espaço Regular - Regular space

Na topologia e campos relacionados, de matemática , um espaço topológico X é chamado um espaço regular se cada subconjunto fechado C de X e um ponto p não continha em C admitir não sobrepostos bairros abertas . Assim, p e C podem ser separados por vizinhanças. Esta condição é conhecida como axioma T ₃ . O termo " T ₃ espaço " geralmente significa "um regular espaço de Hausdorff ". Estas condições são exemplos de axiomas de separação .

definições

O ponto x , representada por um ponto para a esquerda da figura, e o conjunto fechado F , representada por um disco fechado para a direita da imagem, são separados por suas vizinhanças U e V , representado por maiores discos abertos . O ponto x tem muito espaço para mexer em torno do disco aberto U , eo disco fechado F tem muito espaço para mexer em torno do disco aberto V , ainda U e V não se tocam.

Um espaço topológico X é um espaço regular se, dado qualquer conjunto fechado F e qualquer ponto x que não pertence a F , existe uma vizinhança U de x e uma vizinhança V de F que são disjuntos . Concisamente, deve ser possível separar x e F com bairros disjuntos.

A T ₃ espaço ou espaço regular de Hausdorff é um espaço topológico que é regular e um espaço de Hausdorff . (Um espaço Hausdorff ou T ₂ o espaço é um espaço topológico em que quaisquer dois pontos distintos são separados por vizinhanças.) Verifica-se que um espaço é T ₃ se e só se for regular e t ₀ . (AT ₀ ou espaço de Kolmogorov é um espaço topológico em que quaisquer dois pontos distintos são topologicamente distinguíveis , ou seja, para cada par de pontos distintos, pelo menos um deles tem uma vizinhança aberta não contendo o outro.) Na verdade, se um espaço é hausdorff então é t ₀ , e cada T ₀ espaço regular é hausdorff: dado dois pontos distintos, pelo menos um deles falha o fecho da outra, de modo que (por regularidade) existem bairros disjuntos que separam um ponto a partir de (o encerramento do outro.

Embora as definições aqui apresentadas para "regular" e "T ₃ " não são incomuns, há uma variação significativa na literatura: alguns autores mudar as definições de "regular" e "T ₃ ", como eles são usados aqui, ou usar ambos os termos alternadamente. Neste artigo, usaremos o termo "regular" livremente, mas normalmente irá dizer "Hausdorff regular", que é inequívoca, em vez do menos precisa "T ₃ ". Para mais informações sobre este problema, consulte História dos axiomas de separação .

Um espaço localmente regulares é um espaço topológico onde cada ponto tem uma vizinhança aberta que é regular. Cada espaço regular é localmente regular, mas o inverso não é verdadeiro. Um exemplo clássico de um espaço localmente regular que não é regular é a linha de olhos esbugalhados .

Relações com outros axiomas de separação

Um espaço regular é necessariamente também preregular , ou seja, quaisquer dois topologicamente distinguíveis pontos podem ser separados por vizinhanças. Desde um espaço de Hausdorff é o mesmo que um preregular T ₀ espaço , um espaço regular, que também é T ₀ deve ser Hausdorff (e, portanto, T ₃ ). Na verdade, um espaço regular de Hausdorff satisfaz a ligeiramente mais forte condição T _2½ . (No entanto, um tal espaço não precisa de ser completamente Hausdorff .) Assim, a definição de T ₃ pode citar T ₀ , T ₁ , T ou _2½ em vez de T ₂ (Hausdorffness); todos são equivalentes no contexto de espaços regulares.

Falando mais teoricamente, as condições de regularidade e T ₃ -ness estão relacionados por quocientes de Kolmogorov . Um espaço é regular se e somente se seu quociente de Kolmogorov é T ₃ ; e, como mencionado, um espaço é T ₃ , se e somente se é regular e T ₀ . Assim, um espaço regular encontrada na prática geralmente pode ser assumido como T ₃ , substituindo o espaço com o seu quociente de Kolmogorov.

Há muitos resultados para espaços topológicos que detêm para ambos os espaços regulares e Hausdorff. Na maioria das vezes, estes resultados segurar para todos os espaços preregular; eles foram coletados para espaços regulares e Hausdorff separadamente porque a ideia de espaços preregular veio mais tarde. Por outro lado, os resultados que são verdadeiramente sobre a regularidade geralmente não são também aplicáveis ​​aos espaços de Hausdorff não regulares.

Há muitas situações em que uma outra condição de espaços topológicos (como normalidade , pseudonormality , paracompactness , ou compactividade local ) implicará regularidade se alguns axiomas de separação mais fraco, como preregularity, está satisfeito. Tais condições muitas vezes vêm em duas versões: uma versão regular e uma versão Hausdorff. Embora espaços de Hausdorff não são geralmente regular, um espaço de Hausdorff que também é (digamos) localmente compacto será regular, porque qualquer espaço de Hausdorff é preregular. Assim, a partir de um certo ponto de vista, a regularidade não é realmente a questão aqui, e poderíamos impor uma condição mais fraca em vez de obter o mesmo resultado. No entanto, as definições são geralmente ainda redigidas em termos de regularidade, uma vez que esta condição é mais conhecido do que qualquer um mais fraco.

A maioria dos espaços topológicos estudados na análise matemática são regulares; na verdade, eles são geralmente completamente regular , que é uma condição mais forte. Espaço regular também deve ser contrastado com espaços normais .

Exemplos e nonexamples

Um espaço de dimensão zero com respeito à pequena dimensão indutiva tem uma base de composto de conjuntos clopen . Todo esse espaço é regular.

Tal como descrito acima, qualquer espaço completamente regular é regular, e todo o t ₀ espaço que não é Hausdorff (e, portanto, não preregular) não pode ser regular. A maioria dos exemplos de espaços regulares e não regulares estudados em matemática pode ser encontrada nesses dois artigos. Por outro lado, os espaços que são regulares, mas não completamente regular, ou preregular, mas não regular, são geralmente construídos apenas para fornecer contra-exemplos para conjecturas, mostrando os limites das possíveis teoremas . Claro, pode-se facilmente encontrar espaços regulares que não são T ₀ , e, portanto, não Hausdorff, como um espaço indiscreto , mas estes exemplos fornecer mais detalhes sobre a T ₀ axioma do que na regularidade. Um exemplo de um espaço regular que não é completamente regular é o saca-rolhas Tychonoff .

espaços mais interessantes em matemática que são regular também satisfazer alguma condição mais forte. Assim, espaços regulares geralmente são estudados para encontrar propriedades e teoremas, como os abaixo, que são realmente aplicados completamente espaços regulares, tipicamente em análise.

Existem espaços de Hausdorff que não são regular. Um exemplo é o conjunto de R com a topologia gerados por conjuntos da forma L - C , onde L é um conjunto aberto no sentido usual, e C é qualquer subconjunto de contáveis L .

Propriedades elementares

Suponha que X é um espaço regular. Em seguida, dada qualquer ponto x e vizinhança L de x , existe uma vizinhança fechada E de X que é um subconjunto de L . Em termos mais sofisticados, os bairros fechados de x formar uma base local em x . Na verdade, esta propriedade caracteriza espaços regulares; se os bairros fechados de cada ponto em um espaço topológico formar uma base local em que ponto, então o espaço deve ser regular.

Tomando os interiores desses bairros fechados, vemos que os conjuntos abertos regulares formar uma base de para os conjuntos abertos do espaço regular X . Esta propriedade é realmente mais fraca do que a regularidade; um espaço topológico cujos conjuntos aberta regulares formar uma base é semiregular .

Referências