Locus (matemática) - Locus (mathematics)

Cada curva neste exemplo é um lugar geométrico definido como a concóide do ponto P e da linha l . Neste exemplo, P está a 8 cm de l .

Na geometria , um locus (plural: loci ) (palavra latina para "lugar", "localização") é um conjunto de todos os pontos (comumente, uma linha , um segmento de linha , uma curva ou uma superfície ), cuja localização satisfaz ou é determinado por uma ou mais condições especificadas.

Em outras palavras, o conjunto de pontos que satisfazem alguma propriedade é freqüentemente chamado de locus de um ponto que satisfaz essa propriedade. O uso do singular nesta formulação é uma testemunha de que, até o final do século XIX, os matemáticos não consideravam conjuntos infinitos. Em vez de ver linhas e curvas como conjuntos de pontos, eles as viam como lugares onde um ponto pode estar localizado ou pode se mover.

História e filosofia

Até o início do século 20, uma forma geométrica (por exemplo, uma curva) não era considerada um conjunto infinito de pontos; em vez disso, foi considerado como uma entidade na qual um ponto pode estar localizado ou sobre a qual se move. Assim, um círculo no plano euclidiano foi definido como o lugar geométrico de um ponto que está a uma determinada distância de um ponto fixo, o centro do círculo. Na matemática moderna, conceitos semelhantes são reformulados com mais frequência, descrevendo as formas como conjuntos; por exemplo, diz-se que o círculo é o conjunto de pontos que estão a uma dada distância do centro.

Em contraste com a visão da teoria dos conjuntos, a formulação antiga evita considerar coleções infinitas, pois evitar o infinito real era uma posição filosófica importante dos matemáticos anteriores.

Depois que a teoria dos conjuntos se tornou a base universal sobre a qual toda a matemática é construída, o termo locus tornou-se um tanto antiquado. Apesar disso, a palavra ainda é muito utilizada, principalmente para uma formulação concisa, por exemplo:

• Locus crítico , o conjunto dos pontos críticos de uma função diferenciável .
• Locus zero ou locus de fuga , conjunto de pontos onde uma função desaparece, na medida em que assume o valor zero.
• Locus singular , o conjunto dos pontos singulares de uma variedade algébrica .
• Locus de conectividade , o subconjunto do conjunto de parâmetros de uma família de funções racionais para a qual o conjunto Julia da função está conectado.

Mais recentemente, técnicas como a teoria dos esquemas e o uso da teoria das categorias em vez da teoria dos conjuntos para dar uma base à matemática, voltaram a noções mais como a definição original de um locus como um objeto em si mesmo do que como um conjunto de pontos.

Exemplos em geometria plana

Exemplos de geometria plana incluem:

• O conjunto de pontos equidistantes de dois pontos é uma bissetriz perpendicular ao segmento de linha que conecta os dois pontos.
• O conjunto de pontos equidistantes de duas linhas que se cruzam é ​​a bissetriz do ângulo .
• Todas as seções cônicas são locais:
  • Círculo : o conjunto de pontos para os quais a distância de um único ponto é constante (o raio ).
  • Parábola : o conjunto de pontos equidistantes de um ponto fixo (o foco ) e uma linha (a diretriz ).
  • Hipérbole : o conjunto de pontos para cada um dos quais o valor absoluto da diferença entre as distâncias a dois focos dados é uma constante.
  • Elipse : o conjunto de pontos para cada um dos quais a soma das distâncias a dois focos dados é uma constante

Outros exemplos de loci aparecem em várias áreas da matemática. Por exemplo, em dinâmica complexa , o conjunto de Mandelbrot é um subconjunto do plano complexo que pode ser caracterizado como o local de conexão de uma família de mapas polinomiais.

Prova de um locus

Para provar que uma forma geométrica é o local correto para um determinado conjunto de condições, geralmente se divide a prova em dois estágios:

• Prova de que todos os pontos que satisfazem as condições estão na forma dada.
• Prova de que todos os pontos na forma dada satisfazem as condições.

Exemplos

(distância PA ) = 3. (distância PB )

Primeiro exemplo

Encontre o lugar geométrico de um ponto P que tem uma dada razão de distâncias k = d ₁ / d ₂ para dois pontos dados.

Neste exemplo, k = 3, A (−1, 0) e B (0, 2) são escolhidos como os pontos fixos.

P ( x ,  y ) é um ponto do lugar geométrico

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (x - {\ frac {1} {8}} \ right) ^ {2} + \ left (y - {\ frac {9} {4}} \ right) ^ {2} = {\ frac {45} {64}}.}$

Esta equação representa um círculo com centro (1/8, 9/4) e raio . É o círculo de Apolônio definido por estes valores de k , A , e B . ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}} {\ sqrt {5}}}$

Segundo exemplo

Locus do ponto C

Um triângulo ABC tem um lado fixo [ AB ] com comprimento c . Determine o lugar geométrico do terceiro vértice C de forma que as medianas de A e C sejam ortogonais .

Escolha um sistema de coordenadas ortonormal tal que A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) é o terceiro vértice variável. O centro de [ BC ] é M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). A mediana de C tem uma inclinação y / x . A AM mediana tem inclinação 2 y / (2 x  + 3 c ).

O locus é um círculo

C ( x ,  y ) é um ponto do lugar geométrico

${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ as medianas de A e C são ortogonais

${\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {y} {x}} \ cdot {\ frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}$

O lugar geométrico do vértice C é um círculo com centro (−3 c / 4, 0) e raio 3 c / 4.

Terceiro exemplo

O ponto de intersecção das linhas associadas k e l descreve o círculo

Um lugar geométrico também pode ser definido por duas curvas associadas, dependendo de um parâmetro comum . Se o parâmetro variar, os pontos de interseção das curvas associadas descrevem o lugar geométrico.

Na figura, os pontos K e L são pontos fixos em uma determinada linha m . A linha k é uma linha variável através K . A linha l a L é perpendicular a k . O ângulo entre k e m é o parâmetro. k e l são linhas associadas dependendo do parâmetro comum. O ponto de intersecção variável S de k e l descreve um círculo. Este círculo é o local do ponto de interseção das duas linhas associadas. ${\ displaystyle \ alpha}$

Quarto exemplo

Um locus de pontos não precisa ser unidimensional (como um círculo, linha, etc.). Por exemplo, o lugar geométrico da inequação 2 x + 3 y - 6 <0 é a parte do plano que está abaixo da linha da equação 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Veja também

• Variedade algébrica
• Curva
• Linha (geometria)
• Região (geometria)
• Forma (geometria)

Referências