Ladrilhos Tetrakis - Tetrakis square tiling
| Ladrilho quadrado Tetrakis | |
|---|---|
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| Modelo | Ladrilho semirregular duplo |
| Rostos | Triângulo 45-45-90 |
| Diagrama de Coxeter |
  
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| Grupo de simetria | p4m, [4,4], * 442 |
| Grupo de rotação | p4, [4,4] + , (442) |
| Poliedro duplo | Ladrilho quadrado truncado |
| Configuração de rosto | V4.8.8  |
| Propriedades | face transitivo |
Em geometria , a telha quadrada tetrakis é uma telha do plano euclidiano . É um ladrilho quadrado com cada quadrado dividido em quatro triângulos retângulos isósceles a partir do ponto central, formando um arranjo infinito de linhas . Ele também pode ser formado pela subdivisão de cada quadrado de uma grade em dois triângulos por uma diagonal, com as diagonais alternando na direção, ou pela sobreposição de duas grades quadradas, uma girada 45 graus da outra e dimensionada por um fator de √2 .
Conway o chama de kisquadrille , representado por uma operação kis que adiciona um ponto central e triângulos para substituir as faces de uma telha quadrada (quadrilha). É também chamada de estrutura Union Jack por causa da semelhança com a bandeira do Reino Unido dos triângulos ao redor de seus vértices de grau 8.
É rotulado como V4.8.8 porque cada face do triângulo isósceles tem dois tipos de vértices: um com 4 triângulos e dois com 8 triângulos.
Como uma telha dupla uniforme
É a tesselação dupla da telha quadrada truncada que tem um quadrado e dois octógonos em cada vértice.
Formulários
Uma porção 5 × 9 do ladrilho quadrado tetrakis é usada para formar o tabuleiro do jogo de tabuleiro malgaxe Fanorona . Neste jogo, as peças são colocadas nos vértices do ladrilho e se movem ao longo das bordas, capturando as peças da outra cor até que um lado tenha capturado todas as peças do outro lado. Neste jogo, os vértices de grau 4 e 8 do ladrilho são chamados respectivamente de intersecções fracas e intersecções fortes, uma distinção que desempenha um papel importante na estratégia do jogo. Um tabuleiro semelhante também é usado para o jogo brasileiro Adugo , e para o jogo de Lebre e Hounds .
A telha quadrada tetrakis foi usada para um conjunto de selos postais comemorativos emitidos pelo Serviço Postal dos Estados Unidos em 1997, com um padrão alternado de dois selos diferentes. Comparado ao padrão mais simples para carimbos triangulares em que todas as perfurações diagonais são paralelas entre si, o padrão tetraquis tem a vantagem de que, quando dobrado ao longo de qualquer uma de suas perfurações, as outras perfurações se alinham entre si, tornando possível dobrar repetidamente.
Esse ladrilho também forma a base para os padrões comumente usados de "catavento", "moinho de vento" e "pratos quebrados" em acolchoados .
Simetria
O tipo de simetria é:
- com a coloração: cmm; uma célula primitiva tem 8 triângulos, um domínio fundamental 2 triângulos (1/2 para cada cor)
- com os triângulos escuros em preto e os claros em branco: p4g; uma célula primitiva tem 8 triângulos, um triângulo de domínio fundamental 1 (1/2 cada para preto e branco)
- com as bordas em preto e os interiores em branco: p4m; uma célula primitiva tem 2 triângulos, um domínio fundamental 1/2
As bordas dos ladrilhos tetrakis quadrados formam um arranjo simples de linhas , uma propriedade que compartilha com os ladrilhos triangulares e os ladrilhos kisrhombille .
Essas linhas formam os eixos de simetria de um grupo de reflexão (o grupo do papel de parede [4,4], (* 442) ou p4m), que tem os triângulos da telha como seus domínios fundamentais . Este grupo é isomórfico , mas não igual ao grupo de automorfismos do ladrilho, que tem eixos adicionais de simetria dividindo os triângulos e que tem meios-triângulos como seus domínios fundamentais.
Existem muitos subgrupos de pequeno índice de p4m, [4,4] simetria (* 442 notação orbifold ), que podem ser vistos em relação ao diagrama de Coxeter , com nós coloridos para corresponder às linhas de reflexão e pontos de rotação rotulados numericamente. A simetria rotacional é mostrada por áreas de cor branca e azul alternadamente com um único domínio fundamental para cada subgrupo preenchido em amarelo. As reflexões de deslizamento são fornecidas com linhas tracejadas.
Os subgrupos podem ser expressos como diagramas de Coxeter , juntamente com diagramas de domínio fundamental.
| Pequenos subgrupos de índice de p4m, [4,4], (* 442) | |||||||||||
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| índice | 1 | 2 | 4 | ||||||||
| Diagrama de
domínio fundamental |
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Diagrama de Coxeter de notação de Coxeter |
[ 1 , 4, 1 , 4, 1 ] = [4,4]   
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[1 + , 4,4]  =  
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[4,4,1 + ] = 
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[4,1 + , 4] =   
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[1 + , 4,4,1 + ] =   
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[4 + , 4 + ] = [(4,4 + , 2 + )]  
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| Orbifold | * 442 | * 2222 | 22 × | ||||||||
| Subgrupos semi-diretos | |||||||||||
| índice | 2 | 4 | |||||||||
| Diagrama |
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| Coxeter | [4,4 + ]
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[4 + , 4]
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[(4,4,2 + )]  
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[1 + , 4,1 + , 4] = [(2 + , 4,4)] = =
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[4,1 + , 4,1 + ] = [(4,4,2 + )] = =
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| Orbifold | 4 * 2 | 2 * 22 | |||||||||
| Subgrupos diretos | |||||||||||
| Índice | 2 | 4 | 8 | ||||||||
| Diagrama |
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| Coxeter | [4,4] +
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[1 + , 4,4 + ] = [4,4 + ] + =
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[4 + , 4,1 + ] = [4 + , 4] + =
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[(4,1 + , 4,2 + )] = [(4,4,2 + )] +  =
|
[1 + , 4,1 + , 4,1 + ] = [(4 + , 4 + , 2 + )] = [4 + , 4 + ] + =
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| Orbifold | 442 | 2222 | |||||||||
Veja também
Notas
Referências
- Grünbaum, Branko & Shephard, GC (1987). Tilings e padrões . Nova York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1 . (Capítulo 2.1: Ladrilhos regulares e uniformes , p. 58-65)
- Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . Dover Publications, Inc. p. 40. ISBN 0-486-23729-X .
- Keith Critchlow, Order in Space: A design source book , 1970, p. 77-76, padrão 8