Circuncônico e incônico - Circumconic and inconic

Na geometria do triângulo , um circunconic é uma seção cônica que passa pelos três vértices de um triângulo, e um inconic é uma seção cônica inscrita nos lados, possivelmente estendido , de um triângulo.

Suponhamos que A, B, C são distintos pontos não colineares, e deixar ΔABC denotar o triângulo cujos vértices são A, B, C . Seguindo a prática comum, A denota não apenas o vértice, mas também o ângulo BAC no vértice A , e da mesma forma para B e C como ângulos em ΔABC . Seja a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |, os comprimentos laterais de Δ ABC .

Em coordenadas trilineares , a circunferência geral é o lugar geométrico de um ponto variável X = x  : y  : z satisfazendo uma equação

uyz + vzx + wxy = 0,

para algum ponto u: v: w . O conjugado isogonal de cada ponto X na circuncona, diferente de A, B, C , é um ponto na linha

ux + vy + wz = 0.

Esta linha encontra o circumcircle de ΔABC em 0,1, ou 2 pontos de acordo com o circunconic é uma elipse, parábola ou hipérbole.

O incônico geral é tangente às três linhas laterais de ΔABC e é dado pela equação

u ² x ² + v ² y ² + w ² z ² - 2 vwyz - 2 wuzx - 2 uvxy = 0.

Centros e linhas tangentes

Circunconic

O centro da circunferência geral é o ponto

u (- au + bv + cw ): v ( au - bv + cw ): w ( au + bv - cw ).

As linhas tangentes à circunferência geral nos vértices A, B, C são, respectivamente,

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Inconic

O centro do incônico geral é o ponto

cv + bw  : aw + cu  : bu + av .

As retas tangentes ao incônico geral são as linhas laterais de ΔABC , dadas pelas equações x = 0, y = 0, z = 0.

Outras características

Circunconic

• Cada circuncona não circular encontra o circunferência de ΔABC em um ponto diferente de A, B e C, frequentemente chamado de quarto ponto de intersecção , dado por coordenadas trilineares

( cx - az ) ( ay - bx ): ( ay - bx ) ( bz - cy ): ( bz - cy ) ( cx - az )

• Se P = p: q: r é um ponto na circunferência geral, então a reta tangente à cônica em P é dada por

( vr + wq ) x + ( wp + ur ) y + ( uq + vp ) z = 0.

• A circunferência geral se reduz a uma parábola se e somente se

u ² a ² + v ² b ² + w ² c ² - 2 vwbc - 2 wuca - 2 uvab = 0,

e a uma hipérbole retangular se e somente se

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• De todos os triângulos inscritos em uma determinada elipse, o centróide daquele com a maior área coincide com o centro da elipse. A elipse fornecida, passando pelos três vértices desse triângulo e centralizada no centroide do triângulo, é chamada de circunelipse de Steiner do triângulo .

Inconic

• O incônico geral se reduz a uma parábola se e somente se

ubc + vca + wab = 0,

nesse caso, é tangente externamente a um dos lados do triângulo e é tangente às extensões dos outros dois lados .

• Suponha-se que p ₁  : q ₁  : r ₁ e p ₂  : q ₂  : r ₂ são pontos distintos, e deixar

X = ( p ₁ + p ₂ t ): ( q ₁ + q ₂ t ): ( r ₁ + r ₂ t ).

Como o parâmetro t varia entre os números reais , o lugar geométrico de X é uma linha. Definir

X ² = ( p ₁ + p ₂ t ) ²  : ( q ₁ + q ₂ t ) ²  : ( r ₁ + r ₂ t ) ² .

O locus de X ² é o incônico, necessariamente uma elipse , dada pela equação

L ⁴ x ² + M ⁴ y ² + N ⁴ z ² - 2 M ² N ² yz - 2 N ² L ² zx - 2 L ² M ² xy = 0,

Onde

L = q ₁ r ₂ - r ₁ q ₂ ,

M = r ₁ p ₂ - p ₁ r ₂ ,

N = p ₁ q ₂ - q ₁ p ₂ .

• Um ponto no interior de um triângulo é o centro de uma ilipse do triângulo se e somente se o ponto está no interior do triângulo cujos vértices estão nos pontos médios dos lados do triângulo original. Para um determinado ponto dentro desse triângulo medial , a ilipse com seu centro naquele ponto é única.
• A inelipse com a maior área é a inelipse de Steiner , também chamada de inelipse do ponto médio, com seu centro no centroide do triângulo . Em geral, a razão entre a área da inelipse e a área do triângulo, em termos das coordenadas baricêntricas de soma unitária do centro da inelipse, é${\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ text {Área da inelipse}} {\ text {Área do triângulo}}} = \ pi {\ sqrt {(1-2 \ alpha) (1-2 \ beta) (1-2 \ gamma)}},}$

que é maximizado pelas coordenadas baricêntricas do centroide ${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = 1/3.}$

• As linhas que conectam os pontos de tangência de qualquer ilipse de um triângulo com os vértices opostos do triângulo são concorrentes.

Extensão para quadriláteros

Todos os centros dos inelipses de um dado quadrilátero caem no segmento de reta que conecta os pontos médios das diagonais do quadrilátero.

Exemplos

• Circunconics
  • Circumcircle , o círculo único que passa pelos três vértices de um triângulo
  • Circunelipse de Steiner , a elipse única que passa pelos três vértices de um triângulo e é centralizada no centroide do triângulo
  • A hipérbole de Kiepert , a cônica única que passa pelos três vértices de um triângulo, seu centróide e seu ortocentro
  • Jeřábek hipérbole, uma hipérbole retangular centrada no círculo de nove pontos de um triângulo e passando pelos três vértices do triângulo, bem como seu circuncentro , ortocentro e vários outros centros notáveis
  • Hipérbole de Feuerbach , uma hipérbole retangular que passa pelo ortocentro de um triângulo, ponto de Nagel e vários outros pontos notáveis, e tem centro no círculo de nove pontos.
• Inconics
  • Incircle , o círculo único que é tangente internamente aos três lados de um triângulo
  • Steiner inellipse , a elipse única que é tangente aos três lados de um triângulo em seus pontos médios
  • Mandart inellipse , a elipse única tangente aos lados de um triângulo nos pontos de contato de seus círculos
  • Parábola de Kiepert
  • Yff parábola

Referências

links externos

• Circumconic em MathWorld
• Inconic em MathWorld