Fórmula de Faulhaber - Faulhaber's formula

Em matemática , a fórmula de Faulhaber , em homenagem a Johann Faulhaber , expressa a soma das p- ésimas potências dos primeiros n inteiros positivos

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p}}$

como uma função polinomial de  grau ( p + 1) de  n , os coeficientes envolvendo os números de Bernoulli B _j , na forma apresentada por Jacob Bernoulli e publicada em 1713:

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + \ sum _ {k = 2} ^ {p} {\ frac {B_ {k}} {k!}} p ^ {\ underline {k-1}} n ^ {p-k + 1},}$

onde está um fatorial decrescente . ${\ displaystyle p ^ {\ underline {k-1}} = (p) _ {k-1} = {\ dfrac {p!} {(p-k + 1)!}}}$

História

A fórmula de Faulhaber também é chamada de fórmula de Bernoulli . Faulhaber não conhecia as propriedades dos coeficientes descobertos por Bernoulli. Em vez disso, ele conhecia pelo menos os primeiros 17 casos, bem como a existência dos polinômios Faulhaber para poderes estranhos descritos abaixo.

Uma prova rigorosa dessas fórmulas e sua afirmação de que tais fórmulas existiriam para todos os poderes estranhos levou até Carl Jacobi  ( 1834 ).

Polinômios de Faulhaber

O termo polinômios de Faulhaber é usado por alguns autores para se referir a algo diferente da sequência polinomial fornecida acima. Faulhaber observou que se p for ímpar , então

${\ displaystyle 1 ^ {p} + 2 ^ {p} + 3 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p}}$

é uma função polinomial de

${\ displaystyle a = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}}.}$

Em particular:

${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = a ^ {2};}$ OEIS :  A000537

${\ displaystyle 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} = {4a ^ {3} -a ^ {2} \ over 3};}$ OEIS :  A000539

${\ displaystyle 1 ^ {7} + 2 ^ {7} + 3 ^ {7} + \ cdots + n ^ {7} = {6a ^ {4} -4a ^ {3} + a ^ {2} \ over 3};}$ OEIS :  A000541

${\ displaystyle 1 ^ {9} + 2 ^ {9} + 3 ^ {9} + \ cdots + n ^ {9} = {16a ^ {5} -20a ^ {4} + 12a ^ {3} -3a ^ {2} \ over 5};}$ OEIS :  A007487

${\ displaystyle 1 ^ {11} + 2 ^ {11} + 3 ^ {11} + \ cdots + n ^ {11} = {16a ^ {6} -32a ^ {5} + 34a ^ {4} -20a ^ {3} + 5a ^ {2} \ over 3}.}$ OEIS :  A123095

A primeira dessas identidades (o caso p = 3) é conhecida como teorema de Nicômaco .

De forma geral,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 ^ {2m + 1} + 2 ^ {2m + 1} & + 3 ^ {2m + 1} + \ cdots + n ^ {2m + 1} \\ & = {\ frac {1} {2 ^ {2m + 2} (2m + 2)}} \ sum _ {q = 0} ^ {m} {\ binom {2m + 2} {2q}} (2-2 ^ {2q }) ~ B_ {2q} ~ \ left [(8a + 1) ^ {m + 1-q} -1 \ right]. \ End {alinhado}}}$

Alguns autores chamam os polinômios em a nos lados direitos dessas identidades de polinômios de Faulhaber . Esses polinômios são divisíveis por a ² porque o número de Bernoulli B _j é 0 para j > 1 ímpar.

Faulhaber também sabia que, se uma soma para uma potência ímpar for dada por

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2m + 1} = c_ {1} a ^ {2} + c_ {2} a ^ {3} + \ cdots + c_ {m} a ^ {m + 1}}$

então a soma para a potência par logo abaixo é dada por

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2m} = {\ frac {n + 1/2} {2m + 1}} (2c_ {1} a + 3c_ {2} a ^ {2} + \ cdots + (m + 1) c_ {m} a ^ {m}).}$

Observe que o polinômio entre parênteses é a derivada do polinômio acima em relação a a .

Como a  =  n ( n  + 1) / 2, essas fórmulas mostram que para uma potência ímpar (maior que 1), a soma é um polinômio em n tendo fatores n ² e ( n  + 1) ² , enquanto para uma potência par o polinômio tem fatores n , n  + ½ e n  + 1.

Summae Potestatum

Em 1713, Jacob Bernoulli publicou sob o título Summae Potestatum uma expressão da soma das p potências dos n primeiros inteiros como uma função polinomial de ( p + 1 ) º grau de  n , com coeficientes envolvendo os números B _j , agora chamada de Bernoulli números :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + {\ frac {1} {2}} n ^ {p} + {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 2} ^ {p} {p + 1 \ escolha j} B_ {j} n ^ {p + 1-j}.}$

Apresentando também os dois primeiros números de Bernoulli (o que Bernoulli não fez), a fórmula anterior torna-se

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j},}$

usando o número de Bernoulli de segundo tipo para o qual , ou ${\ displaystyle B_ {1} = {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} (- 1) ^ {j} { p + 1 \ escolha j} B_ {j} n ^ {p + 1-j},}$

usando o número de Bernoulli do primeiro tipo para o qual ${\ displaystyle B_ {1} = - {\ frac {1} {2}}.}$

Por exemplo, como

${\ displaystyle B_ {0} = 1, ~ B_ {1} = 1/2, ~ B_ {2} = 1/6, ~ B_ {3} = 0, ~ B_ {4} = - 1/30,}$

um tem para p = 4 ,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} & = {1 \ over 5} \ sum _ {j = 0 } ^ {4} {5 \ escolha j} B_ {j} n ^ {5-j} \\ & = {1 \ over 5} \ left (B_ {0} n ^ {5} + 5B_ {1} n ^ {4} + 10B_ {2} n ^ {3} + 10B_ {3} n ^ {2} + 5B_ {4} n \ direita) \\ & = {\ frac {1} {5}} n ^ { 5} + {\ frac {1} {2}} n ^ {4} + {\ frac {1} {3}} n ^ {3} - {\ frac {1} {30}} n. \ End { alinhado}}}$

O próprio Faulhaber não conhecia a fórmula dessa forma, mas apenas calculou os primeiros dezessete polinômios; a forma geral foi estabelecida com a descoberta dos números de Bernoulli (ver seção História ). A derivação da fórmula de Faulhaber está disponível em The Book of Numbers, de John Horton Conway e Richard K. Guy .

Existe também uma expressão semelhante (mas de alguma forma mais simples): usando a ideia de telescópio e o teorema binomial , obtém-se a identidade de Pascal :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} (n + 1) ^ {k + 1} -1 & = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ left ((m + 1) ^ {k + 1} - m ^ {k + 1} \ right) \\ & = \ sum _ {p = 0} ^ {k} {\ binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ dots + n ^ {p}). \ end {alinhado}}}$

Isso, em particular, produz os exemplos abaixo - por exemplo, tome k = 1 para obter o primeiro exemplo. De forma semelhante, também encontramos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} n ^ {k + 1} = \ sum _ {m = 1} ^ {n} \ left (m ^ {k + 1} - (m-1) ^ {k + 1 } \ right) = \ sum _ {p = 0} ^ {k} (- 1) ^ {k + p} {\ binom {k + 1} {p}} (1 ^ {p} + 2 ^ {p } + \ dots + n ^ {p}). \ end {alinhado}}}$

Exemplos

${\ displaystyle 1 + 2 + 3 + \ cdots + n = {\ frac {n (n + 1)} {2}} = {\ frac {n ^ {2} + n} {2}}}$(os números triangulares )

${\ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}}}$(os números piramidais quadrados )

${\ displaystyle 1 ^ {3} + 2 ^ {3} + 3 ^ {3} + \ cdots + n ^ {3} = \ left [{\ frac {n (n + 1)} {2}} \ right ] ^ {2} = {\ frac {n ^ {4} + 2n ^ {3} + n ^ {2}} {4}}}$(os números triangulares ao quadrado)

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + \ cdots + n ^ {4} & = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {2} + 3n-1)} {30}} \\ & = {\ frac {6n ^ {5} + 15n ^ {4} + 10n ^ {3} -n} {30}} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 ^ {5} + 2 ^ {5} + 3 ^ {5} + \ cdots + n ^ {5} & = {\ frac {[n (n + 1)] ^ {2} (2n ^ {2} + 2n-1)} {12}} \\ & = {\ frac {2n ^ {6} + 6n ^ {5} + 5n ^ {4} -n ^ {2} } {12}} \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 1 ^ {6} + 2 ^ {6} + 3 ^ {6} + \ cdots + n ^ {6} & = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ {4} + 6n ^ {3} -3n + 1)} {42}} \\ & = {\ frac {6n ^ {7} + 21n ^ {6} + 21n ^ {5} - 7n ^ {3} + n} {42}} \ end {alinhado}}}$

Dos exemplos ao teorema da matriz

Dos exemplos anteriores, obtemos:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} = n}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} = {1 \ over 2} n + {1 \ over 2} n ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = {1 \ over 6} n + {1 \ over 2} n ^ {2} + {1 \ over 3} n ^ {3 }}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = {1 \ over 4} n ^ {2} + {1 \ over 2} n ^ {3} + {1 \ over 4 } n ^ {4}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {4} = - {1 \ over 30} n + {1 \ over 3} n ^ {3} + {1 \ over 2} n ^ { 4} + {1 \ sobre 5} n ^ {5}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} = - {1 \ over 12} n ^ {2} + {5 \ over 12} n ^ {4} + {1 \ over 2} n ^ {5} + {1 \ over 6} n ^ {6}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} = {1 \ over 42} n- {1 \ over 6} n ^ {3} + {1 \ over 2} n ^ { 5} + {1 \ over 2} n ^ {6} + {1 \ over 7} n ^ {7}}$

Escrever esses polinômios como um produto entre matrizes dá

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {0} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {1} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} \\\ soma _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} \\\ soma _ {i = 1} ^ {n} i ^ { 4} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {5} \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {6} \\\ end {pmatriz}} = G_ {7} \ cdot {\ begin {pmatrix} n \\ n ^ {2} \\ n ^ {3} \\ n ^ {4} \\ n ^ {5} \\ n ^ {6} \\ n ^ {7} \\\ end {pmatrix}} \ qquad {\ text {where}} \ qquad G_ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 6} & {1 \ over 2} & {1 \ over 3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & {1 \ over 2} & {1 \ over 4} & 0 & 0 & 0 \\ - {1 \ over 30} & 0 & {1 \ over 3} & {1 \ over 2} & {1 \ over 5} & 0 & 0 \\ 0 & - {1 \ over 12} & 0 & {5 \ over 12} & {1 \ mais de 2} & {1 \ over 6} & 0 \\ {1 \ over 42} & 0 & - {1 \ over 6} & 0 & {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & {1 \ over 7} \\ \ end {pmatrix}}}$

Surpreendentemente, inverter a matriz de coeficientes polinomiais produz algo mais familiar:

${\ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -5 & \\ & 10 -5 & 1 & 10-5 & 10-5 & 015 & 015 & 015-615 & 015-615-1 & -3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 4 & -6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5\ 1 & 015-615-0 & 015-1 & 015-0 & 10-15-1 & 10-15-1 & 10-15-0 & 0-15-1 & 10-1 & 1 & 0-15-1 & 4 & 4 & 0. \\ 1 e -7 e 21 e -35 e 35 e -21 e 7 \\\ end {pmatrix}}}$

Na matriz invertida, o triângulo de Pascal pode ser reconhecido, sem o último elemento de cada linha, e com sinais alternados. Mais precisamente, seja a matriz obtida do triângulo de Pascal retirando o último elemento de cada linha e preenchendo as linhas com zeros à direita, ou seja, a matriz obtida da matriz triangular inferior de Pascal , preenchendo a diagonal principal com zeros e deslocando todos os elementos em um só lugar: ${\ displaystyle A_ {7}}$

${\ displaystyle A_ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 10 & 5 & 0 & 0\\} end.$

Seja a matriz obtida pela mudança dos sinais das entradas em diagonais ímpares, ou seja, pela substituição por . Então ${\ displaystyle {\ overline {A}} _ {7}}$${\ displaystyle A_ {7}}$${\ displaystyle a_ {i, j}}$${\ displaystyle (-1) ^ {i + j} a_ {i, j}}$

${\ displaystyle G_ {7} ^ {- 1} = {\ overline {A}} _ {7}.}$

Isso é verdade para toda ordem, ou seja, para cada inteiro positivo m , um tem. Assim, é possível obter os coeficientes dos polinômios das somas das potências de inteiros sucessivos sem recorrer aos números de Bernoulli, mas invertendo a matriz facilmente obtido do triângulo de Pascal. ${\ displaystyle G_ {m} ^ {- 1} = {\ overline {A}} _ {m}.}$

Um tem também

${\ displaystyle A_ {7} ^ {- 1} = {\ overline {G}} _ {7} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ over 6} & {1 \ over 2} & {1 \ over 3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 4} & {1 \ over 2} & {1 \ over 4} & 0 & 0 & 0 \\ {1 \ mais de 30} & 0 & {1 \ over 3} & {1 \ over 2} & {1 \ over 5} & 0 & 0 \\ 0 & {1 \ over 12} & 0 & {5 \ over 12} & {1 \ over 2} & { 1 \ over 6} & 0 \\ {1 \ over 42} & 0 & {1 \ over 6} & 0 & {1 \ over 2} & {1 \ over 2} & {1 \ over 7} \ end {pmatrix}},}$

onde é obtido removendo os sinais de menos. ${\ displaystyle {\ overline {G}} _ {7}}$${\ displaystyle G_ {7}}$

Prova com função de geração exponencial

Deixar

${\ displaystyle S_ {p} (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p},}$

denotam a soma em consideração para o inteiro ${\ displaystyle p \ geq 0.}$

Defina a seguinte função de geração exponencial com (inicialmente) indeterminado${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle G (z, n) = \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} S_ {p} (n) {\ frac {1} {p!}} z ^ {p}.}$

Nós achamos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} G (z, n) = & \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p !}} (kz) ^ {p} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} e ^ {kz} = e ^ {z}. {\ frac {1-e ^ {nz}} {1- e ^ {z}}}, \\ = & {\ frac {1-e ^ {nz}} {e ^ {- z} -1}}. \ end {alinhado}}}$

Esta é uma função inteira em que pode ser considerada como qualquer número complexo. ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

A seguir, relembramos a função de geração exponencial para os polinômios de Bernoulli ${\ displaystyle B_ {j} (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} B_ {j} (x) {\ frac {z ^ {j}} {j!}},}$

onde denota o número de Bernoulli com a convenção . Isso pode ser convertido em uma função geradora com a convenção pela adição de ao coeficiente de em cada ( não precisa ser alterado): ${\ displaystyle B_ {j} = B_ {j} (0)}$${\ displaystyle B_ {1} = - {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle B_ {1} ^ {+} = {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle x ^ {j-1}}$${\ displaystyle B_ {j} (x)}$${\ displaystyle B_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} B_ {j} ^ {+} (x) {\ frac {z ^ {j}} {j!}} = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} jx ^ {j-1} {\ frac {z ^ {j} } {j!}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} x ^ {j-1 } {\ frac {z ^ {j}} {(j-1)!}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} + ze ^ {zx} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx} + ze ^ {z + zx} -ze ^ {zx}} {e ^ {z} -1}} \\ = & {\ frac {ze ^ {zx }} {1-e ^ {- z}}} \ end {alinhado}}}$

Segue-se imediatamente que

${\ displaystyle S_ {p} (n) = {\ frac {B_ {p + 1} ^ {+} (n) -B_ {p + 1} ^ {+} (0)} {p + 1}}}$

para todos . ${\ displaystyle p}$

Expressões alternativas

• Ao reclassificar, encontramos a expressão alternativa

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} {(- 1) ^ {pk} \ over k + 1} {p \ escolha k} B_ {pk} n ^ {k + 1}.}$

• Também podemos expandir em termos dos polinômios de Bernoulli para encontrar${\ displaystyle G (z, n)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} G (z, n) = & {\ frac {e ^ {(n + 1) z}} {e ^ {z} -1}} - {\ frac {e ^ { z}} {e ^ {z} -1}} \\ = & \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ left (B_ {j} (n + 1) - (- 1) ^ {j } B_ {j} \ right) {\ frac {z ^ {j-1}} {j!}}, \ End {alinhado}}}$

que implica

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {1} {p + 1}} \ left (B_ {p + 1} (n + 1) - (- 1) ^ {p + 1} B_ {p + 1} \ direita) = {\ frac {1} {p + 1}} \ esquerda (B_ {p + 1} (n + 1) -B_ {p + 1 } (1) \ direita).}$

Visto que sempre que é ímpar, o fator pode ser removido quando .${\ displaystyle B_ {n} = 0}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle (-1) ^ {p + 1}}$${\ displaystyle p> 0}$

• Também pode ser expresso em termos de números de Stirling do segundo tipo e fatoriais decrescentes como

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 0} ^ {p} \ left \ {{p \ atop k} \ right \} {\ frac {(n + 1) _ {k + 1}} {k + 1}},}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = \ sum _ {k = 1} ^ {p + 1} \ left \ {{p + 1 \ atop k} \ right \ } {\ frac {(n) _ {k}} {k}}.}$

Isso se deve à definição dos números de Stirling do segundo tipo como mononômicos em termos de fatoriais decrescentes e ao comportamento dos fatoriais decrescentes sob a soma indefinida .

Relação com a função zeta de Riemann

Usando , pode-se escrever ${\ displaystyle B_ {k} = - k \ zeta (1-k)}$

${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {\ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} - \ sum \ limits _ {j = 0} ^ {p-1} {p \ escolha j} \ zeta (-j) n ^ {pj}.}$

Se considerarmos a função geradora no grande limite para , então encontramos ${\ displaystyle G (z, n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Re (z) <0}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} G (z, n) = {\ frac {1} {e ^ {- z} -1}} = \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {j-1} B_ {j} {\ frac {z ^ {j-1}} {j!}}}$

Heuristicamente, isso sugere que

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {p} = {\ frac {(-1) ^ {p} B_ {p + 1}} {p + 1}}.}$

Este resultado concorda com o valor da função zeta de Riemann para inteiros negativos na continuação analiticamente apropriada . ${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}}$${\ displaystyle s = -p <0}$${\ displaystyle \ zeta (s)}$

Forma umbral

No cálculo umbral clássico trata-se formalmente os índices j em uma sequência B _j como se fossem expoentes, de modo que, neste caso, podemos aplicar o teorema binomial e dizer

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ sobre p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolha j} B ^ {j} n ^ {p + 1-j}}$

${\ displaystyle = {(B + n) ^ {p + 1} -B ^ {p + 1} \ over p + 1}.}$

No cálculo umbral moderno , considera-se o funcional linear T no espaço vetorial de polinômios em uma variável b dada por

${\ displaystyle T (b ^ {j}) = B_ {j}. \,}$

Então pode-se dizer

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = {1 \ over p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} B_ {j} n ^ {p + 1-j} = {1 \ sobre p + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolha j} T (b ^ {j}) n ^ {p + 1-j}}$

${\ displaystyle = {1 \ over p + 1} T \ left (\ sum _ {j = 0} ^ {p} {p + 1 \ escolher j} b ^ {j} n ^ {p + 1-j} \ right) = T \ left ({(b + n) ^ {p + 1} -b ^ {p + 1} \ over p + 1} \ right).}$

Notas

links externos

• Jacobi, Carl (1834). "De usu legitimo formulas summatoriae Maclaurinianae". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 12 . pp. 263–72.
• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Faulhaber" . MathWorld .
• Johann Faulhaber (1631). Academia Algebrae - Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden .Um livro muito raro, mas Knuth colocou uma fotocópia na biblioteca de Stanford, ligue para o número QA154.8 F3 1631a f MATH. ( cópia online no Google Livros )
• Beardon, AF (1996). "Soma das potências dos inteiros" (PDF) . American Mathematical Monthly . 103 (3): 201–213. doi : 10.1080 / 00029890.1996.12004725 . Página visitada em 2011-10-23 .(Vencedor do Prêmio Lester R. Ford )
• Schumacher, Raphael (2016). "Uma versão ampliada da fórmula de Faulhaber" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 19 .

• Orosi, Greg (2018). "Uma Derivação Simples da Fórmula de Faulhaber" (PDF) . Notas Eletrônicas de Matemática Aplicada . 18 . pp. 124-126.