Espaço projetivo de Hilbert - Projective Hilbert space

Em matemática e os fundamentos da mecânica quântica , o espaço projetivo Hilbert de um complexo espaço de Hilbert é o conjunto de classes de equivalência de não-zero vectores em , para a relação em dado por ${\ displaystyle P (H)}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle w \ sim v}$ se e somente se para algum número complexo diferente de zero . ${\ displaystyle v = \ lambda w}$${\ displaystyle \ lambda}$

As classes de equivalência da relação também são chamadas de raios ou raios projetivos . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ sim}$

Esta é a construção usual de projetivização , aplicada a um complexo espaço de Hilbert.

Visão geral

O significado físico do espaço de Hilbert projetivo é que, na teoria quântica , as funções de onda e representam o mesmo estado físico , para qualquer um . É convencional escolher um do raio para que tenha uma norma unitária , caso em que é chamada de função de onda normalizada . A restrição da norma unitária não determina completamente dentro do raio, uma vez que poderia ser multiplicada por qualquer com valor absoluto 1 (a ação U (1) ) e manter sua normalização. Tal pode ser escrito com a chamada fase global . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ lambda \ psi}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = e ^ {i \ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Os raios que diferem por tal correspondem ao mesmo estado (cf. estado quântico (definição algébrica) , dada uma C * -álgebra de observáveis ​​e uma representação em ). Nenhuma medição pode recuperar a fase de um raio, ela não é observável. Diz-se que é um grupo de calibres do primeiro tipo. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle U (1)}$

Se for uma representação irredutível da álgebra de observáveis, então os raios induzem estados puros. Combinações lineares convexas de raios dão origem naturalmente à matriz densidade que (ainda no caso de uma representação irredutível) corresponde a estados mistos. ${\ displaystyle H}$

A mesma construção pode ser aplicada também a espaços reais de Hilbert.

No caso de ser finito-dimensional, ou seja, o conjunto de raios projetivos pode ser tratado como qualquer outro espaço projetivo; é um espaço homogêneo para um grupo unitário ou grupo ortogonal , nos casos complexos e reais respectivamente. Para o espaço de Hilbert complexo de dimensão finita, escreve-se ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H = H_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$

${\ displaystyle P (H_ {n}) = \ mathbb {C} P ^ {n-1}}$

de forma que, por exemplo, a projetivização do espaço de Hilbert complexo bidimensional (o espaço que descreve um qubit ) é a linha projetiva complexa . Isso é conhecido como esfera de Bloch . Veja fibração de Hopf para detalhes da construção da projetivização neste caso. ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {1}}$

O espaço de Hilbert projetivo complexo pode receber uma métrica natural, a métrica de Fubini-Study , derivada da norma do espaço de Hilbert.

produtos

O produto cartesiano dos espaços de Hilbert projetivos não é um espaço projetivo. O mapeamento de Segre é uma incorporação do produto cartesiano de dois espaços projetivos em seu produto tensorial . Na teoria quântica, ele descreve como fazer estados do sistema composto a partir dos estados de seus constituintes. É apenas uma incorporação , não uma sobreposição; a maior parte do espaço do produto tensorial não está em seu intervalo e representa estados emaranhados .

Veja também

• Espaço projetivo , para o conceito em geral
• Espaço projetivo complexo
• Representação projetiva

Referências

Ashtekar, Abhay ; Schilling, Troy A. (1997). "Formulação Geométrica da Mecânica Quântica". arXiv : gr-qc / 9706069 .