Matriz Pascal - Pascal matrix

Em matemática , especialmente teoria matriz e combinatória , uma matriz de Pascal é um (possivelmente infinito ) matriz contendo os coeficiente binomial como seus elementos. É, portanto, uma codificação do triângulo de Pacal em forma de matriz. Existem três maneiras naturais de se conseguir isso: como uma matriz triangular inferior , uma matriz triangular superior ou uma matriz simétrica . Por exemplo, as matrizes 5 × 5 são:

Existem outras maneiras pelas quais o triângulo de Pascal pode ser colocado em forma de matriz, mas elas não são facilmente estendidas ao infinito.

Definição

Os elementos diferentes de zero de uma matriz Pascal são dados pelos coeficientes binomiais :

onde os índices i , j começam em 0 e! denota o fatorial .

Propriedades

As matrizes têm a relação agradável S n = L n U n . A partir disso, é facilmente visto que todas as três matrizes têm determinante 1, pois o determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto de seus elementos diagonais, que são todos 1 para L n e U n . Em outras palavras, as matrizes S n , L n e U n são unimodulares , com L n e U n tendo o traço n .

O traço de S n é dado por

com os primeiros poucos termos dados pela sequência 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... (sequência A006134 no OEIS ).

Construção

A matriz Pascal pode realmente ser construída tomando a matriz exponencial de uma matriz subdiagonal ou superdiagonal especial . O exemplo a seguir constrói uma matriz Pascal 7 × 7, mas as obras método para qualquer desejado n  ×  n matrizes Pascal. Os pontos nas seguintes matrizes representam zero elementos.

É importante notar que não se pode simplesmente assumir exp ( A ) exp ( B ) = exp ( A  +  B ), para n  ×  n matrizes A e B ; esta igualdade só se mantém quando AB = BA (ou seja, quando as matrizes A e B comutam ). Na construção de matrizes Pascal simétricas como a acima, as matrizes sub e superdiagonais não comutam, então a (talvez) simplificação tentadora envolvendo a adição das matrizes não pode ser feita.

Uma propriedade útil das matrizes sub e superdiagonais usadas na construção é que ambas são nilpotentes ; isto é, quando elevados a uma potência inteira suficientemente alta , eles degeneram na matriz zero . (Veja a matriz de mudança para mais detalhes.) Como o n  ×  n matrizes turno generalizadas estamos usando tornar-se zero quando levantou ao poder n , ao calcular a matriz exponencial só precisamos considerar o primeiro n  + 1 termos das séries infinitas de obter um resultado exato.

Variantes

Variantes interessantes podem ser obtidas por modificação óbvia do logaritmo da matriz PL 7 e, em seguida, pela aplicação da matriz exponencial.

O primeiro exemplo abaixo usa os quadrados dos valores da matriz logarítmica e constrói uma matriz 7 × 7 "Laguerre" (ou matriz de coeficientes de polinômios de Laguerre

A matriz de Laguerre é realmente usada com alguma outra escala e / ou esquema de sinais alternados. (A literatura sobre generalizações para potências superiores ainda não foi encontrada)

O segundo exemplo abaixo usa os produtos v ( v  + 1) dos valores da matriz logarítmica e constrói uma matriz 7 × 7 "Lah" (ou matriz de coeficientes de números Lah )

Em vez disso, usar v ( v  - 1) fornece um deslocamento diagonal para o canto inferior direito.

O terceiro exemplo abaixo usa o quadrado da matriz PL 7 original, dividido por 2, ou seja: os binômios de primeira ordem (binomial ( k , 2)) no segundo subdiagonal e constrói uma matriz, que ocorre no contexto de as derivadas e integrais da função de erro gaussiana :

Se esta matriz for invertida (usando, por exemplo, o logaritmo-matriz negativo), então essa matriz tem sinais alternados e fornece os coeficientes das derivadas (e por extensão os integrais) da função de erro de Gauss. (A literatura sobre generalizações para potências superiores ainda não foi encontrada.)

Outra variante pode ser obtida estendendo a matriz original para valores negativos :

Veja também

Referências

links externos