Pontos Napoleão - Napoleon points

Em geometria , os pontos de Napoleão são um par de pontos especiais associados a um triângulo plano . Em geral, acredita-se que a existência desses pontos foi descoberta por Napoleão Bonaparte , o imperador dos franceses de 1804 a 1815, mas muitos questionaram essa crença. Os pontos de Napoleão são centros triângulo e eles são listados como os pontos X (17) e X (18) em Clark Kimberling 's Encyclopedia of Centros Triângulo .

O nome "pontos de Napoleão" também foi aplicado a um par diferente de centros de triângulos, mais conhecidos como pontos isodinâmicos .

Definição dos pontos

Primeiro ponto Napoleão

Seja ABC qualquer triângulo plano . Nos lados BC , CA , AB do triângulo, construa triângulos equiláteros desenhados externamente DBC , ECA e FAB respectivamente. Sejam os centróides desses triângulos X , Y e Z respectivamente. Então, as linhas AX , BY e CZ são concorrentes . O ponto de concorrência N1 é o primeiro ponto Napoleão, ou o ponto Napoleão externo, do triângulo ABC .

O triângulo XYZ é chamado de triângulo de Napoleão externo do triângulo ABC . O teorema de Napoleão afirma que este triângulo é um triângulo equilátero .

Em Clark Kimberling 's Encyclopedia of Centros triângulo , o primeiro ponto Napoleão é representado pelo símbolo X (17).

As coordenadas trilineares de N1:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ left (\ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6} } \ right), \ csc \ left (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right) \\ & = \ left (\ sec \ left (A - {\ frac {\ pi} { 3}} \ right), \ sec \ left (B - {\ frac {\ pi} {3}} \ right), \ sec \ left (C - {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ direita) \ end {alinhado}}}

As coordenadas baricêntricas de N1:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B + {\ frac {\ pi} {6}} \ right), c \ csc \ left (C + {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Segundo ponto Napoleão

Seja ABC qualquer triângulo plano . Nos lados BC , CA , AB do triângulo, construa triângulos equiláteros desenhados internamente DBC , ECA e FAB respectivamente. Sejam os centróides desses triângulos X , Y e Z respectivamente. Então, as linhas AX , BY e CZ são concorrentes. O ponto de concorrência N2 é o segundo ponto Napoleão, ou o ponto Napoleão interno, do triângulo ABC .

O triângulo XYZ é chamado de triângulo interno de Napoleão do triângulo ABC . O teorema de Napoleão afirma que este triângulo é um triângulo equilátero.

Na Enciclopédia de Centros de Triângulo de Clark Kimberling, o segundo ponto Napoleão é denotado por X (18).

As coordenadas trilineares de N2:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & \ left (\ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} { 6}} \ right), \ csc \ left (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right) \\ & = \ left (\ sec \ left (A + {\ frac {\ pi } {3}} \ right), \ sec \ left (B + {\ frac {\ pi} {3}} \ right), \ sec \ left (C + {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ direita) \ end {alinhado}}}

As coordenadas baricêntricas de N2:

{\ displaystyle \ left (a \ csc \ left (A - {\ frac {\ pi} {6}} \ right), b \ csc \ left (B - {\ frac {\ pi} {6}} \ right ), c \ csc \ left (C - {\ frac {\ pi} {6}} \ right) \ right)}

Dois pontos intimamente relacionados aos pontos Napoleão são os pontos Fermat-Torricelli (X13 e X14 do ETC). Se ao invés de construir linhas unindo os centróides dos triângulos equiláteros aos respectivos vértices, alguém agora construir linhas unindo os vértices dos triângulos equiláteros aos respectivos vértices do triângulo, as três linhas assim construídas são novamente concorrentes. Os pontos de concorrência são chamados de pontos de Fermat-Torricelli, às vezes denotados como F1 e F2. A intersecção da linha de Fermat (ou seja, aquela linha que une os dois pontos Fermat-Torricelli) e a linha de Napoleão (ou seja, aquela linha que une os dois pontos de Napoleão) é o ponto simbólico do triângulo (X6 do ETC).

Generalizações

Os resultados sobre a existência dos pontos Napoleão podem ser generalizados de diferentes maneiras. Ao definir os pontos de Napoleão, começamos com triângulos equiláteros desenhados nos lados do triângulo ABC e, em seguida, consideramos os centros X , Y e Z desses triângulos. Esses centros podem ser pensados como vértices de triângulos isósceles erguidos nos lados do triângulo ABC com ângulos de base iguais a $π$ / 6 (30 graus). As generalizações buscam determinar outros triângulos que, quando erguidos sobre os lados do triângulo ABC , possuem retas concorrentes unindo seus vértices externos e os vértices do triângulo ABC .

Triângulos isósceles

Um ponto na hipérbole de Kiepert.

Hipérbole de Kiepert do triângulo ABC . A hipérbole passa pelos vértices ( A , B , C ), o ortocentro ( O ) e o centróide ( G ) do triângulo.

Essa generalização afirma o seguinte:

Se os três triângulos XBC, YCA e ZAB, construídos nos lados do triângulo ABC dado como bases, são semelhantes , isósceles e situados de forma semelhante, então as linhas AX, BY, CZ coincidem em um ponto N.

Se o ângulo de base comum for , os vértices dos três triângulos terão as seguintes coordenadas trilineares. ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle X (- \ sin \ theta, \ sin (C + \ theta), \ sin (B + \ theta))}$
${\ displaystyle Y (\ sin (C + \ theta), - \ sin \ theta, \ sin (A + \ theta))}$
${\ displaystyle Z (\ sin (B + \ theta), \ sin (A + \ theta), - \ sin \ theta)}$

As coordenadas trilineares de N são

{\ displaystyle (\ csc (A + \ theta), \ csc (B + \ theta), \ csc (C + \ theta)).}

Alguns casos especiais são interessantes.

Valor de θ;	O ponto N
0	G , o centróide do triângulo ABC
$π$ / 2 (ou - $π$ / 2)	O , o ortocentro do triângulo ABC
$π$ / 4 (ou - $π$ / 4)	Os pontos Vecten
$π$ / 6	N1, o primeiro ponto Napoleão (X17)
- $π$ / 6	N2, o segundo ponto Napoleão (X18)
$π$ / 3	F1, o primeiro ponto Fermat – Torricelli (X13)
- $π$ / 3	F2, o segundo ponto Fermat – Torricelli (X14)
- A (se A < $π$ / 2) $π$ - A (se A > $π$ / 2)	O vértice A
- B (se B < $π$ / 2) $π$ - B (se B > $π$ / 2)	O vértice B
- C (se C < $π$ / 2) $π$ - C (se C > $π$ / 2)	O vértice C

Além disso, o locus de N como o ângulo de base varia entre - $π$ / 2 e $π$ / 2 é a cônica ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (BC)} {x}} + {\ frac {\ sin (CA)} {y}} + {\ frac {\ sin (AB)} {z}} = 0. }

Essa cônica é uma hipérbole retangular e é chamada de hipérbole de Kiepert em homenagem a Ludwig Kiepert (1846–1934), o matemático que descobriu esse resultado. Essa hipérbole é a cônica única que passa pelos cinco pontos A, B, C, G e O.

Triângulos semelhantes

Generalização do ponto Napoleão: um caso especial

Os três triângulos XBC , YCA , ZAB erguidos sobre os lados do triângulo ABC não precisam ser isósceles para que as três linhas AX , BY , CZ sejam concorrentes.

Se triângulos semelhantes XBC, AYC, ABZ são construídos externamente nos lados de qualquer triângulo ABC, então as linhas AX, BY e CZ são concorrentes.

Triângulos arbitrários

A concorrência das linhas AX , BY e CZ se mantém mesmo em condições muito relaxadas. O seguinte resultado indica uma das condições mais gerais para que as linhas AX , BY , CZ sejam simultâneas.

Se os triângulos XBC, YCA, ZAB forem construídos externamente nos lados de qualquer triângulo ABC, de modo que

∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY,

então as linhas AX, BY e CZ são concorrentes.

O ponto de simultaneidade é conhecido como ponto de Jacobi .

Uma generalização do ponto de Napoleão

História

Coxeter e Greitzer afirmam o Teorema de Napoleão assim: Se triângulos equiláteros são erguidos externamente nos lados de qualquer triângulo, seus centros formam um triângulo equilátero . Eles observam que Napoleão Bonaparte era um pouco matemático com grande interesse em geometria. No entanto, eles duvidam que Napoleão conhecesse geometria o suficiente para descobrir o teorema atribuído a ele.

A primeira aparição registrada do resultado incorporado no teorema de Napoleão está em um artigo no Diário das Mulheres publicado em 1825. O Diário das Mulheres era um periódico anual que estava em circulação em Londres de 1704 a 1841. O resultado apareceu como parte de um questão colocada por W. Rutherford, Woodburn.

VII. Quest. (1439); por Mr. W. Rutherford, Woodburn. " Descreva os triângulos equiláteros (os vértices sendo todos para fora ou todos para dentro) sobre os três lados de qualquer triângulo ABC: então as linhas que unem os centros de gravidade desses três triângulos equiláteros constituirão um triângulo equilátero. Requer uma demonstração. "

No entanto, não há referência à existência dos chamados pontos Napoleão nesta questão. Christoph J. Scriba , um historiador alemão da matemática , estudou o problema de atribuir os pontos de Napoleão a Napoleão em um artigo na Historia Mathematica .

Veja também

Referências

Leitura adicional

Stachel, Hellmuth (2002). "Teorema e generalizações de Napoleão através de mapas lineares" (PDF) . Contribuições para álgebra e geometria . 43 (2): 433–444 . Página visitada em 25 de abril de 2012 .
Grünbaum, Branko (2001). "Um parente do" Teorema de Napoleão " " (PDF) . Geombinatória . 10 : 116–121 . Página visitada em 25 de abril de 2012 .
Katrien Vandermeulen; et al. "Napoleão, um matemático?" . Matemática para a Europa. Arquivado do original em 30 de agosto de 2012 . Página visitada em 25 de abril de 2012 .
Bogomolny, Alexander . "Teorema de Napoleão" . Corte o nó! Uma coluna interativa usando miniaplicativos Java . Página visitada em 25 de abril de 2012 .
"O Thm de Napoleão e os Pontos de Napoleão" . Arquivado do original em 21 de janeiro de 2012 . Página visitada em 24 de abril de 2012 .
Weisstein, Eric W. "Napoleon Points" . Da MathWorld — A Wolfram Web Resource . Página visitada em 24 de abril de 2012 .
Philip LaFleur. "Teorema de Napoleão" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 7 de setembro de 2012 . Página visitada em 24 de abril de 2012 .
Wetzel, John E. (abril de 1992). "Conversas do Teorema de Napoleão" (PDF) . Arquivado do original (PDF) em 29 de abril de 2014 . Página visitada em 24 de abril de 2012 .

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