Topologia de ponto particular - Particular point topology

Em matemática , a topologia de ponto particular (ou topologia de ponto incluída ) é uma topologia em que um conjunto é aberto se contiver um ponto específico do espaço topológico . Formalmente, seja X ser qualquer conjunto e p ∈ X . A coleção

{\ displaystyle T = \ {S \ subseteq X \ mid p \ in S {\ text {ou}} S = \ emptyset \}}

de subconjuntos de X é a topologia de ponto particular de X . Existem vários casos que são nomeados individualmente:

Se X tem dois pontos, a topologia de ponto particular em X é o espaço de Sierpiński .
Se X for finito (com pelo menos 3 pontos), a topologia em X é chamada de topologia de ponto particular finito .
Se X for infinito contável , a topologia em X é chamada de topologia de ponto particular contável .
Se X for incontável , a topologia em X será chamada de topologia de ponto particular incontável .

Uma generalização da topologia de ponto particular é a topologia de extensão fechada . No caso em que X \ { p } tem a topologia discreta , a topologia de extensão fechada é a mesma que a topologia de ponto particular.

Essa topologia é usada para fornecer exemplos e contra-exemplos interessantes.

Propriedades

Conjuntos fechados têm interior vazio: Dado um conjunto aberto não vazio a cada é um ponto limite de A . Portanto, o fechamento de qualquer conjunto aberto diferente de é . Nenhum conjunto fechado diferente de contém p, de modo que o interior de cada conjunto fechado diferente de é . ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle x \ neq p}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$

Propriedades de conexão

Caminho e conectado localmente, mas não conectado por arco

Para qualquer x , y ∈ X , a função f : [0, 1] → X dada por

{\ displaystyle f (t) = {\ begin {cases} x & t = 0 \\ p & t \ in (0,1) \\ y & t = 1 \ end {cases}}}

é um caminho. No entanto, como p é aberto, a pré - imagem de p sob uma injeção contínua de [0,1] seria um único ponto aberto de [0,1], o que é uma contradição.

Ponto de dispersão, exemplo de um conjunto com: p é um ponto de dispersão para X . Ou seja, X \ { p } está totalmente desconectado .

Hiperconectado, mas não ultraconectado: Todo conjunto aberto não vazio contém p e, portanto, X é hiperconectado . Mas, se um e b são em X de modo a que P , um , e b são três pontos distintos, em seguida, { um } e { b } são disjuntos conjuntos fechados e, portanto, X não é ultraconnected . Observe que se X for o espaço de Sierpiński, a e b não existem e X está de fato ultraconectado.

Propriedades de compactação

Compacte apenas se for finito. Lindelöf somente se contável.: Se X for finito, é compacto ; e se X é infinito, não é compacto, pois a família de todos os conjuntos abertos forma uma tampa aberta sem subcobertura finita. ${\ displaystyle \ {p, x \} \; (x \ em X)}$

Por razões semelhantes, se X for contável, é um espaço de Lindelöf ; e se X é incontável, não é Lindelöf.

Fechamento de compacto não compacto: O conjunto { p } é compacto. Porém seu fechamento (o fechamento de um conjunto compacto) é todo o espaço X , e se X for infinito, não é compacto. Por razões semelhantes, se X é incontável, temos um exemplo em que o fechamento de um conjunto compacto não é um espaço de Lindelöf.

Pseudocompacto, mas não fracamente contável e compacto: Primeiro, não há conjuntos abertos não vazios separados (uma vez que todos os conjuntos abertos contêm p ). Conseqüentemente, toda função contínua para a linha real deve ser constante e, portanto, limitada, provando que X é um espaço pseudocompacto . Qualquer conjunto que não contenha p não tem um ponto limite, portanto, se X for infinito, não é fracamente contável e compacto .

Localmente compacto, mas não localmente relativamente compacto.: Se , então o conjunto é uma vizinhança compacta de x . No entanto, o fechamento dessa vizinhança é todo de X e, portanto, se X for infinito, x não tem uma vizinhança compacta fechada e X não é localmente relativamente compacto . ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle \ {x, p \}}$

Limite relacionado

Pontos de acumulação de conjuntos: Se não contém p , Y não tem ponto de acumulação (porque Y é fechado em X e discreto na topologia do subespaço). ${\ displaystyle Y \ subseteq X}$

Se contém p , cada ponto representa um ponto de acumulação de Y , uma vez que (a menor vizinhança de ) encontra Y . Y não tem ponto de acumulação ω . Note-se que p não é um ponto de acumulação de qualquer conjunto, como é isolado em X .

{\ displaystyle Y \ subseteq X}

{\ displaystyle x \ neq p}

{\ displaystyle \ {x, p \}}

{\ displaystyle x}

Ponto de acumulação como um conjunto, mas não como uma sequência: Pegue uma sequência de elementos distintos que também contém p . O conjunto subjacente tem qualquer como ponto de acumulação. No entanto, a própria sequência não tem ponto de acumulação como sequência , pois a vizinhança de qualquer y não pode conter infinitamente muitos dos distintos . ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n}}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ ${\ displaystyle x \ neq p}$ ${\ displaystyle \ {y, p \}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$

Relacionado à separação

T ₀: X é T ₀ (uma vez que { x , p } é aberto para cada x ), mas não satisfaz nenhum axioma de separação superior (porque todos os conjuntos abertos não vazios devem conter p ).

Não regular: Como todo conjunto aberto não vazio contém p , nenhum conjunto fechado que não contém p (como X \ { p }) pode ser separado por vizinhanças de { p } e, portanto, X não é regular . Uma vez que a regularidade completa implica regularidade, X não é completamente regular.

Não é normal: Uma vez que todo conjunto aberto não vazio contém p , nenhum conjunto fechado não vazio pode ser separado por vizinhanças e, portanto, X não é normal . Exceção: a topologia Sierpiński é normal, e até mesmo completamente normal, uma vez que não contém conjuntos separados não triviais.

Separabilidade: { p } é denso e, portanto, X é um espaço separável . No entanto, se X é incontável, então X \ { p } não é separável. Este é um exemplo de um subespaço de um espaço separável que não pode ser separado.

Contabilidade (primeiro, mas não segundo): Se X for incontável, então X será o primeiro contável, mas não o segundo contável .

Comparáveis (topologias homeomórficas no mesmo conjunto que não são comparáveis): Deixe com . Deixe e . Isso é t _q é a topologia de ponto particular em X com q sendo o ponto distinto. Então ( X , t _p ) e ( X , t _q ) são topologias homeomórficas incomparáveis no mesmo conjunto. ${\ displaystyle p, q \ in X}$ ${\ displaystyle p \ neq q}$ ${\ displaystyle t_ {p} = \ {S \ subseteq X \ mid p \ in S \}}$ ${\ displaystyle t_ {q} = \ {S \ subseteq X \ mid q \ in S \}}$

Nenhum subconjunto não vazio denso em si mesmo: Deixe- S ser um subconjunto não vazio de X . Se S contém p , então p é isolado em S (uma vez que é um ponto isolado de X ). Se S não contém P , qualquer x em S é isolado em S .

Não é a primeira categoria: Qualquer conjunto contendo p é densa em X . Portanto, X não é uma união de subconjuntos densos em lugar nenhum .

Subespaços: Cada subespaço de um conjunto, dada a topologia de ponto particular, que não contém o ponto particular, tem a topologia discreta.

Veja também

Referências

Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpressão de Dover da edição de 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446

Languages

In other projects