta de geometrias não euclidianas que não levam a nenhuma contradição, embora, em tais geometrias, a soma dos ângulos de um triângulo seja diferente de 180 °. Portanto, a propriedade "a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180 °" é verdadeira ou falsa, dependendo se os postulados de Euclides são assumidos. Da mesma forma, o uso de propriedades básicas "evidentes" de conjuntos leva à contradição do paradoxo de Russel . Isso foi resolvido elaborando as regras que são permitidas para a manipulação de conjuntos.

Essa crise foi resolvida revisitando os fundamentos da matemática para torná-los mais rigorosos . Nessas novas bases, um teorema é uma fórmula bem formada de uma teoria matemática que pode ser provada a partir dos axiomas e das regras de inferência da teoria. Assim, o teorema acima sobre a soma dos ângulos de um triângulo torna-se: De acordo com os axiomas e as regras de inferência da geometria euclidiana , a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 ° . Da mesma forma, o paradoxo de Russel desaparece porque, em uma teoria dos conjuntos axiomatizada, o conjunto de todos os conjuntos não pode ser expresso com uma fórmula bem formada. Mais precisamente, se o conjunto de todos os conjuntos pode ser expresso com uma fórmula bem formada, isso implica que a teoria é inconsistente e toda afirmação bem formada, bem como sua negação, é um teorema.

Nesse contexto, a validade de um teorema depende apenas da correção de sua prova. É independente da verdade, ou mesmo do significado dos axiomas. Isso não significa que o significado dos axiomas seja desinteressante, mas apenas que a validade (verdade) de um teorema é independente do significado dos axiomas. Essa independência pode ser útil ao permitir o uso de resultados de alguma área da matemática em áreas aparentemente não relacionadas.

Uma consequência importante dessa forma de pensar a matemática é que ela permite definir teorias e teoremas matemáticos como objetos matemáticos e provar teoremas sobre eles. Exemplos são os teoremas da incompletude de Gödel . Em particular, existem afirmações bem formadas que podem ser provadas como não sendo um teorema da teoria ambiental, embora possam ser provadas em uma teoria mais ampla. Um exemplo é o teorema de Goodstein , que pode ser afirmado na aritmética de Peano , mas não pode ser provado na aritmética de Peano. No entanto, é demonstrável em algumas teorias mais gerais, como a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Considerações epistemológicas

Muitos teoremas matemáticos são declarações condicionais, cujas provas deduzem conclusões de condições conhecidas como hipóteses ou premissas . À luz da interpretação da prova como justificativa da verdade, a conclusão é freqüentemente vista como uma conseqüência necessária das hipóteses. Ou seja, que a conclusão é verdadeira caso as hipóteses sejam verdadeiras - sem quaisquer outras suposições. No entanto, a condicional também pode ser interpretada de forma diferente em certos sistemas dedutivos , dependendo dos significados atribuídos às regras de derivação e ao símbolo condicional (por exemplo, lógica não clássica ).

Embora os teoremas possam ser escritos de uma forma completamente simbólica (por exemplo, como proposições no cálculo proposicional ), eles são frequentemente expressos informalmente em uma linguagem natural como o inglês para melhor legibilidade. O mesmo é verdade para as provas, que muitas vezes são expressas como argumentos informais logicamente organizados e claramente formulados, destinados a convencer os leitores da verdade da afirmação do teorema além de qualquer dúvida, e a partir dos quais uma prova simbólica formal pode, em princípio, ser construída.

Além da melhor legibilidade, os argumentos informais são normalmente mais fáceis de verificar do que os puramente simbólicos - na verdade, muitos matemáticos expressariam uma preferência por uma prova que não apenas demonstra a validade de um teorema, mas também explica de alguma forma porque é obviamente verdade. Em alguns casos, pode-se até ser capaz de substanciar um teorema usando uma imagem como sua prova.

Como os teoremas estão no cerne da matemática, eles também são centrais para sua estética . Os teoremas são freqüentemente descritos como sendo "triviais", ou "difíceis", ou "profundos" ou mesmo "bonitos". Esses julgamentos subjetivos variam não apenas de pessoa para pessoa, mas também com o tempo e a cultura: por exemplo, à medida que uma prova é obtida, simplificada ou melhor compreendida, um teorema que antes era difícil pode se tornar trivial. Por outro lado, um teorema profundo pode ser enunciado de forma simples, mas sua prova pode envolver conexões surpreendentes e sutis entre áreas díspares da matemática. O Último Teorema de Fermat é um exemplo particularmente conhecido de tal teorema.

Explicação informal de teoremas

Logicamente , muitos são de teoremas a forma de um indicativo condicional : Se A, depois B . Tal teorema não afirma B - só isso B é uma consequência necessária do A . Nesse caso, A é chamada de hipótese do teorema ("hipótese" aqui significa algo muito diferente de uma conjectura ) e B a conclusão do teorema. Os dois juntos (sem a prova) são chamados de proposição ou enunciado do teorema (por exemplo, " Se A, então B " é a proposição ). Alternativamente, A e B também podem ser chamados de antecedente e conseqüente , respectivamente. O teorema "Se n é um número natural par , então n / 2 é um número natural" é um exemplo típico em que a hipótese é " n é um número natural par", e a conclusão é " n / 2 também é um número natural número".

Para que um teorema seja provado, ele deve ser, em princípio, expressável como uma declaração formal precisa. No entanto, os teoremas são geralmente expressos em linguagem natural, em vez de em uma forma completamente simbólica - com a presunção de que uma declaração formal pode ser derivada da informal.

É comum em matemática escolher uma série de hipóteses dentro de uma dada linguagem e declarar que a teoria consiste em todas as afirmações prováveis ​​a partir dessas hipóteses. Essas hipóteses formam a base fundamental da teoria e são chamadas de axiomas ou postulados. O campo da matemática conhecido como teoria da prova estuda linguagens formais, axiomas e a estrutura das provas.

Um mapa plano com cinco cores de forma que duas regiões com a mesma cor não se encontrem. Na verdade, ele pode ser colorido dessa forma com apenas quatro cores. O teorema das quatro cores afirma que tais colorações são possíveis para qualquer mapa planar, mas toda prova conhecida envolve uma pesquisa computacional que é muito longa para ser verificada à mão.

Alguns teoremas são " triviais ", no sentido de que decorrem de definições, axiomas e outros teoremas de maneiras óbvias e não contêm quaisquer descobertas surpreendentes. Algumas, por outro lado, podem ser chamadas de "profundas", porque suas provas podem ser longas e difíceis, envolver áreas da matemática superficialmente distintas da declaração do próprio teorema, ou mostrar conexões surpreendentes entre áreas díspares da matemática. Um teorema pode ser simples de declarar e ainda assim ser profundo. Um excelente exemplo é o Último Teorema de Fermat , e há muitos outros exemplos de teoremas simples, mas profundos, em teoria dos números e combinatória , entre outras áreas.

Outros teoremas têm uma prova conhecida que não pode ser facilmente escrita. Os exemplos mais proeminentes são o teorema das quatro cores e a conjectura de Kepler . Ambos os teoremas são considerados verdadeiros apenas quando são reduzidos a uma pesquisa computacional que é então verificada por um programa de computador. Inicialmente, muitos matemáticos não aceitaram essa forma de prova, mas ela se tornou mais amplamente aceita. O matemático Doron Zeilberger chegou ao ponto de afirmar que esses são possivelmente os únicos resultados não triviais que os matemáticos já provaram. Muitos teoremas matemáticos podem ser reduzidos a cálculos mais simples, incluindo identidades polinomiais, identidades trigonométricas e identidades hipergeométricas.

Relação com teorias científicas

Teoremas em matemática e teorias em ciências são fundamentalmente diferentes em sua epistemologia . Uma teoria científica não pode ser provada; seu atributo principal é ser falseável , ou seja, ele faz previsões sobre o mundo natural que podem ser testadas por experimentos . Qualquer desacordo entre predição e experimento demonstra a inexatidão da teoria científica, ou pelo menos limita sua precisão ou domínio de validade. Os teoremas matemáticos, por outro lado, são afirmações formais puramente abstratas: a prova de um teorema não pode envolver experimentos ou outras evidências empíricas da mesma forma que essas evidências são usadas para apoiar teorias científicas.

A conjectura de Collatz : uma forma de ilustrar sua complexidade é estender a iteração dos números naturais aos complexos. O resultado é um fractal , que (de acordo com a universalidade ) se assemelha ao conjunto de Mandelbrot .

No entanto, existe algum grau de empirismo e coleta de dados envolvidos na descoberta de teoremas matemáticos. Ao estabelecer um padrão, às vezes com o uso de um computador poderoso, os matemáticos podem ter uma ideia do que provar e, em alguns casos, até mesmo um plano de como começar a fazer a prova. Também é possível encontrar um único contra-exemplo e, assim, estabelecer a impossibilidade de uma prova para a proposição conforme declarada, e possivelmente sugerir formas restritas da proposição original que podem ter provas factíveis.

Por exemplo, tanto a conjectura de Collatz quanto a hipótese de Riemann são problemas não resolvidos bem conhecidos; eles foram extensivamente estudados por meio de verificações empíricas, mas permanecem não comprovados. A conjectura de Collatz foi verificada para valores iniciais até cerca de 2,88 × 10 18 . A hipótese de Riemann foi verificada como válida para os primeiros 10 trilhões de zeros não triviais da função zeta . Embora a maioria dos matemáticos possa tolerar supor que a conjectura e a hipótese sejam verdadeiras, nenhuma dessas proposições é considerada provada.

Tal evidência não constitui prova. Por exemplo, a conjectura de Mertens é uma afirmação sobre números naturais que agora é conhecida como falsa, mas nenhum contra-exemplo explícito (ou seja, um número natural n para o qual a função de Mertens M ( n ) é igual ou superior à raiz quadrada de n ) é conhecido: todos os números menores que 10 14 têm a propriedade de Mertens, e o menor número que não tem essa propriedade só é conhecido por ser menor que o exponencial de 1,59 × 10 40 , que é aproximadamente 10 elevado a 4,3 × 10 39 . Como o número de partículas no universo é geralmente considerado menor que 10 elevado a 100 (um googol ), não há esperança de encontrar um contra-exemplo explícito por meio de uma pesquisa exaustiva .

A palavra "teoria" também existe na matemática, para denotar um corpo de axiomas, definições e teoremas matemáticos, como em, por exemplo, a teoria dos grupos (ver teoria matemática ). Existem também "teoremas" na ciência, particularmente na física e na engenharia, mas eles costumam ter afirmações e provas nas quais as suposições físicas e a intuição desempenham um papel importante; os axiomas físicos nos quais esses "teoremas" se baseiam são eles próprios falsificáveis.

Terminologia

Existem vários termos diferentes para afirmações matemáticas; esses termos indicam o papel que as declarações desempenham em um determinado assunto. A distinção entre diferentes termos às vezes é bastante arbitrária, e o uso de alguns termos evoluiu ao longo do tempo.

  • Um axioma ou postulado é um pressuposto fundamental em relação ao objeto de estudo, que é aceito sem comprovação. Um conceito relacionado é o de uma definição , que dá o significado de uma palavra ou frase em termos de conceitos conhecidos. A geometria clássica discerne entre axiomas, que são afirmações gerais; e postulados, que são afirmações sobre objetos geométricos. Historicamente, os axiomas eram considerados " evidentes "; hoje eles são meramente considerados verdadeiros.
  • Uma conjectura é uma afirmação não comprovada que se acredita ser verdadeira. Conjecturas são normalmente feitas em público, e nomeado após seu criador (por exemplo, a conjectura de Goldbach e Collatz conjectura ). O termo hipótese também é utilizado neste sentido (por exemplo, hipótese de Riemann ), que não deve ser confundido com "hipótese" como premissa de uma prova. Outros termos também são usados ​​ocasionalmente, por exemplo, problema quando as pessoas não têm certeza se a afirmação deve ser considerada verdadeira. O Último Teorema de Fermat foi historicamente chamado de teorema, embora, por séculos, tenha sido apenas uma conjectura.
  • Um teorema é uma afirmação que foi comprovada como verdadeira com base em axiomas e outros teoremas.
  • Uma proposição é um teorema de menor importância, ou considerado tão elementar ou imediatamente óbvio, que pode ser enunciado sem prova. Isso não deve ser confundido com "proposição" conforme usada na lógica proposicional . Em geometria clássica do termo "proposição" foi usado de maneira diferente: em Euclides 's Elements ( . C  300 aC ), todos os teoremas e construções geométricas foram chamados de 'proposições', independentemente da sua importância.
  • Um lema é uma "proposição acessória" - uma proposição com pouca aplicabilidade fora de seu uso em uma prova particular. Ao longo do tempo um lema pode ganhar em importância e ser considerado um teorema , embora o termo "lema" geralmente é mantido como parte de seu nome (por exemplo. Lema de Gauss , o lema de Zorn , e o lema fundamentais ).
  • Um corolário é uma proposição que segue imediatamente de outro teorema ou axioma, com pouca ou nenhuma prova exigida. Um corolário também pode ser uma reafirmação de um teorema em uma forma mais simples, ou para um caso especial : por exemplo, o teorema "todos os ângulos internos de um retângulo são ângulos retos " tem um corolário de que "todos os ângulos internos de um quadrado são direito ângulos "- um quadrado sendo um caso especial de um retângulo.
  • A generalização de um teorema é um teorema com uma afirmação semelhante, mas um escopo mais amplo, a partir do qual o teorema original pode ser deduzido como um caso especial (um corolário ).

Outros termos também podem ser usados ​​por razões históricas ou habituais, por exemplo:

Alguns teoremas bem conhecidos têm nomes ainda mais idiossincráticos, por exemplo, o algoritmo de divisão , a fórmula de Euler e o paradoxo de Banach-Tarski .

Layout

Um teorema e sua prova são normalmente apresentados da seguinte forma:

Teorema (nome da pessoa que o provou, juntamente com o ano da descoberta ou publicação da prova)
Declaração do teorema (às vezes chamada de proposição )
Prova
Descrição da prova
Fim

O fim da prova pode ser assinalado pelas letras QED ( quod erat demonstrandum ) ou por uma das marcas da lápide , como "□" ou "∎", significando "fim da prova", introduzidas por Paul Halmos após seu uso em revistas para marcar o final de um artigo.

O estilo exato depende do autor ou publicação. Muitas publicações fornecem instruções ou macros para composição no estilo da casa .

É comum que um teorema seja precedido por definições que descrevem o significado exato dos termos usados ​​no teorema. Também é comum que um teorema seja precedido por uma série de proposições ou lemas que são então usados ​​na demonstração. No entanto, lemas são às vezes embutidos na prova de um teorema, seja com provas aninhadas, seja com suas provas apresentadas após a prova do teorema.

Os corolários de um teorema são apresentados entre o teorema e a prova ou diretamente após a prova. Às vezes, os corolários têm suas próprias provas que explicam por que eles seguem do teorema.

Lore

Estima-se que mais de um quarto de milhão de teoremas são provados a cada ano.

O conhecido aforismo , "Um matemático é um dispositivo para transformar café em teoremas" , deve-se provavelmente a Alfréd Rényi , embora seja frequentemente atribuído ao colega de Rényi, Paul Erdős (e Rényi pode ter pensado em Erdős), que era famoso para os muitos teoremas que ele produziu, o número de suas colaborações e seu consumo de café.

A classificação de grupos finitos simples é considerada por alguns como a mais longa prova de um teorema. Compreende dezenas de milhares de páginas em 500 artigos de periódicos de cerca de 100 autores. Acredita-se que esses papéis, juntos, fornecem uma prova completa, e vários projetos em andamento esperam encurtar e simplificar essa prova. Outro teorema desse tipo é o teorema das quatro cores, cuja prova gerada por computador é muito longa para um ser humano ler. É uma das mais antigas provas conhecidas de um teorema, cuja afirmação pode ser facilmente compreendida por um leigo.

Teoremas em lógica

Na lógica matemática , uma teoria formal é um conjunto de sentenças dentro de uma linguagem formal . Uma frase é uma fórmula bem formada sem variáveis ​​livres. Uma frase que é membro de uma teoria é um de seus teoremas, e a teoria é o conjunto de seus teoremas. Normalmente, uma teoria é entendida como fechada sob a relação de consequência lógica . Alguns relatos definem que uma teoria deve ser fechada sob a relação de consequência semântica ( ), enquanto outros a definem como fechada sob a conseqüência sintática , ou relação de derivabilidade ( ).

Este diagrama mostra as entidades sintáticas que podem ser construídas a partir de linguagens formais . Os símbolos e cadeias de símbolos podem ser amplamente divididos em fórmulas sem sentido e bem formadas . Uma linguagem formal pode ser considerada idêntica ao conjunto de suas fórmulas bem formadas. O conjunto de fórmulas bem formadas pode ser amplamente dividido em teoremas e não teoremas.

Para que uma teoria seja fechada sob uma relação de derivabilidade, ela deve estar associada a um sistema dedutivo que especifica como os teoremas são derivados. O sistema dedutivo pode ser declarado explicitamente ou pode ser claro a partir do contexto. O fechamento do conjunto vazio sob a relação de consequência lógica produz o conjunto que contém apenas aquelas sentenças que são os teoremas do sistema dedutivo.

No sentido amplo em que o termo é usado dentro da lógica, um teorema não precisa ser verdadeiro, uma vez que a teoria que o contém pode ser incorreta em relação a uma dada semântica ou em relação à interpretação padrão da linguagem subjacente. Uma teoria inconsistente tem todas as sentenças como teoremas.

A definição de teoremas como sentenças de uma linguagem formal é útil dentro da teoria da prova , que é um ramo da matemática que estuda a estrutura das provas formais e a estrutura das fórmulas prováveis. Também é importante na teoria de modelos , que se preocupa com a relação entre teorias formais e estruturas que são capazes de fornecer uma semântica para elas por meio da interpretação .

Embora os teoremas possam ser sentenças não interpretadas, na prática os matemáticos estão mais interessados ​​nos significados das sentenças, ou seja, nas proposições que expressam. O que torna os teoremas formais úteis e interessantes é que eles podem ser interpretados como proposições verdadeiras e suas derivações podem ser interpretadas como uma prova de sua verdade. Um teorema cuja interpretação é uma afirmação verdadeira sobre um sistema formal (em oposição a dentro de um sistema formal) é chamado de metateorema .

Alguns teoremas importantes em lógica matemática são:

Sintaxe e semântica

O conceito de teorema formal é fundamentalmente sintático, em contraste com a noção de uma proposição verdadeira, que introduz a semântica . Diferentes sistemas dedutivos podem produzir outras interpretações, dependendo dos pressupostos das regras de derivação (isto é , crença , justificação ou outras modalidades ). A solidez de um sistema formal depende se todos os seus teoremas também são válidos ou não . Uma validade é uma fórmula que é verdadeira sob qualquer interpretação possível (por exemplo, na lógica proposicional clássica, as validades são tautologias ). Um sistema formal é considerado semanticamente completo quando todos os seus teoremas também são tautologias.

Interpretação de um teorema formal

Teoremas e teorias

Veja também

Notas

Referências

Referências

  • Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Computabilidade e Lógica (5ª ed.). Cambridge University Press.
  • Chiswell, Ian; Hodges, Wilfred (2007). Lógica matemática . Imprensa da Universidade de Oxford.
  • Enderton, Herbert (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2ª ed.). Harcourt Academic Press.
  • Heath, Sir Thomas Little (1897). As obras de Arquimedes . Dover . Página visitada em 15/11/2009 .
  • Hedman, Shawn (2004). Um primeiro curso de lógica . Imprensa da Universidade de Oxford.
  • Hinman, Peter (2005). Fundamentos da Lógica Matemática . Wellesley, MA: AK Peters.
  • Hoffman, P. (1998). O homem que amava apenas números : a história de Paul Erdős e a busca pela verdade matemática . Hyperion, Nova York. ISBN 1-85702-829-5.
  • Hodges, Wilfrid (1993). Teoria do modelo . Cambridge University Press.
  • Hunter, Geoffrey (1996) [1973]. Metalogic: Uma Introdução à Metateoria da Lógica de Primeira Ordem Padrão . University of California Press. ISBN 0-520-02356-0.
  • Johnstone, PT (1987). Notas sobre lógica e teoria dos conjuntos . Cambridge University Press.
  • Mates, Benson (1972). Lógica elementar . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-501491-X.
  • Monk, J. Donald (1976). Lógica matemática . Springer-Verlag.
  • Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B . AK Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6.
  • Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3ª ed.). Springer.
  • van Dalen, Dirk (1994). Logic and Structure (3ª ed.). Springer-Verlag.

links externos