Pseudovetor - Pseudovector

Um laço de fio (preto), carregando uma corrente I , cria um campo magnético B (azul). Se a posição e a corrente do fio forem refletidas através do plano indicado pela linha tracejada, o campo magnético que ele gera não seria refletido: em vez disso, seria refletido e revertido . A posição e a corrente em qualquer ponto do fio são vetores "verdadeiros", mas o campo magnético B é um pseudovetor.

Em física e matemática , um pseudovetor (ou vetor axial ) é uma quantidade definida como uma função de alguns vetores ou outras formas geométricas , que se assemelha a um vetor e se comporta como um vetor em muitas situações, mas é transformado em seu oposto se a orientação do espaço é alterada ou uma transformação rígida imprópria , como um reflexo, é aplicada a toda a figura. Geometricamente, a direção de um pseudovetor refletido é oposta à sua imagem no espelho , mas com igual magnitude. Em contraste, o reflexo de um vetor verdadeiro (ou polar ) é exatamente o mesmo que sua imagem no espelho.

Em três dimensões, a ondulação de um campo vetorial polar em um ponto e o produto cruzado de dois vetores polares são pseudovetores.

Um exemplo de pseudovetor é a normal para um plano orientado . Um plano orientado pode ser definido por dois vectores não-paralelos, um e b , que se estendem no plano. O vetor a × b é uma normal ao plano (há duas normais, uma de cada lado - a regra da mão direita determinará qual) e é um pseudovetor. Isso tem consequências na computação gráfica, onde deve ser considerado ao transformar as normais de superfície .

Uma série de grandezas na física se comportam como pseudovetores em vez de vetores polares, incluindo campo magnético e velocidade angular . Em matemática, em três dimensões, os pseudovetores são equivalentes aos bivetores , dos quais podem ser derivadas as regras de transformação dos pseudovetores. Mais geralmente, em álgebra geométrica n- dimensional, os pseudovetores são os elementos da álgebra com dimensão n - 1 , escritos ⋀ ^{n −1} R ⁿ . O rótulo "pseudo" pode ser ainda mais generalizado para pseudoscalares e pseudotensores , os quais ganham um sinal extra de giro sob rotações impróprias em comparação com um escalar ou tensor verdadeiro .  

Exemplos físicos

Exemplos físicos da pseudovectors incluem binário , velocidade angular , momento angular , o campo magnético , e momento de dipolo magnético .

Cada roda do carro à esquerda se afastando de um observador tem um pseudovetor de momento angular apontando para a esquerda. O mesmo é verdade para a imagem espelhada do carro. O fato de as setas apontarem na mesma direção, em vez de serem imagens espelhadas uma da outra, indica que são pseudovetores.

Considere o momento angular do pseudovetor L = r × p . Dirigindo em um carro e olhando para frente, cada uma das rodas tem um vetor de momento angular apontando para a esquerda. Se o mundo é refletido em um espelho que muda o lado esquerdo e direito do carro, o "reflexo" desse "vetor" de momento angular (visto como um vetor comum) aponta para a direita, mas o vetor de momento angular real do a roda (que ainda está girando para frente no reflexo) ainda aponta para a esquerda, correspondendo ao sinal extra de flip no reflexo de um pseudovetor.

A distinção entre vetores polares e pseudovetores torna-se importante na compreensão do efeito da simetria na solução de sistemas físicos . Considere um loop de corrente elétrica no plano z = 0 que dentro do loop gera um campo magnético orientado na direção z . Este sistema é simétrico (invariante) sob reflexos de espelho através deste plano, com o campo magnético inalterado pela reflexão. Mas seria esperado que refletir o campo magnético como um vetor através desse plano o revertesse; essa expectativa é corrigida ao perceber que o campo magnético é um pseudovetor, com o sinal extra flip deixando-o inalterado.

Na física, os pseudovetores são geralmente o resultado do produto cruzado de dois vetores polares ou da ondulação de um campo vetorial polar. O produto vetorial e a rosca são definidos, por convenção, de acordo com a regra da mão direita, mas poderiam ter sido facilmente definidos em termos de uma regra da mão esquerda. Todo o corpo da física que lida com pseudovetores (destros) e a regra da mão direita poderia ser substituído pelo uso de pseudovetores (canhotos) e a regra da mão esquerda sem problemas. Os pseudovetores (à esquerda) assim definidos teriam direção oposta àqueles definidos pela regra da mão direita.

Embora as relações vetoriais na física possam ser expressas de uma maneira livre de coordenadas, um sistema de coordenadas é necessário para expressar vetores e pseudovetores como quantidades numéricas. Os vetores são representados como tripletos ordenados de números: por exemplo , e os pseudovetores também são representados nesta forma. Ao transformar entre sistemas de coordenadas canhotos e destros, as representações de pseudovetores não se transformam como vetores, e tratá-los como representações vetoriais causará uma mudança de sinal incorreta, de modo que deve-se tomar cuidado para manter o controle de quais trios ordenados representam vetores, e que representam pseudovetores. Este problema não existe se o produto vetorial de dois vetores for substituído pelo produto exterior dos dois vetores, o que resulta em um bivetor que é um tensor de 2ª ordem e é representado por uma matriz 3 × 3. Esta representação do tensor 2 se transforma corretamente entre quaisquer dois sistemas de coordenadas, independentemente de sua destreza. ${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z})}$

Detalhes

A definição de um "vetor" em física (incluindo vetores polares e pseudovetores) é mais específica do que a definição matemática de "vetor" (ou seja, qualquer elemento de um espaço vetorial abstrato ). De acordo com a definição da física, um "vetor" é necessário para ter componentes que se "transformem" de uma certa maneira sob uma rotação adequada : em particular, se tudo no universo fosse girado, o vetor giraria exatamente da mesma maneira. (O sistema de coordenadas é fixo nesta discussão; em outras palavras, esta é a perspectiva das transformações ativas .) Matematicamente, se tudo no universo sofre uma rotação descrita por uma matriz de rotação R , de modo que um vetor de deslocamento x é transformado em x ′ = R x , então qualquer "vetor" v deve ser similarmente transformado em v ′ = R v . Este requisito importante é o que distingue um vetor (que pode ser composto, por exemplo, dos componentes x -, y - e z da velocidade ) de qualquer outro tripleto de quantidades físicas (por exemplo, o comprimento, largura e altura de uma caixa retangular não podem ser considerados os três componentes de um vetor, uma vez que girar a caixa não transforma adequadamente esses três componentes.)

(Na linguagem da geometria diferencial , este requisito é equivalente a definir um vetor como um tensor de classificação contravariante um. Um pseudovetor é então um tensor covariante de classificação. Neste quadro mais geral, tensores de classificação superior também podem ter muitos e classificações covariantes e contravariantes mistas ao mesmo tempo, denotadas por índices elevados e reduzidos dentro da convenção de soma de Einstein .

Um exemplo básico e bastante concreto é o de vetores de linha e coluna sob o operador de multiplicação de matriz usual: em uma ordem eles geram o produto escalar, que é apenas um escalar e, como tal, um tensor de classificação zero, enquanto na outra eles geram o diádico produto , que é uma matriz que representa um tensor misto de dois postos, com um índice contravariante e um índice covariante. Como tal, a não comutatividade da álgebra matricial padrão pode ser usada para rastrear a distinção entre vetores covariantes e contravariantes. Na verdade, é assim que a contabilidade era feita antes que a notação tensorial mais formal e generalizada viesse a ser. Ele ainda se manifesta na forma como os vetores básicos dos espaços tensores gerais são exibidos para manipulação prática.)

A discussão até agora se refere apenas às rotações adequadas, ou seja, rotações em torno de um eixo. No entanto, também podem ser consideradas rotações impróprias , ou seja, um reflexo de espelho possivelmente seguido por uma rotação adequada. (Um exemplo de rotação inadequada é a inversão através de um ponto no espaço tridimensional.) Suponha que tudo no universo passe por uma rotação inadequada descrita pela matriz de rotação inadequada R , de modo que um vetor de posição x seja transformado em x ′ = R x . Se o vetor v for um vetor polar, ele será transformado em v ′ = R v . Se for um pseudovetor, será transformado em v ′ = - R v .

As regras de transformação para vetores polares e pseudovetores podem ser declaradas compactamente como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v} '& = R \ mathbf {v} && {\ text {(vetor polar)}} \\\ mathbf {v}' & = (\ det R) ( R \ mathbf {v}) && {\ text {(pseudovetor)}} \ end {alinhado}}}$

onde os símbolos são como descritos acima, e a matriz de rotação R pode ser adequada ou inadequada. O símbolo det denota determinante ; esta fórmula funciona porque o determinante das matrizes de rotação adequadas e impróprias são +1 e -1, respectivamente.

Comportamento sob adição, subtração, multiplicação escalar

Suponha v ₁ e v ₂ são conhecidos pseudovectors, e v ₃ é definida como sendo a sua soma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Se o universo é transformado por uma matriz de rotação R , então v ₃ é transformado em

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v_ {3}} '= \ mathbf {v_ {1}}' + \ mathbf {v_ {2}} '& = (\ det R) (R \ mathbf { v_ {1}}) + (\ det R) (R \ mathbf {v_ {2}}) \\ & = (\ det R) (R (\ mathbf {v_ {1}} + \ mathbf {v_ {2 }})) = (\ det R) (R \ mathbf {v_ {3}}). \ end {alinhado}}}$

Portanto, v ₃ também é um pseudovetor. Da mesma forma, pode-se mostrar que a diferença entre dois pseudovetores é um pseudovetor, que a soma ou diferença de dois vetores polares é um vetor polar, que multiplicar um vetor polar por qualquer número real produz outro vetor polar, e que multiplicar um pseudovetor por qualquer real número produz outro pseudovetor.

Por outro lado, suponha que v ₁ seja conhecido como um vetor polar, v ₂ seja conhecido como um pseudovetor e v ₃ seja definido como sua soma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Se o universo é transformado por uma matriz de rotação imprópria R , então v ₃ é transformado em

${\ displaystyle \ mathbf {v_ {3}} '= \ mathbf {v_ {1}}' + \ mathbf {v_ {2}} '= (R \ mathbf {v_ {1}}) + (\ det R) (R \ mathbf {v_ {2}}) = R (\ mathbf {v_ {1}} + (\ det R) \ mathbf {v_ {2}}).}$

Portanto, v ₃ não é um vetor polar nem um pseudovetor (embora ainda seja um vetor, pela definição da física). Para uma rotação inadequada, v ₃ em geral nem mesmo mantém a mesma magnitude:

${\ displaystyle | \ mathbf {v_ {3}} | = | \ mathbf {v_ {1}} + \ mathbf {v_ {2}} |, {\ text {but}} \ left | \ mathbf {v_ {3 }} '\ right | = \ left | \ mathbf {v_ {1}}' - \ mathbf {v_ {2}} '\ right |}$.

Se a magnitude de v ₃ fosse descrever uma quantidade física mensurável, isso significaria que as leis da física não seriam as mesmas se o universo fosse visto em um espelho. Na verdade, é exatamente isso o que acontece na interação fraca : certos decaimentos radioativos tratam "esquerda" e "direita" de maneira diferente, um fenômeno que pode ser rastreado até a soma de um vetor polar com um pseudovetor na teoria subjacente. (Veja violação de paridade .)

Comportamento em produtos cruzados

Sob inversão, os dois vetores mudam de sinal, mas seu produto vetorial é invariante [preto são os dois vetores originais, cinza são os vetores invertidos e vermelho é o produto cruzado mútuo].

Para uma matriz de rotação R , adequada ou imprópria, a seguinte equação matemática é sempre verdadeira:

${\ displaystyle (R \ mathbf {v_ {1}}) \ times (R \ mathbf {v_ {2}}) = (\ det R) (R (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}}))}$,

onde v ₁ e v ₂ são quaisquer vectores tridimensionais. (Esta equação pode ser provada por meio de um argumento geométrico ou por meio de um cálculo algébrico.)

Suponha v ₁ e v ₂ são conhecidos vectores polares, e v ₃ é definido como sendo o seu produto cruzado, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Se o universo é transformado por uma matriz de rotação R , então v ₃ é transformado em

${\ displaystyle \ mathbf {v_ {3}} '= \ mathbf {v_ {1}}' \ times \ mathbf {v_ {2}} '= (R \ mathbf {v_ {1}}) \ times (R \ mathbf {v_ {2}}) = (\ det R) (R (\ mathbf {v_ {1}} \ times \ mathbf {v_ {2}})) = (\ det R) (R \ mathbf {v_ { 3}}).}$

Portanto, v ₃ é um pseudovetor. Da mesma forma, pode-se mostrar:

• vetor polar × vetor polar = pseudovetor
• pseudovetor × pseudovetor = pseudovetor
• vetor polar × pseudovetor = vetor polar
• pseudovetor × vetor polar = vetor polar

Isso é isomórfico ao módulo de adição 2, onde "polar" corresponde a 1 e "pseudo" a 0.

Exemplos

A partir da definição, fica claro que um vetor de deslocamento é um vetor polar. O vetor velocidade é um vetor de deslocamento (um vetor polar) dividido pelo tempo (um escalar), então também é um vetor polar. Da mesma forma, o vetor momentum é o vetor velocidade (um vetor polar) vezes a massa (um escalar), assim é um vetor polar. O momento angular é o produto cruzado de um deslocamento (um vetor polar) e do momento (um vetor polar) e, portanto, é um pseudovetor. Continuando dessa forma, é simples classificar qualquer um dos vetores comuns em física como um pseudovetor ou vetor polar. (Existem os vetores que violam a paridade na teoria das interações fracas, que não são vetores polares nem pseudovetores. No entanto, eles ocorrem muito raramente na física.)

A regra da mão direita

Acima, pseudovetores foram discutidos usando transformações ativas . Uma abordagem alternativa, mais ao longo das linhas de transformações passivas , é manter o universo fixo, mas trocar " regra da mão direita " por "regra da mão esquerda" em toda matemática e física, inclusive na definição do produto vetorial . Qualquer vetor polar (por exemplo, um vetor de translação) permaneceria inalterado, mas os pseudovetores (por exemplo, o vetor do campo magnético em um ponto) trocariam de sinais. No entanto, não haveria consequências físicas, exceto nos fenômenos que violam a paridade , como certos decaimentos radioativos .

Formalização

Uma maneira de formalizar pseudovetores é a seguinte: se V é um espaço vetorial n - dimensional , então um pseudovetor de V é um elemento da ( n  - 1) -ésima potência exterior de V : ⋀ ^{n −1} ( V ). Os pseudovectors de V formam um espaço vectorial, com a mesma dimensão que V .

Esta definição não é equivalente àquela que exige uma inversão de sinal sob rotações impróprias, mas é geral para todos os espaços vetoriais. Em particular, quando n é par , tal pseudovetor não experimenta uma inversão de sinal, e quando a característica do campo subjacente de V é 2, uma inversão de sinal não tem efeito. Caso contrário, as definições são equivalentes, embora se deva ter em conta que sem estrutura suplementar (mais especificamente, quer uma forma de volume ou uma orientação ), não há nenhuma identificação natural de ⋀ ^{n -1} ( V ) com V .

Álgebra geométrica

Na álgebra geométrica, os elementos básicos são vetores, e estes são usados ​​para construir uma hierarquia de elementos usando as definições de produtos nesta álgebra. Em particular, a álgebra constrói pseudovetores a partir de vetores.

A multiplicação básica na álgebra geométrica é o produto geométrico , denotado simplesmente pela justaposição de dois vetores como em ab . Este produto é expresso como:

${\ displaystyle \ mathbf {ab} = \ mathbf {a \ cdot b} + \ mathbf {a \ wedge b} \,}$

onde o termo principal é o produto escalar vetorial usual e o segundo termo é denominado produto de cunha . Usando os postulados da álgebra, todas as combinações de produtos de ponto e cunha podem ser avaliadas. É fornecida uma terminologia para descrever as várias combinações. Por exemplo, um multivetor é uma soma de k- produtos de cunha de vários k- valores. Um k produto cunha fold também é referido como um k -Blade .

No presente contexto, o pseudovetor é uma dessas combinações. Esse termo é associado a um multivetor diferente, dependendo das dimensões do espaço (ou seja, o número de vetores linearmente independentes no espaço). Em três dimensões, o bivetor ou 2 lâminas mais geral pode ser expresso como o produto em cunha de dois vetores e é um pseudovetor. Em quatro dimensões, entretanto, os pseudovetores são trivetores . Em geral, é uma ( n - 1) -lâmina, onde n é a dimensão do espaço e da álgebra. Um espaço n- dimensional possui n vetores de base e também n pseudovetores de base. Cada pseudovetor de base é formado a partir do produto externo (cunha) de todos, exceto um dos n vetores de base. Por exemplo, em quatro dimensões onde os vetores de base são considerados { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, os pseudovetores podem ser escritos como: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Transformações em três dimensões

As propriedades de transformação do pseudovetor em três dimensões foram comparadas às do produto vetorial de Baylis. Ele diz: "Os termos vetor axial e pseudovetor são freqüentemente tratados como sinônimos, mas é bastante útil ser capaz de distinguir um bivetor de seu dual." Parafraseando Baylis: Dados dois vectores polares (isto é, vectores verdadeiros) um e b em três dimensões, o produto transversal composta a partir de um e b é o vetor normal ao seu plano dado por C = um × b . Dado um conjunto de vetores de base ortonormal destros { e _ℓ } , o produto vetorial é expresso em termos de seus componentes como:

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left (a ^ {2} b ^ {3} -a ^ {3} b ^ {2} \ right) \ mathbf {e} _ { 1} + \ left (a ^ {3} b ^ {1} -a ^ {1} b ^ {3} \ right) \ mathbf {e} _ {2} + \ left (a ^ {1} b ^ {2} -a ^ {2} b ^ {1} \ right) \ mathbf {e} _ {3},}$

onde os sobrescritos rotulam os componentes do vetor. Por outro lado, o plano dos dois vetores é representado pelo produto exterior ou produto cunha, denotado por a ∧ b . Neste contexto de álgebra geométrica, esse bivetor é chamado de pseudovetor e é o dual de Hodge do produto vetorial. O dual de e ₁ é apresentado como e ₂₃ ≡ e ₂ e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ , e assim por diante. Ou seja, o dual de e ₁ é o subespaço perpendicular a e ₁ , ou seja, o subespaço medido por e ₂ e e ₃ . Com este entendimento,

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = \ left (a ^ {2} b ^ {3} -a ^ {3} b ^ {2} \ right) \ mathbf {e} _ { 23} + \ left (a ^ {3} b ^ {1} -a ^ {1} b ^ {3} \ right) \ mathbf {e} _ {31} + \ left (a ^ {1} b ^ {2} -a ^ {2} b ^ {1} \ right) \ mathbf {e} _ {12} \.}$

Para obter detalhes, consulte o operador estrela de Hodge § Três dimensões . O produto vetorial e o produto de cunha são relacionados por:

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ \ wedge \ \ mathbf {b} = {\ mathit {i}} \ \ mathbf {a} \ \ times \ \ mathbf {b} \,}$

onde i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ é chamada de unidade pseudoescalar . Possui a propriedade:

${\ displaystyle {\ mathit {i}} ^ {2} = - 1 \.}$

Usando as relações anteriores, vê-se que, se os vectores a e b são invertidos alterando os sinais de seus componentes, deixando os vectores de base fixo, tanto o pseudovetor e o produto cruzado são invariantes. Por outro lado, se os componentes são fixos e os vetores de base e _ℓ são invertidos, então o pseudovetor é invariante, mas o produto vetorial muda de sinal. Este comportamento de produtos cruzados é consistente com sua definição como elementos semelhantes a vetores que mudam de sinal durante a transformação de um sistema de coordenadas destro para um sistema de coordenadas canhoto, ao contrário dos vetores polares.

Nota sobre o uso

À parte, pode-se notar que nem todos os autores no campo da álgebra geométrica usam o termo pseudovetor, e alguns autores seguem a terminologia que não distingue entre o pseudovetor e o produto vetorial. No entanto, porque o produto vetorial não generaliza para outras dimensões que não três, a noção de pseudovetor com base no produto vetorial também não pode ser estendida a um espaço de qualquer outro número de dimensões. O pseudovetor como uma lâmina ( n - 1) em um espaço n- dimensional não é restringido dessa forma.

Outra observação importante é que os pseudovetores, apesar do nome, são "vetores" no sentido de serem elementos de um espaço vetorial . A ideia de que "um pseudovetor é diferente de um vetor" só é verdadeira com uma definição diferente e mais específica do termo "vetor", conforme discutido acima.

Veja também

• Álgebra de Grassmann
• Álgebra de Clifford
• Antivetor , uma generalização do pseudovetor na álgebra de Clifford
• Orientação (matemática) - Descrição de espaços orientados, necessários para pseudovetores.
• Orientabilidade - Discussão sobre espaços não orientáveis.
• Densidade do tensor

Notas

Referências