Teoria da representação de SU (2) - Representation theory of SU(2)

No estudo da teoria das representações de grupos de Lie , o estudo das representações de SU (2) é fundamental para o estudo das representações de grupos de Lie semisimples . É o primeiro caso de um grupo de Lie que é um grupo compacto e um grupo não abeliano . A primeira condição implica que a teoria da representação é discreta: representações são somas diretas de uma coleção de representações irredutíveis básicas (governadas pelo teorema de Peter-Weyl ). O segundo significa que haverá representações irredutíveis em dimensões maiores que 1.

SU (2) é o grupo de cobertura universal de SO (3) e, portanto, sua teoria de representação inclui a deste último, por meio de um homomorfismo sobrejetivo a ele. Isso fundamenta a importância de SU (2) para a descrição do spin não relativístico na física teórica ; veja abaixo para outro contexto físico e histórico.

Conforme mostrado abaixo, as representações irredutíveis de dimensão finita de SU (2) são indexadas por um número inteiro não negativo e têm dimensão . Na literatura de física, as representações são rotuladas pela quantidade , onde é um inteiro ou meio inteiro e a dimensão é . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle l = m / 2}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle 2l + 1}$

Representações de álgebra de Lie

As representações do grupo são encontrados por considerar representações , a álgebra de Lie de SU (2) . Como o grupo SU (2) é simplesmente conectado, toda representação de sua álgebra de Lie pode ser integrada a uma representação de grupo; daremos uma construção explícita das representações no nível do grupo abaixo. Uma referência para este material é a Seção 4.6 do ( Hall 2015 ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$

Álgebras de Lie reais e complexificadas

A álgebra de Lie real tem uma base dada por${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$

${\ displaystyle u_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad u_ {2} = {\ begin {bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \ qquad u_ {3} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \ end {bmatrix}} ~,}$

(Essas matrizes de base estão relacionadas às matrizes de Pauli por e ) ${\ displaystyle u_ {1} = + i \ \ sigma _ {1} ~, \, u_ {2} = - i \ \ sigma _ {2}}$${\ displaystyle u_ {3} = + i \ \ sigma _ {3} ~.}$

As matrizes são uma representação dos quatérnios :

${\ displaystyle u_ {1} \, u_ {1} = - I \ ,; ~~ \ quad u_ {2} \, u_ {2} = - I \ ,; ~~ \ quad u_ {3} \, u_ {3} = - I \ ,;}$

${\ displaystyle u_ {1} \, u_ {2} = + u_ {3} \,; \ quad u_ {2} \, u_ {3} = + u_ {1} \,; \ quad u_ {3} \ , u_ {1} = + u_ {2} \ ,;}$

${\ displaystyle u_ {2} \, u_ {1} = - u_ {3} \,; \ quad u_ {3} \, u_ {2} = - u_ {1} \,; \ quad u_ {1} \ , u_ {3} = - u_ {2} \ ,.}$

onde I é a matriz de identidade 2 × 2 convencional:${\ displaystyle ~~ I = {\ begin {bmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Consequentemente, os colchetes do comutador das matrizes satisfazem

${\ displaystyle [u_ {1}, u_ {2}] = 2u_ {3} \,; \ quad [u_ {2}, u_ {3}] = 2u_ {1} \,; \ quad [u_ {3} , u_ {1}] = 2u_ {2} \ ,.}$

É então conveniente passar para a álgebra de Lie complexificada

${\ displaystyle \ mathrm {su} (2) + i \, \ mathrm {su} (2) = \ mathrm {sl} (2; \ mathbb {C})}$.

(Skew matrizes auto-adjuntas com traço zero mais matrizes auto-adjuntas com traço zero dá todas as matrizes com traço zero.) Desde que estejamos trabalhando com representações sobre esta passagem da álgebra de Lie real para a complexificada é inofensiva. A razão para passar à complexificação é que ela nos permite construir uma boa base de um tipo que não existe na álgebra de Lie real . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$

A álgebra de Lie complexificada é atravessado por três elementos , e , dada pela ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {i}} u_ {3}; \ quad X = {\ frac {1} {2i}} (u_ {1} -iu_ {2}); \ quad Y = {\ frac {1} {2i}} (u_ {1} + iu_ {2}),}$

ou, explicitamente,

${\ displaystyle H = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {bmatrix}}; \ quad X = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}; \ quad Y = { \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} ~.}$

Estes satisfazem as relações de comutação

${\ displaystyle [H, X] = 2X, \ quad [H, Y] = - 2Y, \ quad [X, Y] = H}$.

Até um factor de dois, os elementos , e podem ser identificados com os operadores do momento angular , e , respectivamente. O fator de 2 é uma discrepância entre as convenções em matemática e física; tentaremos mencionar ambas as convenções nos resultados que se seguem. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J _ {+}}$${\ displaystyle J _ {-}}$

Pesos e a estrutura da representação

Nesse cenário, os autovalores de são chamados de pesos da representação. O seguinte resultado elementar é uma etapa fundamental na análise. Suponha que seja um autovetor para com autovalor , isto é, aquele . Então ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle H \ cdot v = \ alpha v}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} H \ cdot (X \ cdot v) & = (\ alpha +2) X \ cdot v \\ [3pt] H \ cdot (Y \ cdot v) & = (\ alpha - 2) Y \ cdot v \ end {alinhado}}}$

Em outras palavras, é o vetor zero ou um autovetor com autovalor e é zero ou um autovetor com autovalor . Assim, o operador atua como operador de levantamento , aumentando o peso em 2, enquanto atua como operador de abaixamento . ${\ displaystyle X \ cdot v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha +2}$${\ displaystyle Y \ cdot v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ alpha -2}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Suponha agora que é uma representação irredutível de dimensão finita da álgebra de Lie complexificada. Então, pode ter apenas muitos autovalores finitos. Em particular, deve haver um autovalor com a propriedade que não é um autovalor. Let Ser um autovetor para com autovalor : ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ lambda +2}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle H \ cdot v_ {0} = \ lambda v_ {0}}$.

Então devemos ter

${\ displaystyle X \ cdot v_ {0} = 0}$,

ou então a identidade acima nos diria que é um autovetor com autovalor . ${\ displaystyle X \ cdot v_ {0}}$${\ displaystyle \ lambda +2}$

Agora defina uma "cadeia" de vetores por ${\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, \ ldots}$

${\ displaystyle v_ {k} = Y ^ {k} \ cdot v_ {0}}$.

Um simples argumento por indução mostra que

${\ displaystyle X \ cdot v_ {k} = k (\ lambda - (k-1)) v_ {k-1}}$

para todos . Agora, se não é o vetor zero, é um autovetor para com autovalor . Uma vez que, novamente, tem apenas finitamente muitos autovetores, concluímos que deve ser zero para alguns (e depois para todos ). ${\ displaystyle k = 1,2, \ ldots}$${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda -2k}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v_ {l}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle v_ {k} = 0}$${\ displaystyle k> l}$

Let Ser o último vetor diferente de zero na cadeia; isto é, mas . Então, é claro, e pela identidade acima com , temos ${\ displaystyle v_ {m}}$${\ displaystyle v_ {m} \ neq 0}$${\ displaystyle v_ {m + 1} = 0}$${\ displaystyle X \ cdot v_ {m + 1} = 0}$${\ displaystyle k = m + 1}$

${\ displaystyle 0 = X \ cdot v_ {m + 1} = (m + 1) (\ lambda -m) v_ {m}}$.

Como é pelo menos um e , concluímos que deve ser igual ao inteiro não negativo . ${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle v_ {m} \ neq 0}$${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle m}$

Obtemos, assim, uma cadeia de vetores que atua como ${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle Y \ cdot v_ {m} = 0; \ quad Y \ cdot v_ {k} = v_ {k + 1} \ quad (k <m)}$

e atua como ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X \ cdot v_ {0} = 0, \ quad X \ cdot v_ {k} = k (m- (k-1)) v_ {k-1} \ quad (k> 0)}$

e atua como ${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle H \ cdot v_ {k} = (m-2k) v_ {k}}$.

(Substituímos por seu valor atualmente conhecido de nas fórmulas acima.) ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle m}$

Como os vetores são autovetores com autovalores distintos, eles devem ser linearmente independentes. Além disso, a amplitude de é claramente invariante sob a ação da álgebra de Lie complexificada. Uma vez que é assumido como irredutível, esse intervalo deve ser completo . Assim, obtemos uma descrição completa de como deve ser uma representação irredutível; isto é, uma base para o espaço e uma descrição completa de como agem os geradores da álgebra de Lie. Por outro lado, para qualquer um , podemos construir uma representação simplesmente usando as fórmulas acima e verificando se as relações de comutação se mantêm. Essa representação pode então ser mostrada como irredutível. ${\ displaystyle v_ {k}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {m}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle m \ geq 0}$

Conclusão : Para cada número inteiro não negativo , há uma representação única irredutível com maior peso . Cada representação irredutível equivale a uma delas. A representação com maior peso tem dimensão com pesos , cada um tendo multiplicidade um. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle m, m-2, \ ldots, - (m-2), - m}$

O elemento Casimir

Apresentamos agora o elemento Casimir (quadrático) , dado por ${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle C = - \ left (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2} \ right)}$.

Podemos ver como um elemento da álgebra envolvente universal ou como um operador em cada representação irredutível. Vendo como um operador na representação com maior peso , podemos facilmente calcular que comuta com cada um . Assim, pelo lema de Schur , atua como um múltiplo escalar da identidade de cada um . Podemos escrever em termos de base da seguinte forma: ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle c_ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {H, X, Y}}$

${\ displaystyle C = (X + Y) ^ {2} - (- X + Y) ^ {2} + H ^ {2}}$,

que simplifica para

${\ displaystyle C = 4YX + H ^ {2} + 2H}$.

O valor próprio de na representação com maior peso pode ser calculado aplicando ao vetor de maior peso, que é aniquilado por . Assim, obtemos ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle c_ {m} = m ^ {2} + 2m = m (m + 2)}$.

Na literatura de física, o Casimir é normalizado como . Rotulando as coisas em termos de , o autovalor de é então calculado como ${\ displaystyle C '= C / 4}$${\ displaystyle l = m / 2}$${\ displaystyle d_ {l}}$${\ displaystyle C '}$

${\ displaystyle d_ {l} = {\ frac {1} {4}} (2l) (2l + 2) = l (l + 1)}$.

As representações do grupo

Ação em polinômios

Como SU (2) está simplesmente conectado, um resultado geral mostra que toda representação de sua álgebra de Lie (complexificada) dá origem a uma representação do próprio SU (2). É desejável, entretanto, dar uma compreensão explícita das representações no nível do grupo. As representações de grupos podem ser realizadas em espaços de polinômios em duas variáveis ​​complexas. Ou seja, para cada inteiro não negativo , deixamos denotar o espaço de polinômios homogêneos de grau em duas variáveis ​​complexas. Então, a dimensão de é . Existe uma ação natural de SU (2) em cada um , dada por ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle V_ {m}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle V_ {m}}$${\ displaystyle m + 1}$${\ displaystyle V_ {m}}$

${\ displaystyle [U \ cdot p] (z) = p \ left (U ^ {- 1} z \ right), \ quad z \ in \ mathbb {C} ^ {2}, \, U \ in \ mathrm {SU} (2)}$.

A representação da álgebra de Lie associada é simplesmente aquela descrita na seção anterior. (Veja aqui uma fórmula explícita para a ação da álgebra de Lie no espaço de polinômios.)

Os personagens

O caráter de uma representação é a função dada por ${\ displaystyle \ Pi: G \ rightarrow \ mathrm {GL} (V)}$${\ displaystyle \ mathrm {X}: G \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} (g) = \ mathrm {trace} (\ Pi (g))}$.

Os personagens desempenham um papel importante na teoria da representação de grupos compactos . O caractere é facilmente visto como uma função de classe, ou seja, invariante sob conjugação.

No caso de SU (2), o fato de o caractere ser uma função de classe significa que ele é determinado por seu valor no toro máximo que consiste nas matrizes diagonais em SU (2). Uma vez que a representação irredutível com maior peso tem pesos , é fácil ver que o caractere associado satisfaz ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m, m-2, \ ldots, - (m-2), - m}$

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots e ^ {- i (m-2) \ theta} + e ^ {- im \ theta}.}$

Esta expressão é uma série geométrica finita que pode ser simplificada para

${\ displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {sin} ((m + 1) \ theta)} {\ mathrm {sin} (\ theta)}}.}$

Esta última expressão é apenas a declaração da fórmula do caractere de Weyl para o caso SU (2).

Na verdade, seguindo a análise original de Weyl da teoria da representação de grupos compactos, pode-se classificar as representações inteiramente da perspectiva do grupo, sem usar as representações da álgebra de Lie. Nessa abordagem, a fórmula do caractere de Weyl desempenha um papel essencial na classificação, junto com o teorema de Peter-Weyl . O caso SU (2) desta história é descrito aqui .

Relação com as representações do SO (3)

Observe que todos os pesos da representação são pares (se for par) ou todos os pesos são ímpares (se for ímpar). Em termos físicos, esta distinção é importante: as representações com pesos pares correspondem às representações ordinárias do grupo de rotação SO (3) . Em contraste, as representações com pesos ímpares correspondem à representação de valor duplo (espinorial) de SO (3), também conhecidas como representações projetivas . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Nas convenções da física, ser par corresponde a ser um inteiro, enquanto ser ímpar corresponde a ser um meio-inteiro. Esses dois casos são descritos como spin inteiro e spin meio inteiro , respectivamente. As representações com valores ímpares e positivos de são representações fiéis de SU (2), enquanto as representações de SU (2) com valores não negativos e pares não são fiéis. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

Outra abordagem

Veja o exemplo para o teorema de Borel-Weil-Bott .

As representações irredutíveis mais importantes e suas aplicações

As representações de SU (2) descrevem spin não relativístico , por ser uma dupla cobertura do grupo de rotação do 3-espaço euclidiano . O spin relativístico é descrito pela teoria da representação de SL ₂ ( C ) , um supergrupo de SU (2), que de forma semelhante abrange SO ⁺ (1; 3) , a versão relativística do grupo de rotação. A simetria SU (2) também suporta os conceitos de spin isobárico e isospin fraca , conhecidos coletivamente como isospin .

A representação com (isto é, na convenção da física) é a representação 2 , a representação fundamental de SU (2). Quando um elemento de SU (2) é escrito como uma matriz 2 × 2 complexa , é simplesmente uma multiplicação de vetores de 2 colunas . É conhecido em física como spin-½ e, historicamente, como multiplicação de quatérnios (mais precisamente, multiplicação por uma unidade de quatérnio). Essa representação também pode ser vista como uma representação projetiva de valor duplo do grupo de rotação SO (3). ${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle l = 1/2}$

A representação com (isto é, ) é a representação 3 , a representação adjunta . Ele descreve rotações 3-d , a representação padrão de SO (3), portanto, os números reais são suficientes para isso. Os físicos usam-no para a descrição de partículas massivas de spin 1, como os mésons vetoriais , mas sua importância para a teoria do spin é muito maior porque ancora os estados de spin à geometria do 3-espaço físico . Essa representação surgiu simultaneamente com a 2, quando William Rowan Hamilton introduziu os versors , seu termo para os elementos do SU (2). Observe que Hamilton não usou a terminologia padrão da teoria dos grupos, uma vez que seu trabalho precedeu o desenvolvimento dos grupos de Lie. ${\ displaystyle m = 2}$${\ displaystyle l = 1}$

A (ie ) representação é usada na física de partículas para certos bárions , como o Δ . ${\ displaystyle m = 3}$${\ displaystyle l = 3/2}$

Veja também

• Operador de rotação (espaço vetorial)
• Operador de rotação (mecânica quântica)
• Teoria da representação de SO (3)
• Conexão entre SO (3) e SU (2)
• teoria da representação de SL ₂ ( R )
• Interação eletrofraca
• Grupo de rotação SO (3) § Uma nota sobre álgebra de Lie

Referências

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Gerard 't Hooft (2007), Lie groups in Physics , Capítulo 5 "Operadores de escada"
• Iachello, Francesco (2006), Lie Algebras and Applications , Lecture Notes in Physics, 708 , Springer, ISBN 3540362363