Paraleloedro - Parallelohedron

Em geometria, um paraleloedro é um poliedro que pode ser transladado sem rotações no espaço euclidiano tridimensional para preencher o espaço com um favo de mel em que todas as cópias do poliedro se encontram face a face. Existem cinco tipos de paraleloedro, identificados pela primeira vez por Evgraf Fedorov em 1885 em seus estudos de sistemas cristalográficos: o cubo , prisma hexagonal , dodecaedro rômbico , dodecaedro alongado e octaedro truncado .

Classificação

Cada paraleloedro é um zonoedro , construído como a soma de Minkowski de três a seis segmentos de linha. Cada um desses segmentos de linha pode ter qualquer número real positivo como seu comprimento, e cada aresta de um paraleloedro é paralela a um desses segmentos geradores, com o mesmo comprimento. Se o comprimento de um segmento de um paraleloedro gerado a partir de quatro ou mais segmentos for reduzido a zero, o resultado é que o poliedro degenera para uma forma mais simples, um paraleloedro formado a partir de um segmento a menos. Como um zonoedro, essas formas têm automaticamente simetria de inversão central 2 C i , mas simetrias adicionais são possíveis com uma escolha apropriada dos segmentos geradores.

Os cinco tipos de paraleloedro são:

  • Um paralelepípedo , gerado a partir de três segmentos de linha que não são todos paralelos a um plano comum. Sua forma mais simétrica é o cubo , gerado por três segmentos de linha perpendiculares de comprimento unitário.
  • Um prisma hexagonal , gerado a partir de quatro segmentos de reta, três deles paralelos a um plano comum e o quarto não. Sua forma mais simétrica é o prisma direito sobre um hexágono regular.
  • O dodecaedro rômbico , gerado a partir de quatro segmentos de linha, dois dos quais não são paralelos a um plano comum. Sua forma mais simétrica é gerada pelas quatro longas diagonais de um cubo.
  • O dodecaedro alongado , gerado a partir de cinco segmentos de linha, um dos quais é paralelo a um plano comum com dois pares disjuntos dos outros quatro. Ele pode ser gerado usando uma borda do cubo e suas quatro longas diagonais como geradores.
  • O octaedro truncado , gerado a partir de seis segmentos de linha com quatro conjuntos de três segmentos coplanares. Ele pode ser embutido no espaço quadridimensional como o 4- permutaedro , cujos vértices são todos permutações dos números contados (1,2,3,4). No espaço tridimensional, sua forma mais simétrica é gerada a partir de seis segmentos de linha paralelos às diagonais da face de um cubo.

Qualquer zonoedro cujas faces tenham a mesma estrutura combinatória de uma dessas cinco formas é um paraleloedro, independentemente de seus ângulos ou comprimentos de aresta específicos. Por exemplo, qualquer transformação afim de um paraleloedro produzirá outro paraleloedro do mesmo tipo.

Nome Cubo
(paralelepípedo)
Cubo alongado de prisma hexagonal		 Dodecaedro rômbico Dodecaedro alongado Octaedro truncado
Imagens (as cores indicam bordas paralelas) Parallelohedron edge cube.png Paraleloedro arestas hexagonal prism.png Paraleloedro bordas dodecaedro rômbico.png Bordas do paraleloedro dodecaedro rômbico alongado.png Parallelohedron edge truncated octahedron.png
Número de geradores 3 4 4 5 6
Vértices 8 12 14 18 24
Arestas 12 18 24 28 36
Rostos 6 8 12 12 14
Revestimento Partial cubic honeycomb.png Hexagonal prismatic honeycomb.png HC R1.png Rhombo-hexagonal dodecahedron tessellation.png HC-A4.png
Nome do mosaico e diagrama Coxeter-Dynkin Cúbico
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png 		Prismático hexagonal
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png 		Dodecaédrico rômbico
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1-43.pngCDel nodes.png 		Dodecaédrico alongado Cúbico Bitruncado
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png

Simetrias

Quando subdivididos de acordo com seus grupos de simetria, existem 22 formas de paraleloedros. Para cada forma, os centros de suas cópias em seu favo formam os pontos de uma das 14 treliças Bravais . Como há menos redes Bravais do que formas simétricas de paraleloedros, certos pares de paraleloedros são mapeados para a mesma rede Bravais.

Ao colocar um ponto final de cada segmento de linha de geração de um paraleloedro na origem do espaço tridimensional, os geradores podem ser representados como vetores tridimensionais , as posições de seus pontos finais opostos. Para este posicionamento dos segmentos, um vértice do paraleloedro estará ele mesmo na origem, e o resto estará nas posições dadas por somas de certos subconjuntos desses vetores. Um paraleloedro com vetores pode, desta forma, ser parametrizado por coordenadas, três para cada vetor, mas apenas algumas dessas combinações são válidas (por causa da exigência de que certos triplos de segmentos estejam em planos paralelos, ou equivalentemente que certos triplos de vetores sejam coplanares ) e diferentes combinações podem levar a paraleloedros que diferem apenas por uma rotação, transformação de escala ou, mais geralmente, por uma transformação afim . Quando as transformações afins são fatoradas, o número de parâmetros livres que descrevem a forma de um paraleloedro é zero para um paralelepípedo (todos os paralelepípedos são equivalentes entre si sob transformações afins), dois para um prisma hexagonal, três para um dodecaedro rômbico, quatro para um dodecaedro alongado e cinco para um octaedro truncado.

História

A classificação dos paraleloedros em cinco tipos foi feita pela primeira vez pelo cristalógrafo russo Evgraf Fedorov , como o capítulo 13 de um livro em russo publicado pela primeira vez em 1885, cujo título foi traduzido para o inglês como Uma Introdução à Teoria das Figuras . Algumas das matemáticas deste livro são falhas; por exemplo, inclui uma prova incorreta de um lema afirmando que todo revestimento monohédrico do plano é eventualmente periódico, o que permanece sem solução como o problema de einstein . No caso do paraleloedro, Fedorov presumiu sem provas que todo paraleloedro é centralmente simétrico e usou essa suposição para provar sua classificação. A classificação do paraleloedro foi mais tarde colocada em bases mais firmes por Hermann Minkowski , que usou seu teorema da unicidade para poliedros com dados normais de face e áreas para provar que os paraleloedros são centralmente simétricos.

Formas relacionadas

Em duas dimensões, a figura análoga a um paraleloedro é um paralelogon , um polígono que pode ladrilhar o plano de ponta a ponta por translação. Estes são paralelogramos e hexágonos com lados opostos paralelos e de comprimento igual.

Em dimensões superiores, um paraleloedro é denominado paralelotopo . Existem 52 paralelotopos quadridimensionais diferentes, primeiro enumerados por Boris Delaunay (com um paralelotopo faltando, mais tarde descoberto por Mikhail Shtogrin), e 103.769 tipos em cinco dimensões. Ao contrário do caso das três dimensões, nem todos são zonótopos . 17 dos paralelotopos quadridimensionais são zonótopos, um é o regular de 24 células e os 34 restantes dessas formas são somas de Minkowski de zonótopos com as 24 células. O paralelotopo A- dimensional pode ter no máximo facetas, com o permutoedro atingindo este máximo.

Um plesioedro é uma classe mais ampla de poliedros tridimensionais que preenchem o espaço, formados a partir dos diagramas de Voronoi de conjuntos periódicos de pontos. Como Boris Delaunay provou em 1929, todo paraleloedro pode ser transformado em plesioedro por uma transformação afim, mas este permanece aberto em dimensões superiores, e em três dimensões também existem outros plesioedros que não são paraleloedros. As inclinações do espaço por plesioedros têm simetrias levando qualquer célula a qualquer outra célula, mas ao contrário do paraleloedro, essas simetrias podem envolver rotações, não apenas translações.

Referências

links externos