Face (geometria) - Face (geometry)
Na geometria sólida , uma face é uma superfície plana (uma região plana ) que faz parte do limite de um objeto sólido; um sólido tridimensional limitado exclusivamente por faces é um poliedro .
Em tratamentos mais técnicos da geometria de poliedros e politopos de dimensões superiores , o termo também é usado para significar um elemento de qualquer dimensão de um politopo mais geral (em qualquer número de dimensões).
Rosto poligonal
Na geometria elementar, uma face é um polígono no limite de um poliedro . Outros nomes para uma face poligonal incluem lado de um poliedro e ladrilho de uma tesselação plana euclidiana .
Por exemplo, qualquer um dos seis quadrados que delimitam um cubo é uma face do cubo. Às vezes, "face" também é usado para se referir às características bidimensionais de um politopo 4 . Com este significado, o tesserato 4-dimensional tem 24 faces quadradas, cada uma compartilhando duas das 8 células cúbicas .
Poliedro | Poliedro estrela | Telha euclidiana | Mosaico hiperbólico | 4 politopo |
---|---|---|---|---|
{4,3} | {5 / 2,5} | {4,4} | {4,5} | {4,3,3} |
O cubo tem 3 faces quadradas por vértice. |
O pequeno dodecaedro estrelado tem 5 faces pentagrama por vértice. |
A telha quadrada no plano euclidiano tem 4 faces quadradas por vértice. |
O ladrilho quadrado de ordem 5 tem 5 faces quadradas por vértice. |
O tesseract tem 3 faces quadradas por aresta. |
Número de faces poligonais de um poliedro
Qualquer superfície de poliedro convexo tem a característica de Euler
onde V é o número de vértices , E é o número de arestas e F é o número de faces. Essa equação é conhecida como fórmula do poliedro de Euler . Assim, o número de faces é 2 a mais que o excesso do número de arestas sobre o número de vértices. Por exemplo, um cubo tem 12 arestas e 8 vértices e, portanto, 6 faces.
k -face
Na geometria de dimensão superior, as faces de um politopo são recursos de todas as dimensões. Uma face de dimensão k é chamada de face k . Por exemplo, as faces poligonais de um poliedro comum são de 2 faces. Na teoria dos conjuntos, o conjunto de faces de um politopo inclui o próprio politopo e o conjunto vazio, onde o conjunto vazio é para consistência dada uma "dimensão" de -1. Para qualquer n- polítopo ( politopo n- dimensional), −1 ≤ k ≤ n .
Por exemplo, com este significado, as faces de um cubo compreendem o próprio cubo (3 faces), suas (quadradas) facetas (2 faces), arestas (lineares) (1 faces), (pontos) vértices (0- faces) e o conjunto vazio. A seguir estão as faces de um politopo quadridimensional :
- 4 faces - o próprio politopo 4-dimensional 4
- 3 faces - células tridimensionais ( faces poliédricas )
- 2 faces - cristas bidimensionais ( faces poligonais )
- 1-faces - arestas unidimensionais
- 0-faces - vértices 0-dimensionais
- o conjunto vazio, que tem dimensão -1
Em algumas áreas da matemática, como a combinatória poliédrica , um politopo é, por definição, convexo. Formalmente, uma face de um poliepítopo P é a intersecção de P com qualquer fechado halfspace cujo limite é separado a partir do interior de P . Desta definição, segue-se que o conjunto de faces de um politopo inclui o próprio politopo e o conjunto vazio.
Em outras áreas da matemática, como as teorias de politopos abstratos e politopos estrelados , o requisito de convexidade é relaxado. A teoria abstrata ainda requer que o conjunto de faces inclua o próprio politopo e o conjunto vazio.
Celular ou 3 faces
Uma célula é um elemento poliédrico ( 3 faces ) de um politopo 4 ou mosaico tridimensional ou superior. As células são facetas de 4 politopos e 3 favos de mel.
Exemplos:
4 politopos | 3 favos de mel | ||
---|---|---|---|
{4,3,3} | {5,3,3} | {4,3,4} | {5,3,4} |
O tesserato tem 3 células cúbicas (3 faces) por aresta. |
A célula 120 possui 3 células dodecaédricas (3 faces) por aresta. |
O favo de mel cúbico preenche o espaço euclidiano 3 com cubos, com 4 células (3 faces) por aresta. |
O favo de mel dodecaédrico de ordem 4 preenche o espaço hiperbólico tridimensional com dodecaedros, 4 células (3 faces) por aresta. |
Faceta ou ( n - 1) face
Na geometria de dimensão superior, as facetas (também chamadas de hiperfaces ) de um n -polítopo são as ( n -1) -faces (faces de dimensão um menor que o próprio politopo). Um politopo é limitado por suas facetas.
Por exemplo:
- As facetas de um segmento de linha são suas faces 0 ou vértices .
- As facetas de um polígono são suas faces ou arestas .
- As facetas de um poliedro ou ladrilho plano são suas 2 faces .
- As facetas de um politopo 4D ou 3-honeycomb são suas 3 faces ou células.
- As facetas de um politopo 5D ou 4-honeycomb são suas 4 faces .
Ridge ou ( n - 2) -face
Em terminologia relacionada, as ( n - 2) - faces de um n- polítopo são chamadas de cristas (também subfacetas ). Uma crista é vista como o limite entre exatamente duas facetas de um politopo ou favo de mel.
Por exemplo:
- As cristas de um polígono 2D ou ladrilho 1D são suas faces 0 ou vértices .
- As cristas de um poliedro 3D ou ladrilho plano são suas faces ou arestas .
- As cristas de um politopo 4D ou 3 favo de mel são suas 2 faces ou simplesmente faces .
- As cristas de um politopo 5D ou favo de mel 4 são suas 3 faces ou células .
Pico ou ( n - 3) -face
As ( n - 3) - faces de um n- polítopo são chamadas de picos . Um pico contém um eixo de rotação de facetas e cristas em um politopo regular ou favo de mel.
Por exemplo:
- Os picos de um poliedro 3D ou ladrilho plano são suas faces 0 ou vértices .
- Os picos de um politopo 4D ou 3-honeycomb são suas faces ou arestas 1 .
- Os picos de um politopo 5D ou 4-honeycomb são suas 2 faces ou simplesmente faces .