Triângulo de Pascal - Pascal's triangle

Um diagrama que mostra as primeiras oito linhas do triângulo de Pascal, numeradas da linha 0 até a linha 7.

Em matemática , o triângulo de Pascal é uma matriz triangular dos coeficientes binomiais que surge na teoria da probabilidade, combinatória e álgebra. Em grande parte do mundo ocidental , seu nome vem do matemático francês Blaise Pascal , embora outros matemáticos o tenham estudado séculos antes dele na Índia, Pérsia, China, Alemanha e Itália.

As linhas do triângulo de Pascal são convencionalmente enumeradas começando com a linha no topo (a 0ª linha). As entradas em cada linha são numeradas a partir da esquerda, começando com e geralmente são escalonadas em relação aos números nas linhas adjacentes. O triângulo pode ser construído da seguinte maneira: Na linha 0 (a linha superior), há uma única entrada diferente de zero 1. Cada entrada de cada linha subsequente é construída adicionando o número acima e à esquerda com o número acima e à direita, tratando as entradas em branco como 0. Por exemplo, o número inicial na primeira (ou qualquer outra) linha é 1 (a soma de 0 e 1), enquanto os números 1 e 3 na terceira linha são adicionados para produzir o número 4 na quarta linha.

Fórmula

No triângulo de Pascal, cada número é a soma dos dois números diretamente acima dele.

A entrada na linha e na coluna do triângulo de Pascal é indicada . Por exemplo, a entrada única diferente de zero na linha superior é . Com esta notação, a construção do parágrafo anterior pode ser escrita da seguinte forma:

,

para qualquer número inteiro não negativo e qualquer número inteiro . Essa recorrência para os coeficientes binomiais é conhecida como regra de Pascal .

O triângulo de Pascal tem generalizações dimensionais superiores . A versão tridimensional é chamada de pirâmide de Pascal ou tetraedro de Pascal , enquanto as versões gerais são chamadas de simplicidade de Pascal .

História

मेरु प्रस्तार (Meru Prastaara) como usado em manuscritos indianos, derivado das fórmulas de Pingala . Manuscrito da Biblioteca Raghunath J&K; 755 DC
O triângulo de Yang Hui , representado pelos chineses usando numerais de bastão , aparece em um trabalho matemático de Zhu Shijie , datado de 1303. O título diz "O Gráfico do Método Antigo dos Sete Quadrados Multiplicadores" (Chinês: 古法 七 乘方 圖; o quarto caractere 椉 no título da imagem é arcaico).
A versão de Pascal do triângulo

O padrão de números que forma o triângulo de Pascal era conhecido muito antes da época de Pascal. Pascal inovou muitos usos não atestados dos números do triângulo, usos que ele descreveu de forma abrangente no primeiro tratado matemático conhecido especialmente dedicado ao triângulo, seu Traité du triangle arithmétique (1654; publicado em 1665).

Séculos antes, a discussão sobre os números surgira no contexto dos estudos indianos de combinatória e números binomiais. Parece de comentários posteriores que os coeficientes binomiais e a fórmula aditiva para gerá-los , eram conhecidos por Pingala no século 2 aC ou antes. Enquanto o trabalho de Pingala sobrevive apenas em fragmentos, o comentarista Varāhamihira , por volta de 505, deu uma descrição clara da fórmula aditiva, e uma explicação mais detalhada da mesma regra foi dada por Halayudha , por volta de 975. Halayudha também explicou referências obscuras a Meru-prastaara , a Escadaria do Monte Meru , dando a primeira descrição sobrevivente da disposição desses números em um triângulo. Em aproximadamente 850, o matemático Jain Mahāvīra deu uma fórmula diferente para os coeficientes binomiais, usando a multiplicação, equivalente à fórmula moderna . Em 1068, quatro colunas das primeiras dezesseis linhas foram fornecidas pelo matemático Bhattotpala , que foi o primeiro matemático registrado a igualar as fórmulas aditiva e multiplicativa para esses números.

Mais ou menos na mesma época, o matemático persa Al-Karaji (953–1029) escreveu um livro agora perdido que continha a primeira descrição do triângulo de Pascal. Mais tarde, foi repetido pelo poeta-astrônomo-matemático persa Omar Khayyám (1048–1131); assim, o triângulo também é conhecido como triângulo de Khayyam no Irã. Vários teoremas relacionados ao triângulo eram conhecidos, incluindo o teorema binomial . Khayyam usou um método de encontrar n- ésimas raízes com base na expansão binomial e, portanto, nos coeficientes binomiais.

O triângulo de Pascal era conhecido na China no início do século 11 por meio do trabalho do matemático chinês Jia Xian (1010–1070). No século 13, Yang Hui (1238–1298) apresentou o triângulo e, portanto, ainda é chamado de triângulo de Yang Hui (杨辉 三角;楊輝 三角) na China.

Na Europa, o triângulo de Pascal apareceu pela primeira vez na Aritmética de Jordanus de Nemore (século 13). Os coeficientes binomiais foram calculados por Gersonides no início do século 14, usando a fórmula multiplicativa para eles. Petrus Apianus (1495-1552) publicou o triângulo completo no frontispício de seu livro sobre cálculos de negócios em 1527. Michael Stifel publicou uma parte do triângulo (da segunda coluna à coluna do meio em cada linha) em 1544, descrevendo-o como um tabela de números figurados . Na Itália, o triângulo de Pascal é conhecido como triângulo de Tartaglia , em homenagem ao algebraista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577), que publicou seis linhas do triângulo em 1556. Gerolamo Cardano , também, publicou o triângulo, bem como o aditivo e regras multiplicativas para construí-lo em 1570.

O Traité du triangle arithmétique de Pascal ( Tratado sobre o Triângulo Aritmético ) foi publicado em 1655. Neste, Pascal coletou vários resultados então conhecidos sobre o triângulo e os empregou para resolver problemas na teoria das probabilidades . O triângulo foi posteriormente nomeado após Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708), que o chamou de "Tabela de M. Pascal pour les combinaisons" (francês: Tabela do Sr. Pascal para combinações) e Abraham de Moivre (1730), que o chamou de " Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM "(latim: Triângulo Aritmético de Pascal), que se tornou o nome ocidental moderno.

Expansões binomiais

Visualização da expansão binomial até a 4ª potência

O triângulo de Pascal determina os coeficientes que surgem nas expansões binomiais . Por exemplo, considere a expansão

.

Os coeficientes são os números na segunda linha do triângulo de Pascal: , , .

Em geral, quando um binômio like é elevado a uma potência inteira positiva de , temos:

,

onde os coeficientes nesta expansão são precisamente os números na linha do triângulo de Pascal. Em outras palavras,

.

Este é o teorema binomial .

Toda a diagonal direita do triângulo de Pascal corresponde ao coeficiente de nessas expansões binomiais, enquanto a próxima diagonal corresponde ao coeficiente de e assim por diante.

Para ver como o teorema binomial se relaciona com a construção simples do triângulo de Pascal, considere o problema de calcular os coeficientes da expansão de em termos dos coeficientes correspondentes de (configuração para simplicidade). Suponha então que

.

Agora

Triângulo de Pascal de seis linhas como coeficientes binomiais

As duas somas podem ser reorganizadas da seguinte forma:

(por causa de como funciona elevar um polinômio a uma potência, ).

Agora temos uma expressão para o polinômio em termos dos coeficientes de (esses são os ), que é o que precisamos se quisermos expressar uma linha em termos da linha acima dela. Lembre-se de que todos os termos em uma diagonal indo do canto superior esquerdo para o inferior direito correspondem à mesma potência de , e que os -termos são os coeficientes do polinômio , e estamos determinando os coeficientes de . Agora, para qualquer dado , o coeficiente do termo no polinômio é igual a . Esta é de fato a regra simples para construir o triângulo de Pascal linha por linha.

Não é difícil transformar este argumento em uma prova (por indução matemática ) do teorema binomial.

Desde então , os coeficientes são idênticos na expansão do caso geral.

Uma consequência interessante do teorema binomial é obtida definindo ambas as variáveis e iguais a um. Neste caso, sabemos disso , e então

Em outras palavras, a soma das entradas na ésima linha do triângulo de Pascal é a enésima potência de 2. Isso é equivalente à afirmação de que o número de subconjuntos (a cardinalidade do conjunto de potência ) de um conjunto de -elementos é , como pode ser visto observando que o número de subconjuntos é a soma do número de combinações de cada um dos comprimentos possíveis, que variam de zero a .

Combinações

Uma segunda aplicação útil do triângulo de Pascal é no cálculo de combinações . Por exemplo, o número de combinações de coisas tomadas em um momento (chamado de n escolher k ) pode ser encontrado pela equação

.

Mas esta também é a fórmula para uma célula do triângulo de Pascal. Em vez de realizar o cálculo, pode-se simplesmente procurar a entrada apropriada no triângulo. Desde que tenhamos a primeira linha e a primeira entrada em uma linha numerada 0, a resposta estará localizada na entrada na linha . Por exemplo, suponha que um time de basquete tenha 10 jogadores e queira saber quantas maneiras existem de selecionar 8. A resposta é a entrada 8 na linha 10, que é 45; ou seja, 10 escolha 8 é 45.

Relação com distribuição binomial e convoluções

Quando dividida por , a ésima linha do triângulo de Pascal torna-se a distribuição binomial no caso simétrico em que . Pelo teorema do limite central , essa distribuição se aproxima da distribuição normal à medida que aumenta. Isso também pode ser visto aplicando a fórmula de Stirling aos fatoriais envolvidos na fórmula para combinações.

Isso está relacionado à operação de convolução discreta de duas maneiras. Em primeiro lugar, a multiplicação polinomial corresponde exatamente à convolução discreta, de modo que a convolução repetida da sequência com ela mesma corresponde a obter potências de e, portanto, a gerar as linhas do triângulo. Em segundo lugar, convolver repetidamente a função de distribuição de uma variável aleatória com ela mesma corresponde ao cálculo da função de distribuição para uma soma de n cópias independentes dessa variável; esta é exatamente a situação à qual o teorema do limite central se aplica e, portanto, leva à distribuição normal no limite.

Padrões e propriedades

O triângulo de Pascal tem muitas propriedades e contém muitos padrões de números.

Cada quadro representa uma linha no triângulo de Pascal. Cada coluna de pixels é um número binário com o bit menos significativo na parte inferior. Pixels claros representam uns e os pixels escuros são zeros.

Linhas

  • A soma dos elementos de uma única linha é o dobro da soma da linha que a precede. Por exemplo, a linha 0 (a linha superior) tem o valor 1, a linha 1 tem o valor 2, a linha 2 tem o valor 4 e assim por diante. Isso ocorre porque cada item em uma linha produz dois itens na próxima linha: um à esquerda e um à direita. A soma dos elementos da linha  é igual a .
  • Tomando o produto dos elementos em cada linha, a sequência de produtos (sequência A001142 no OEIS ) está relacionada à base do logaritmo natural, e . Especificamente, defina a sequência para todos como segue
Então, a proporção de produtos de linhas sucessivas é
e a proporção dessas proporções é
.
O lado direito da equação acima assume a forma da definição de limite de
.
  • pode ser encontrado no triângulo de Pascal através da série infinita de Nilakantha .
  • O valor de uma linha , se cada entrada for considerada uma casa decimal (e números maiores que 9 transportados de acordo), é uma potência de 11 ( 11 n , para a linha  n ). Assim, na linha 2, ⟨1, 2, 1⟩ torna-se 11 2 , enquanto ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ na linha cinco torna-se (após carregar) 161.051, que é 11 5 . Esta propriedade é explicada definindo x = 10 na expansão binomial de ( x + 1) n , e ajustando os valores para o sistema decimal. Mas x pode ser escolhido para permitir que as linhas representem valores em qualquer base .
    • Na base 3 : 1 2 1 3 = 4 2 (16)
    • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1 3 = 4 3 (64)
    • Na base 9 : 1 2 1 9 = 10 2 (100)
    •               1 3 3 1 9 = 10 3 (1000)
    • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1 9 = 10 5 (100000)
    Em particular (ver propriedade anterior), para x = 1 valor lugar permanece constante (um lugar = 1). Assim, as entradas podem ser simplesmente adicionadas na interpretação do valor de uma linha.
  • Alguns dos números no triângulo de Pascal se correlacionam com os números no triângulo de Lozanić .
  • A soma dos quadrados dos elementos da linha  n é igual ao elemento do meio da linha  2 n . Por exemplo, 1 2  + 4 2  + 6 2  + 4 2  + 1 2 = 70. Na forma geral:
  • Em qualquer linha  n , onde n é par, o termo do meio menos o termo dois pontos à esquerda é igual a um número catalão , especificamente o ( n / 2 + 1) o número catalão. Por exemplo: na linha 4, 6 - 1 = 5 , que é o terceiro número catalão, e 4/2 + 1 = 3 .
  • Em uma linha  p, onde p é um número primo , todos os termos nessa linha, exceto os 1s, são múltiplos de  p . Isso pode ser provado facilmente, pois se , então, p não tem fatores, exceto para 1 e ele mesmo. Cada entrada no triângulo é um número inteiro, portanto, por definição, e são fatores de . No entanto, não há como o próprio p aparecer no denominador; portanto, p (ou algum múltiplo dele) deve ser deixado no numerador, tornando a entrada inteira um múltiplo de p .
  • Paridade : para contar os termos ímpares na linha  n , converta n em binário . Seja x o número de 1s na representação binária. Então, o número de termos ímpares será 2 x . Esses números são os valores da sequência de Gould .
  • Cada entrada na linha 2 n -1, n ≥ 0, é ímpar.
  • Polaridade : quando os elementos de uma linha do triângulo de Pascal são adicionados e subtraídos juntos sequencialmente, cada linha com um número do meio, ou seja, linhas que têm um número ímpar de inteiros, resulta em 0. Como exemplos, a linha 4 é 1 4 6 4 1, então a fórmula seria 6 - (4 + 4) + (1 + 1) = 0; e a linha 6 é 1 6 15 20 15 6 1, então a fórmula seria 20 - (15 + 15) + (6 + 6) - (1 + 1) = 0. Portanto, cada linha par do triângulo Pascal é igual a 0 quando você pega o número do meio, subtrai os inteiros diretamente ao lado do centro, soma os próximos inteiros e depois subtrai, e assim por diante, até chegar ao final da linha.

Diagonais

Derivação de números simplex de um triângulo de Pascal justificado à esquerda

As diagonais do triângulo de Pascal contêm os números figurados de simplicos:

A simetria do triângulo implica que o n- ésimo número d-dimensional é igual ao d- ésimo número n- dimensional.

Uma fórmula alternativa que não envolve recursão é a seguinte:

onde n ( d ) é o fatorial crescente .

O significado geométrico de uma função P d é: P d (1) = 1 para todo d . Construa um triângulo d - dimensional (um triângulo tridimensional é um tetraedro ), colocando pontos adicionais abaixo de um ponto inicial, correspondendo a P d (1) = 1. Coloque esses pontos de maneira análoga à colocação dos números no triângulo de Pascal . Para encontrar P d ( x ), tenha um total de x pontos compondo a forma do alvo. P d ( x ) então é igual ao número total de pontos na forma. Um triângulo 0-dimensional é um ponto e um triângulo unidimensional é simplesmente uma linha e, portanto, P 0 ( x ) = 1 e P 1 ( x ) = x , que é a sequência de números naturais. O número de pontos em cada camada corresponde a P d  - 1 ( x ).

Calculando uma linha ou diagonal por si só

Existem algoritmos simples para calcular todos os elementos em uma linha ou diagonal sem computar outros elementos ou fatoriais.

Para calcular linha com os elementos , , ..., , começar . Para cada elemento subsequente, o valor é determinado multiplicando o valor anterior por uma fração com numerador e denominador que mudam lentamente:

Por exemplo, para calcular linha 5, as fracções são  ,  ,  ,  e , e, portanto, os elementos são  ,   ,   , etc (Os elementos restantes são mais facilmente obtidas por simetria).

Para calcular a diagonal contendo os elementos , , , ..., mais uma vez começar e obter elementos posteriores por multiplicação por certas frações:

Por simetria, este mesmo processo pode ser usado para calcular a diagonal , , ....

Por exemplo, para calcular o início diagonal no , as fracções são  ,  ,  , ..., e os elementos são ,   ,   , etc. Por simetria, estes elementos são iguais a , , , etc.

Seqüência de Fibonacci no triângulo de Pascal

Padrões e propriedades gerais

Uma aproximação de nível 4 para um triângulo de Sierpinski obtida sombreando as primeiras 32 linhas de um triângulo de Pascal de branco se o coeficiente binomial for par e preto se for ímpar.
  • O padrão obtido ao colorir apenas os números ímpares no triângulo de Pascal se parece muito com o fractal chamado triângulo de Sierpinski . Essa semelhança se torna cada vez mais precisa à medida que mais linhas são consideradas; no limite, à medida que o número de linhas se aproxima do infinito, o padrão resultante é o triângulo de Sierpinski, assumindo um perímetro fixo. De maneira mais geral, os números podem ser coloridos de forma diferente, de acordo com o fato de serem ou não múltiplos de 3, 4, etc .; isso resulta em outros padrões semelhantes.
a4 torre branca b4 um c4 um d4 um
a3 um b3 dois c3 três d3 quatro
a2 um b2 três c2 seis 10
a1 um b1 quatro 10 20
O triângulo de Pascal sobreposto a uma grade fornece o número de caminhos distintos para cada quadrado, assumindo que apenas os movimentos para a direita e para baixo são considerados.
  • Em uma porção triangular de uma grade (como nas imagens abaixo), o número de caminhos de grade mais curtos de um determinado nó ao nó superior do triângulo é a entrada correspondente no triângulo de Pascal. Em um tabuleiro de jogo Plinko em forma de triângulo, essa distribuição deve dar as probabilidades de ganhar os vários prêmios.
Pascal's Triangle 4 paths.svg
  • Se as linhas do triângulo de Pascal forem justificadas à esquerda, as bandas diagonais (codificadas por cores abaixo) somam os números de Fibonacci .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1

Construção como matriz exponencial

Matriz binomial como matriz exponencial. Todos os pontos representam 0.

Devido à sua construção simples por fatoriais, uma representação muito básica do triângulo de Pascal em termos da matriz exponencial pode ser dada: O triângulo de Pascal é o exponencial da matriz que tem a sequência 1, 2, 3, 4, ... em seu subdiagonal e zero em todos os outros lugares.

Conexões com a geometria de politopos

O triângulo de Pascal pode ser usado como uma tabela de pesquisa para o número de elementos (como arestas e cantos) dentro de um politopo (como um triângulo, um tetraedro, um quadrado e um cubo).

Número de elementos de simplices

Vamos começar considerando a 3ª linha do triângulo de Pascal, com valores 1, 3, 3, 1. Um triângulo bidimensional tem um elemento bidimensional (ele mesmo), três elementos unidimensionais (linhas ou arestas) e três Elementos 0-dimensionais ( vértices ou cantos). O significado do número final (1) é mais difícil de explicar (mas veja abaixo). Continuando com nosso exemplo, um tetraedro tem um elemento tridimensional (ele mesmo), quatro elementos bidimensionais (faces), seis elementos unidimensionais (arestas) e quatro elementos 0-dimensionais (vértices). Somando o 1 final novamente, esses valores correspondem à 4ª linha do triângulo (1, 4, 6, 4, 1). A linha 1 corresponde a um ponto e a linha 2 corresponde a um segmento de linha (díade). Esse padrão continua em hiper-tetraedros de dimensões arbitrárias (conhecidos como simplicos ).

Para entender por que esse padrão existe, deve-se primeiro entender que o processo de construção de um n -simplex a partir de um ( n - 1) -simplex consiste simplesmente em adicionar um novo vértice ao último, posicionado de forma que este novo vértice fique fora do espaço do simplex original, e conectando-o a todos os vértices originais. Como exemplo, considere o caso da construção de um tetraedro a partir de um triângulo, o último de cujos elementos são enumerados pela linha 3 do triângulo de Pascal: 1 face, 3 arestas e 3 vértices (o significado do 1 final será explicado em breve) . Para construir um tetraedro a partir de um triângulo, posicionamos um novo vértice acima do plano do triângulo e conectamos esse vértice a todos os três vértices do triângulo original.

O número de um determinado elemento dimensional no tetraedro é agora a soma de dois números: primeiro, o número desse elemento encontrado no triângulo original, mais o número de novos elementos, cada um dos quais é construído sobre elementos de uma dimensão a menos do triângulo original . Assim, no tetraedro, o número de células (elementos poliédricos) é 0 + 1 = 1 ; o número de faces é 1 + 3 = 4 ; o número de arestas é 3 + 3 = 6 ; o número de novos vértices é 3 + 1 = 4 . Este processo de somar o número de elementos de uma determinada dimensão àqueles de uma dimensão a menos para chegar ao número do primeiro encontrado no próximo simplex superior é equivalente ao processo de somar dois números adjacentes em uma linha do triângulo de Pascal para produzir o número abaixo. Assim, o significado do número final (1) em uma linha do triângulo de Pascal passa a ser entendido como representando o novo vértice que deve ser adicionado ao simplex representado por aquela linha para produzir o próximo simplex superior representado pela próxima linha. Este novo vértice é unido a cada elemento no simplex original para produzir um novo elemento de uma dimensão superior no novo simplex, e esta é a origem do padrão considerado idêntico ao visto no triângulo de Pascal. O "extra" 1 em uma linha pode ser considerado o -1 simplex, o centro único do simplex, que sempre dá origem a um novo vértice e uma nova dimensão, produzindo um novo simplex com um novo centro.

Número de elementos de hipercubos

Um padrão semelhante é observado em relação aos quadrados , em oposição aos triângulos. Para encontrar o padrão, deve-se construir um análogo ao triângulo de Pascal, cujas entradas são os coeficientes de ( x + 2) Número da linha , em vez de ( x + 1) Número da linha . Existem algumas maneiras de fazer isso. O mais simples é começar com a linha 0 = 1 e a linha 1 = 1, 2. Prossiga para construir os triângulos analógicos de acordo com a seguinte regra:

Ou seja, escolha um par de números de acordo com as regras do triângulo de Pascal, mas dobre o da esquerda antes de somar. Isto resulta em:

A outra maneira de fabricar esse triângulo é começar com o triângulo de Pascal e multiplicar cada entrada por 2 k , onde k é a posição na linha do número fornecido. Por exemplo, o segundo valor na linha 4 do triângulo de Pascal é 6 (a inclinação de 1s corresponde à entrada zero em cada linha). Para obter o valor que reside na posição correspondente no triângulo analógico, multiplique 6 por 2 Número da posição = 6 × 2 2 = 6 × 4 = 24 . Agora que o triângulo analógico foi construído, o número de elementos de qualquer dimensão que compõe um cubo arbitrariamente dimensionado (chamado de hipercubo ) pode ser lido da tabela de forma análoga ao triângulo de Pascal. Por exemplo, o número de elementos bidimensionais em um cubo bidimensional (um quadrado) é um, o número de elementos unidimensionais (lados ou linhas) é 4 e o número de elementos 0-dimensionais (pontos, ou vértices) é 4. Isso corresponde à 2ª linha da tabela (1, 4, 4). Um cubo tem 1 cubo, 6 faces, 12 arestas e 8 vértices, que corresponde à próxima linha do triângulo analógico (1, 6, 12, 8). Este padrão continua indefinidamente.

Para entender por que esse padrão existe, primeiro reconheça que a construção de um n- cubo a partir de um ( n - 1) -cubo é feita simplesmente duplicando a figura original e deslocando-a alguma distância (para um n- cubo regular , o comprimento da borda ) ortogonal ao espaço da figura original, conectando então cada vértice da nova figura ao seu vértice correspondente do original. Este processo de duplicação inicial é a razão pela qual, para enumerar os elementos dimensionais de um n- cubo, deve-se dobrar o primeiro de um par de números em uma linha deste análogo do triângulo de Pascal antes de somar para produzir o número abaixo. A duplicação inicial, portanto, produz o número de elementos "originais" a serem encontrados no próximo n- cubo superior e, como antes, novos elementos são construídos sobre aqueles de uma dimensão a menos (arestas sobre vértices, faces sobre arestas, etc.). Novamente, o último número de uma linha representa o número de novos vértices a serem adicionados para gerar o próximo n- cubo superior .

Nesse triângulo, a soma dos elementos da linha m é igual a 3 m . Novamente, para usar os elementos da linha 4 como exemplo: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , que é igual a .

Contando vértices em um cubo por distância

Cada linha do triângulo de Pascal fornece o número de vértices em cada distância de um vértice fixo em um cubo n- dimensional. Por exemplo, em três dimensões, a terceira linha (1 3 3 1) corresponde ao cubo tridimensional usual : fixando um vértice V , há um vértice na distância 0 de V (ou seja, o próprio V ), três vértices em distância 1, três vértices na distância 2 e um vértice na distância 3 (o vértice oposto a V ). A segunda linha corresponde a um quadrado, enquanto as linhas com números maiores correspondem a hipercubos em cada dimensão.

Transformada de Fourier de sin ( x ) n +1 / x

Conforme afirmado anteriormente, os coeficientes de ( x  + 1) n são a enésima linha do triângulo. Agora, os coeficientes de ( x  - 1) n são os mesmos, exceto que o sinal alterna de +1 para -1 e vice-versa. Após a normalização adequada, o mesmo padrão de números ocorre na transformada de Fourier de sin ( x ) n +1 / x . Mais precisamente: se n for par, pegue a parte real da transformada, e se n for ímpar, pegue a parte imaginária . Em seguida, o resultado é uma função degrau , cujos valores (adequadamente normalizados) são dadas por o n -ésima linha do triângulo com a alternância de sinais. Por exemplo, os valores da função step que resulta de:

compor a 4ª linha do triângulo, com sinais alternados. Esta é uma generalização do seguinte resultado básico (frequentemente usado em engenharia elétrica ):

é a função do vagão . A linha correspondente do triângulo é a linha 0, que consiste apenas no número 1.

Se n for congruente com 2 ou 3 mod 4, então os sinais começam com -1. Na verdade, a sequência dos primeiros termos (normalizados) corresponde às potências de i , que circulam em torno da interseção dos eixos com o círculo unitário no plano complexo:

Extensões

Coeficientes binomiais C  ( n , k ) estendidos para n negativo e fracionário , ilustrados com um binomial simples . Pode-se observar que o triângulo de Pascal é girado e os termos alternativos são negados. O caso n  = −1a série de Grandi .

O triângulo de Pascal pode ser estendido para números de linha negativos.

Primeiro escreva o triângulo da seguinte forma:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Em seguida, estenda a coluna de 1s para cima:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 ...
-3 1 ...
-2 1 ...
-1 1 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Agora a regra:

pode ser reorganizado para:

que permite o cálculo das outras entradas para linhas negativas:

m
n
0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 -4 10 -20 35 -56 ...
-3 1 -3 6 -10 15 21 ...
-2 1 -2 3 -4 5 -6 ...
-1 1 -1 1 -1 1 -1 ...
0 1 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 0 ...
2 1 2 1 0 0 0 ...
3 1 3 3 1 0 0 ...
4 1 4 6 4 1 0 ...

Esta extensão preserva a propriedade de que os valores na m- ésima coluna vistos como uma função de n são ajustados por um polinômio de ordem m , a saber

.

Esta extensão também preserva a propriedade de que os valores no n ° correspondem linha para os coeficientes de (1 +  x ) n :

Por exemplo:

Quando visto como uma série, as linhas de n negativo divergem. No entanto, eles ainda são somados Abel , cuja soma dá os valores padrão de 2 n . (Na verdade, a  linha n = -1 resulta na série de Grandi que "soma" para 1/2, e a  linha n = -2 resulta em outra série bem conhecida que tem uma soma Abel de 1/4.)

Outra opção para estender o triângulo de Pascal para linhas negativas vem de estender a outra linha de 1s:

m
n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
-1 1 0 0 0 0 0 0 ...
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Aplicar a mesma regra de antes leva a

m
n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...
-4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-3 -3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
-2 3 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
-1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 ..
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ...
2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 ...
3 0 0 0 0 1 3 3 1 0 0 ...
4 0 0 0 0 1 4 6 4 1 0 ...

Esta extensão também tem as propriedades que, assim como

temos

Além disso, assim como a soma das diagonais inferior esquerda para superior direita da matriz Pascal produz os números de Fibonacci , esse segundo tipo de extensão ainda soma os números de Fibonacci para índice negativo.

Qualquer uma dessas extensões pode ser alcançada se definirmos

e ter de certos limites da função gama , .

Veja também

Referências

links externos