SL ₂ ( R ) -SL₂(R)

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de grinalda simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável açao Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , o grupo linear especial SL (2, R) ou SL ₂ (R) é o grupo de matrizes reais 2 × 2 com um determinante :

${\ displaystyle {\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R}) = \ left \ {{\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ dois pontos a, b, c, d \ em \ mathbf {R} {\ mbox {e}} ad-bc = 1 \ right \}.}$

É um grupo de Lie real simples não compacto conectado de dimensão 3 com aplicações em geometria , topologia , teoria de representação e física .

SL (2,  R ) atua no semiplano superior complexo por transformações lineares fracionárias . A ação do grupo fatora através do quociente PSL (2, R) (o grupo linear especial projetivo 2 × 2 sobre R ). Mais especificamente,

PSL (2,  R ) = SL (2,  R ) / {± I },

onde I denota a matriz de identidade 2 × 2 . Ele contém o grupo modular PSL (2,  Z ).

Também intimamente relacionado está o grupo de cobertura dupla , Mp (2,  R ), um grupo metaplético (pensando em SL (2,  R ) como um grupo simplético ).

Outro grupo relacionado é SL ^± (2,  R ), o grupo de matrizes 2 × 2 reais com determinante ± 1; isso é mais comumente usado no contexto do grupo modular , no entanto.

Descrições

SL (2,  R ) é o grupo de todas as transformações lineares de R ² que preservam a área orientada . É isomórfico ao grupo simplético Sp (2,  R ) e ao grupo unitário especial SU (1, 1) . Também é isomórfico ao grupo de coquatérnions de comprimento unitário . O grupo SL ^± (2,  R ) preserva a área não orientada: pode inverter a orientação.

O quociente PSL (2,  R ) tem várias descrições interessantes:

• É o grupo de transformações projetivas que preservam a orientação da linha projetiva real R ∪ {∞}.
• É o grupo de automorfismos conformes do disco unitário .
• É o grupo de isometrias que preservam a orientação do plano hiperbólico .
• É o grupo restrito de Lorentz do espaço tridimensional de Minkowski . Equivalentemente, é isomórfico ao grupo ortogonal indefinido SO ⁺ (1,2). Segue-se que SL (2,  R ) é isomórfico ao grupo de spin Spin (2,1) ⁺ .

Os elementos do grupo modular PSL (2,  Z ) têm interpretações adicionais, assim como os elementos do grupo SL (2,  Z ) (como transformadas lineares do toro), e essas interpretações também podem ser vistas à luz da teoria geral de SL (2,  R ).

Homografias

Elementos de PSL (2,  R ) são homografias na linha projetiva real R ∪ {∞} :

${\ displaystyle [x, 1] \ mapsto [x, \ 1] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ = \ [ax + b, \ cx + d] \ = \, \ esquerda [{\ frac {ax + b} {cx + d}}, \ 1 \ direita].}$

Essas transformações projetivas formam um subgrupo de PSL (2,  C ), que atua na esfera de Riemann por meio das transformações de Möbius .

Quando a linha real é considerada a fronteira do plano hiperbólico , PSL (2,  R ) expressa movimentos hiperbólicos .

Transformações de Möbius

Elementos de PSL (2,  R ) atuam no plano complexo por transformações de Möbius:

${\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}} \; \; \; \; {\ mbox {(onde}} a, b, c, d \ in \ mathbf {R} {\ mbox {)}}.}$

Este é precisamente o conjunto de transformações de Möbius que preservam o semiplano superior . Segue-se que PSL (2,  R ) é o grupo de automorfismos conformes do semiplano superior. Pelo teorema de mapeamento de Riemann , também é isomórfico ao grupo de automorfismos conformes do disco unitário.

Essas transformações de Möbius agem como as isometrias do modelo do semiplano superior do espaço hiperbólico, e as transformações de Möbius correspondentes do disco são as isometrias hiperbólicas do modelo de disco de Poincaré .

A fórmula acima também pode ser usada para definir as transformações de Möbius de números duais e duplos (também conhecidos como complexos de divisão) . As geometrias correspondentes estão em relações não triviais com a geometria Lobachevskiana .

Representação adjunta

O grupo SL (2,  R ) age em sua álgebra de Lie sl (2,  R ) por conjugação (lembre-se de que os elementos da álgebra de Lie também são matrizes 2 × 2), produzindo uma representação linear tridimensional fiel de PSL (2,  R ) Isso pode ser alternativamente descrito como a ação de PSL (2,  R ) no espaço de formas quadráticas em R ² . O resultado é a seguinte representação:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} a ^ {2} & 2ab & b ^ {2} \\ ac & ad + bc & bd \\ c ^ {2} & 2cd & d ^ {2} \ end {bmatrix}}.}$

A forma Killing em sl (2,  R ) tem assinatura (2,1), e induz um isomorfismo entre PSL (2,  R ) e o grupo de Lorentz SO ⁺ (2,1). Esta ação do PSL (2,  R ) no espaço de Minkowski restringe-se à ação isométrica do PSL (2,  R ) no modelo hiperbolóide do plano hiperbólico.

Classificação dos elementos

Os autovalores de um elemento A ∈ SL (2,  R ) satisfazem o polinômio característico

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} \, - \, \ mathrm {tr} (A) \, \ lambda \, + \, 1 \, = \, 0}$

e portanto

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mathrm {tr} (A) \ pm {\ sqrt {\ mathrm {tr} (A) ^ {2} -4}}} {2}}.}$

Isso leva à seguinte classificação de elementos, com ação correspondente no plano euclidiano:

• Se | tr ( A ) | <2, então A é chamado de elíptico e é conjugado a uma rotação .
• Se | tr ( A ) | = 2, então A é chamado de parabólico e é um mapeamento de cisalhamento .
• Se | tr ( A ) | > 2, então A é chamado hiperbólico e é um mapeamento de compressão .

Os nomes correspondem à classificação das seções cônicas por excentricidade : se definirmos a excentricidade como a metade do valor absoluto do traço (ε = ½ tr; dividir por 2 corrige o efeito da dimensão, enquanto o valor absoluto corresponde a ignorar um fator geral de ± 1 como ao trabalhar em PSL (2, R )), então isso resulta em :, elíptico; , parabólico; , hiperbólico. ${\ displaystyle \ epsilon <1}$${\ displaystyle \ epsilon = 1}$${\ displaystyle \ epsilon> 1}$

O elemento de identidade 1 e o elemento de identidade negativo −1 (em PSL (2,  R ) são iguais), têm traço ± 2 e, portanto, por essa classificação são elementos parabólicos, embora sejam freqüentemente considerados separadamente.

A mesma classificação é usada para SL (2,  C ) e PSL (2,  C ) ( transformações de Möbius ) e PSL (2,  R ) (transformações de Möbius reais), com a adição de transformações "loxodrômicas" correspondentes a traços complexos; classificações análogas são usadas em outro lugar.

Um subgrupo que está contido com os elementos elípticos (respectivamente, parabólicos, hiperbólicos), mais a identidade e a identidade negativa, é chamado de subgrupo elíptico (respectivamente, subgrupo parabólico , subgrupo hiperbólico ).

Esta é uma classificação em subconjuntos, não subgrupos: esses conjuntos não são fechados sob multiplicação (o produto de dois elementos parabólicos não precisa ser parabólico e assim por diante). No entanto, todos os elementos são conjugados em um dos 3 subgrupos padrão de um parâmetro (possivelmente vezes ± 1), conforme detalhado abaixo.

Topologicamente, como o traço é um mapa contínuo, os elementos elípticos (excluindo ± 1) são um conjunto aberto , assim como os elementos hiperbólicos (excluindo ± 1), enquanto os elementos parabólicos (incluindo ± 1) são um conjunto fechado .

Elementos elípticos

Os valores próprios para um elemento elíptico são complexos e são valores conjugados no círculo unitário . Tal elemento é conjugado a uma rotação do plano euclidiano - eles podem ser interpretados como rotações em uma base possivelmente não ortogonal - e o elemento correspondente de PSL (2,  R ) atua como (conjugado a) uma rotação do plano hiperbólico e do espaço de Minkowski .

Os elementos elípticos do grupo modular devem ter autovalores {ω, ω ⁻¹ }, onde ω é uma 3ª, 4ª ou 6ª raiz primitiva da unidade . São todos os elementos do grupo modular com ordem finita e atuam no toro como difeomorfismos periódicos.

Os elementos do traço 0 podem ser chamados de "elementos circulares" (por analogia com a excentricidade), mas isso raramente é feito; eles correspondem a elementos com autovalores ± i , e são conjugados à rotação de 90 °, e ao quadrado a - I : eles são as involuções de não identidade em PSL (2).

Os elementos elípticos são conjugados no subgrupo de rotações do plano euclidiano, o grupo ortogonal especial SO (2); o ângulo de rotação é arccos da metade do traço, com o sinal da rotação determinado pela orientação. (Uma rotação e seu inverso são conjugados em GL (2), mas não em SL (2).)

Elementos parabólicos

Um elemento parabólico tem apenas um único valor próprio, que é 1 ou -1. Tal elemento atua como um mapeamento de cisalhamento no plano euclidiano, e o elemento correspondente de PSL (2,  R ) atua como uma rotação limite do plano hiperbólico e como uma rotação nula do espaço de Minkowski .

Os elementos parabólicos do grupo modular atuam como torções de Dehn do toro.

Elementos parabólicos são conjugado no grupo 2 componente de tesouras padrão × ± I : . Na verdade, eles são todos conjugados (em SL (2)) a uma das quatro matrizes , (em GL (2) ou SL ^± (2), o ± pode ser omitido, mas em SL (2) não pode). ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & \ lambda \\ & 1 \ end {smallmatrix}} \ right) \ times \ {\ pm I \}}$${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & \ pm 1 \\ & 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} -1 & \ pm 1 \\ & - 1 \ end {smallmatrix}} \ right)}$

Elementos hiperbólicos

Os valores próprios de um elemento hiperbólico são reais e recíprocos. Tal elemento atua como um mapeamento de compressão do plano euclidiano, e o elemento correspondente de PSL (2,  R ) atua como uma translação do plano hiperbólico e como um aumento de Lorentz no espaço de Minkowski .

Elementos hiperbólicos do grupo modular atuam como difeomorfismos de Anosov do toro.

Elementos hiperbólicas são conjugado no grupo 2 componente de compressão de padrão × ± I : ; o ângulo hiperbólico da rotação hiperbólica é dado por arcosh da metade do traço, mas o sinal pode ser positivo ou negativo: ao contrário do caso elíptico, um aperto e seu inverso são conjugados em SL₂ (por uma rotação nos eixos; para eixos padrão, uma rotação de 90 °). ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} \ lambda \\ & \ lambda ^ {- 1} \ end {smallmatrix}} \ right) \ times \ {\ pm I \}}$

Aulas de conjugação

Pela forma normal de Jordan , as matrizes são classificadas até a conjugação (em GL ( n ,  C )) por autovalores e nilpotência (concretamente, nilpotência significa onde 1s ocorre nos blocos de Jordan). Assim, os elementos de SL (2) são classificados até a conjugação em GL (2) (ou mesmo SL ^± (2)) por traço (uma vez que o determinante é fixo, e o traço e o determinante determinam os autovalores), exceto se os autovalores forem iguais, ± I e os elementos parabólicos de trace +2 e trace -2 não são conjugados (os primeiros não têm entradas fora da diagonal na forma de Jordan, enquanto os últimos sim).

Até a conjugação em SL (2) (em vez de GL (2)), há um dado adicional, correspondente à orientação: uma rotação no sentido horário e anti-horário (elíptica) não são conjugadas, nem são um cisalhamento positivo e negativo, conforme detalhado acima ; assim, para o valor absoluto do traço menor que 2, há duas classes de conjugação para cada traço (rotações no sentido horário e anti-horário), para o valor absoluto do traço igual a 2, há três classes de conjugação para cada traço (cisalhamento positivo, identidade, cisalhamento negativo ), e para o valor absoluto do traço maior que 2, há uma classe de conjugação para um determinado traço.

Topologia e cobertura universal

Como um espaço topológico , PSL (2,  R ) pode ser descrito como o feixe tangente unitário do plano hiperbólico. É um feixe circular e tem uma estrutura de contato natural induzida pela estrutura simplética no plano hiperbólico. SL (2,  R ) é uma cobertura dupla de PSL (2,  R ) e pode ser considerada como o feixe de espinores no plano hiperbólico.

O grupo fundamental de SL (2,  R ) é o infinito cíclico grupo Z . O grupo de cobertura universal , denotado , é um exemplo de um grupo de Lie de dimensão finita que não é um grupo de matriz . Ou seja, não admite fiel , finito-dimensional representação . ${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$

Como um espaço topológico, é um feixe de linha sobre o plano hiperbólico. Quando imbuída de uma métrica invariante à esquerda , a variedade 3 torna - se uma das oito geometrias de Thurston . Por exemplo, é a cobertura universal do feixe tangente unitário a qualquer superfície hiperbólica . Qualquer variedade modelada é orientável e é um feixe de círculo sobre algum orbifold hiperbólico bidimensional (um espaço de fibra Seifert ). ${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$${\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}} (2, \ mathbf {R})}}}$

Sob esta cobertura, a pré-imagem do grupo modular PSL (2,  Z ) é o grupo trançado em 3 geradores, B ₃ , que é a extensão central universal do grupo modular. Estes são reticulados dentro dos grupos algébricos relevantes, e isso corresponde algebricamente ao grupo de cobertura universal em topologia.

O grupo de cobertura dupla pode ser identificado como Mp (2,  R ), um grupo metaplético , pensando em SL (2,  R ) como o grupo simplético Sp (2,  R ).

Os grupos acima mencionados juntos formam uma sequência:

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {SL} (2, \ mathbf {R})}} \ to \ cdots \ to \ mathrm {Mp} (2, \ mathbf {R}) \ to \ mathrm {SL} (2, \ mathbf {R}) \ to \ mathrm {PSL} (2, \ mathbf {R}).}$

No entanto, existem outros grupos de cobertura de PSL (2,  R ) correspondendo a todo n , como n Z < Z ≅ π ₁ (PSL (2,  R )), que formam uma rede de grupos de cobertura por divisibilidade; estes cobrem SL (2,  R ) se e somente se n for par.

Estrutura algébrica

O centro de SL (2,  R ) é o grupo de dois elementos {± 1}, e o quociente PSL (2,  R ) é simples .

Subgrupos discretos de PSL (2,  R ) são chamados de grupos fuchsianos . Estes são os análogos hiperbólicos dos grupos de papéis de parede euclidianos e grupos de frisos . O mais famoso deles é o grupo modular PSL (2,  Z ), que atua sobre uma tesselação do plano hiperbólico por triângulos ideais.

O grupo de círculo SO (2) é um subgrupo compacto máximo de SL (2,  R ), e o grupo de círculo SO (2) / {± 1} é um subgrupo compacto máximo de PSL (2,  R ).

O multiplicador de Schur do grupo discreto PSL (2,  R ) é muito maior do que Z , e a extensão central universal é muito maior do que o grupo de cobertura universal. No entanto, essas grandes extensões centrais não levam em conta a topologia e são um tanto patológicas.

Teoria da representação

SL (2,  R ) é um grupo de Lie simples real, não compacto , e é a forma real dividida do grupo de Lie complexo SL (2,  C ). A álgebra de Lie de SL (2,  R ), denotada por sl (2,  R ), é a álgebra de todas as matrizes 2 × 2 reais e sem rastros . É a álgebra de Bianchi do tipo VIII.

A teoria de representação de dimensão finita de SL (2,  R ) é equivalente à teoria de representação de SU (2) , que é a forma real compacta de SL (2,  C ). Em particular, SL (2,  R ) não tem representações unitárias não triviais de dimensão finita. Esta é uma característica de cada grupo de Lie não compacto simples conectado. Para um esboço da prova, veja a não unitariedade de representações .

A teoria da representação de dimensão infinita de SL (2,  R ) é bastante interessante. O grupo tem várias famílias de representações unitárias, que foram elaboradas detalhadamente por Gelfand e Naimark (1946), V. Bargmann (1947) e Harish-Chandra (1952).

Veja também

Referências

• Bargmann, Valentine (1947). "Representações Unitárias Irredutíveis do Grupo Lorentz". Annals of Mathematics . 48 (3): 568–640. doi : 10.2307 / 1969129 . JSTOR  1969129 . MR  0021942 .
• Gelfand, Israel Moiseevich; Neumark, Mark Aronovich (1946). "Representações unitárias do grupo Lorentz". Acad. Sci. URSS. J. Phys . 10 : 93–94. MR  0017282 .
• Harish-Chandra (1952). "Fórmula de Plancherel para o grupo unimodular real 2 × 2" . Proc. Natl. Acad. Sci. EUA . 38 (4): 337–342. Bibcode : 1952PNAS ... 38..337H . doi : 10.1073 / pnas.38.4.337 . MR  0047055 . PMC  1063558 . PMID  16589101 .
• Lang, Serge (1985). . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 105 . Nova York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-5142-2 . ISBN${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbf {R})}$ 0-387-96198-4. MR  0803508 .
• Thurston, William (1997). Geometria e topologia tridimensional. Vol. 1 . Princeton Mathematical Series. 35 . Editado por Silvio Levy. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5. MR  1435975 .