Espaço normal - Normal space

Em topologia e ramos relacionados da matemática , um espaço normal é um espaço topológico X que satisfaz o Axioma T ₄ : cada dois conjuntos fechados disjuntos de X têm vizinhanças abertas disjuntas . Um espaço normal de Hausdorff também é chamado _de espaço T ₄ . Essas condições são exemplos de axiomas de separação e seus reforços adicionais definem espaços de Hausdorff completamente normais , ou espaços T ₅ , e espaços de Hausdorff perfeitamente normais , ou espaços T ₆ .

Definições

Um espaço topológico X é um espaço normal se, dados quaisquer conjuntos fechados disjuntos E e F , existem vizinhanças U de E e V de F que também são disjuntas. Mais intuitivamente, essa condição diz que E e F podem ser separados por vizinhanças .

Os conjuntos fechados E e F , aqui representados por discos fechados em lados opostos da imagem, são separados por suas respectivas vizinhanças U e V , aqui representadas por discos abertos maiores, mas ainda disjuntos.

Um espaço T ₄ é um espaço T ₁ X que é normal; isso é equivalente a X ser normal e Hausdorff .

Um espaço completamente normal ou um espaço hereditariamente normal é um espaço topológico X de forma que todo subespaço de X com topologia de subespaço seja um espaço normal. Acontece que X é completamente normal se e somente se cada dois conjuntos separados puderem ser separados por vizinhanças. Além disso, X é completamente normal se e somente se cada subconjunto aberto de X for normal com a topologia de subespaço.

Um espaço T ₄ completo , ou espaço T ₅ , é um espaço topológico X completamente normal T ₁ , o que implica que X é Hausdorff ; equivalentemente, todo subespaço de X deve ser um espaço T ₄ .

Um espaço perfeitamente normal é um espaço topológico X no qual cada dois conjuntos fechados disjuntos E e F podem ser precisamente separados por uma função contínua f de X para a linha real R : as pré - imagens de {0} e {1} sob f são, respectivamente, e e F . (Nesta definição, a linha real pode ser substituída pelo intervalo de unidade [0,1].)

Acontece que X é perfeitamente normal se e somente se X for normal e todo conjunto fechado for um conjunto G _δ . Equivalentemente, X é perfeitamente normal se e somente se cada conjunto fechado for um conjunto zero . Todo espaço perfeitamente normal é automaticamente completamente normal.

Um Hausdorff perfeitamente espaço normal X é um T ₆ espaço , ou perfeitamente T ₄ espaço .

Observe que os termos "espaço normal" e "T ₄ " e conceitos derivados ocasionalmente têm um significado diferente. (No entanto, "T ₅ " sempre significa o mesmo que "completamente T ₄ ", seja o que for.) As definições dadas aqui são as geralmente usadas hoje. Para saber mais sobre este assunto, consulte História dos axiomas de separação .

Termos como " espaço regular normal " e "espaço normal de Hausdorff" também aparecem na literatura - eles simplesmente significam que o espaço é normal e satisfaz a outra condição mencionada. Em particular, um espaço de Hausdorff normal é a mesma coisa que um espaço T ₄ . Dada a confusão histórica do significado dos termos, as descrições verbais quando aplicáveis ​​são úteis, isto é, "Hausdorff normal" em vez de "T ₄ ", ou "Hausdorff completamente normal" em vez de "T ₅ ".

Totalmente espaço normal e totalmente T ₄ espaços são discutidas em outro lugar; eles estão relacionados à para- compactação .

Um espaço localmente normal é um espaço topológico onde cada ponto tem uma vizinhança aberta que é normal. Todo espaço normal é localmente normal, mas o inverso não é verdadeiro. Um exemplo clássico de um espaço localmente normal completamente regular que não é normal é o plano Nemytskii .

Exemplos de espaços normais

A maioria dos espaços encontrados na análise matemática são espaços normais de Hausdorff, ou pelo menos espaços regulares normais:

• Todos os espaços métricos (e portanto todos os espaços metrizáveis ) são Hausdorff perfeitamente normais;
• Todos os espaços pseudométricos (e, portanto, todos os espaços pseudometrizáveis ) são regulares perfeitamente normais, embora não em geral Hausdorff;
• Todos os espaços compactos de Hausdorff são normais;
• Em particular, a compactação Stone-Čech de um espaço de Tychonoff é normal de Hausdorff;
• Generalizando os exemplos acima, todos os espaços de Hausdorff paracompactos são normais, e todos os espaços regulares paracompactos são normais;
• Todas as variedades topológicas paracompactas são Hausdorff perfeitamente normais. No entanto, existem variedades não paracompactas que nem mesmo são normais.
• Todas as topologias de ordem em conjuntos totalmente ordenados são hereditariamente normais e de Hausdorff.
• Cada segundo espaço contável regular é completamente normal, e todo espaço regular Lindelöf é normal.

Além disso, todos os espaços totalmente normais são normais (mesmo que não sejam regulares). O espaço de Sierpinski é um exemplo de espaço normal que não é regular.

Exemplos de espaços não normais

Um exemplo importante de uma topologia não normal é dado pela topologia de Zariski em uma variedade algébrica ou no espectro de um anel , que é usado em geometria algébrica .

Um espaço não normal de alguma relevância para a análise é o espaço vetorial topológico de todas as funções da linha real R para ela mesma, com a topologia de convergência pontual . De forma mais geral, um teorema de Arthur Harold Stone afirma que o produto de incontáveis ​​muitos espaços métricos não compactos nunca é normal.

Propriedades

Cada subconjunto fechado de um espaço normal é normal. A imagem contínua e fechada de um espaço normal é normal.

A principal importância do espaço normal reside no fato de que eles admitem "suficiente" contínuas reais -valued funções , como expressa pelos seguintes teoremas válidos para qualquer espaço normal X .

Lema de Urysohn : Se A e B são dois subconjuntos fechados disjuntos de X , então existe uma função contínua f de X para a linha real R tal que f ( x ) = 0 para todo x em A e f ( x ) = 1 para tudo x em B . Na verdade, podemos considerar os valores de f inteiramente dentro do intervalo unitário [0,1]. (Em termos mais elaborados, conjuntos fechados disjuntos não são apenas separados por vizinhanças, mas também por uma função .)

Mais geralmente, o teorema da extensão de Tietze : Se A é um subconjunto fechado de X e f é uma função contínua de A a R , então existe uma função contínua F : X → R que estende f no sentido de que F ( x ) = f ( x ) para todos os x em a .

Se L é um local finito tampa aberta de um espaço normal X , então há uma partição da unidade precisamente subordinado ao U . (Isso mostra a relação dos espaços normais com a para- compactação .)

Na verdade, qualquer espaço que satisfaça qualquer uma dessas três condições deve ser normal.

Um produto de espaços normais não é necessariamente normal. Este fato foi provado pela primeira vez por Robert Sorgenfrey . Um exemplo desse fenômeno é o plano Sorgenfrey . Na verdade, como existem espaços que são Dowker , um produto de um espaço normal e [0, 1] não precisa ser normal. Além disso, um subconjunto de um espaço normal não precisa ser normal (ou seja, nem todo espaço de Hausdorff normal é um espaço de Hausdorff completamente normal), uma vez que todo espaço de Tychonoff é um subconjunto de sua compactação Stone-Čech (que é Hausdorff normal). Um exemplo mais explícito é a prancha de Tychonoff . A única grande classe de espaços de produto de espaços normais conhecidos como normais são os produtos de espaços de Hausdorff compactos, uma vez que tanto a compactação ( teorema de Tychonoff ) quanto o axioma T ₂ são preservados sob produtos arbitrários.

Relações com outros axiomas de separação

Se um espaço normal for R ₀ , então ele é de fato completamente regular . Portanto, qualquer coisa de "R ₀ normal " a "normal completamente regular" é o mesmo que normalmente chamamos de normal normal . Tomando os quocientes de Kolmogorov , vemos que todos os espaços T ₁ normais são de Tychonoff . Esses são o que geralmente chamamos de espaços normais de Hausdorff .

Um espaço topológico é considerado pseudonormal se dados dois conjuntos fechados disjuntos nele, um dos quais é contável, existem conjuntos abertos disjuntos que os contêm. Todo espaço normal é pseudonormal, mas não vice-versa.

Contra-exemplos de algumas variações dessas declarações podem ser encontrados nas listas acima. Especificamente, o espaço de Sierpinski é normal, mas não regular, enquanto o espaço de funções de R para ele mesmo é Tychonoff, mas não normal.

Citações

Referências

• Kemoto, Nobuyuki (2004). "Axiomas de separação superiores". Em KP Hart; J. Nagata; JE Vaughan (eds.). Enciclopédia de Topologia Geral . Amsterdam: Elsevier Science . ISBN   978-0-444-50355-8 .
• Munkres, James R. (2000). Topologia (2ª ed.). Prentice-Hall . ISBN   978-0-13-181629-9 .
• Sorgenfrey, RH (1947). “Sobre o produto topológico dos espaços paracompactos” . Touro. Amer. Matemática. Soc . 53 (6): 631–632. doi : 10.1090 / S0002-9904-1947-08858-3 .
• Stone, AH (1948). "Paracompatibilidade e espaços de produto" . Touro. Amer. Matemática. Soc . 54 (10): 977–982. doi : 10.1090 / S0002-9904-1948-09118-2 .
• Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Leitura, MA: Addison-Wesley. ISBN   978-0-486-43479-7 .