Conjunto balanceado - Balanced set

Em álgebra linear e áreas relacionadas da matemática, um conjunto equilibrado , conjunto circulado ou disco em um espaço vetorial (sobre um campo com uma função de valor absoluto ) é um conjunto tal que para todos os escalares satisfazendo${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle | \ cdot |}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle aS \ subseteq S}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle | a | \ leq 1.}$

O casco balanceado ou envelope balanceado de um conjunto é o menor conjunto balanceado contendo O núcleo balanceado de um subconjunto é o maior conjunto balanceado contido em${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

Definição

Suponha que seja um espaço vetorial sobre o campo de números reais ou complexos . Os elementos de são chamados escalares . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$

Notação : se for um conjunto, é um escalar e, em seguida, deixe ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle B \ subseteq \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle aS: = \ left \ {as: s \ in S \ right \}}$      e      ${\ displaystyle BS: = \ left \ {bs: b \ in B, s \ in S \ right \}.}$

e para qualquer licença ${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq \ infty,}$

${\ displaystyle {\ overline {B_ {r}}}: = \ left \ {a \ in \ mathbb {K}: | a | \ leq r \ right \}}$      e      ${\ displaystyle B_ {r}: = \ left \ {a \ in \ mathbb {K}: | a | <r \ right \}}$

denotam a bola fechada (respectivamente, a bola aberta) de raio em centrado em onde e Cada subconjunto equilibrado do campo é da forma ou para algum${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle B_ {0} = \ varnothing,}$ ${\ displaystyle {\ overline {B_ {0}}} = \ {0 \},}$${\ displaystyle B _ {\ infty}: = {\ overline {B _ {\ infty}}} = \ mathbb {K}.}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle {\ overline {B_ {r}}}}$${\ displaystyle B_ {r}}$${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq \ infty.}$

Um subconjunto de é chamado de balanceado se satisfizer qualquer uma das seguintes condições equivalentes: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$

1. Definição : para todos os escalares satisfatórios ;${\ displaystyle aS \ subseteq S}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle | a | \ leq 1}$
2. ${\ displaystyle {\ overline {B_ {1}}} S \ subseteq S,}$onde ;${\ displaystyle {\ overline {B_ {1}}}: = \ left \ {a \ in \ mathbb {K}: | a | \ leq 1 \ right \}}$
3. ${\ displaystyle S = {\ overline {B_ {1}}} S}$;
4. Para cada ; ${\ displaystyle s \ in S,}$ ${\ displaystyle S \ cap \ mathbb {K} = {\ overline {B_ {1}}} \ left (S \ cap \ mathbb {K} s \ right)}$
   • Se então a igualdade acima se torna exatamente a condição anterior para um conjunto ser balanceado. Assim, é balanceado se e somente se para todos for um conjunto balanceado (de acordo com qualquer uma das condições de definição anteriores);${\ displaystyle R: = S \ cap \ mathbb {K} s}$${\ displaystyle R = {\ overline {B_ {1}}} R,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle s \ in S,}$ ${\ displaystyle A \ cap \ mathbb {K} s}$
5. Para cada subespaço vetorial unidimensional de é um conjunto balanceado (de acordo com qualquer condição de definição diferente desta).${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {span} S,}$ ${\ displaystyle S \ cap Y}$
6. Para cada existe algum tal que ou ;${\ displaystyle s \ in S,}$${\ displaystyle 0 \ leq r \ leq \ infty}$${\ displaystyle S \ cap \ mathbb {K} s = B_ {r} s}$${\ displaystyle S \ cap \ mathbb {K} s = {\ overline {B_ {r}}} s}$

Se for um conjunto convexo , esta lista pode ser estendida para incluir: ${\ displaystyle S}$

7. ${\ displaystyle aS \ subseteq S}$para todos os escalares satisfazendo${\ displaystyle a}$${\ displaystyle | a | = 1.}$

Nesse caso , esta lista pode ser estendida para incluir: ${\ displaystyle \ mathbb {K} = \ mathbb {R}}$

8. ${\ displaystyle S}$é simétrico (significado ) e${\ displaystyle -S = S}$${\ displaystyle [0,1) S \ subseteq S.}$

o casco balanceado de um subconjuntodedenotado poré definido em qualquer uma das seguintes maneiras equivalentes: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {bal} S,}$

1. Definição : é o menor (em relação a ) subconjunto balanceado de conteúdo ;${\ displaystyle \ operatorname {bal} S}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle S}$
2. ${\ displaystyle \ operatorname {bal} S}$é a interseção de todos os conjuntos balanceados contendo ;${\ displaystyle S}$
3. ${\ displaystyle \ operatorname {bal} S = \ bigcup _ {| a | \ leq 1} (aS)}$;
4. ${\ displaystyle \ operatorname {bal} S = {\ overline {B_ {1}}} S}$.

o núcleo balanceado de um subconjuntodedenotado poré definido em qualquer uma das seguintes maneiras equivalentes: ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {balcore} S,}$

1. Definição : é o maior (em relação a ) subconjunto equilibrado de ;${\ displaystyle \ operatorname {balcore} S}$${\ displaystyle \, \ subseteq \,}$${\ displaystyle S}$
2. ${\ displaystyle \ operatorname {balcore} S}$é a união de todos os subconjuntos equilibrados de ;${\ displaystyle S}$
3. ${\ displaystyle \ operatorname {balcore} S = \ varnothing}$se enquanto se${\ displaystyle 0 \ not \ in S}$${\ displaystyle \ operatorname {balcore} S = \ bigcap _ {| a | \ geq 1} (aS)}$${\ displaystyle 0 \ in S.}$

Exemplos e condições suficientes

Condições suficientes

• O fechamento de um conjunto equilibrado é equilibrado.
• O casco convexo de um conjunto balanceado é convexo e balanceado (também conhecido como conjunto absolutamente convexo ).
  • No entanto, o casco balanceado de um conjunto convexo pode deixar de ser convexo.
• O casco balanceado de um conjunto compacto (resp. Totalmente limitado , limitado) é compacto (resp. Totalmente limitado, limitado).
• As uniões arbitrárias de conjuntos balanceados são um conjunto balanceado.
• As interseções arbitrárias de conjuntos balanceados são um conjunto balanceado.
• Os múltiplos escalares de conjuntos balanceados são balanceados.
• A soma de Minkowski de dois conjuntos balanceados é equilibrada.
• A imagem de um conjunto balanceado sob um operador linear é novamente um conjunto balanceado.
• A imagem inversa de um conjunto balanceado (no codomínio) sob um operador linear é novamente um conjunto balanceado (no domínio).
• Em qualquer espaço vetorial topológico , o interior de uma vizinhança equilibrada da origem é novamente equilibrado.

Exemplos

• Se é qualquer subconjunto e então é um conjunto balanceado. ${\ displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle B_ {1}: = \ left \ {a \ in \ mathbb {K}: | a | <1 \ right \}}$${\ displaystyle B_ {1} S}$
  • Em particular, se houver alguma vizinhança equilibrada da origem em um TVS, então${\ displaystyle U \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {Int} U = B_ {1} U = \ bigcup _ {0 <| a | <1} aU \ subseteq U.}$
• Se é o campo real ou números complexos e é o espaço normalizado com a norma euclidiana usual, então os subconjuntos balanceados de são exatamente os seguintes: ${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X = \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X}$
  1. ${\ displaystyle \ varnothing}$
  2. ${\ displaystyle X}$
  3. ${\ displaystyle \ {0 \}}$
  4. ${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: | x | <r \ right \}}$ para algum real ${\ displaystyle r> 0}$
  5. ${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: | x | \ leq r \ right \}}$ para algum real ${\ displaystyle r> 0.}$
• As bolas abertas e fechadas centradas em 0 em um espaço vetorial normatizado são conjuntos balanceados.
• Qualquer subespaço vetorial de um espaço vetorial real ou complexo é um conjunto balanceado.
• Se ( é um espaço vetorial acima ), é a bola unitária fechada centrada na origem, é diferente de zero e o conjunto é uma vizinhança fechada, simétrica e equilibrada da origem em Mais geralmente, se é qualquer subconjunto fechado de tal que então é uma vizinhança fechada, simétrica e balanceada da origem em Este exemplo pode ser generalizado para para qualquer inteiro${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ overline {B_ {1}}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle L: = \ mathbb {R} x_ {0},}$${\ displaystyle R: = {\ overline {B_ {1}}} \ xícara L}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (0,1) C \ subseteq C,}$${\ displaystyle S: = {\ overline {B_ {1}}} \ xícara C \ xícara (-C)}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1.}$
• O produto cartesiano de uma família de conjuntos balanceados é balanceado no espaço do produto dos espaços vetoriais correspondentes (sobre o mesmo campo ).${\ displaystyle \ mathbb {K}}$
• Considere o campo dos números complexos, como um espaço vetorial unidimensional. Os conjuntos balanceados são ele mesmo, o conjunto vazio e os discos abertos e fechados centrados em zero. Ao contrário, no espaço euclidiano bidimensional existem muitos conjuntos mais equilibrados: qualquer segmento de linha com ponto médio na origem serve. Como resultado, e são totalmente diferentes no que diz respeito à multiplicação escalar .${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$
• Se for uma seminorma em um espaço linear, então, para qualquer constante, o conjunto é balanceado.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle \ left \ {x \ in X: p (x) \ leq c \ right \}}$
• Deixe e deixe ser a união do segmento de linha entre e e o segmento de linha entre e Então é balanceado, mas não convexo ou absorvente. Contudo,${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle (0, -1)}$${\ displaystyle (0,1).}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ operatorname {span} B = X.}$
• Vamos e para cada Vamos ser qualquer número real positivo e deixe ser o segmento de linha (aberto ou fechado) entre os pontos e então o conjunto é equilibrado e absorvente, mas não é necessariamente convexo.${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq \ pi,}$${\ displaystyle r_ {t}}$${\ displaystyle B ^ {t}}$${\ displaystyle (\ cos t, \ sin t)}$${\ displaystyle - (\ cos t, \ sin t).}$${\ displaystyle B = \ bigcup _ {0 \ leq t <\ pi} r_ {t} B ^ {t}}$
• O casco balanceado de um conjunto fechado não precisa ser fechado. Tome, por exemplo, o gráfico de em${\ displaystyle xy = 1}$${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Propriedades

Propriedades de conjuntos balanceados

• Um conjunto é absolutamente convexo se, e somente se, for convexo e equilibrado.
• Se for balanceado para qualquer escalar${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a,}$ ${\ displaystyle aB = | a | B.}$
• Se for balanceado para qualquer escalar e tal que${\ displaystyle B}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle | a | \ leq | b |,}$ ${\ displaystyle aB \ subseteq bB.}$
• A união e o interior de um conjunto equilibrado são equilibrados.${\ displaystyle \ {0 \}}$
• Se é um subconjunto equilibrada de seguida, é absorver em se e somente se para todos existe tal que${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle x \ in rB.}$
• Se é um subconjunto equilibrado de então é absorvido em${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ operatorname {span} B.}$
• A soma de Minkowski de dois conjuntos balanceados é equilibrada.
• Cada conjunto balanceado é simétrico .
• Cada conjunto balanceado tem a forma de estrela (em 0).
• Suponha que esteja equilibrado. Se for um subespaço vetorial unidimensional de então } é convexo e balanceado. Se é um subespaço vetorial unidimensional de então } também é absorvente em${\ displaystyle B}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ cap Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {span} B}$${\ displaystyle B \ cap Y}$${\ displaystyle Y.}$
• Se for um balanceado, então para qualquer um é um conjunto balanceado convexo contendo a origem. Se é uma vizinhança de em, então é uma vizinhança balanceada convexa de no subespaço vetorial real${\ displaystyle B \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle B \ cap \ mathbb {R} x}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ cap \ mathbb {R} x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} x.}$

Propriedades de cascos balanceados

• ${\ displaystyle a \ operatorname {bal} S = \ operatorname {bal} S (as)}$para qualquer subconjunto de e qualquer escalar${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a.}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {bal} \ left (\ bigcup _ {S \ in {\ mathcal {S}}} S \ right) = \ bigcup _ {S \ in {\ mathcal {S}}} \ operatorname {bal } S}$para qualquer coleção de subconjuntos de${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle X.}$
• Em qualquer espaço vetorial topológico, o casco balanceado de qualquer vizinhança aberta da origem é novamente aberto.
• Se é um espaço vetorial topológico de Hausdorff e se é um subconjunto compacto de então o casco balanceado de é compacto.${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle K}$

Núcleo balanceado

• O núcleo balanceado de um subconjunto fechado é fechado.
• O núcleo equilibrada de um absorvente subconjunto é absorvente.

Veja também

• Conjunto absolutamente convexo
• Conjunto absorvente  - Um conjunto que pode ser "inflado" para eventualmente sempre incluir qualquer ponto determinado em um espaço
• Conjunto limitado (espaço vetorial topológico)
• Conjunto convexo  - Na geometria, conjunto que cruza todas as linhas em um único segmento de linha
• Domínio de estrela
• Conjunto simétrico
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Referências

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