Extensão de grupo - Group extension

Em matemática , uma extensão de grupo é um meio geral de descrever um grupo em termos de um subgrupo normal específico e grupo de quociente . Se Q e N são dois grupos, então G é uma extensão de Q por N se houver uma sequência exata curta

{\ displaystyle 1 \ to N \; {\ overset {\ iota} {\ to}} \; G \; {\ overset {\ pi} {\ to}} \; Q \ to 1.}

Se L é uma extensão de Q por N , então L é um grupo, é um subgrupo normal de L e o grupo quociente é isomorfo para o grupo Q . Extensões de grupo surgem no contexto do problema de extensão , onde os grupos Q e N são conhecidos e as propriedades de G devem ser determinadas. Observe que a expressão " G é uma extensão de N por Q " também é usada por alguns. ${\ displaystyle \ iota (N)}$ ${\ displaystyle G / \ iota (N)}$

Uma vez que qualquer grupo finito G possui um subgrupo normal máximo N com grupo de fator simples G / N , todos os grupos finitos podem ser construídos como uma série de extensões com grupos simples finitos . Esse fato motivou a conclusão da classificação de grupos simples finitos .

Uma extensão é chamado uma extensão central, se as subgrupo N situa-se no centro de L .

Extensões em geral

Uma extensão, o produto direto , é imediatamente óbvia. Se alguém requer que G e Q sejam grupos abelianos , então o conjunto de classes de isomorfismo de extensões de Q por um determinado grupo (abeliano) N é de fato um grupo, que é isomórfico a

{\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (Q, N);}

cf. o ext functor . Várias outras classes gerais de extensões são conhecidas, mas não existe nenhuma teoria que trate todas as extensões possíveis de uma vez. A extensão do grupo é geralmente descrita como um problema difícil; é denominado problema de extensão .

Para considerar alguns exemplos, se L = K x H , então G é uma extensão de ambos H e K . De maneira mais geral, se G é um produto semidireto de K e H , escrito como , então G é uma extensão de H por K , de modo que produtos como o produto de grinalda fornecem outros exemplos de extensões. ${\ displaystyle G = K \ rtimes H}$

Problema de extensão

A questão de quais grupos G são extensões de H por N é chamada de problema de extensão e tem sido amplamente estudada desde o final do século XIX. Quanto à sua motivação, considere que a série de composição de um grupo finito é uma sequência finita de subgrupos { A _i }, onde cada A _{i +1} é uma extensão de A _i por algum grupo simples . A classificação de grupos simples finitos nos dá uma lista completa de grupos simples finitos; portanto, a solução para o problema de extensão nos daria informações suficientes para construir e classificar todos os grupos finitos em geral.

Classificando extensões

Resolver o problema da extensão equivale a classificar todas as extensões de H por K ; ou mais praticamente, expressando todas essas extensões em termos de objetos matemáticos que são mais fáceis de entender e calcular. Em geral, esse problema é muito difícil e todos os resultados mais úteis classificam extensões que satisfazem alguma condição adicional.

É importante saber quando duas extensões são equivalentes ou congruentes. Dizemos que as extensões

{\ displaystyle 1 \ para K {\ stackrel {i} {{} \ para {}}} G {\ stackrel {\ pi} {{} \ para {}}} H \ para 1}

e

{\ displaystyle 1 \ para K {\ stackrel {i '} {{} \ para {}}} G' {\ stackrel {\ pi '} {{} \ para {}}} H \ para 1}

são equivalentes (ou congruentes) se existe um isomorfismo de grupo tornando comutativo o diagrama da Figura 1. Na verdade, é suficiente ter um homomorfismo de grupo; devido à comutatividade assumida do diagrama, o mapa é forçado a ser um isomorfismo pelo pequeno lema cinco . ${\ displaystyle T: G \ para G '}$ ${\ displaystyle T}$

figura 1

Aviso

Pode acontecer que as extensões e sejam inequivalentes, mas G e G ' são isomórficos como grupos. Por exemplo, existem extensões inequivalentes dos quatro grupos de Klein por , mas existem, até o isomorfismo de grupo, apenas quatro grupos de ordem contendo um subgrupo normal de ordem com grupo quociente isomórfico ao grupo de quatro de Klein . ${\ displaystyle 1 \ a K \ a G \ a H \ a 1}$ ${\ displaystyle 1 \ a K \ a G ^ {\ prime} \ a H \ a 1}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ displaystyle 2}$

Extensões triviais

Uma extensão trivial é uma extensão

{\ displaystyle 1 \ a K \ a G \ a H \ a 1}

que é equivalente à extensão

{\ displaystyle 1 \ a K \ a K \ times H \ a H \ a 1}

onde as setas esquerda e direita são, respectivamente, a inclusão e a projeção de cada fator de . ${\ displaystyle K \ times H}$

Classificando extensões de divisão

Uma extensão dividida é uma extensão

{\ displaystyle 1 \ a K \ a G \ a H \ a 1}

com um homomorfismo tal que ir de H a G por s e então voltar a H pelo mapa de quociente da seqüência exata curta induz o mapa de identidade em H ie ,. Nessa situação, costuma-se dizer que s divide a seqüência exata acima . ${\ displaystyle s \ dois pontos H \ a G}$ ${\ displaystyle \ pi \ circ s = \ mathrm {id} _ {H}}$

Extensões de divisão são muito fáceis de classificar, porque é uma extensão de divisão se e apenas se o grupo G é um produto semidirect de K e H . Próprios produto semidireto são fáceis de classificar, porque eles estão em correspondência de um-para-um com homomorphisms de onde Aut ( K ) é o automorphism grupo de K . Para uma discussão completa de por que isso é verdade, consulte produto semidireto . ${\ displaystyle H \ to \ operatorname {Aut} (K)}$

Aviso sobre terminologia

Em geral, em matemática, uma extensão de uma estrutura K é geralmente considerada como uma estrutura L da qual K é uma subestrutura. Veja, por exemplo , extensão de campo . No entanto, em teoria dos grupos a terminologia oposto tem penetrou no, em parte devido a notação , que lê facilmente como extensões de Q por N , e o foco é sobre o grupo Q . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} (Q, N)}$

Um artigo de Ronald Brown e Timothy Porter sobre a teoria de extensões não-fabianas de Otto Schreier usa a terminologia de que uma extensão de K fornece uma estrutura maior.

Extensão central

Uma extensão central de um grupo G é uma sequência curta e exata de grupos

{\ displaystyle 1 \ a A \ a E \ a G \ a 1}

de tal modo que uma está incluído no , o centro do grupo de E . O conjunto de classes de isomorfismo de extensões centrais de G por A (onde G atua trivialmente em A ) está em correspondência um-para-um com o grupo de cohomologia . ${\ displaystyle Z (E)}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, A)}$

Exemplos de extensões centrais podem ser construídos tomando qualquer grupo G e qualquer grupo abeliano A , e definindo E como sendo . Este tipo de exemplo de divisão corresponde ao elemento 0 na correspondência acima. Exemplos mais sérios são encontrados na teoria das representações projetivas , nos casos em que a representação projetiva não pode ser elevada a uma representação linear comum . ${\ displaystyle A \ times G}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, A)}$

No caso de grupos finitos perfeitos , existe uma extensão central universal perfeita .

Da mesma forma, a extensão central de uma álgebra de Lie é uma sequência exata ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ mathfrak {a}} \ rightarrow {\ mathfrak {e}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}

tal que está no centro de . ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}}}$

Existe uma teoria geral das extensões centrais nas variedades de Maltsev .

Generalização para extensões gerais

Há uma classificação semelhante de todas as extensões de G por A em termos de homomorfismos de , uma condição de existência tediosa mas explicitamente verificável envolvendo e o grupo de cohomologia . ${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Out} (A)}$ ${\ displaystyle H ^ {3} (G, Z (A))}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, Z (A))}$

Grupos de mentiras

Na teoria dos grupos de Lie , extensões centrais surgem em conexão com a topologia algébrica . Grosso modo, extensões centrais de grupos de Lie por grupos discretos são iguais aos grupos de cobertura . Mais precisamente, um espaço de cobertura conectado $G$ $*$ de um grupo de Lie conectado $G$ é naturalmente uma extensão central de $G$ , de modo que a projeção

{\ displaystyle \ pi \ colon G ^ {*} \ to G}

é um homomorfismo de grupo, e sobrejetivo. (A estrutura do grupo em $G *$ depende da escolha de um mapeamento de elemento de identidade para a identidade em $G.$ ) Por exemplo, quando $G *$ é a cobertura universal de $G$ , o kernel de π é o grupo fundamental de $G$ , que é conhecido para ser abeliano (veja o espaço H ). Por outro lado, dado um grupo de Lie $G$ e um subgrupo central discreto $Z$ , o quociente $G / Z$ é um grupo de Lie e $G$ é um espaço de cobertura dele.

Mais geralmente, quando os grupos $A$ , $E$ e $G que$ ocorrem em uma extensão central são grupos de Lie, e os mapas entre eles são homomorfismos de grupos de Lie, então se a álgebra de Lie de $G$ é $g$ , a de $A$ é $a$ , e a de $E$ é $e$ , então $e$ é uma extensão da álgebra de Lie central de $g$ por $a$ . Na terminologia da física teórica , os geradores de $a$ são chamados de cargas centrais . Esses geradores estão no centro de $e$ ; pelo teorema de Noether , geradores de grupos de simetria correspondem a quantidades conservadas, chamadas de cargas .

Os exemplos básicos de extensões centrais que abrangem grupos são:

os grupos de spin , que cobrem duplamente os grupos ortogonais especiais , que (em dimensão par) cobrem duplamente o grupo ortogonal projetivo .
os grupos metapléticos , que duplamente cobrem os grupos simpléticos .

O caso de $SL 2 (R)$ envolve um grupo fundamental que é cíclico infinito . Aqui, a extensão central envolvida é bem conhecida na teoria da forma modular , no caso de formas de peso $½$ . Uma representação projetiva que corresponde é a representação de Weil , construída a partir da transformada de Fourier , neste caso na reta real . Grupos metapléticos também ocorrem na mecânica quântica .

Veja também

Referências

Mac Lane, Saunders (1975), Homology , Classics in Mathematics, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
RL Taylor, cobrindo grupos de grupos topológicos não conectados, Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 5 (1954), 753–768.
R. Brown e O. Mucuk, cobrindo grupos de grupos topológicos não conectados revisitados, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 115 (1994), 97-110.

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