Espaço em barril - Barrelled space

Na análise funcional e áreas relacionadas da matemática , um espaço em barril (também escrito espaço em barril ) é um espaço vetorial topológico (TVS) para o qual cada conjunto em barril no espaço é uma vizinhança para o vetor zero . Um conjunto de canos ou de um cano num espaço vectorial topológico é um conjunto que é convexa , em relação , absorvente , e fechada . Espaços em barril são estudados porque uma forma do teorema de Banach – Steinhaus ainda se aplica a eles.

Barris

A convexas e equilibrada subconjunto de um espaço real ou complexo vector é chamado de disco e diz-se ser disked , absolutamente convexo , ou convexo equilibrada .

UMA barril ou umO conjunto barreled em umespaço vetorial topológico(TVS) é um subconjunto que é umdiscoabsorventefechado .

O único requisito topológico em um barril é que ele seja um subconjunto fechado do TVS; todos os outros requisitos (ou seja, ser um disco e ser absorvente) são propriedades puramente algébricas.

Propriedades dos barris

• Em qualquer espaço vetorial topológico (TVS) , cada barril em absorve cada subconjunto convexo compacto de .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
• Em qualquer TVS localmente convexo de Hausdorff, cada barril em absorve cada subconjunto completo limitado convexo de .${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Se for localmente convexo, então um subconjunto de é limitado se e somente se houver um barril em que${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$ ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H \ subseteq B ^ {\ circ}.}$
• Seja um emparelhamento e seja uma topologia localmente convexa consistente com a dualidade. Então, um subconjunto de é um barril em se e somente se é o polar de algum subconjunto limitado de${\ displaystyle (X, Y, b)}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ nu)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ sigma (Y, X, b)}$${\ displaystyle Y.}$
• Suponhamos que é um vector de subespaço codimens~ao finita num espaço localmente convexa e Se é um barril (resp. Bornivorous tambor, disco bornivorous) em seguida, existe um tambor (resp. Barril bornivorous, disco bornivorous) em tal que${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ subseteq M.}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B = C \ cap M.}$

Caracterizações de espaços em barril

Denote pelo espaço de mapas lineares contínuos de dentro${\ displaystyle L (X; Y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Se for um espaço vetorial topológico de Hausdorff (TVS) com espaço dual contínuo, então o seguinte é equivalente: ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$

1. ${\ displaystyle X}$ é barriled;
2. Definição : Cada barril dentro é um bairro da origem; ${\ displaystyle X}$
   • Esta definição é semelhante a uma caracterização de Baire TVSs provada por Saxon [1974], que mostrou que um TVS com uma topologia que não seja a topologia indiscreta é um espaço Baire se e somente se todo subconjunto absorvente balanceado for uma vizinhança de algum ponto de (não necessariamente a origem).${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$
3. Para qualquer TVS de Hausdorff , cada subconjunto limitado por pontos de é equicontínuo;${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X; Y)}$
4. Para qualquer espaço F , cada subconjunto limitado por pontos de é equicontínuo; ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X; Y)}$
   • Um F-space é um TVS metrizável completo .
5. Cada operador linear fechado de um TVS metrizável completo é contínuo. ${\ displaystyle X}$
   • Um mapa linear é chamado de fechado se seu gráfico for um subconjunto fechado de${\ displaystyle F: X \ a Y}$${\ displaystyle X \ times Y.}$
6. Cada topologia de Hausdorff TVS em que tem uma base bairro de 0 consistindo em conjunto -em suas muitas variantes- é claro que .${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ tau}$

Se for um espaço localmente convexo , esta lista pode ser estendida anexando-se: ${\ displaystyle (X, \ tau)}$

7. Existe um TVS que não carrega a topologia indiscreta (em particular ) , de modo que cada subconjunto limitado por pontos de é equicontínuo;${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y \ neq \ {0 \}}$${\ displaystyle L (X; Y)}$
8. Para qualquer TVS localmente convexo , cada subconjunto limitado por pontos de é equicontínuo; ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X; Y)}$
   • Conclui-se das duas caracterizações acima que, na classe dos TVS localmente convexos, os espaços em barril são exatamente aqueles para os quais o princípio de delimitação uniforme é válido.
9. Cada subconjunto limitado do espaço dual contínuo é equicontínuo (isso fornece um inverso parcial ao teorema de Banach-Steinhaus );${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X}$
10. ${\ displaystyle X}$carrega a forte topologia dupla ${\ displaystyle \ beta \ left (X, X ^ {\ prime} \ right).}$
11. Cada semicontínua inferior semi normais on é contínua;${\ displaystyle X}$
12. Todo mapa linear em um espaço localmente convexo é quase contínuo ; ${\ displaystyle F: X \ a Y}$${\ displaystyle Y}$
    • Isso significa que para cada vizinhança de 0 pol. , O fechamento de é uma vizinhança de 0 pol .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle F ^ {- 1} (V)}$${\ displaystyle X}$
13. Todo mapa linear sobrejetivo de um espaço localmente convexo está quase aberto ; ${\ displaystyle F: Y \ to X}$${\ displaystyle Y}$
    • Isso significa que para cada vizinhança de 0 pol. , O fechamento de é uma vizinhança de 0 pol .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle F (V)}$${\ displaystyle X}$
14. Se for uma topologia localmente convexa que tenha uma base de vizinhança na origem consistindo de conjuntos fechados, então é mais fraca que ;${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (X, \ omega)}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ tau}$

Se for um espaço localmente convexo de Hausdorff, esta lista pode ser estendida anexando: ${\ displaystyle X}$

15. Teorema do gráfico fechado : Todo operador linear fechado em um espaço de Banach é contínuo ; ${\ displaystyle F: X \ a Y}$ ${\ displaystyle Y}$
    • Um operador linear fechado é um operador linear cujo gráfico é fechado em ${\ displaystyle X \ times Y}$
16. Para cada subconjunto do espaço dual contínuo, as seguintes propriedades são equivalentes: é ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$
    1. equicontínuo;
    2. relativamente fracamente compacto;
    3. fortemente limitado;
    4. limitado fracamente;
17. as bases de vizinhança 0 em e as famílias fundamentais dos conjuntos limitados em correspondem umas às outras por polaridade ;${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X _ {\ beta} ^ {\ prime}}$

Se for TVS metrizável , esta lista pode ser estendida anexando: ${\ displaystyle X}$

18. Para qualquer TVS metrizável completo , cada sequência limitada por pontos em é equicontínua;${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X; Y)}$

Se for um TVS metrizável localmente convexo , esta lista pode ser estendida anexando: ${\ displaystyle X}$

19. (propriedade S): A topologia fraca * on é sequencialmente completa ;${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$
20. (propriedade C): Cada fraco subconjunto limitado de * é -relatively contavelmente compacto ;${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$
21. (𝜎-barreled): Todo subconjunto contável limitado * fraco de é equicontínuo;${\ displaystyle X ^ {\ prime}}$
22. (Tipo Baire): não é a união de uma sequência de aumento de discos densos em lugar nenhum .${\ displaystyle X}$

Exemplos e condições suficientes

Cada um dos seguintes espaços vetoriais topológicos é barrado:

1. TVSs que são o espaço de Baire .
   • assim, também todo espaço vetorial topológico que é da segunda categoria em si é barrado.
2. F-espaços , espaços de Fréchet , espaços de Banach e espaços de Hilbert .
   • No entanto, existem espaços vetoriais normados que não são barrados. Por exemplo, se o espaço Lp for topologizado como um subespaço de, então ele não é barrado.${\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$${\ displaystyle L ^ {1} ([0,1]),}$
3. Completa pseudometrizable TVSS.
4. Espaços de Montel .
5. Duplos fortes de espaços Montel (visto que são espaços Montel).
6. Um espaço localmente convexo de quase barril que também é um espaço de barril σ .
7. Um espaço quase completo sequencialmente .
8. Um espaço infrarrelado localmente convexo de Hausdorff quase completo .
   • Um TVS é denominado quase completo se todos os subconjuntos fechados e limitados estiverem completos.
9. Um TVS com um subespaço vetorial de barrilete denso.
   • Assim, a conclusão de um espaço cilíndrico é interrompida.
10. Um TVS localmente convexo de Hausdorff com um subespaço vetorial infravermelho denso .
    • Assim, a conclusão de um espaço localmente convexo de Hausdorff infrarrelado é impedida.
11. Um subespaço vetorial de um espaço em barril que possui codimensional contável.
    • Em particular, um subespaço vetorial codimensional finito de um espaço em barril é feito em barril.
12. Um TVS ultrabarelado localmente convexo.
13. Um TVS localmente convexo de Hausdorff tal que todo subconjunto fracamente limitado de seu espaço dual contínuo é equicontínuo.${\ displaystyle X}$
14. Um TVS localmente convexo tal que, para cada espaço de Banach , um mapa linear fechado de em é necessariamente contínuo.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$
15. Um produto de uma família de espaços cilíndricos.
16. Uma soma direta localmente convexa e o limite indutivo de uma família de espaços em barril.
17. Um quociente de um espaço em barril.
18. Uma soma total limitada de TVS de quase- barrela sequencialmente completa de Hausdorff .
19. Um espaço reflexivo localmente convexo de Hausdorff é cercado.

Contra-exemplos

• Um espaço em barril não precisa ser Montel , completo, metrizável, desordenado como o de Baire, nem o limite indutivo dos espaços de Banach.
• Nem todos os espaços normados são cilíndricos. No entanto, eles são todos marcados com uma marca infravermelha.
• Um subespaço fechado de um espaço em barril não é necessariamente contável como quase barril (e, portanto, não necessariamente em barril).
• Existe um subespaço de vetor denso do espaço em cilindro de Fréchet que não é em cilindro.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$
• Existem TVSs localmente convexos completos que não são cilíndricos.
• A melhor topologia localmente convexa em um espaço vetorial é o espaço em barril de Hausdorff, que é um pequeno subconjunto de si mesmo (e, portanto, não é um espaço de Baire ).

Propriedades de espaços em barril

Generalização de Banach – Steinhaus

A importância dos espaços cilíndricos deve-se principalmente aos seguintes resultados.

O teorema de Banach-Steinhaus é um corolário do resultado acima. Quando o espaço vetorial consiste em números complexos, a seguinte generalização também é válida. ${\ displaystyle Y}$

Lembre-se de que um mapa linear é chamado de fechado se seu gráfico for um subconjunto fechado de${\ displaystyle F: X \ a Y}$${\ displaystyle X \ times Y.}$

Outras propriedades

• Cada espaço de barril de Hausdorff é quase barrado .
• Um mapa linear de um espaço cilíndrico para um espaço localmente convexo é quase contínuo .
• Um mapa linear de um espaço localmente convexo em um espaço cano é quase aberto .
• Um mapa bilinear contínuo separadamente de um produto de espaços em barril em um espaço localmente convexo é hipocontínuo .
• Um mapa linear com um gráfico fechado de um TVS em barril em um TVS completo é necessariamente contínuo.${\ displaystyle B_ {r}}$

História

Os espaços em barril foram introduzidos por Bourbaki  ( 1950 ).

Veja também

• Conjunto de barril
• Espaço contável
• Espaço infravermelho
• Espaço quasi-barril
• Espaço ultrabarrelado
• Princípio da delimitação uniforme # Generalizações  - Um teorema que afirma que a delimitação pontual implica delimitação uniforme
• Teorema de Ursescu  - Generalização de grafo fechado, mapeamento aberto e teorema de limite uniforme
• Espaço com teia  - espaços onde teoremas de mapeamento aberto e gráficos fechados são mantidos

Referências

Bibliografia

• Voigt, Jürgen (2020). Um curso sobre espaços vetoriais topológicos . Livros de texto compactos em matemática. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC  1145563701 .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos em espaços vetoriais topológicos . Mineola, Nova York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .